对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)
对勾函数的性质及应用
一、概念：
【题型1】函数()(0,0)a
f x x a k =+
>≠
【例1】函数1
()f x x =+
的值域为
【例2】函数3
()
x f x x +=
+的值域为
【题型2】函数()(0)ax bx c
f x ac ++=>。
【例3】函数1
()x x f x ++=的值域为
【题型3】函数2()(0,0)ax
f x a b =
≠>。
【例
4】函数2()1
x
f x x =
+的在区间[)2,+∞上的值域为 【解析】2x ≥，∴，函数15
222≥+=【例5】如2214
x
a x +=-+，(1,2)x ∈，则实数a 的取值范围是
(1,2)x ∈4y x x =+
1144x x <+，7352a <-<【题型4】函数2()(0)ax bx c
f x a ++=≠.
【例6】已知1x >-，求函数710
()1
x x f x x ++=+的最小值。
，1x >-，
710
1
x ++的最小值【例7】已知1x <，求函数299
()x x f x +-=的最大值。
，1x <，
99
1
x x +--的最大【题型5】函数2
()(0)x m
f x a +=
≠ 【例8】求函数21
()2
x f x x x -=
++在区间(1,)+∞上的最大值。
【例9】求函数2223
()
x x f x ++=在区间[0,)+∞上的最大值。
【例10】求函数()f x =的最小值。
类型九：函数
2
()0)
f x a>。
【例12】求函数
2
()
f x=
的最小值。
【解析】由题可知，函数
22
()
f x===2
t=，则
1
()()
f x
g t t
t
==+，显然在[)
2,+∞上单调递增，故
min
15
()(2)2
22
g t g
==+=，此时0
x=，故函数
2
()
f x=的最小值为
5
2
。
【例13】求函数()
f x=的值域.
对勾函数(图像及概念)
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=a b 的时候。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=a b ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0
“双勾函数”的性质及应用
“双勾函数”的性质及应用 问题引入: 求函数2y = 的最小值. 问题分析:将问题采用分离常数法处理得 ,2y = =,此时如 果利用均值不等式， 即2y = , = ， = 显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题 应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢?是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质． 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1.“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+ （k 为常数,0k >)的函数称为“双勾函数”．因为函数()k f x x x =+ (k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名． 2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像 3.类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 (1)“二次函数”的性质 ①当0a >时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的 二次函数图像 “双勾函数”图像
增大而增大;当2b x a =-时,函数y 有最小值244ac b a - . ②当0a <时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大;在对称轴的右侧，y 随着x 的 增大而减小.当2b x a =-时,函数y 有最大值244ac b a -. （2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x > 时，在x =,y 随着x 的增大而减小；在x =,y 随着x 的 增大而增大；当x = y 有最小值． ②当0x < 时，在x =y 随着x 的增大而增大; 在x =y 随着x 的增大而减小．当x =,函数y 有最大值- 综上知,函数()f x 在(,-∞ 和)+∞上单调递增, 在[ 和上单调递减． 下面对“双勾函数”的性质作一证明． 证明:定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <,则 1212121212121212 ()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+ --==--. 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢? 首先0x ≠，∴ 0x =就是一个分 界点，另外我们用“相等分 界法”，令 120x x x == ,2 010k x - = 可得到x = ()f x 的定义域分为(,-∞,[,,)+∞四个区间，再讨论它的单调性. 设120x x <<则120x x -<，120x x >,120x x k <<, ∴120x x k -<． ∴121212121212 ()() ()()0x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+ - -=>，即12()() f x f x >． ∴()f x 在上单调递减． 同理可得,()f x 在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上单
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ b x 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+b x （接下来 写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，f(x)=ax+b x ≥2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= √b a 。 当x<0时，f(x)=ax+b x ≤?2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= ?√b a 。 即对勾函数的定点坐标：A:(√b a ,2√ab)、B:(?√b a ,?2√ab) a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同 对勾函数的图像（ab异号）
双勾函数的性质及应用
双勾函数的性质及应用 Revised by Petrel at 2021
“双勾函数”的性质及应用 问题引入：求函数2 y = 的最小值． 问题分析：将问题采用分离常数法处理得， 2 y = =，此时如果利用均值不等式，即 2y == ，而 = 显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这 种问题应如何处理呢这种形式的函数又具有何特征呢是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质． 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为 函数()k f x x x =+（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇 函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名． 2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像 y 2b a =-． y 2b a =-． 二次函数图“双勾函数”图像
（2）“双勾函数”性质的探究 ①当0 x> 时，在x=y随着x 的增大而减小；在x= y随着x 的增大而增大；当x=y 有最小值 ②当0 x< 时，在x=y随着x 的增大而增大；在x= 侧，y随着x 的增大而减小．当x=y 有最大值-． 综上知，函数() f x 在(, -∞ 和) +∞ 上单调递增，在[ 和上单调递减． 下面对“双勾函数”的性质作一证明． 证明：定义法．设 12 ,x x∈R，且 12 x x <，则 1212 121212 121212 ()() ()()()(1) x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x -- -=+- -==--． 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？ 首先0 x≠，∴0 x=就是一个分界点，另外我们用 “相等分界法”，令 120 x x x == ， 2 10 k x - =可得到x = () f x的定义域分为(, -∞，[，，) +∞四个区间，再讨论它的单调性． 设 12 0x x <<≤ 12 x x -<， 12 x x>， 12 0x x k <<， ∴ 12 x x k -<． ∴1212 1212 1212 ()() ()()0 x x x x k k k f x f x x x x x x x -- -= +--=>，即 12 ()( ) f x f x >．∴() f x在上单调递减． 同理可得，() f x在) +∞上单调递增；在(, -∞上单调递增；在[上单调递减．
