概率论与数理统计：边缘分布

边缘分布

一、边缘分布函数

1定义：二维随机向量(,)X Y 作为一个整体, 有分布函数(,)F x y ，其分量X 与Y 都是随机变量，有各自的分布函数，分别(),()X Y F x F y 记为分别称为X 的边缘分布函数和Y 的边缘分布函数；称(,)X Y 为的联合分布函数。 2求法：

同理(){}{,}lim (,)(,)Y x F y P Y y P X Y y F x y F y →+∞

=≤=≤+∞≤==∞

注：X 与Y 的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X 或Y 的分布函数。称其为边缘分布函数的，是相对于(,)X Y 的联合分布而言的。

同样地，(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 是相对于(,)X Y 的分量X 与Y 的分布而言的。

例1: ()X Y 设二维随机变量，的联合分布函数为

解：⑴．由分布函数的性质，得 ()122F A B C ππ?

???=+∞+∞=++ ????

???，

二、离散型随机变量的边缘概率分布

1边缘分布函数

对于二维离散型随机变量(,)X Y ,已知其联合概率分布为

{}()12i j ij

P X x Y y P i j ====，，，，,其分布函数为(,)i j ij x x y y

F x y p ≤≤=∑∑

则它关于X 的边缘分布函数为()1

(,)i X ij x x j F x F x p ∞

≤==+∞=∑∑

它关于Y 的边缘分布函数为()1(,)j Y ij i y y

F y F y p ∞

=≤=+∞=∑∑

2边缘概率分布 随机变量X 的概率分布

3已知联合概率分布求边缘概率分布

X Y 以及的边缘概率分布可由下表表示

三、连续型随机变量的边缘概率密度

上式表明: X 是连续型随机变量, 且其密度函数为:,),()(?+∞

∞-=dy y x f x f X

同理，由(){}()Y F y P Y y F y =≤=+∞，()y

f x y dx dy +∞-∞

-∞??=

????

?

?， Y 是连续型随机变量, 且其密度函数为?+∞∞

-=dx y x f y f Y ),()(

()(,)Y f x X Y Y 称为关于的边缘概率密度

例2:设),(Y X 服从有界区域G 上的均匀分布, 其中G 是由x 轴,y 轴及直线

12

x

y +=所围成的三角形区域,求),(Y X 关于X 和Y 的边缘概率密度. 解: 区域G 的面积为1,所以),(Y X 的概率密度为1,

(,),(,)0,x y G f x y ∈?=?

?其他

则

)

,(Y X 关于X 的边缘概率密

度

为

120d 102,()(,)d 2

0,.x X x

y x f x f x y y -+∞

-∞

?=-

≤≤?==???

??

其他 )

,(Y X 关

于Y 的边缘概率密度为

2(1)0

d 2(1),01()(,)d 0,

.y Y x y y f y f x y x -+∞

-∞

?=-≤≤?==?

????

其他 例3;(,)X Y 设二维随机变量在区域 2{(,)|01,}G x y x x y x =≤≤≤≤ 解：(,)X Y 的概率密度 则226d 6(),01,

()(,)d 0,

.x

x X y x x x f x f x y y +∞

-∞

?=-≤≤?==?

????

其他 (,),X Y G 虽然的联合分布是在上服从均匀分布但是它们的边缘分布却不是均匀分布。

四、二维正态分布

若二维随机变量),(Y X 具有概率密度

其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且1||,0,021<>>ρσσ,则称),(Y X 服从参数为

ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布. 1

2

1

2

(,)

N(,,,,) X Y μμσσ

ρ~记成

例4：设 1212 (,) N(,,,,) X Y μμσσρ~求X 和Y 的边缘概率密度 解：

由2

12

1

()2 ()(,) ().x X X f x f x y dy f x μσ--

∞

-∞

==

?

，得

注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数ρ，亦即对给定的2121,,,σσμμ，不同的ρ对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于X 和关于Y 的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量),(Y X 的联合分布的.

