第24讲 图形的相似与位似

第六章相似与锐角三角函数

第一节图形的相似与位似

【回顾与思考】

【例题经典】

辨别图形相似与位似

例1．下列说法中不正确的是（）

A．位似图形一定是相似图形; B．相似图形不一定是位似图形;

C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;

D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行

点评:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C?正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误．

会用定义判定相似多边形

例2．在AB=20m，AD=30m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．

（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B?′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．

（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．

点评：因为矩形每个角都为90°，所以判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等．灵活应用相似与位似的性质．

例3．（2006年河北省）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，

?沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮．

（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（?用点C 标出）；

（2）已知：MN=20m ，MD=8m ，PN=24m ．求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM ．

点评：位似形的图形必相似但相似的图形不一定位似，位似对应点与位似中心共线．

【考点精练】 一、基础训练

1．如图1所示，E 、F 分别是平行四边形的边BC 、AD 的中点，且平行四边形ABFE ∽平行四边形ADCB ，则

AB

BC

=_______．

(1) (2) (3)

2．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm 和14cm ，?那么最短边分别为5cm?和_______cm ．

3．在长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形（图2中的阴影部分），?若留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_________． 4．下列说法正确的是（ ）

A ．矩形都是相似的

B ．有一个角相等的菱形都是相似的

C ．梯形的中位线把梯形分成两个相似图形

D ．任意两个等腰梯形相似

5．如图3所示，内外两个矩形相似，且对应边平行，则下列结论中正确的是（ ） A ．

x y =1 B ．x y =a b C ．x y =b

a

D ．以上答案都不对 6．（2006年扬州市）如图4所示，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．8

7．如图5所示，小明将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，?你能推算出整张报纸的长与宽的比是下面哪一个答案吗（ ）

A ：1

B ．4：1

C ．1：4

D ．1

(4) (5) (6) 8．下列说法正确的是（ ）

A ．分别在△ABC 的边A

B 、A

C 的反向延长线上取点

D 、

E ，使DE ∥BC ，? 则△ADE?是△ABC 放大后的图形;

B ．两位似图形的面积之比等于位似比;

C ．位似多边形中对应对角线之比等于位似比;

D ．位似图形的周长之比等于位似比的平方 9．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（ ）

A ．每对对应点所在的直线相交于同一点;

B ．两个图形上的对应线段之比等于位似比

C ．两个图形上对应线段必平行

D ．两个图形的面积比等于位似比的平方 10．下列说法正确的是（ ）

A ．所有的矩形都是相似形

B ．所有的正方形都是相似形

C ．对应角相等的两个多边形相似

D ．对应边成比例的两个多边形相似 11．如图6所示，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A ．甲和乙 B ．甲和丙 C ．乙和丙 D ．甲、乙和丙

二、能力提升:

12．按如下方法将△ABC 的三边缩小来原来的

12

：如图所示，任取一点O ，?连AO ，?BO ，CO ，并取它们的中点D ，E ，F ，得△DEF ，则下列说法中正确的个数是（ ）

①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF

是相似图形；③△ABC 与△DEF 是周长的比为2：1; ④△ABC 与△DEF 面积比为4：1

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 13．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼和小鱼是位似图形（如图所示），则小鱼上的点（a ，b

）对应大鱼上的点．（ ） A ．（-2a ，-2b ） B ．（-a ，-2b ） C ．（-2b ，-2a ） D ．（-2a ，-b ）

14．如图所示，点E为矩形ABCD的边AB的黄金分割点（AE>EB），且AEFD为正方形．问：矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？

15．（2006年淮安市）如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）．

（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（?即新图与原图的位似比为2），画出图形；

（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；

（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．

三、应用与探究:

16．印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32分米2，?上下空白各1分米，两边空白各0.5分米．设印刷部分从上到下的长是x分米，?四周空白处的面积为5分米．

（1）求S与x的关系式．

（2）当要求四周空白处的面积为18分米2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？

（3）在（2）的条件下，内外两个图形是位似图形吗？

答案:

例题经典例1：D

例2：①当x≠0时，30302''''

,

20202

x A B A D

x AB AD

+

≠∴≠

+

，

故矩形A′B′C′D′和矩形ABCD?不相似

②当

''''

