一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠PCQ=45°,把∠PCQ绕点C旋转,在整个旋转过程中,过点A作AD⊥CP,垂足为D,直线AD交CQ于E.
(1)如图①,当∠PCQ在∠ACB内部时,求证:AD+BE=DE;
(2)如图②,当CQ在∠ACB外部时,则线段AD、BE与DE的关系为_____;
(3)在(1)的条件下,若CD=6,S△BCE=2S△ACD,求AE的长.
【答案】(1)见解析(2)AD=BE+DE (3)8
【解析】
试题分析:(1)延长DA到F,使DF=DE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得证;
(2)在AD上截取DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得到AD=BE+DE;
(3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD,然后求出AD的长,再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解.试题解析:(1)证明:如图①,延长DA到F,使DF=DE.∵CD⊥AE,∴CE=CF,
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°.又∵∠ACB=90°,∠PCQ=45°,∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°,∴∠ACF=∠BCE.在△ACF和△BCE中,
∵
CE CF
ACF BCE
AC BC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,∴△ACF≌△BCE(SAS),∴AF=BE,∴AD+BE=AD+AF=DF=DE,即
AD+BE=DE;
(2)解:如图②,在AD上截取DF=DE.∵CD⊥AE,∴CE=CF,
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°,∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠ACF+∠BCF=90°,∴∠ACF=∠BCE.在△ACF和△BCE中,
∵
CE CF
ACF BCE
AC BC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,∴△ACF≌△BCE(SAS),∴AF=BE,∴AD=AF+DF=BE+DE,即
AD=BE+DE;
故答案为:AD=BE+DE.
(3)∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ECF=45°+45°=90°,∴△ECF是等腰直角三角形,∴CD=DF=DE=6.∵S△BCE=2S△ACD,∴AF=2AD,∴AD=1
×6=2,∴AE=AD+DE=2+6=8.
12
点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰直角三角形的性质,综合性较强,但难度不是很大,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
2.如图1,是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起.
(1)操作:固定△ABC,将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE,连接AD、BE,如图2.探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?并请说明理由;
(2)操作:固定△ABC,若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD、BE,CE 的延长线交AB于点F,在线段CF上沿着CF方向平移,(点F与点P重合即停止平移)平移后的△CDE设为△PQR,如图3.
探究:在图3中,除三角形ABC和CDE外,还有哪个三角形是等腰三角形?写出你的结论(不必说明理由);
(3)探究:如图3,在(2)的条件下,设CQ=x,用x代数式表示出GH的长.
【答案】(1)BE=CD.理由见解析;(2)△CHQ是等腰三角形;(3)2-x.
【解析】
试题分析:(1)根据等边三角形的性质可得AB=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,然后求出∠ACD=∠BCE,再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)求出∠ACF=30°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
∠CHQ=30°,从而得到∠ACF=∠CHQ,判断出△CHQ是等腰三角形;
(3)求出∠CGP=90°,然后利用∠ACF的余弦表示出CG,再根据等腰三角形的性质表示出CH,然后根据GH=CG-CH整理即可得解.
试题解析:(1)BE=CD.
理由如下:∵△ABC与△CDE是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°.
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE,
即∠BCE=∠ACD.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD;
(2)∵旋转角为30°,
∴∠BCF=30°,
∴∠ACF=60°-30°=30°,
∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°,
∴∠ACF=∠CHQ,
∴△CHQ是等腰三角形;
(3)∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°,
∴CG=CP?cos30°=(x+4),
∵△CHQ是等腰三角形,
∴CH=2?CQcos30°=2x?=x,
∴GH=CG-CH=(x+4)-x=2-x.
考点:几何变换综合题.
3.如图2,边长为2的等边△ABC内接于⊙O,△ABC绕圆心O顺时针方向旋转得到△,A′C′分别与AB、AC交于E、D点,设旋转角度为.
(1)当=,△A′B′C′与△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合;
(2)当=60°时(如图1),该图()
A.是中心对称图形但不是轴对称图形
B.是轴对称图形但不是中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
(3)如图2,当,△ADE的周长是否会发生变化,如会变化,说明理由,如不会变化,求出它的周长.
【答案】(1)120°;(2)C;(3)△的周长不变.