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1几种常见的具有可加性的分布 (1) 二项分布 (2) 泊松分布（Possion分布） (3) 正态分布 (4) 伽玛分布 (6) 柯西分布 (7) 卡方分布 (7) 2具有可加性的概率分布间的关系 (8) 二项分布的泊松近似 (8) 二项分布的正态近似 (9) 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词概率分布可加性相互独立特征函数 SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdd itive 'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion. KeyWords probabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction 引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是 n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示为 ②连续场合的卷积公式设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是 )(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζ?+=的密度函数如下 其证明如下： ξζ?+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z y x )()()()(ξζ?ξζ??≤+= ≤+= 其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζ?+=的密度函数：

概率论和数理统计知识点总结(超详细版)

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论中几种常用重要分布

概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值

概率论与数量统计-公式

第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ： A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也 可表示为A-AB 或者 ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发 生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习资料 一、复习提纲 注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数 )、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、

条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握 2分布(及性质)、t分布、F 分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。

边缘分布

11.边缘分布 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第三章第§2边缘分布 【教材分析】：前一节我们已经研究了二维随机变量的一些有关概念、性质和计算，二维联合分布函数（二维联合分布律，二维联合密度函数也一样）含有丰富的信息，如每个分量的分布，即边缘分布等。本节的目的是将这些信息从联合分布中挖掘出来，主要从离散型随机变量出发讨论边缘分布。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了一维随机变量的分布函数、分布律、概率密度函数的概念、性质和相应的计算。已经有了一定的理论基础和计算技能。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础知识，但解决问题的能力不高，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能 理解并掌握边缘分布的概念，能熟练求解随机变量的边缘分布函数和边缘分布律。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用类比的方法，讲、将一维随机变量的相关知识引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到边缘分布的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。 3、情感态度与价值观 培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新发现的思维品质． 【教学重点、难点】： 重点：理解二维随机变量(,)X Y 关于X Y 和的边缘分布函数和边缘分布律的概念。并会求随机变量的边缘分布律。 难点：求离散型型随机变量的边缘分布律。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：

一、 问题引入（复习） 第二章中我们已经学习了随机变量的分布（分布函数、分布律和概率密度）。 定义1 设X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 )()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 称为X 的分布函数。有时记作)(~x F X 或)(x F X 。 定义2 一般，设离散型随机变量X 的分布律为 (),1,2,.....k k P X x p k === 定义3 如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x 有 .)(}{)(? ∞ -= ≤=x dt t f x X P x F 则称X 为连续型随机变量， 称)(x f 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。 【设计意图】：通过复习一维随机变量的分布，加深学生对一维随机变量和它的分布的理解，将二维随机变量的分布转化成一维的情形研究，进而得到边缘分布。 二、边缘分布函数 (,)(,),(,){,}. ,{}{,}(,)(,). F x y X Y F x y P X x Y y y P X x P X x Y F x X Y X =≤≤→∞≤=≤<∞=∞定义 设为随机变量的分布函数则令称为随机变量关于的边缘分布函数 ()(,).X F x F x =∞记为 ,x →∞同理令 ()(,){,}{}Y F y F y P X Y y P Y y =∞=<∞≤=≤为随机变量 ( X ，Y )关于Y 的边缘分布函 数。 在三维随机变量(,,)X Y Z 的联合分布函数(,,)F x y z 中，用类似的方法可得到更多的边缘分布函数。 例1 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为 1,0,0, (,)0,x y x y xy e e e x y F x y λ-----?--+>>=?? 其他 这个分布被称为二维指数分布，求其边缘分布。 解 ：由联合分布函数(,)F x y 容易X Y 与的边缘分布函数 1,0,()(,)0,x X e x F x F x -?->=∞=? ?其他，1,0, ()(,)0,y Y e y F x F y -?->=∞=??其他 注 X 与Y 的边缘分布都是一维指数分布，且与参数0λ>无关。不同的0λ>对应不

概率论与数理统计中的三种重要分布

概率论与数理统计中的三种重要分布 摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。 关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质 一、二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生 这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 （一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = () q p A P =-=1。 2．泊努利分布 定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数， 则??? ? ??ξp q 10 ~，称ξ服从参数为)10(<

概率论与数理统计知识点总结(详细)

概率论与数理统计知识点总结 （详细） 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 § 2 ?样本空间、随机事件 1?事件间的关系A B 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 B ={xx€ A或X E B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当 A , B中 至少有一个发生时，事件A B发生 A C B ={xx€ A且x€B}称为事件A与事件B的积事件，指当 A , B同时发生 时，事件A「B发生 A — B = { x x € A且x更B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A — B发生 A ' B二■■，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 B = S且A ' B --：，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B

