初中数学一元二次方程教学案合集
x
22．1 一元二次方程（1）
年级：九年级 学科：数学 课型：新授 备课时间：2014.8.22 主备：刘永红 审核：田福生 上课时间：2014.8.25 学习目标：
了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目．
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 【预习内容】（阅读教材第1至2页内容，完成下面填空）
问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与
下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像
的下部应设计为多高？
分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程
_____________________________
整理得
_____________________________ ①
问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程
_____________________________
整理得
_____________________________ ②
问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为___________
设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程
____________________________
化简整理得____________________________ ③
请口答下面问题：
（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________
（2）它们最高次数分别是几次？___________
方程①②③的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.
1.一元二次方程:_____________________________________________ __________________________________________________________.
2. 一元二次方程的一般形式:____________________________
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________, _____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0
a≠是一个重要条件，不能漏掉。）
3. 例将方程3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【课堂活动】
活动1 预习反馈、概念明确
活动2概念应用课堂训练
例1:判断下列方程是否为一元二次方程：1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系
数、及常数项：
⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3
2. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。
活动3归纳小结
一元二次方程：1. 概念 2.一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）【课后提高】
1．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
2．当a______时，关于x的方程a（x2+x）
2-（x+1）是一元二次方程.
3．若关于x的方程（m+3）27
m
x-+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，?并计算这个方程的各项系数之和．
4．关于x的方程（m2-m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
2
2
2
22
(1)10
(3)23x10
x x
(5)(3)(3)
x x
-=
=
+=-
2
2
ｘ (2)2(x-1)=3y
12
ｘ－－ (4)－=0
(6)9x=5－4x
22．1 一元二次方程（2）
年级：九年级科目：数学课型：新授备课时间：2014.8.22 主备：刘永红审核：田福生上课时间：2014.8.26
学习目标：
1．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
2．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
重点、难点
重点：判定一个数是否是方程的根；
难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
【课前预习】（阅读教材P3 , 完成课前预习）
1：知识准备
一元二次方程的一般形式:____________________________ 2：探究
问题:一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，?苗圃的长和宽各是多少？
分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m．
根据题意，得___________________．
整理，得________________________．
1)下面哪些数是上述方程的根？
0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？
4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
练习：1.你能想出下列方程的根吗？
(1) x2-36 = 0 (2) 4x2-9 = 0
2.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。
【课堂活动】
活动1：预习反馈，明确概念
活动2：典型例题，初步应用
例1.下面哪些数是方程x 2-x-6=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。
例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1) 2250x -= (2) 231x = (3)
2
9160x -= 活动3：随堂训练 1.写出下列方程的根：
（1）9x 2
= 1 （2）25x 2
-4 = 0 （3）4x 2
= 2
2. 下列各未知数的值是方程
2
320x x +-=的解的是（ ） A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2
3.已知方程
2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是______ 4. 试写出方程x 2-x=0的根，你能写出几个？ 活动4：归纳小结
1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。
2.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________ 【课后巩固】
1.如果x 2-81=0，那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________，x 2=__________．
2.一元二次方程2x x =的根是__________；方程x （x-1）=2的两根为
________
3.写出一个以2x =为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项
系数为1：_________________。
4.已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．
5. 若关于X 的一元二次方程
22
(1)10a x x a -++-=的一个根是0，a 的值是几？你能得出这个方程的其他根吗？
6. 若222x x -=，则
2
243x x -+=_____________。已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________。
7. 如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值． 8. 已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0）
（ ）
． A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 9. 方程x （x-1）=2的两根为（ ）．
A ．x 1=0，x 2=1
B ．x 1=0，x 2=-1
C ．x 1=1，x 2=2
D ．x 1=-1，x 2=2 10.方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是（ ）．