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的中心角为120°可直接求解;
(2)根据题意可知,当=60°时,点A、、B、、C、为⊙O的六等分点,,所有的三角形都是正三角形,由此可得到所有图形即是轴对称图形,又是中心对称图形;
(3)得到结论:周长不发生变化,连接A,根据弦相等,则它们所对的弧相等的性质可
得,即,再根据等弧所对的圆周角相等,得,由等角对等边的性质可得,同理,因此可求△的周长
==.
【详解】
解:(1)120°.
如图,可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得∠O=120°;
(2)C
(3)△的周长不变;
理由如下:连接AA′,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
同理,,
∴△的周长=.
即
考点:正多边形与圆,圆周角定理
4.在△ABC中,AB=AC,∠A=300,将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,再将线段BD平移到EF,使点E在AB上,点F在AC上.
(1)如图1,直接写出∠ABD和∠CFE的度数;
(2)在图1中证明:AE=CF;
(3)如图2,连接CE,判断△CEF的形状并加以证明.
【答案】(1)15°,45°;(2)证明见解析;(3)△CEF是等腰直角三角形,证明见解析.【解析】
试题分析:(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC的度数,由旋转的性质得到∠DBC的度数,从而得到∠ABD的度数;根据三角形外角性质即可求得∠CFE的度数.
(2)连接CD、DF,证明△BCD是等边三角形,得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而AB∥FD,证明△AEF≌△FCD即可得AE=CF.
(3)过点E作EG⊥CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形.
(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=300,∴∠ABC=750.
∵将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,即∠DBC=600.∴∠ABD= 15°.
∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°.
(2)如图,连接CD、DF.
∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,∴BD=BC,∠CBD=600.∴△BCD是等边三
角形.
∴CD=BD.
∵线段BD平移到EF,∴EF∥BD,EF=BD.
∴四边形BDFE是平行四边形,EF= CD.
∵AB=AC,∠A=300,∴∠ABC=∠ACB=750.∴∠ABD=∠ACD=15°.
∵四边形BDFE是平行四边形,∴AB∥FD.∴∠A=∠CFD.
∴△AEF≌△FCD(AAS).
∴AE=CF.
(3)△CEF是等腰直角三角形,证明如下:
如图,过点E作EG⊥CF于G,
∵∠CFE =45°,∴∠FEG=45°.∴EG=FG.
∵∠A=300,∠AGE=90°,∴.
∵AE=CF,∴.∴.∴G为CF的中点.∴EG为CF的垂直平分线.
∴EF=EC.
∴∠CEF=∠FEG=90°.
∴△CEF是等腰直角三角形.
考点:1.旋转和平移问题;2.等腰三角形的性质;3.三角形外角性质;4.等边三角形的判定和性质;5.平行四边形的判定和性质;6.全等三角形的判定和性质;7.含30度直角三角形的性质;8.垂直平分线的判定和性质;9.等腰直角三角形的判定.
5.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图
1),现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中, AB边交DF于点M,BC边交DG于点N.
(1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN和AC平行时(如图2),求正方形ABCD旋转的度数;
(3)如图3,设△MBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论.
【答案】(1);(2);(3)不变化,证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,DA旋转了,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.
(2)旋转过程中,当MN和AC平行时,根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.
(3)延长BA交DE轴于H点,通过证明和可得结论.
(1)∵A点第一次落在DF上时停止旋转,∴DA旋转了.
∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.
(2)∵MN∥AC,∴,.
∴.∴.
又∵,∴.
又∵,∴.
∴.∴.
∴旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形ABCD旋转的度数为. (3)不变化,证明如下:
如图,延长BA交DE轴于H点,则
,,
∴.
又∵.∴.
∴.
又∵, ,∴.
∴.∴.
∴.
∴在旋转正方形ABCD的过程中,值无变化.
考点:1.面动旋转问题;2.正方形的性质;3.扇形面积的计算;4.全等三角形的判定和性质.
6.思维启迪:(1)如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P(点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米,那么A,B间的距离是米.
思维探索:(2)在△ABC和△ADE中,AC=BC,AE=DE,且AE<AC,∠ACB=∠AED=90°,将△ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为α,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC,PE.
①如图2,当△ADE在起始位置时,猜想:PC与PE的数量关系和位置关系分别是;
②如图3,当α=90°时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证明你的结论;
③当α=150°时,若BC=3,DE=l,请直接写出PC2的值.