互为对立事件 2?运算规则交换律A B二B A A f B二B ' A 结合律（A_. B）_. C = A_. （B_. C）（A^ B）C = A（B C） 分配律A _（ B「C）二（A 一 B）一（A 一 C） A「（B _? C）二（A 一B）（A「C） 徳摩根律A B 二 A - B A ' B 二 A B § 3 .频率与概率 定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值n A「n称为事件A发生的频率

概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件A 赋予一个实数，记为 P (A ),称为事件 的概率 1 ?概率P(A)满足下列条件： (1)非负性：对于每一个事件 A 0乞P(A)乞1 (2 )规范性：对于必然事件 S P(S) =1 n n (3)可列可加性：设A I ,A 2,…，A n 是两两互不相容的事件， 有P(U A k )=送P(A k ) ( n 可以取co ) k 二 k4 2.概率的一些重要性质: (i ) P( ) =0 (ii )若A I ,A 2,…，代 是两两互不相容的事件，则有 (iii) 设 A ，B 是两个事件若 A B ，贝U P(B - A)二 P(B) - P(A)，P(B)_P(A) (iv) 对于任意事件 A ，P(A) _1 (v) P(A) =1 -P(A) (逆事件的概率) (vi )对于任意事件 A ，B 有 P(A B) =P(A) P(B) - P(AB) § 4等可能概型(古典概型) 等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =31]｝卩｛岂｝ U …Ug 』，里 i i , i 2,…，i k 是1,2,…n 中某k 个不同的数，则有 p (A J P ｛e ｝二兰二A 包含的基本事件数 '丿二'卫 n S 中基本事件的总数 n n P( A k )八 P(A k ) ( n 可以取二)

最新概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 § 2 ?样本空间、随机事件 1?事件间的关系A B 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 A」B ={x x^A或X E B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A , B中至少有一个发生时，事件A B发生 A c B ={x X W A且X E B}称为事件A与事件B的积事件，指当A , B 同时发生时，事件AB发生 A — B ={x x乏A且x世B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A —B发生 A' B =:，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 A B = S且A?B二?，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件 A与事件B互为对立事件 2?运算规则交换律A B = B A A - B = B * A 结合律(A B) 一C = A 一(B 一C) (A - B)C = A(B - C) 分配律A _( B ' C)二(A 一B厂(A 一C) A 一( B C) =(A 一B)(A 一C) 徳摩根律A = A - B A - B = A B § 3 .频率与概率 定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值n A：n称为事件A发生的频率 概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P( A), 称为事件的概率 1 ?概率P(A)满足下列条件： (1)非负性：对于每一个事件 A 0乞P(A)乞1

(2)规范性：对于必然事件S P(S) =1

概率论与数理统计

概率论与数理统计 概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。 ◆第一章概率论的基本概念 ? 1.1 随机试验 ? 1.2 样本空间 ? 1.3 概率和频率 ? 1.4 等可能概型（古典概型） ? 1.5 条件概率 ? 1.6 独立性 ◆第二章随机变量及其分布 ? 2.1 随机变量 ? 2.2 离散型随机变量及其分布 ? 2.3 随机变量的分布函数 ? 2.4 连续型随机变量及其概率密度 ? 2.5 随机变量的函数的分布 ◆第三章多维随机变量及其分布 ? 3.1 二维随机变量 ? 3.2 边缘分布 ? 3.3 条件分布 ? 3.4 相互独立的随机变量 ? 3.5 两个随机变量的函数的分布 ◆第四章随机变量的数字特征 ?4.1 数学期望 ?4.2 方差 ?4.3 协方差及相关系数 ?4.4 矩、协方差矩阵 ◆第五章大数定律和中心极限定理 ?5.1 大数定律

? 5.2 中心极限定理 ◆第六章数理统计的基本概念 ? 6.1 总体和样本 ? 6.2 常用的分布 ◆第七章参数估计 ? 7.1 参数的点估计 ? 7.2 估计量的评选标准 ? 7.3 区间估计 ◆第八章假设检验 ? 8.1 假设检验 ? 8.2 正态总体均值的假设检验 ? 8.3 正态总体方差的假设检验 ? 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 ? 8.5 样本容量的选取 ? 8.6 分布拟合检验 ? 8.7 秩和检验 概率论 第一章概率论的基本概念 关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性 概率统计中研究的对象：随机现象的数量规 律