A ．x 1=b ，x 2=a
B ．x 1=b ，x 2=1
a C ．x 1=a ，x 2=1a
D ．x 1=a 2，x 2=b 2 11. 请用以前所学的知识求出下列方程的根。
⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x 2+2x+1=4 ⑷x 2-6x+9=0
拓广探索：
1. 如果2是方程x 2-c=0的一个根，那么常数c 是几？你能得出这个方程的其他根吗？
2. 如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
22.2.配方法解一元二次方程
年级：九年级学科：数学课型：新授备课时间：2014.8.22 主备：刘永红审核：田福生上课时间：2014.8.27
教学目标
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
【课前预习】
导学过程
阅读教材第5页至第9页的内容，完成以下问题
解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
填空：
（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？思考？
1、以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？
2、什么叫配方法？
3、配方法的目的是什么？
4、配方法的关键是什么？
用配方法解下列关于x的方程
（1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0 （3）x2-
2
1x-1=0 （4）2x2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤：
【课堂活动】
活动1、预习反馈
活动2、例习题分析
例1用配方法解下列关于x的方程：
（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0
【课堂练习】：
活动3、知识运用
1.填空：
（1）x2+10x+______=（x+______）2；（2）x2-12x+_____=（x-_____）
2
（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-3
2
x+_____=（x-_____）2
2．用配方法解下列关于x 的方程
（1） x 2-36x+70=0． （2）x 2+2x-35=0 （3）2x 2-4x-1=0
（4）x 2-8x+7=0 （5）x 2+4x+1=0 （6）x 2+6x+5=0
（7）2x 2+6x-2=0 （8）9y 2-18y-4=0 （9）x 2
归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤：
【课后巩固】
一、选择题
1．将二次三项式x 2
-4x+1配方后得（ ）．
A ．（x-2）2+3
B ．（x-2）2-3
C ．（x+2）2
+3 D ．（x+2）
2
-3
2．已知x 2
-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的
是（ ）．
A ．x 2-8x+（-4）2=31
B ．x 2-8x+（-4）2
=1
C ．x 2+8x+42=1
D ．x 2
-4x+4=-11
3．如果mx 2
+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的
完全平方式，则m 等于（ ）．
A ．1
B ．-1
C ．1或9
D ．-1或9 二、填空题
1．（1）x 2-8x+______=（x-______）2
；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2
（3）x 2+px+_____=（x+______）2． 2. 方程x 2+4x-5=0的解是________． 三、计算：
（1）x 2+10x+16=0 （2）x 2-x-4
3
=0
（3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x-9=0
四、综合提高题
1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，
求这个三角形的周长．
22.2用公式法解一元二次方程
年级：九年级科目：数学课型：新授备课时间：2014.8.23
主备：刘永红审核：田福生上课时间：2014.8.28
教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公
式法解一元二次方程．
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式法的推导．
【课前预习】
导学过程
阅读教材第34页至第37页的部分，完成以下问题
1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1
=
x2
=
2
b
a -
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：，二次项系数化为1，得
配方，得：即
∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
（1）b2-4ac＞0，则
2
2
4
4
b ac
a
-
＞0
直接开平方，得：即
x=
2
b
a
-
∴x1= ，x2=
（2）b2-4ac=0，则
2
2
4
4
b ac
a
-
=0此时方程的根为即一元二次程
ax2+bx+c=0（a≠0）有两个的实根。
（3）b2-4ac＜0，则
2
2
4
4
b ac
a
-
＜0，此时（x+
2
b
a
）2 ＜0，而x取任何实数都不
能使（x+
2
b
a
）2 ＜0，因此方程实数根。
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，
因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0
时，将a、b、c代入式子
b2-4ac＜0，方程
没有实数根。
（2）
x=
2
b
a
-±
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有实数根，也可能有实根或
者实根。
（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用
希腊字Δ表示它，即Δ= b2-4ac
用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
【课堂活动】
活动1、预习反馈
活动2、例习题分析
例2、用公式法解下列方程．
（1）x 2-4x-7=0 （2）2x 2-22x+1=0 （3）5x 2-3x=x+1 （4）x 2+17=8x
练习：
1、在什么情况下，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？
2、写出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，b 2-4ac ≥0）的求根公式。
3、方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）
A 有两个不相等的实数根
B 有两个相等的实数根
C 有一个实数根
D 没有实数根
4、用公式法解下列方程． （1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
（5）x 2+x-6=0 （6）x 2-3x-4
1
=0 （7）3x 2-6x-2=0
（8）4x 2-6=0 （9）x 2+4x+8=4x+11 (10) x （2x-4）=5-8x
【课堂练习】：
活动3、知识运用
1、利用判别式判定下列方程的根的情况：
（1）2x 2-3x-2
3
=0 （2）16x 2-24x+9=0 （3）x 2-24x+9=0 （4）3x 2+10x=2x 2+8x
2、用公式法解下列方程．
（1）x 2+x-12=0 （2）x 2-2x-4
1
=0 （3）x 2+4x+8=2x+11
（4）x （x-4）=2-8x （5）x 2+2x=0 (6) x 2+52x+10=0
归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况．
【课后巩固】 一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）． A ．
B ．
C ．
D ．
2
2
的根是（ ）．
A.x 1
x 2
B.x 1=6，x 2
C.x 1
x 2
D.x 1=x 2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．-4或2 二、填空题
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．
2. 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）2
2
m
x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？