【答案】(1)200;(2)①PC=PE,PC⊥PE;②PC与PE的数量关系和位置关系分别是
PC =PE ,PC ⊥PE ,见解析;③PC 2
=102
+. 【解析】 【分析】
(1)由CD ∥AB ,可得∠C =∠B ,根据∠APB =∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ,即可得AB =CD ,即可解题.
(2)①延长EP 交BC 于F ,易证△FBP ≌△EDP (SAS )可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .
②作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,易证△FBP ≌△EDP (SAS ),结合已知得BF =DE =AE ,再证明△FBC ≌△EAC (SAS ),可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .
③作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°,得∠FBC =∠EAC ,同②可证可得PC =PE ,PC ⊥PE ,再由已知解三角形得∴EC 2=CH 2+HE 2
=10+
求出2211022
PC EC +==
【详解】
(1)解:∵CD ∥AB ,∴∠C =∠B , 在△ABP 和△DCP 中,
BP CP
APB DPC B C =??
∠=∠??∠=∠?
, ∴△ABP ≌△DCP (SAS ), ∴DC =AB . ∵AB =200米. ∴CD =200米, 故答案为:200.
(2)①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE . 理由如下:如解图1,延长EP 交BC 于F , 同(1)理,可知∴△FBP ≌△EDP (SAS ), ∴PF =PE ,BF =DE , 又∵AC =BC ,AE =DE , ∴FC =EC , 又∵∠ACB =90°,
∴△EFC 是等腰直角三角形, ∵EP =FP , ∴PC =PE ,PC ⊥PE .
②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE .
理由如下:如解图2,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF , 同①理,可知△FBP ≌△EDP (SAS ), ∴BF =DE ,PE =PF =1
2
EF , ∵DE =AE , ∴BF =AE ,
∵当α=90°时,∠EAC =90°, ∴ED ∥AC ,EA ∥BC ∵FB ∥AC ,∠FBC =90, ∴∠CBF =∠CAE , 在△FBC 和△EAC 中,
BF AE CBE CAE BC AC =??
∠=∠??=?
, ∴△FBC ≌△EAC (SAS ), ∴CF =CE ,∠FCB =∠ECA , ∵∠ACB =90°, ∴∠FCE =90°,
∴△FCE 是等腰直角三角形, ∵EP =FP , ∴CP ⊥EP ,CP =EP =
1
2
EF . ③如解图3,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,
当α=150°时,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°, ∴∠FBC =∠EAC =α=150° 同②可得△FBP ≌△EDP (SAS ),
同②△FCE 是等腰直角三角形,CP ⊥EP ,CP =EP
=2
, 在Rt △AHE 中,∠EAH =30°,AE =DE =1, ∴HE =
12,AH
又∵AC =AB =3, ∴CH =
∴EC 2=CH 2+HE 2
=10+∴PC 2
=
212EC =
【点睛】
本题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.
7.(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE,AD⊥BE.(2) AD=BE,AD⊥BE.22.
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE(SAS),得AD=BE,∠EBC=∠CAD,延长BE 交AD于点F,由垂直定义得AD⊥BE.
(2)根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE(SAS),AD=BE,∠CAD=∠CBE,由垂直定义得∠OHB=90°,AD⊥BE;
(3)作AE⊥AP,使得AE=PA,则易证△APE≌△ACP,PC=BE,当P、E、B共线时,BE最小,最小值=PB-PE;当P、E、B共线时,BE最大,最大值=PB+PE,故22【详解】
(1)结论:AD=BE,AD⊥BE.
理由:如图1中,
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形, ∴AC=BC ,CE=CD , ∠ACB=∠ACD=90°, 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ??
∠∠???
=== ∴△ACD ≌△BCE (SAS ), ∴AD=BE ,∠EBC=∠CAD 延长BE 交AD 于点F , ∵BC ⊥AD , ∴∠EBC+∠CEB=90°, ∵∠CEB=AEF , ∴∠EAD+∠AEF=90°, ∴∠AFE=90°,即AD ⊥BE . ∴AD=BE ,AD ⊥BE . 故答案为AD=BE ,AD ⊥BE . (2)结论:AD=BE ,AD ⊥BE .
理由:如图2中,设AD 交BE 于H ,AD 交BC 于O .
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形, ∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°, ∴ACD=∠BCE , 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ??
∠∠???
===, ∴△ACD ≌△BCE (SAS ), ∴AD=BE ,∠CAD=∠CBE ,
∵∠CAO+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH , ∴∠BOH+∠OBH=90°, ∴∠OHB=90°, ∴AD ⊥BE , ∴AD=BE ,AD ⊥BE .