确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： ?可以在相同条件下重复进行 ?事先知道可能出现的结果 ?进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 §2 样本空间?¤随机事件 (一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}， 称S中的元素e为基本事件或样本点． (二) 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A 所包含的一个样本点发生称事件A发生。 (三)事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等） 例： ?记A={明天天晴}，B={明天无雨}

概率论与数理统计随机变量及其分布问题

随机变量及其分布问题 1、假设随机变量X 的绝对值不大于1，1(1),8P X =-= 1 (1).4 P X ==在事件(11)X -<<出现的条件下，X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X 的分布函数()()F x P X x =≤ 解：当1x <-时，()0F x =。 当1x =-时，()()(1)(1)F x P X x P X P x x =≤=≤-+-<≤ 1 (1)8 P X x = +-<≤ 而 5(11)1(1)(1)8 P X P X P X -<<=-=--==， 因此 (1)(1,11)P X x P X x X -<≤=-<≤-<< (11)(111)P X P X x X =-<<-<<-<< 5155 8216 x x ++=?= ， 于是，得 5155 ()8216 x x F x ++=?= 当1x ≥-时，()1F x =。 故所求分布函数为 0, 1 55(), 11161, 1 x x F x x x <-??+? =-≤≤??≥?? 评述 分由函数可以完整地描述任何类型随机变量的取值规律，这里的随机变量包括离散 型、连续型和混合型在类。 2、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿号灯的路口，每个路口的信号灯为红或绿与其他路口的信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两 种信号显示的时间相等。以X 表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。 解 设i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”（i =1，2，3）。依题意，1A ，2A ，3A 相互独立。X 的可能取值是0，1，2，3。于是，得X 的概率分布为 11 (0)(),2 P X P A ===

概率论(仅供参考)

前言 由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点 内部使用，仅供参考，不承当任何后果。 参考： 课本 课件 第一章 该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解 第一节 重点：德·摩根律公式 交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C ） （A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C ） 分配律：A ∩(B ∪C) = (A ∩B)∪( A ∩C ) A ∪( B ∩C) = (A ∪B)∩(A ∪ C ） 德·摩根律 A B A B A B A B ==U I I U 第二节 频率性质 1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性） 2. 样本事件概率和为1（规范性） 3. 如果AB 互斥 ()()()n n n f A B f A f B =+U 4. 如果AB 不排斥 ()()()()n n n n f A B f A f B f A B =+-?U 5. ()1().P A P A =-

第三节 古典概型 性质 1. 样本空间中样本点有限，既事件有限 2. 样本点概率等可能发生 3. ()==k A P A n 中所含的基本事件数基本事件总数 例题 排列组合问题（要是考应该不会太难）

几何概型 求法： 1.求出状态方程 2.根据定义域画图 3.求概率=阴影面积/总面积

第四节条件概型 公式： ()()()() (|). ()()()() AB AB P AB P A B B B P B μμμΩ μμμΩ === 条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题

1 1 ()()()()n n i i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑ 例题 书 p25

概率论与数理统计-重要公式

概率论与数理统计-重要公式

、随机事件与概率

、随机变量及其分布 1、分布函数 Z P(X=X k ) F(x) =P(X 兰 x)=彳耳' ,P(a v X wb) = F(b) — F(a) X f f(t)dt L. J -°0 概率密度函数 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 「f (x)dx =1 计算概 b P(a ^ X 乞 b)二 f (x)dx b a 率:

P(X—…―亠宀一般的态 率计算公式 b—卩a—A P(a EX ^b)=：：」( )一：：」( ) cr a 分布函数 对离散型随机变量F(x)二P(X岂x)八P(X二k) k童 x 对连续型随机变量F(x)= p(xn」(t)dt ' x 分布函数与密度函数的重要关系： F (x)二f (x) F(x)二P(X空x)二f (t)dt 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：P (丫二yJ 二' P j,i =1,2,川， g (X j ) 连续型：①分布函数法， ②公式法f Y(y) = f x (h( y)) h(y) (x = h(y)单调) h(y)是g(x )的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布分布律：P(X 丫二yj = P j ,i, j =1,2^1 联合分布函数F (X,Y) 八、 X i

