江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )
lim
sin x x x x
→-=
2.2
ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x
x e dx x
-=? 5.4
2
1
1dx x
+∞
=-?
6.圆222
222042219
x y z x y z x y z +-+=??
?++--+≤??的面积为 7.(2,)x
z f x y y
=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz
==
8.级数1
1(1)!
2!n n
n n n ∞
=+-∑的和为 . 二.（10分）
设()f x 在[],a b 上连续，且()()b
b
a
a
b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使
得()0a
f x dx ξ
=?.
三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，
E 为11D C 的中点，
F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()
22cos sin D
x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
六、（12分）求()()21x
x y e dx x y dy Γ
++++?，其中Γ为曲线22
201
212
x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -.
七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,
,3n n n a a a a a a +-====-
()2,3,,n =记1
n n x a =，判别级数1
n n x ∞
=∑的敛散性.
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )
lim
sin x x x x
→-=
2.2arctan tan x y x e x =+，/y =
3.设由y x x y =确定()y y x =，则
dy
dx
= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21x
x e dx x
-=?
6.(2,)x
z f x y y
=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz
==
7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y
??+=??
8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D
=
二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且1
1
()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点
()0,1ξ∈，使得0
()0f x dx ξ
=?.
四.（12分）求广义积分4
2
1
1dx x +∞
-?
五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x
轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分()
22cos sin D
x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）
一．填空题（每题5分，共40分）
1.a = ，b = 时，2lim
arctan 2
x
ax x x bx x
p
+=-
- 2. a = ，
b = 时()ln(1)1x
f x ax bx
=-++在0x ?时关于x 的无穷小的阶数最高。
3.242
0sin cos x xdx p =ò
4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为
5.设2
2
2,x z x y =-则(2,1)
n n z
y
??=
6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则arctan D
ydxdy =蝌
7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则
()()x
x ye
x dx e xy dy G
++-ò=
8.幂级数1
n n nx ￥
=?的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列{}n x
为122,1,2,)n x x x n +=
=
=
=L L
证明：数列{}n x 收敛，并求其极限
三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证
/1
max ()()()b b a x b a
a
f x f x dx
f x dx b a
＃?-蝌
四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+
()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面
2）求旋转曲面S 所围成立体的体积
五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为
(),u u
A u x
y x y
抖=+抖 1）求(())A u A u -；2)利用结论1）以,y
x y x
x h =
=-为新的自变量改变方程2222
22220u u u x xy y x x y y 抖?++=抖抖的形式 六．（8分）求26
1
lim sin()t t x
t dx
xy dy t +
?蝌
七．（9分）设222:1(0)x y z z S ++=?的外侧，连续函数
222(,)2()()()((,)2)z z z
f x y x y x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy S
=-+
++++-蝌 求(,)f x y
八．（9分）求23
(3)
()(1)(13)
x x f x x x -=--的关于x 的幂级数展开式 2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）
一.填空（每题5分，共40分） 1.()3
x f x a =，()()()4
1lim
ln 12n f f f n n →∞=????
2. ()()
2
5001lim 1x
tx x e
dt x -→-=? 3. ()
12
02arctan 1x
dx x =+? 4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为 5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则()
,0e dz
=
6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，
()1,0f -为其极大值.
7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()
2
22y x y dx xy e dy Γ
+++?取最大值.
8.级数(
)
1
1
1n p
n n
∞
+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3
三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ?
?=+≤≤ ???，求该曲线在4πθ=所
对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积. 四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤， 求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞
五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥
被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑
的模型，
(1A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.
本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，
()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，
将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的
边界的方程，并求D 的面积.
六（10分）曲线220
x z
y ?=?=?绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体
区域记为Ω，
本科一级考生做222
1
dxdydz x y z
Ω
++???
本科二级考生做()
222x y z dxdydz Ω
++???
七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21
n n n a x ∞
=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级
数1n
n n a x n
∞
=∑
的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112
n
n
n n x ∞
=+∑
的收敛域与和函数 2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）
一.填空（每题5分，共40分）
1.22
232323212lim 12n n n n n n →∞??
+++= ?+++??