22.2
解一元二次方程
年级：九年级 学科：数学 课型：新授 备课时间：2014.8.23 主备：刘永红 审核：田福生 上课时间：2014.8.29
学习目标：
1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法
2、选择合适的方法解一元二次方程
重点、难点
1、 重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程
2、 难点：选择合适的方法解一元二次方程
【课前预习】
一、梳理知识
1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
3、一般考虑选择方法的顺序是：
直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法 二、用适当的方法解下列方程：
1. 2
70x x -= 2. 2
1227x x +=
3、X （x-2）+X-2=0 4. 2
24x x +-= 5、5x 2
-2X-4
1 =x 2
-2X+43 6. 2
24(2)
9(21)x x +=-
【课堂活动】
活动1：预习反馈 活动2：典型例题
1．用直接开方法解方程： ⑴01362
=-x ⑵8142=x
⑶
()1652
=+x ⑷4122=+-x x
2．用因式分解法解方程：
⑴02
=+x x ⑵
012142=-x
⑶()()012123=---x x x ⑷()()025422=---x x
3．用配方法解方程：
⑴016102
=++x x ⑵04
3
2
=--x x
⑶05632
=-+x x ⑷0942
=--x x
4．用公式法解方程：
⑴0122
=-+x x ⑵04
1
22
=--x x
⑶112842+=++x x x ⑷
()x x x 824-=-
⑸022
=+x x ⑹
010522=++x x
活动3：课堂小结
解一元一次方程的方法：
【课后巩固】
1．用直接开方法解方程：
⑴
0942=-x ⑵()122=-x
⑶
()1292
=-x ⑷4122
=++x x
2．用因式分解法解方程：
⑴
0322=-x x ⑵()24123+=+x x x
⑶4
3
2412522
+-=-
-x x x x ⑷()()22312x x -=-
3．用配方法解方程：
⑴0182=+-x x ⑵x x 3122=+ ⑶
04632=+-x x
⑷09102=++x x ⑸04632
=-+x x ⑹()1284+=+x x x
4．用公式法解方程：
⑴012
=-+x x ⑵04
1
32
=-
-x x ⑶02632=--x x
⑷
0642
=-x x ⑸114842+=++x x x ⑹()x x x 8542-=-
22.2一元二次方程根与系数的关系
年级：九年级 学科：数学 课型：新授 备课时间：2014.8.23 主备：刘永红 审核：田福生 上课时间：2014.9.1 学习目标：
1．理解并掌握根与系数关系：a b x x -=+21，a
c
x x =21；
2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 重点、难点
重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系. 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；
【课前预习】阅读教材15页到16页的内容, 完成课前预习 1、知识准备
( 1 ) 一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式： 2
问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律；
②x 2
+px +q =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格
问题：上面发现的结论在这里成立吗？ 请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② a x 2+bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）
a x 2+bx +c =0的两根1x = , 2x =
12x x + 12.x x
= = = = = = = =
练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21
203x x -=
【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题
例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x 2
-6x -15=0 （2）3x 2
+7x -9=0 （3）5x -1=4x 2
例2：已知方程2290x kx +-=的一个根是 -3 ，求另一根及K 的值。
例3: 已知α,β是方程x 2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
例4:已知关于x 的方程3x 2
-5x-2=0,且关于y 的方程的两根 是x 方程的两根的平方,则关于y 的方程是__________
活动3：随堂训练
（1）x 2
-3x =15 （2）5x 2
-1=4x 2
+x
（3）x 2
-3x +2=10 （4）4x 2
-144=0
（5）3x （x-1）=2（x-1） （6）（2x-1）2
=（3-x ）2
活动4：课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系： 【课后巩固】 一、填空
1． 若方程20ax bx c ++=(a≠0)的两根为1x ，2x 则12x x += ，12.x x = __ 2 ．方程22310x x --= 则12x x += ，12.x x = __
3 ．若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为____ p=____
4 ．已知方程230x x m -+=的一个根1，则它的另一根是____ m= ____
5 ．若0和-3是方程的20x px q ++=两根，则p+q= ____
6 ．在解方程x 2+px+q=0时，甲同学看错了p ，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q ，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=——，q=——。 二、选择
1 ．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）
A 271250x x -+=
B 261350x x --=
C 242150x x ++=
D 21580x x +-= 2 ．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么 （ ） A p=q=0 B P=0,q≠0 C p≠0,q=0 D p≠0, q≠0） 三、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x 2
-5x -10=0 （2）2x 2
+7x+1=0
（3）3x 2-1=2x+5 （5）x （x-1）=3x+7
（5）x 2-3x+1=0 (6)3x 2- 2x=2
221
(2)(3)αβαβ
αβ
+
+-1
(1)
22.3实际问题与一元二次方程
年级：九年级学科：数学课型：新授备课时间：2014.8.23 主备：刘永红审核：田福生上课时间：2014.9.2
学习目标：
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重点、难点
重点：列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题的应用题
难点：发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系
【课前预习】（阅读教材P19 — 21内容, 完成课前预习）
探究：
问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；
2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程
，
解得
即平均一个人传染了个人。
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，?乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，?乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．
分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元．
依题意，得
解得：x
1
≈，x
2
≈。
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为。
②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，