A B A D

AB AD

=时，是矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，

所以30302

20202

y

x

+

=

+

，解得

x

y

=

2

3

例3：①略 ? ?②CM=16m

考点精练

1．1 2．2 3．27cm2 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D 13．A 14．相似 15．略 16．略

相似图形第二讲--相似图形的有关概念

相似图形第二讲－－相似图形的有关概念 一、知识要点 1.形状相同的图形：如同一底片冲洗出的大小不同两张照片等. 2.相似多边形：各对应角相等，各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.认识“∽” （相似符号）. 4.相似三角形：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.△ABC 与△DEF相似，记作：△ABC∽△DEF.（注意：对应顶点写在对应的位置.） 二、知识要点及典型例题精讲 例1.如图，将一张长、宽之比为2的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN． (1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？ (2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？ (3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？ 例2. 如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上， 这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.

例3. 如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB= 40°，求 （1）∠AED和∠ADE的度数；（2）DE的长. 【随堂练习三】 一、判断题 1．两个矩形一定相似．( ) 2．两个正方形一定相似．( ) 3．任意两个菱形都相似．( ) 4．有一个角相等的两个菱形相似．( ) 5．边数不同的多边形一定不相似．( ) 二、选择题 6．下面图形是相似形的为 ( ) A．所有矩形 B．所有正方形C．所有菱形D．所有平行四边形 7．下列说法正确的是( ) A．所有的三角形都相似B．所有的正方形都相似 C．所有的菱形都相似D．所有的矩形都相似 8．下列四组图形中必相似的是( ) A．有一组邻边相等的两个平行四边形B．有一个角相等的两个等腰梯形 C．对角线互相垂直的两个矩形D．对角线互相垂直且相等的两个四边形．

华师大九年级上册数学第24章图形的相似单元测试卷及答案

第24章 图形的相似单元测试 班级 姓名 座号 成绩： 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1． 下列说法正确的是 A 对应边都成比例的多边形相似 B 对应角都相等的多边形相似 C 边数相同的正多边形相似 D 矩形都相似 2．下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A ．a=3, b=6, c=2, d=4 B ．a=1, b=2, c=6, d=3 C ．a=4, b=6, c=5 d=10 D ．a=2, b=3, c=2, d=6 3．如果 23=b a ，那么 b a a +等于 （ ） A 3：2 B 2：3 C 3：5 D 5：3 4.在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个三角形的周长是 ( ) A 4.5 B 6 C 9 D 以上答案都有可能 5．如图所示，在长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 （ ） A 28cm 2 B 27cm 2 C 21cm 2 D 20cm 2 6．若△ABC ∽△DEF ， AB=2，AC=4，DE= 2 3 ，则DF 等于（ ） A ．3 B ．4．5 C ．6 D ．8 7．顺次连接等腰梯形各边中点，得到的四边形为（ ） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形 8．等边三角形的一条中线与一条中位线长的比值是（ ） A ．3：1 B ．3：2 C ．2 1 ：23 D ．1：3 9．已知直角三角形三边分别为a ，a+b ，a+2b （a>0,b>0），则a ：b 的值为（ ） A ．1：3 B ．1：4 C ．2：1 D ．3：1 10．如果把三角形各顶点的纵、横坐标都乘以-1，得到△A 1B 1C 1，则这两个三角形在坐标中的位置 关系是( ) A 关于x 轴对称， B 关于y 轴对称 C 关于原点对称 D 无对称关系 二、选择题（本题共9小题，每小题3分，满分27分） 11．在比例尺为1：10000的地图上，量得两点之间的直线距离是2cm ，则这两地的实际距离 为 米。 12．如果两个相似三角形的相似比是3：5，周长的差为4cm ， 那么较大三角形的周长为 cm 。 13．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶 小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100cm ，木棒上沾油 部分的长为60cm ，桶高为80cm ，那么桶内油面的高度是 cm 。 14．梯形的中位线长为15cm ，一条对角线把中位线分成3：2两部分，?那么梯形的上底、下底的长分别是________和_______． 15．如果a ：b=3：2，且b 是a ，c 是比例中项，则b ：c=_____________。 16．如果 5 72z y x ==，0≠xyz ，则 =-++y x z y x 3__________________。 17． 已知：7 13y y x =-，则 =+y y x ___________ 18、已知，在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，若BC=5，CD=3，则AD 的长为（ ） 19．如图所示，已知第一个三角形周长为1，依次取三角形三边中点画三角形，在第n 个图形中，最小三角形的周长是 。 （ n=1） (n=2) (n=3)

