高考专题高三数学附加题答案.docx

2014届高三数学《考前指导》

理科附加题

（一）矩阵与变换

例1答案：2或－2． 答案：α＝????

??

－1 2．

例2答案：2．

说明：也可以通过特殊点的变换得到a ，b 的方程组．

例3答案：A －1

＝????

??

－1 2 2 －3 ．

例4答案：（1）λ1＝2，α1＝??????21；λ1＝3，α2＝??????11；（2）????

??

435339．

说明：（2）中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性．

（二）坐标系与参数方程

例1答案：a ＝2，或a ＝－8． 例2答案：3＋2． 例3∵圆心为直线ρsin （θ-）=-与极轴的交点，

∴在ρsin （θ-）=-中令θ=0，得ρ=1 圆C 的圆心坐标为（1，0） ∴圆C 经过点P （，）， ∴圆C 的半径为PC=1

圆的极坐标方程为ρ=2cos θ。

例4答案：3x 2

－y ＋6＝0． 例5答案：2．

（1）倾斜角为60°（2），∴|AB|=

102

． （三）概率

例1 [解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且

P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 X 10 5 2 -3

P

0.72

0.18

0.08

0.02

（2

由题设知4(4)10n n --≥，解得145

n ≥

， 又n N ∈，得3n =，或4n =。

所求概率为3

344

0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

例2答案：（1）2；（2）8

15

；

（3）ζ

0 1 2 P

25

815

115

E(ζ)＝3

．

例3答案：（1）2

3

；

（2）ξ

2 3 4 5 P

130

215

310

815

E (ξ)＝3．

（3）2930

．

（四）空间向量与立体几何

1．建立合适坐标系（右手系）2．求平面的法向量是重要的基本功

例1答案：（13，1）．例2答案：（1）515；（2）1

2

．

例3解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)．

设P (x ，y,2)，则1D P u u u u r ＝(x ，y,0)，EP u u u r

＝(x －2，y －1,2)， EC uuu r ＝(－2,1,0)．

因为D 1P ⊥平面PCE ，所以D 1P ⊥EP .

D 1P ⊥EC .所以1D P u u u u r ·EP u u u r

＝0，1D P u u u u r ·EC uuu r ＝0，

故?

??

??

x (x －2)＋y (y －1)＝0，－2x ＋y ＝0.解得?

??

??

x ＝0，

y ＝0(舍去)或?????

x ＝4

5

，y ＝8

5.

即P ? ????45，85，2，所以1D P u u u u r ＝? ??

??45，85，0，所以D 1P ＝1625＋6425＝455. (2)由(1)知，DE u u u r

＝(2,1,0)，1D P u u u u r ＝? ??

??45，85，0，1D P u u u u r ⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所

成角为θ，1D P u u u u r 与DE u u u r

所成角为α，则sin θ＝|cos α|＝?????

?

??

1D

P u u u u r ·DE u u u r | 1D P u u u u r ||DE u u u r |＝16

55·

8025

＝45. 所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为4

5

.

（五）圆锥曲线与方程

例1本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。

例2解：(1)设A ? ?

???

x 1，x 21

4，B ?

?

???

x 2，x 22

4，

∵焦点F (0,1)，∴AF u u u r ＝? ????－x 1，1－x 214，FB u u u r ＝? ??

??x 2，x 224－1.

∵AF u u u r ＝λFB u u u r ，∴????

?

－x 1＝λx 2，1－x 214

＝λ? ????x 224－1，消λ，得x 1? ????x 224－1＋x 2? ??

??1－x 2

14＝0.

化简整理得(x 1－x 2)? ??

??x 1x 24＋1＝0. ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＝－4. ∴y 1y 2

＝x 2

14·x 2

24＝1.

∴OA u u u r ·OB uuu r

＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.