(3)如图3中,作AE ⊥AP ,使得AE=PA ,则易证△APE ≌△ACP , ∴PC=BE ,
图3-1中,当P 、E 、B 共线时,BE 最小,最小值=PB-PE=5-32, 图
3-2中,当P 、E 、B 共线时,BE 最大,最大值=PB+PE=5+32, ∴5-32≤BE≤5+32, 即5-32≤PC≤5+32.
【点睛】
本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找三角形全等的条件,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
8.如图,在边长为1的正方形网格中,A(1,7)、B(5,5)、C(7,5)、D(5,1).
(1)将线段AB绕点B逆时针旋转,得到对应线段BE.当BE与CD第一次平行时,画出点A运动的路径,并直接写出点A运动的路径长;
(2)线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,直接写出这个旋转中心的坐标.
【答案】(1)见解析;5π;(2)旋转中心P的坐标为(3,3)或(6,6).
【解析】
【分析】
(1)依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线,再运用弧长计算公式即可解答;
(2)连接两对对应点,分别作出它们连线的垂直平分线,其交点即为所求.
【详解】
解:(1)点A运动的路径如图所示,出点A运动的路径长为
22
9024
180
π
??+
=5π;
(2)如图所示,旋转中心P的坐标为(3,3)或(6,6).
【点睛】
本题主要考查了利用旋转变换及其作图,掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解答本题的关键.
9.如图1,直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线OC,∠COE=140°,将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处,一条直角边OA在射线OD上,另一边OB在直线DE上方,将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周,设旋转时间为t秒.
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时,OA恰好平分∠COD,求此时∠BOC的度数;(2)若射线OC的位置保持不变,在旋转过程中,是否存在某个时刻,使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线?若存在,请求出t的取值,若不存在,请说明理由;
(3)若在三角板开始转动的同时,射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周,从旋转开始多长时间,射线OC平分∠BOD.直接写出t的值.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角)
【答案】(1)∠BOC=70°;(2)存在,t=2,t=8或32;(3)1
2
或
37
2
.
【解析】
【分析】
(1)由图可知∠BOC=∠AOB﹣∠AOC,∠AOC可利用角平分线及平角的定义求出.
(2)分OA平分∠COD,OC平分∠AOD,OD平分∠AOC三种情况分别进行讨论,建立关于t的方程,解方程即可.
(3)分别用含t的代数式表示出∠COD和∠BOD,再根据OC平分∠BOD建立方程解方程即可,注意分情况讨论.
【详解】
(1)解:∵∠COE=140°,
∴∠COD=180°﹣∠COE=40°,
又∵OA平分∠COD,
∴∠AOC=1
2
∠COD=20°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BOC=90°﹣∠AOC=70°;
(2)存在
①当OA平分∠COD时,∠AOD=∠AOC,即10°t=20°,解得:t=2;
②当OC平分∠AOD时,∠AOC=∠DOC,即10°t﹣40°=40°,解得:t=8;
③当OD平分∠AOC时,∠AOD=∠COD,即360°﹣10°t=40°,解得:t=32;
综上所述:t=2,t=8或32;
(3)1
2
或
37
2
,理由如下:
设运动时间为t,则有
①当90+10t=2(40+15t)时,t=1 2
②当270﹣10t=2(320﹣15t)时,t=37 2
所以t的值为1
2
或
37
2
.
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义以及图形的旋转,根据题意,找到两个角之间的等量关系建立方程并分情况讨论是解题的关键.
10.如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,22,10.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连接PP′,并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠BPQ=45°.
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的性质可知,△APD≌△AP′B,所以AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,因为
∠PAD+∠PAB=90°,所以∠P′AB+∠PAB=90°,即∠PAP′=90°,故△APP′是等腰直角三角
形;
(2)根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形,再根据平角定义求出结果.
【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,
∴AP=AP′,∠PAP′=∠DAB=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形;
(2)∵△APP′是等腰直角三角形,
∴
,∠APP′=45°,
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,
∴
,
在△PP′B中,,,,
∵
)2+(2=)2,
∴PP′2+PB2=P′B2,
∴△PP′B为直角三角形,∠P′PB=90°,
∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用,有一定难度,关键是明确旋转的不变性.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b中考数学易错题题目(经典)
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