九年级数学上册第23章图形的相似知识归纳华东师大版.doc

第23章 图形的相似 1． 比例线段的有关概念 ==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项， a c (a b c d )a d b c a c b d b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b = c ，那么b 叫做a 、 d 的比例中项． 2． 比例性质 ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()()?=?? ?=?=?? ?=???=?交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b c d d c a c b a d b b d c a b d a c ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3． 黄金分割 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC = ，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥l 2∥l 3．则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定 ①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例； ②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

第四章 图形的相似 本章测试

本章测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.（2020上海静安一模）已知点P 在线段AB 上，且AP ：PB =2：3，那么AB :PB 为（ ） A.3：2 B.3：5 C.5：2 D.5：3 2.（2020上海崇明一模）下列各组图形一定相似的是（ ） A.两个菱形 B.两个矩形 C.两个直角梯形 D.两个正方形 3（2020上海善陀一模）已知3 5 x y =，那么下列等式中，不一定正确的是( ) A. 53x y = B. =8x y + C. 8 5x y y += D. +3 +5 x x y y = 4.（2019广东深圳龙华期末）如下图所示，已知四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 上的两点，且////4AD BC EF AB BE =，，则DF 与FC 的关系是( ) A. 4DF FC = B. 3DF FC = C. 53 DF FC = D. 2DF FC =

5.（2020独家原创试题）如下图所示，在梯形ABCD中，// AB CD ADC C ∠>∠ ，，在∠ADC内作∠ADF=∠C，DF交AB于E，交CB的延长线于F，则图中与△BEF相似的三角形有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.（2019海南海口龙华期末）如下图所示，DE∥BC，CD与BE相交于点O，若 1 4 DOE BOC S S ? ? =，则 AE AC 的值为（） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 7.如下图所示，A B C D E G H M N ，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应G H M N ，，，四点中的( )

九年级数学上册专题第4讲图形的相似重点、考点知识总结及练习

第4讲图形的相似 知识点1：相似多边形及性质 相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的. 如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形. 当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形. 相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方. 【典例】 1.图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．

【解析】解：不相似． 理由：∵∠D=360°﹣135°﹣95°﹣72°=58°，∠E=360°﹣135°﹣95°﹣59°=71°，∴两个四边形中不可能有“对应角相等”， 又∵没法判定对应边成比例， ∴不相似． 2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm． （1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长； （2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积． 【解析】解：（1）设较大多边形的周长是x cm．则 ∵两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和12cm， ∴两个相似多边形的相似比是15：12=5：4， 又∵相似多边形的周长的比等于相似比， ∴x：（x﹣24）=5：4， 解得：x=120， 较小多边形的周长120﹣24=96（cm）； 答：两个多边形的周长分别为120cm，96cm； （2）设较大多边形的面积为acm2，由题意得： a：（a﹣270）=25：16， 解得：a=750， 则较小多边形的面积为750﹣270=480（cm2）．

江苏省无锡外国语2018年苏科版九年级下册第6章图形的相似综合练习卷二

江苏省无锡外国语2018年苏科版九年级下册第6章图形的相似综合练习卷二 2018 年无锡外国语图形的相似综合练习卷二 一．选择题（共9 小题） 1.已知，则代数式的值为（） A．B．C．D． 2.在△ABC 中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是（） A．138 B．C．135 D．不能确定 3.如图，已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点P，AB=4，CD=7，PD=10，则AP 的长等于（） A．B．C．D． 4.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（） A．△ABC 中，∠A=42°，∠B=118°，△A′B′C′中，∠A′=118°，∠B′=15° B．△ABC 中，AB=8，AC=4，∠A=105°，△A′B′C′中，A′B′=16，B′C′=8，∠A′=100° C．△ABC 中，AB=18，BC=20，CA=35，△A′B′C′中，A′B′=36，B′C′=40，C′A′=70 D．△ABC 和△A′B′C′中，有，∠C=∠C′ 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EC 的长为（） A．6 B．8 C．10 D．12 6.如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=1：2：3，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG 等于（）