(2)证明：抛物线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝1

2

x .∴过抛物线A ，B 两点的切线方程分别为

y ＝12x 1(x －x 1)＋x 214和y ＝12x 2(x －x 2)＋x 224，即y ＝12x 1x －x 214和y ＝12x 2x －x 224

. 联立解出两切线交点M 的坐标为? ??

?

?x 1＋x 22，－1.

∴FM u u u u r ·AB u u u r ＝? ????x 1＋x 22，－2·? ??

??x 2－x 1，x 22－x 214＝x 22－x 212－x 22－x 212＝0(定值). （六）数学归纳法

例1[证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 2

2AB ·AC

是有理数．

(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，

从而有sin A ·sin A ＝1－cos 2

A 也是有理数．

②假设当n ＝k (k ≥1)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数． 当n ＝k ＋1时，由

cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ，

sin A ·sin(k ＋1)A ＝sin A ·(sin A ·cos kA ＋cos A ·sin kA ) ＝(sin A ·sin A )·cos kA ＋(sin A ·sin kA )·cos A ，

由①及归纳假设，知cos(k ＋1)A 与sin A ·sin(k ＋1)A 都是有理数． 即当n ＝k ＋1时，结论成立．

综合①②可知，对任意正整数n ，cos nA 是有理数．

证明：(1)由二项式定理，得a n＝C0n＋C1n2＋C2n(2)2＋C3n(2)3＋…＋C n n(2)n，

所以a＝C0n＋C2n(2)2＋C4n(2)4＋…＝1＋2C2n＋22C4n＋…，

因为2C2n＋22C4n＋…为偶数，所以a是奇数．

(2)由(1)设a n＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，则(1－2)n＝a－b2，

所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n.

当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k＋k－1，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k－1＋k，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.

五、热身冲刺

3．[解] (1)若两条棱相交，则交点必为

正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

所以共有8C 2

3对相交棱． 因此P (ξ＝0)＝8C 2

3C 212＝8×366＝411.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2， 其中距离为2的共有6对，

故P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝6

11

.

所以随机变量ξξ 0 1 2

P (ξ) 411 611 1

11

则其数学期望E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋2

11

.

4．解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，

由FM MT =u u u u r u u u r ，得点M 是线段FT 的中点，则(0,)2t M ，(,)2

t

PM x y =--u u u u r ，

又(2,),(1,)FT OT OF t PT x t y =-=-=---u u u r u u u r u u u r u u u r

， 由PM FT ⊥u u u u r u u u r ，得2()02

t

x t y +-=，―――――――――――①

由//PT OF u u u r u u u r

，得(1)0()10,x t y --?+-?= ∴t=y ――――②

由①②消去t ，得2

4y x =即为所求点P 的轨迹C 的方程

（Ⅱ）证明：设直线,,TA TF TB 的斜率依次为12,,k k k ，并记11(,)A x y ，22(,)B x y ，

则2

t

k =- 设直线AB 方程为1x my =+

241y x x my ?=?=+?，得2

440y my --=，∴12124,4y y m y y +=??

?=-? ∴2222

121212()2168y y y y y y m +=+-=+，∴

2

2

211222

1222

121212122222

1212()(1)()(1)

44(1)(1)44

4()4()16()3224()16

y y y t y t y y

y y y y t y y y y t t k y y y y -++-+=+++-+++-==-=+++ ∴12,,k k k 成等差数列

6．解：（1）当n=4时，符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，， ∴ (4)f =4。 ( 2 ）任取偶数n x P ∈，将x 除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m 。于是=2k x m g ，其中m 为奇数*k N ∈。

由条件知．若m A ∈则x A k ∈?为偶数；若m A ?，则x A k ∈?为奇数。 于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确定。

设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数。 当n 为偶数〔 或奇数）时，n P 中奇数的个数是

2n （12

n +）。

∴()()2

1

22()=2n n n f n n +?

????

为偶数为奇数

。

【考点】集合的概念和运算，计数原理。 【解析】（1）找出=4n 时，符合条件的集合个数即可。 （2）由题设，根据计数原理进行求解。