2. ()
2
30
01lim 1x
t x e dt x
-→
-=? 3. )
lim
0x ax b →+∞
+=，则,a b =
4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=
5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则()
,0e dz
=
6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，
()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()2
1
1
,x e e
x
dx f x y dy -=??
.
8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D
=
二.（8分）设()()
2sin 0
ln 10
ax b x c
x f x x x ?++≤?=?
+>??，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.
三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.
四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五（8分）求()
1
2
arctan 1x
dx x +?
六（9分）本科三级做：设()()()()()()
2222
tan ,0,0,0,0,0x y
x y x y x y
f x y x y -?+≠?+=??=?，
证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()
()
0,0,df x y
民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数(
)22,2f x y x y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八（9分）设D 为,,02
y x x y π
==
=所围成的平面图形，求()cos D
x y dxdy +??.
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分）
1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π??
∈ ???
时，
()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ??
∈ ???
时，()f x 的表达式 .
2. ()
2tan 2
lim sin x
x x π
→
=
3. 2222lim 14n n
n n n n n n →∞??
+++
= ?+++?
?
4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =
5.
()
()
2
1x x e x dx x e -=-?
6.(
)112n
n n
n ∞
==+∑
. 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ?=， 则()1?'= .
8. 设()()010
x x f x g x ≤≤?==??其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则
()()D
f y f x y dxdy +=?? .
二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，
()()2
212
b
a
f x dx b a =
-?
,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积
四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使
PM MQ +最小 五（10分）求幂级数()
(
)
11
32n n
n n x n ∞
=+-∑
的收敛域。
六（10分）设(),f x y 可微，()()()1,22,1,22,1,23x y f f f ''===，
()()()(),2,2,2x f f x x f x x ?=，求()1?'.
七（10分）求二次积分()2
220
2
1d e d ππ
ρθθθρ-??
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题5分，共40分）
1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π??
∈ ???时，
()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ??
∈ ???
时，()f x 的表达式.
2. 0x →时，sin cos x x x -?与k cx 为等价无穷小，则c =
3.()
2tan 2
lim sin x
x x π
→
=
4. 2222lim 14n n
n n n n n n →∞??
+++
= ?+++?
?
5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =
6.
()
()
2
1x x e x dx x e -=-?
7. ()
1,1arctan ,x z dz
y
-== .
8. 设()()01
x x f x g x ≤≤?==??其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则
()()D
f y f x y dxdy +=?? .
二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，
()()2
212
b
a
f x dx b a =
-?
,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积
四（10分）设()f x 在(),-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有()()()1212f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(),-∞+∞上处处连续。
五（10分）上k 为常数，方程1
10kx x
-+=在()0,+∞恰有一个根，求k 的取值范
围。
六（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使
PM MQ +最小 七（10分）求幂级数()
1132n
n n
n x n ∞
=+∑
的收敛域。 2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分）
1.()0lim 0x k
x e c c x →-=≠，则k = ，c =
2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是 A. 若()lim 0x f x →+∞
'=，则()f x 在[)1,+∞上有界
B. 若()lim 0x f x →+∞
'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界
C. 若()lim 1x f x →+∞
'=，则()f x 在[)1,+∞上无界
3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''=
4.()arcsin arccos x x dx -=?
5. 曲线2222
2z x y x y y
?=+?+=?，在点()1,1,2的切线的参数方程为 6.设(),sin x y z f g e y x ??
=+ ???
，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，
则2z x y
?=?? 7. 交换二次积分的次序()21
30
,x
x
dx f x y dy -=?? .
8.幂级数11
112n n x n ∞
=??
++
+ ??
?
∑的收敛域 二.（8分）设()f x 在[)0,+∞上连续，单调减少，0a b <<， 求证0
()()b
a
a f x dx
b f x dx ≤??
三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b b
x
a
a
f x dx f x e dx ==??，
求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点. 四.（8分）求直线
1211
x y z
-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.
五.（9分）设k 为常数，试判断级数()()
2
21ln n
k
n n n
∞
=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何
时条件收敛？何时发散？
六.（9分）设()()()()()
,0,0,0,0,0y x y f x y x y ?
≠?
=?
?=?
讨论(),f x y 在点()0,0处
连续性，可偏导性？可微性.