A ．1：9：36 B ．1：4：9 C ．1：8：27 D ．1：8：36 7. 如图为△ABC 与△DEC 重迭的情形，其中 E 在 BC 上，AC 交 DE 于 F 点，且 AB ∥DE ．若 △ABC 与△DEC 的面积相等，且 EF=9，AB=12，则 DF=（ ） A ．3 B ．7 C ．12 D ．15 8. 如图，在 Rt △ABC 内有边长分别为 a ，b ，c 的三个正方形，则 a ，b ，c 满足的关系式是 （ ） A ．b=a +c B ．b=ac C ．b 2=a 2+c 2 D ．b=2a=2c 9. 如图，在? ABCD 中，E 是 BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论中正确的有（ ） ①BF=DF ②S △AFD =2S △EFB ③四边形 AECD 是等腰梯形 ④∠AEB=∠ADC ． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个

九年级数学上册第23章图形的相似23.2相似图形教案新版华东师大版

23．2 相似图形 知道相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等,识别两个多边形是否相似的方法． 重点 相似图形的定义和性质． 难点 相似图形的性质． 一、情境引入 回顾 1．若线段a＝6 cm,b＝4 cm,c＝3.6 cm,d＝2.4 cm,那么线段a,b,c,d会成比例吗？ 2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例) 二、探究新知 教师多媒体展示问题,提出问题,引导学生分析． 相似的两张地图中的对应线段都会成比例,对于一般的相似多边形,这个结论是否成立呢？同学们动手量一量,算一算,用刻度尺和量角器量一量课本第58页两个相似四边形的边长,量一量它们的内角,由一位同学把量得的结果写在黑板上,其他同学把量得的结果与同伴交流． 同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例,对应角会相等,再观察课本中两个相似的五边形,是否也具有一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？ 同学们用格点图画相似的两个三角形,观察、度量,它们是否也具有这种关系(对应边成比例,对应角相等)? 由此可以得到两个相似多边形的特征: (由同学回答,教师板书)对应边成比例,对应角相等． 实际上这两个特征,也是我们识别两个多边形是否相似的方法,即如果两个多边形的对应边成比例,对应角相等,那么这两个多边形相似． 识别两个多边形是否相似的标准有:(数相同),对应边要(成比例),对应角要(都相等)．(括号内要求同学填) 填一填: (1)两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？ (2)所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？正方形呢？ 学生小组内交流,代表发言,教师点评．教师课件展示例1,例2,学生可自主完成,小组内交流,点名展示,教师点评． 例1 矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中,AB＝1.5 cm,BC＝4.5 cm,A′B′＝0.8 cm,B′C′＝2.4 cm,这两个矩形相似吗？为什么？

图形的相似和位似练习题

静中学中考数学试题分类汇编 图形的相似与位似 1. (省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼” 上一个“顶点”的坐标为()a b ，，那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 （ ） Ａ、(2)a b --， Ｂ、(2)a b --， Ｃ、(22)a b --， Ｄ、(22)b a --， 【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系（若相似比为k, 则坐标之比同侧为k 异侧为-k) 【答案】C 2．（2010，）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】B 【关键词】相似三角形的判定 3.（市）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____． 【答案4】 1.（省）图(一)表示D 、E 、F 、G 四点在△ABC 三边上的位置，其中DG 与EF 交于H 点。若∠ABC =∠EFC =70?，∠ACB =60?，∠DGB =40?，则下列哪 一组三角形相似？ (A) △BDG ，△CEF (B) △ABC ，△CEF (C) △ABC ，△BDG (D) △FGH ，△ABC 。 【关键词】相似 【答案】B 3.(2010市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ） A.9:16 B. 3:4 C.9：4 D.3:16 【关键词】相似三角形的性质 【答案】B 4. (市) 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 【关键词】图形的相似 【答案】6 A B C D E H 图(一)

九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似学案1无答案

九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似学案1无 答案新版北师大版 第1课时 两角分别相等的两个三角形相似 【学习目标】 1.熟练掌握相似三角形的定义； 2.熟练掌握三角形相似的判定方法； 3.能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似。 【回顾与思考】 1．对应角相等，对应边也相等的两个三角形全等，你还记得三角形全等的其他判别条件吗？ 2．相似三角形的定义是什么？你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件？ 【合作学习】 合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？ 合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A =∠A ′都等于∠α， ∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比 C B BC C A AC B A AB ' ''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试. 思考：在实际画图过程中，同学们画了几个角相等？为什么？ 由此得到相似三角形的判定方法1： 【例题学习】 如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥B C ，AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。