对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥2√ab （当 且仅当b x a = 取等号），即 )(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大 值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(
最新对勾函数详细分析(修订版)
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x= 时，取最小值 由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取 最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）, 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）. ②作图如下： 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）. 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习1.函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3. 求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a.若，图像如下： 1．定义域： 2. 值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值 5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是
对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， X
“双勾函数”的性质及应用教学知识
“双勾函数”的性质及应用 问题引入：求函数2y = 的最小值． 问题分析：将问题采用分离常数法处理得 ， 2y = =，此时如果利用均值不等式， 即 2y =，等式成立的条件 为= ， 而 = 显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2， 遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质． 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()k f x x x =+（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名． 2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像
3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质 ①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当2b x a =- 时，函数y 有最小值2 44ac b a - ． ②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小．当2b x a =- 时，函数y 有最大值2 44ac b a -． （2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x >时，在x =y 随着x 的增大而减小；在x =
右侧，y 随着x 的增大而增大；当x =y 有最小值． ②当0x <时， 在x =y 随着x 的增大而增大； 在x =的右侧，y 随着x 的增大而减小． 当x =函数y 有最大值- 综上知，函数()f x 在(,-∞ 和)+∞上单调递增， 在[ 和 上单调递减． 下面对“双勾函数”的性质作一证明． 证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则 1212121212121212 ()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+ --==--g ． 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？ 首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==，2 010k x - = 可得到x = ()f x 的定义域分为(,-∞ ，[ ， ，) +∞四个区间，再讨论它的单调性． 设120x x <<≤120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212 ()()()()0x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+ --=>g ，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减． 同理可得，()f x 在)+∞ 上单调递增；在(,-∞上单调递增； 在[上单调递减． 故函数()f x 在(,-∞ 和)+∞ 上单调递增，在[ 和上单调递减．
最新对勾函数讲解与例题解析
对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时， 。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的解法 1. 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+ =x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。∴当1=x 的时候，2min =y 2. ?法 0112=+-?+=yx x x x y y X O y=ax
专题对勾函数
基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<
此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称，故函数图像为 性质： 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0(
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 当x<0时， 。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数324 222++++=x x x x y 的最小值。 解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= y X O y=ax
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及应用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2[]2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状， 且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号），即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+)0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0(
对勾函数的性质
对勾函数的图象及其性质 对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f x x a（a x 函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对勾函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 1 问题1：已知函数f x x ， x （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的单调性和奇偶性； （3）求该函数的值域； （4）画出该函数的图像。 1a 问题2：由函数f x x 的图像性质类比出函数f x x （a 0）的性质。0）的 xx
1、定义域： xx 0 2、值域： , 2 a 2 a, ， 在正数部分仅当 x= a 取最小值 2 a ，在负数部 分仅当 x= a 取最大值 -2 a 3、奇偶性：奇函数，关于原点对称 4、单调区间： ? , a 单调递增 ??[ a ,0)]? 单调递减 ??(0, a ]? 单调递减 ??[ a ，+∞)? 单调递增 x x 2b 在 0,4 上单调递减，在 4, x a 问题 4： 当 f x x 中的条件变为 a 0时，单调性怎样？ x 3 例 1 、求函数 f x x 在下列条件下的值域。 x 3 3、 求函数 f(x) 在[2,5] 上的最大值和最小值。 x1 2x 5 4、 函数 f (x) 的值域是 ,0 4, ，求此函数的定义域。 x3 问题 3： 如果函数 上单调递增，求实数 b 的值。 1) ,0 0, 2) 0,2 ； 3) 3, 2 ； 4) 1,2 例 2 、函数 f x x a (a 0) 在区间 x m,n (m 0) 取得最大值 6，取得最小值 2，那么此函数在区间 n, m 上是否存在最值？请说明理由。 例 3 、求下列函数的值域。 1) f (x) 2) f (x) x 2 3x 2 3) f(x) x 5 x1 练习： 1、 已知函数 f (x) x ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图 像； x1 2、 求函数 f (x) x 2 3 的值域； x3
对勾函数