七.（9分）设()f u 在0u =可导，()22200,:2f x y z tz =Ω++≤， 求()2225
1
lim t f x y z dxdydz t +
→Ω
++???
八.（9分）设曲线AB 的极坐标方程为1cos 2
2π
πρθθ??=--≤≤ ???，一质点P 在力
F 作用下沿曲线AB 从()0,1A -运动到()0,1B ，力F 的大小等于P 到定点()
3,4M 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F 对质点P 做得功.
2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题5分，共40分）
1.()0lim 0x k
x e c c x →-=≠，则k = ，c =
2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是 A. 若()lim 0x f x →+∞
'=，则()f x 在[)1,+∞上有界
B. 若()lim 0x f x →+∞
'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界
C. 若()lim 1x f x →+∞
'=，则()f x 在[)1,+∞上无界
3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''=
4.()arcsin arccos x x dx -=?
5.
4
+∞
=?
6.设(),sin x y z f g e y x ??
=+ ???
，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，
则2z x y
?=?? 7. 交换二次积分的次序()21
30
,x
x
dx f x y dy -=?? .
8.函数(),21f x y x y =-+满足方程225x y +=的条件的极大值为 极小值为
二.（8分）设()f x 在[)0,+∞上连续，单调减少，0a b <<， 求证0
()()b
a
a f x dx
b f x dx ≤??
三.（8分）设()sin f x kx x =+，1）若1k ≥，求证()f x 在(),-∞+∞上恰有一个零点；2）若0k >，且()f x 在(),-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围.
四.（8分）求20
1sin 1cos x
x
e dx x
π
++?
五.（9分）设(
)()()()()
,0,0,0,0,0y x y f x y x y ?
≠?
=?
?=?
讨论(),f x y 在点()0,0处
连续性，可偏导性？可微性.
六.（8分）设(),z f x y =，()x y ?=，f 的二阶偏导数连续，?可导，()0y ?'=
求全导数22d z
dx
七.（9分）设()f u 在0u =可导，()2200,:2,0f D x y tx y =+≤≥，
求4
1
lim t D
f ydxdy t +
→??
八.（9分）求()sin ,:0,0,2
D
x y dxdy D x y x y π
-≥≥+≤
??
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题3分，共15分）
. 1.设(
)f x =()f f x =????
2. 1lim
ln 1
x x x x
x x →-=-+ 3. 已知()21
d f x dx x ??=?
?，则()f x '=
4.()
14
4
5
1x dx x
=+?
5..设(),z z x y =由方程,0y z F x x ??
= ???
确定（F 为任意可微函数），
则z z
x
y x y
??+=?? 二选择题（每题3分，共15分）
1.对于函数112121
x
x
y -=
+，点0x =是（ ）
A. 连续点；
B. 第一类间断点；
C. 第二类间断点；D 可去间断点
2.已知函数()y f x =对一切x 满足()()2
31x
xf x x f x e -''+=-????
，若()000(0)f x x '=≠，则（ ）
A. ()0f x 是()f x 的极大值；
B. ()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点；
C. ()0f x 是()f x 的极小值；
D ()0f x 不是()f x 的极值，()()00,x f x 也不是曲线()y f x =的拐点
3. lim
x （ ）
A. 等于1；
B. 等于0；
C. 等于1-；D 不存在，但也不是+∞ 4.若
()()
0000,,,
x y x y f
f x
y
????都存在，则(),f x y 在()00,x y
A. 极限存在，但不一定连续；
B. 极限存在且连续；
C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续
5.设α
为常数，则级数21sin n n n α∞
=? ?
∑ A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关
三（6分）求111lim 12n n n n n →∞??
++
+ ?+++?
?
四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010
y x t t te y +-=??++=?确定，求20
2
t d y
dx =
五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且对于(),a b 一切x 均有
()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明若()f x 在(),a b 内有两个零点，则()g x 至少存在一个介于这两个零点之间的零点。
六（6分）设()10110
1x
x x
f x x e ?≥??+=?
?
1f x dx -?。
七（6分）已知z uv =，cos ,sin u u x e v y e v ==，求
,z z
x y
???? 八（8分）过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线，问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小。 九（8分）求级数()11n
n n x ∞
=-∑的收敛域及和函数.