【巩固训练】 1、如图D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠AED=∠C ，△ABC 与△ADE 相似吗？如果相似请写出证明过程 A B C E D 2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE． 【拓展运用】 在Rt ⊿ABC 中， CD 是斜边上的高，则⊿ABC ∽⊿CBD ∽⊿ACD 。 【归纳小结】 C

相似图形第四讲--图形的放大与缩小

相似图形第四讲－－图形的放大与缩小 一、知识要点 1.位似图形：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 2.位似图形的性质：①位似图形是相似形.②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3.位似图形的作法：选点；作射线；定对应点；连线. 二、知识要点及典型例题精讲 【知识要点】——位似图形的定义 【例1】如图（1）、（2），CD∥AB，△OCD与△OAB是位似图形吗？为什么？ 【例2】按不同的方法将下列三个图形缩小为原来的1 2 .

归纳：利用位似将图形放大或缩小的作图步骤. 第一步：在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P. 第二步：以点P为端点向各关键点作射线（或以各关键点为中心向点P作射线）. 第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例. 第四步：顺次连接截取点. 即可得到符合要求的新图形. 简记方法:1.选点；2.作射线；3.定对应点；4.连线. 例3.三角形的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,试将△ABC以原点为位似中心缩小,使缩小后的△DEF与△ABC对应边比为1∶2.

【随堂练习六】 一、选择题 1．如图，三个矩形中相似的是 ( ) A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．没有相似矩形 2．如图，△OCD与△OAB是位似三角形，则位似中心是 ( ) A．点A B．点C C．点O D．点B 3．下列说法中，错误的是 ( ) A．位似图形一定是相似图形 B．相似图形不一定是位似图形 C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行 4．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有 ( ) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 5．(福州)如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是 ( ) A．2DE=3MN B．3DE=2MN C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F 二、填空题 6．如图，其中属于位似图形的有____________(填序号)．

华师大版九年级上册数学第24章图形的相似单元测试题及答案

第24章 图形的相似单元评估试题11 （测试时间：45分钟，总分：100分） 一、选一选（每小题5分，共25分） 1. 如图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（ ） A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3 D ．1:4 (第1题) (第3题) (第4题) 2. 下列结论不正确的是( ) A.所有的矩形都相似 B.所有的正方形都相似 C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的正八边形都相似 3. 如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 如图，为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找到一点C ，测得CD ＝30m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC ＝5m ，过点A 作AB ∥DE 交EC 的延长线于B ，测出AB ＝6m ，则池塘的宽 DE 为（ ） A ．25m B ．30m C ．36m D ．40m 5. 有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝2.5，AD ＝1.5，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AC 与BC 交于点F （如图），则CF 的长为（ ） A.0.5 B.0.75 C.1 D.1.25 二、填一填（每小题5分，共25分） 6. 已知 52a b =，则 a b b -= ． 7. 两个相似多边形的相似比是8 1 ，则这两个多边形的对应对角线的比是________.

8. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 3 1 AB AD ，DE ＝2，则BC 的长为 ．新课标第一网 (第8题) (第9题) (第10题) 9. 如图, 在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB 于D ， 若AD=1，BD=4，则CD= . 10. 如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE 是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB 是_________米． 三、解一解（共50分） 11.（6分）选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍. 12.（8分）在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm ，多边形的两个顶点A 、B 之间的距离是25 cm ，求这个地区的实际边界长和A 、B 两地之间的实际距离. 13.（8分）如图，如果将图中A ，B ，C ，D 各点纵、横坐标分别乘以－1，那么所得图案将发生什么变化？请作出变换后的图形.