对勾函数 对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示： https://www.wendangku.net/doc/f08228358.html,/maths352/3814527.html 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0 对勾函数的性质及应用 一 . 对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（ - ∞， 0）∪（0，+∞） 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 2√ab （当且仅当取等号），即在x=时，取最小值4. 图像在一、三象限 , 当时， 由奇函数性质知：当x<0 时，在 x=时，取最大值 5. 单调性：增区间为（），（）, 减区间是（ 0，），（ ,0 ） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时，在 x= 时，取最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（ 0，），（ ,0 ）减区间是（），（） , 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（ - ，0），（ 0， +） . ②作图如下： 1. 定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（ - ，0），（ 0， +） . 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习 1. 函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习 1. 作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3.求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a. 若，图像如下： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最大值，当x<0 时，在x=时，取最小值 5.单调性：减区间为（），（）；增区间是 练习 1. 函数的在区间上的值域为 b.若，作出函数图像： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4.图像在一、三象限. 当时，在时，取最小值， 当 x<0 时，在 x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）；减区间是 练习 1. 如，则的取值范围是 类型六：函数 . 可变形为， “双勾函数”的性质及应用 问题引入 ：求函数2y = 的最小值． 问题分析 ：将问题采用分离常数法处理得，2y = =，此时 如果利用均值不等式， 即2y = ，等式成立的条件 为 = = 显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值 不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质． 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名． 2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像 y 随着y 随着x y y 随着y 随着x y ①当0x >时，在x =y 随着x 的增大而减小；在x =y 随着x 的增大而增大；当x = y 有最小值． ②当0x <时，在x =y 随着x 的增大而增大；在x =y 随 二次函数图像 着x 的增大而减小．当x =y 有最大值- 综上知，函数()f x 在(,-∞ 和)+∞ 上单调递增，在[ 和上单调递减． 下面对“双勾函数”的性质作一证明． 证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则 1212121212121212 ()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+ --==--． 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？ 首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==， 2 010k x - = 可得到x = 因此又找到两个分界点 ．这样就把()f x 的定义域 分为(,-∞ ，[ ， ，)+∞四个区间，再讨论它的单调性． 设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212 ()()()()0x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+ --=>，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减． 同理可得，()f x 在)+∞ 上单调递增；在(,-∞ 上单调递增；在[上单调递减． 故函数()f x 在(,-∞ 和)+∞ 上单调递增，在[0) 和上单调递减． 性质启发：由函数()(0)k f x x k x =+ >的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()y f x =的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能． 4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比 （1）“二次函数”的区间最值 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，错误！未找到引用源。。 当x<0时，错误！未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数324 222++++=x x x x y 的最小值。 解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= 根据对号函数t t y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值2 23。此时x=-1. 2、求函数),(sin 2sin Z k k x x x y ∈≠+=π的单调区间，并求当),0(π∈x 时函数的最小值。 X 第十二讲 对勾函数的图像与性质探究 厦门二中 唐文龙 一、实验内容 探究对勾函数b y ax x =+（00a b ≠≠且，下同）的图像与性质，由三部分组成： 1）当a,b 同号时，探究b y ax x =+的图像与性质 2）当a,b 异号时，探究b y ax x =+的图像与性质 3）探究对勾函数b y ax x =+，与y=ax 和y=x b 的图像的关系 二、设计理念 通过用超级画板绘制b y ax x =+ 的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾函数在a,b 符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力 三、实验过程 1..探究问题 当a,b 同号时研究对勾函数b y ax x =+的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等） 探究过程 1） 当a>0,b>0时，请利用超级画板做出函数b y ax x =+ 的图像，借助函数的图像，研究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等 2） 打开文件“对勾函数.zjz ”，拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从0慢慢增长到10， 仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。 3） 观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值， 4） 当a<0,b<0时, 拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从-10慢慢增长到0类似上述问 题研究此函数的图像与性质 探究结果 当a,b 同号时，从对勾函数b y ax x =+ 的图像上看可得到b y ax x =+有如下性质： 1. .定义域：{}|,0x x R x ∈≠；值域{|y y y ≥≤- \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对 称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当x =， 即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ） ，（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(< ①0,0<>b a 作图如下 性质： ②0,0>++= ac x c bx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++ =)(，则)(x f 可由对勾函数x c ax y +=上下平移得到 例1作函数x x x x f 1 )(2++=的草图 解：11 )(1)(2++=?++= x x x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移，上下平移得到对勾函数详细分析.doc
“双勾函数”的性质及应用
对勾函数绝对经典
对勾函数的图像与性质探究
专题：基本不等式与对勾函数