概率论与数理统计：边缘分布

边缘分布 一、边缘分布函数 1定义：二维随机向量(,)X Y 作为一个整体, 有分布函数(,)F x y ，其分量X 与Y 都是随机变量，有各自的分布函数，分别(),()X Y F x F y 记为分别称为X 的边缘分布函数和Y 的边缘分布函数；称(,)X Y 为的联合分布函数。 2求法： 同理(){}{,}lim (,)(,)Y x F y P Y y P X Y y F x y F y →+∞ =≤=≤+∞≤==∞ 注：X 与Y 的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X 或Y 的分布函数。称其为边缘分布函数的，是相对于(,)X Y 的联合分布而言的。 同样地，(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 是相对于(,)X Y 的分量X 与Y 的分布而言的。 例1: ()X Y 设二维随机变量，的联合分布函数为 解：⑴．由分布函数的性质，得 ()122F A B C ππ? ???=+∞+∞=++ ???? ???， 二、离散型随机变量的边缘概率分布 1边缘分布函数 对于二维离散型随机变量(,)X Y ,已知其联合概率分布为 {}()12i j ij P X x Y y P i j ====，，，，,其分布函数为(,)i j ij x x y y F x y p ≤≤=∑∑ 则它关于X 的边缘分布函数为()1 (,)i X ij x x j F x F x p ∞ ≤==+∞=∑∑ 它关于Y 的边缘分布函数为()1(,)j Y ij i y y F y F y p ∞ =≤=+∞=∑∑ 2边缘概率分布 随机变量X 的概率分布 3已知联合概率分布求边缘概率分布 X Y 以及的边缘概率分布可由下表表示

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布： （1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为 12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<<， 则称X 服从 12 ,x x 处参数为p 的两点分布。 两点分布的概率分布：12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<< 两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式 {}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =- （3）泊松分布： 若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>=，则称X 服从参 数为λ的泊松分布，记为X~P (λ) 泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>= 泊松分布的期望： ()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ= 4.连续型随机变量： 如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，有 (){}()x F x P X x f t dt -∞ =≤=? ，则称X 为连续型随机变量，称 ()f x 为X 的概率密度函数， 简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理 概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点 1离散型随机变量设X是一个随机变量如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个则称X为一个离散随机变量 2常用离散型分布 1两点分布0-1分布 若一个随机变量X只有两个可能取值且其分布为 则称X服从处参数为p的两点分布 两点分布的概率分布 两点分布的期望两点分布的方差 2二项分布 若一个随机变量X的概率分布由式 给出则称X服从参数为np的二项分布记为Xb np 或B np 两点分布的概率分布 二项分布的期望二项分布的方差 3泊松分布 若一个随机变量X的概率分布为则称X服从参数为的泊松分布记为XP

泊松分布的概率分布 泊松分布的期望泊松分布的方差 4连续型随机变量 如果对随机变量X的分布函数F x 存在非负可积函数使得对于任意实数有则称X为连续型随机变量称为X的概率密度函数简称为概率密度函数 5常用的连续型分布 1均匀分布 若连续型随机变量X的概率密度为则称X在区间ab上服从均匀分布记为XU ab 均匀分布的概率密度 均匀分布的期望均匀分布的方差 2指数分布 若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为的指数分布记为Xe 指数分布的概率密度 指数分布的期望指数分布的方差 3正态分布 若连续型随机变量X的概率密度为 则称X服从参数为和的正态分布记为XN 正态分布的概率密度 正态分布的期望正态分布的方差

4标准正态分布 标准正态分布表的使用 1 2 3故 定理1 设XN 则 6随机变量的分布函数 设X是一个随机变量称为X的分布函数 分布函数的重要性质 7求离散型的随机变量函数连续型随机变量函数的分布 1由X的概率分布导出Y的概率分布步骤 ①根据X写出Y的所有可能取值 ②对Y的每一个可能取值确定相应的概率取值 ③常用表格的形式把Y的概率分布写出 2由X的概率密度函数分布函数求Y的概率密度函数分布函数的步骤 ①由X的概率密度函数随机变量函数Y g X 的分布函数 ②由求导可得Y的概率密度函数 3对单调函数计算Y g X 的概率密度简单方法 定理1 设随机变量X具有概率密度又设y g x 处处可导且恒有或恒有则Y g X 是一个连续型随机变量其概率密度为 其中是y g x 的反函数且

概率论中几种常用的重要的分布

1 概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞+∞p p p . 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值