2010年部分省市中考数学试题分类汇编-图形的相似与位似(含答案)

2010年部分省市中考数学试题分类汇编 图形的相似与位似 1. (2010年福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼” 上一个“顶点”的坐标为()a b ，，那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 （ ） Ａ、(2)a b --， Ｂ、(2)a b --， Ｃ、(22)a b --， Ｄ、(22)b a --， 【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系（若相似比为k, 则坐标之比同侧为k 异侧为-k) 【答案】C 2．（2010江苏泰州，）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】B 【关键词】相似三角形的判定 3.（2010年宁德市）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____． 【答案4】 4.（2010年台湾省）图(一)表示D 、E 、F 、G 四点在△ABC 三边上的位置，其中DG 与EF 交于H 点。若∠ABC =∠EFC =70?，∠ACB =60?，∠DGB =40?，则下列哪 一组三角形相似？ (A) △BDG ，△CEF (B) △ABC ，△CEF (C) △ABC ，△BDG (D) △FGH ，△ABC 。 【关键词】相似 【答案】B 5.(2010福建泉州市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ） A.9:16 B. 3:4 C.9：4 D.3:16 【关键词】相似三角形的性质 【答案】B 6. (2010年兰州市) 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 【关键词】图形的相似 【答案】6 A B C D E H 图(一)

第23章图形的相似单元测试卷及参考答案

图（3）8 开 4 开 对开M N E A B C D 第23章 图形的相似单元测试卷 姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分） 1. 如图（1）所示,把△ABC 沿AB 边平移到△'''C B A 的位置,它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的一半,若2=AB ,则此三角形移动的距离是 【 】 （A ）12- （B ） 22 （C ）1 （D ）2 1 图（1） C' B' A B C A' y x 图（2） E A B D C O 2. 如图（2）所示,A 、B 是反比例函数x y 2 = 的图象上的两点,AC 、BD 都垂直于x 轴,垂足分别为点C 、D ,AB 的延长线交x 轴于点E .若C 、D 的坐标分别为( 1 , 0 )、( 4 , 0 ),则△BDE 的面积与△ACE 的面积的比值是 【 】 （A ） 21 （B ）41 （C ）81 （D ）16 1 3. 如图（3）所示,一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的.矩形ABCD 沿EF 对开后,再把矩形EFCD 沿MN 对开,依次类推.如果各种开本的矩形都相似,那么 AD AB 等于 【 】 （A ）0. 618 （B ）2 2 （C ）2 （D ）2 4. 如图（4）所示,已知直线321////l l l , 一等腰直角三角形ABC 的三个

顶点A 、B 、C 分别在321l l l 、、上,?=∠90ACB ,AC 交2l 于点D ,已知1l 与2l 的距离为 1, 2 l 与 3 l 的距离为3,则 BD AB 的值为 【 】 （A ） 524 （B ）534 （C ）825 （D ）23 2 20 图（4） l 3 l 2 l 1D A B C 图（5） M E O D B C A 5. 如图（5）,在□ABCD 中,点O 为对角线的交点,点E 为BC 上一点,2:1:=EC BE ,则=OD MO BM :: 【 】 （A ）3:2:2 （B ）4:3:2 （C ）2:1:1 （D ）5:3:2 6. 如图（6）所示,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点,则BE AD :的值为 【 】 （A ）1:3 （B ）1:2 （C ）5 : 3 （D ）不确定 图（6） D F O B C A E 图（7 ） 7. 如图（7）所示,四边形ABCD 是矩形,点E 和点F 是矩形ABCD 外两点,CF AE ⊥于点H ,?=∠===90,2 5 ,4,3EDF DE DC AD ,则DF 的长是 【 】 （A ）815 （B ）311 （C ）310 （D ）516

第28讲 图形的相似与位似(解析版)

第28讲图形的相似与位似 1．比例线段 (1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若a b＝c d或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d 叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有a b＝b c，则b叫做a，c的比例中项． (2)比例的基本性质及定理 ①a b＝ c d ?ad＝bc； ②a b＝ c d ? a±b b＝ c±d d； ③a b＝ c d＝…＝ m n(b＋d＋…＋n≠0)? a＋c＋…＋m b＋d＋…＋n ＝ a b. 4．相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (2)相似三角形的判定 ①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； ②两角对应相等，两三角形相似； ③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ④三边对应成比例，两三角形相似； ⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 5．射影定理 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论． (1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC.