十（8分）设()f x 在[],a b 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：
()()
()2
1b
b
a
a
f x dx dx b a f x ≥-?
?
十一（8分）计算曲线积分()()43224465L
I x xy dx x y y dy =++-?，其中L 为曲线
()21
35
y x =-
-上点(2,1)A --沿逆时针方向到该曲线上点()3,0B 的一段曲线。 十二（8分）计算曲面积分()
2421zxdydz zydzdx z dxdy ∑
-+-??，其中∑为曲面
(0)y z e y a =≤≤绕z 轴旋转一周所成曲面之下侧
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题3分，共15分） 1. 已知
()21
d f x dx x ??=?
?，则()f x '= 设
2. ()1
ln 0
lim tan x
x x +
→=
3.=
4若级数()
1
1
266n n n
n n a
n
-∞
=-+∑
收敛，则a 的取值为 5.()()sin a
a f x f x xdx -+-=????? 二选择题（每题3分，共15分）
1.函数()()211x e f x x x -=-，的可去间断点为（ ）
A. 0,1x =；
B. 1x =；
C. 0x =；D 无可去间断点 2.改变积分次序()21
10
1
,y
y dy f x y dx --=??（ ）
A. (
)1
1,dx f x y dy -?
； B.
(
)()0
111
,,x
dx f x y dy dx f x y dy --+?
??
；
C.
(
)1
,dx f x y dy ?； D (
)1
11
,x dx f x y dy --?
3. 设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ）
A. ()00f '=；
B. ()00f =；
C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 4.若
()()
0000,,,
x y x y f
f x
y
????都存在，则(),f x y 在()00,x y
A.连续且可微；
B.连续但不可微；
C. 可微但不连续； D 不一定可微，也不一定连续
5.()()22,2x f x y e x y y =++在点1,12??
- ???
处取（ ）
A. 极大值2e -
B. 极小值2
e
-； C. 不取极大值； D 极小值e
三（6分）设()()
()
2
2
22
ln 1lim
ln x
e
x t x ax bx dx x x e dt
+∞
→+-+=?
?
，求常数,a b 。
四（6分）设(1)y z xy =+，求()1,1dz 。
五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且对于(),a b 一切x 均有
()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明若()f x 在(),a b 内有两个零点，则()g x 至少存在一个介于这两个零点之间的零点。
六（6分）计算二重积分2D
y x dxdy -??，其中D 为正方形区域1,02x y ≤≤≤
七（8分）过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线，问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小。
八（6分）当0x →时，()()()220x
F x x t f t dx '=-?的导数与2x 为等价无穷小，求
()0f '。
九（8分）求幂级数()21121n n n x ∞
+=+∑的收敛域及和函数.
十（8分）将()1arctan
1x
f x x
+=-展开为x 的幂级数，并指出收敛区间。 十一（8分）求581
x x
dx x -+?。
十二（8分）设函数()f x 在(),-∞+∞上连续，且满足
()()2
2
2
2
242
x y t
f t x
y f
dxdy t +≤=++??，求()f x
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
江苏省高等数学竞赛题(本科一级)
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级） 一．填空题（每题5分，共40分） 1.a =，b =时，2lim arctan 2 x ax x x bx x p +=--2. a =，b =时()ln(1)1x f x ax bx =-++在0x ?时关 于x 的无穷小的阶数最高。 3.2420 sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为 5.设222,x z x y =-则(2,1)n n z y ??= 6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则 arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则 ()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò= 8.幂级数1 n n nx ￥ =?的和函数为，收敛域为。二．（8分）设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明：数列{}n x 收敛，并求其极限 三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证 / 1 max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a ＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面 2）求旋转曲面S 所围成立体的体积 五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子 A 定义为
江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.1y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分） 设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使 得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
江苏省第一届至第十届高等数学竞赛本科三级试题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛 本科竞赛试题（有改动） 一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2 x π ≤ ）的反函数为________________________。 2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。 3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数，则==0 2 2t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。 8.直线21x z y =?? =?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹 角为____________。 10. =? ????????? ??+???? ??+???? ??+∞→n n n n n n 12222 2212111lim 。 二、（7分） 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞ →lim 。 三、（7分）求c 的值，使? =++b a dx c x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏高等数学竞赛历年试题(本一)
2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关
同济版高等数学下册练习题附答案
第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .
江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科） 一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→43 3321lim n n n 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=，则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是 二．（6分*2=12分） （1）求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n （2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求2 01)1(cos lim x x f x --→ 三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分） （1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则2 1t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t
? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处 的 法 向 量 为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =，故 y y y f x '=''+)(1 ，即))(1(1y f x y '-= '，因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
高等数学下册试题及答案解析
高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++??∑ds y x )122（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的与为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续; (B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,就是无穷小; (D)0)()(),(),(lim 2200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω= zdV I 等于( ) (A)4 ???20201 03cos sin ππ ???θdr r d d ;
高等数学竞赛试题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
大连市高等数学竞赛试题B答案完整版
大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案（B）
一、填空题（本大题共5小题，每小题2分， 计10分） 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时，x x x f 1 sin )(3=为一初等函数，这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='（6分） 当0=x 时，由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分）
解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分） 当0x =时， 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分） 当1x =时， 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。（7分） 当1x =-时， 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。（8分） 考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页
(完整版)高等数学试题及答案
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学下册试题及答案解析
高等数学下册试题及答案解析 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 . 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值 为 . 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds . 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 = ++?? ∑ ds y x )122 （ . 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 . 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 . 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续； （B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x . 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 . 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（ ） （A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； （B ） ? ??20 1 2sin π π??θdr r d d ；
高等数学下册试题库
高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线112z y x =-=平行的直线方程是___________ 2. 过点 )0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设 k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设 1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面 0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0 526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 2 1-=+=-z y m x λ与平面 25363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点 )1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面 222y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数 1 2 n n n n x ∞ =∑的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 3 222 x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3 023 x y z +-+==的平面方程是 _________________ 12. 设 ),2ln(),(x y x y x f + =则__________)0,1('=y f 13. 设 ),arctan(xy z =则 ____________,__________=??=??y z x z 14. 设 ,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________ 15. 设 ,y x z = 则=dz _____________
江苏高等数学历年本科三级竞赛真题史上最完整
2010年江苏省普通高等学校非理科专业 第十届高等数学（本科三级）竞赛题 一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()30sin sin sin lim x x x x →- = 1 6 2）() 2arctan e tan ,x y x x y '=+=则 ()2 4 2e tan sec 1x x x x x +++ 3） 设由y x x y =确定(),y y x =d d y x =则 ()()()() 2 2ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4）() 2 cos ,n y x y ==则 12cos 22 n n x π-??+ ?? ? 5） 21e d x x x x -=? e x C x -+ 6）设 2, ,x z f x y y ??=- ??? f 可微，()()123,22,3,23,f f '' ==则 ()() d z ,2,1x y ==7d 8d x y - 7) 设函数 (),F u v 可微，由 ( )2 2 ,0F x z y z ++=确定(),,z z x y =则 z z x y ??+=?? 12z - 8）设 22:2,0, d D D x y x y x y +≤≥=则 16 9 二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的 最小值。 22ln e 2ln ,ax x x x ax a x ≤?≤?≥ 解 （3分） 要求a 的最小值，只要求 ()2ln x f x x = 的最大值。 （2分） 令()() 2 21ln 0x f x x -'= = 得e,x = （2分） 由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时
- 浙江省高等数学竞赛试题(2002
- 高等数学竞赛试题及
- 2016浙江省高等数学竞赛试题(数学类)
- 高等数学竞赛试题(打印版)
- 最新历年大学生高等数学竞赛试题及答案
- 高等数学竞赛试题含答案
- 大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
- 全国大学生高等数学竞赛试题汇总及标准答案
- 大连市高等数学竞赛试题B答案完整版
- 高等数学竞赛试题含答案
- 江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)
- 高等数学竞赛试题
- 最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
- 江苏高等数学历年(本科三级)竞赛真题(史上最完整)
- 高等数学试题及答案+1套试题
- 历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
- (新)江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)
- 历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
- 高等数学竞赛试题含答案
- 高等数学竞赛试题