列方程：
解得：
答：两种药品成本的年平均下降率．
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
【课堂活动】
活动1：预习反馈，分析问题
活动2：典型例题，初步应用
例1：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
例2：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg ，2003年平均每公顷产8460kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
活动3：归纳小结
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)“设”，即设_____________，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (2)“列”，即根据题中________ 关系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的_________； (4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。
2.增长率=（实际数-基数）/基数。平均增长率公式：2
(1)Q a x =± 其中a 是增长（或降低）的基础量，x 是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的次数。 【课后巩固】
1．某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？
2. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A ．x （x+1）=182
B ．x （x-1）=182
C ．2x （x+1）=182
D ．x （1-x ）=182×2
3．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）． A ．12人 B ．18人 C ．9人 D ．10人
4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
5.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
6．两个连续偶数的积为168，求这两个偶数.
7.某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？
8.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01﹪）
9.一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm ，面积是24 cm 2，求两条直角边的长。
10.一个菱形两条对角线长的和是10cm ，面积是12 cm 2，求菱形的周长。
一元二次方程(6)
一、教学目标： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点： 教学重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法：启发引导合作交流 四：教具、学具：课件 五、教学媒体：计算机、实物投影。 六、教学过程： [活动1] 检查预习引出课题 预习作业： 1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.
2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解. 师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。 教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。 设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。 [活动2] 创设情境探究新知 问题 1．课本P16问题. 2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m? （结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。） 师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2－4ac 两个交点两个相异的实数根 b2－4ac > 0 一个交点两个相等的实数根 b2－4ac = 0 没有交点没有实数根 b2－4ac < 0 教师重点关注：
解一元二次方程--教学设计(张洁)
一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研
初中数学一元二次方程知识点总结与练习
知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.
《配方法》解一元二次方程案例
《配方法》解一元二次方程教学案例 教学目标 【知识与技能】 使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。 【过程与方法】 经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。 【情感、态度与价值观】 通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教学过程设计 （一）创设情境 导入新课 导语一（1）你能解哪些一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ （3）解方程x 2 +12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x 2 +12x-15=0转化为上面方程的形式吗？ 导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a 2 +12a+ 62 =(a+ 6 )2 ； （2）x 2- x +4 1=(x+ 2 1 )2 ； 3、若4x 2 -mx+9是一个完全平方式，那么m 的值是 ±12 。 导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？ 你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？ [设这两年的年平均增长率为x ，则1600(1+x)2 =1936，解得x=10%，x 2=-210%（舍），即平均每年退耕还林的增长率为10%] （二）合作交流 解读探究 1、配方法
[问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2 ，场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出答案，请一位同学回答，教师演示答案。） 即：设场地宽xm ，长(x+6)m 。根据矩形面积为16m 2 ，列方程x(x+6)=16，即x 2 +6x-16=0 （注：本题选择以解决问题作为本节课的开端，有益于培养学生的应用意识。） （思考）怎样解方程x 2 +6x-16=0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x+9=2，可以发现方程x 2 +6x+9=2的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方 程x 2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x 2 +6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同 时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x 2 +6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。） 移 项 9（即(2 6)2）使左边配成 2的形式 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方
配方法解一元二次方程导学案[1]
配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难 点：配方的过程。 知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程： （1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？ 例2、 用配方法解下列方程： （1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？ 达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 ⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2.