6．相似三角形的实际应用 (1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题所求线段长放在三角形中； ②根据已知条件找出一对可能相似的三角形； ③证明所找两三角形相似； ④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解． (2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题． 如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即身高 影长＝ 建筑物的高度 建筑物的影长 . 7．相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例． (2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．图形的位似 (1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心． (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． (3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于k 或－k. (4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形 考点1： 相似三角形的性质 【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）

北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳

阶段强化专题训练 专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式 技巧1 中间比代换法证比例式 1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证： BC DE AB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值 . 技巧2 等积代换法证比例式 2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证： PB PA PF PE = . 技巧3 等比代换法证比例式 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证： AD AF AB AD = . 类型2 证线段相等 技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法) 4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点 E ，C F ∥BA 交DE 的延长线于点F. (1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ． 类型3 证比例和为1 技巧5 同分母的中间比代换法 5.如图，已 知AC ∥FE ∥BD.求证： 1=+BC BE AD AE

专题二：证明相似三角形的方法 名师点金 要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点： (1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例； (2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例； (3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性 ．．．”. 方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似 1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( ) A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似 B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似 C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似 D.两个等腰直角三角形相似 2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE= 3.1.求证：△ABC∽△ DEC. 方法2 利用角判定两三角形相似 3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长． 方法3 利用边角判定两三角形相似 4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上． 求证：△ABD∽△ CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似 5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ ABC.

《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高） 【学习目标】 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、掌握黄金分割的定义、性质及应用； 3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题； 4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大或缩小； 5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、比例线段及黄金分割 1. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 要点诠释： （1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则b 2=ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即 AB AP AP PB （此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

3. 黄金矩形与黄金三角形： 黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形. 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 要点二、相似图形 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等. 2.相似多边形 各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 要点三、相似三角形 1.相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似. 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似. 相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点四、图形的位似及投影 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

期末复习(4)图形的相似

图形的相似 知识点 一、比例的基本性质:了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段 1．在比例尺为1 ：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为（）A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m 2．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（） A． x+y y= 5 2B． x-y y= 1 2C． x x+y= 3 5D． x y-x= 3 1 二、相似三角形的判定:合理选择三角形相似的条件（两角相等，两边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例及“A”“X”型相似结论）证明两三角形相似，发展合情推理和有条理的表达能力 4．如图1，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE，并说明理由． 5．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（）①AC?BC=AB?CD；②AC2=AD?DB；③BC2=BD?BA；④CD2=AD?DB． A．1个B．2个C．3个D．4个 6．如图3，ΔABC中,∠C=90°, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、Q分别同时从B、C出发,经过秒，ΔCPQ与ΔCB A 相似．? 三、相似三角形的性质：掌握相似三角形的对应线段比，对应周长比等于相似比，对应面积比等于相似比的平方，并会运用性质解决问题 7．如图4，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2） 8．如图5，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则 AD AB = ________ ． 9．如图6，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC= （）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 四、图形的位似：认识位似形，能够利用位似形将一个图形放大或缩小 10．如图7，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限 内将线段AB缩小为原来的 2 1 后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）图1 图2 图4 图3 图5 图6 图7 图3

第28讲 图形的相似与位似(学生版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

第28讲 图形的相似与位似 1．比例线段 (1)比例线段：已知四条线段a ，b ，c ，d ，若a b ＝c d 或a∶b ＝c ∶d ，那么a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，a ，d 叫做比例外，b ，c 叫做比例内项；若有a b ＝b c ，则b 叫做a ，c 的比例中项． (2)比例的基本性质及定理 ①a b ＝c d ?ad ＝bc ； ②a b ＝c d ?a±b b ＝c±d d ； ③a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n≠0)?a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b . 4．相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (2)相似三角形的判定 ①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； ②两角对应相等，两三角形相似； ③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ④三边对应成比例，两三角形相似； ⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 5．射影定理 如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论． (1)AC 2 ＝AD·AB； (2)BC 2 ＝BD·AB； (3)CD 2 ＝AD·BD； (4)AC 2 ∶BC 2 ＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC .

6．相似三角形的实际应用 (1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题所求线段长放在三角形中； ②根据已知条件找出一对可能相似的三角形； ③证明所找两三角形相似； ④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解． (2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题． 如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即身高 影长＝ 建筑物的高度 建筑物的影长 . 7．相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例． (2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．图形的位似 (1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心． (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． (3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于k 或－k. (4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形 考点1： 相似三角形的性质 【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）