2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程： （1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2． （6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 （3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
初中数学一元二次方程的解法
解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 （因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 ， x 2=4. （配方法）解：x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. （公式法）解：x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±（ 即x 1=4 , x 2=-2. （“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法） 解：x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1
例2 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）. 解：(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2
九年级数学一元二次方程教学案例
九年级数学（上）一元二次方程教学案例 1、创设情境 我们学校要建一个面积是150平方米一边靠墙的自行车棚，另外的三边用铁篱笆围成，如果铁篱笆周长是35米，请你设计一下车棚的长和宽各是多少？ 2、激发兴趣 教师设计符合学生生活实际的情景，一下子引起学生的兴趣，激发学习的动机，出示问题现在就请我们的各小组就这个问题讨论一下。 3、学生的新旧知识迁移阶段 经过讨论，各个小组使用以前的知识列出统一的方程，由原有的认知结构经过一系列的转化，产生新的知识结构，这时候各个小组都出现了迷惑的状态。从没有见过这样的方程，此时教师引入课题，这就是今天所讲的一元二次方程，然后进入一个阶段，好动的学生具有极强的好奇心，他们热衷于探求事物的本质，此时吊起他们的胃口，使他们在不知不觉中进入状态，确实是一个好的开始，也就意味着取得了成功的一半。 4、学生小组讨论阶段 现在我们来看这个方程有怎样的特点？教师抛出这样一个问题，并把他板书到黑板上，学生分组讨论交往互动，此时教师在小组内指导，宏观上能做到对全体的指导，并把学生的讨论结果即时的有选择的板书到黑板上。 “我们发现这个方程的次数是二次的” “我们还发现只有一个未知数” “我们又发现是按X的降幂排列的”“我们发现等式的右边是0” 这样老师尽力的把学生的各种观点板书，对于学生来说有一种成功感，特别是对于成绩相对比较差的学生，即时的表扬，调动各类学生积极参与教学过程，把课堂教学的主线定义为发展学生的创造性思维。 5、梳理归纳阶段。 通过上一步的讨论我们能否给出一个一元二次方程的定义及标准形式，通过上面的板书，请大家归纳一下，老师抛出第二个问题，根据这个阶段学生争强好胜的特点，他们会尽一切办法把自己的想法加到定义中，已表现出他们高人一筹，老师正是利用他们的这种心理，使他们朝着老师设计的轨道前进。当然，他们完全能够偏离轨道，只要产生思考的火花，就理应即时的表扬，学生归纳出以下的定义： “含有一个未知数并且次数是2的方程” “含有一个未知数并且次数是2的按X的降幂排列的方程”“含有一个未知数并且次数是2的X的降幂排列的等式的右边是0的方程” 老师把学生的讨论总结即时的板书，水到渠成最后得出一个统一的结论，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的次的方程叫一元二次方程，这样就对该概念的外延及内函有了充分的探讨，对于该知识的后续学习是极有协助的。教学反思： 我这次仅仅选了教学过程的一个极小的方面（概念教学）。就这个阶段来说，可能是上课伊始，学生的注意力比较集中的缘故，采用这种方法效果还是比较明显的。也可能是尊重学生的个性的原因，绝大部分的学生能积极地参与到合作讨论中，学生课堂上生动活泼，自由的发言，做到课堂活而不乱，学生说而有章，初步达到了最初设想到的目的，所以只要尊重学生的个性，适时引导，让每一个人
一元二次方程的定义教案
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
一元二次方程的解法教学设计
一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable
一元二次方程的解法教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的四种解法。
难点：选择恰当的方法解一元二次方程。 教学建议： 一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析 （1）熟练掌握开平方法解一元二次方程 用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。 如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。 配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。 （2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：
因式分解法解一元二次方程导学案(教师版)
24、2因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、会灵活选择合适的方法求解一元二次方程 学习重点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 学习难点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、根据方程特征选择适当的方法解一元二次方程 温故而知新 1、什么叫因式分解？ 2、你所知道的因式分解的方法有哪些？ 3、将下列各式因式分解 (1) x2-x (2) x2-4 (3) x2-2x+1 (4) x2+x-12 4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为零。反之，若ab=0，那么________ 运用这一结论，快速求解下列方程 （1）x(x-1)=0 （2）(x-3)(x-5)=0 （3） (x+1)(x-4)=0 5、思考：试试这个吧！（要求群学） 解方程：x2=3x
闪亮登场 1、试一试 （群学）试着用上面的方法求解一元二次方程 x 2 =3x （请一名同学上台演示，必须说明理论依据和步骤） 2、总结因式分解法解一元二次方程的定义（投影) 先将一元二次方程通过（ ）化为两个一次式的乘积等于（ ）的形式，再使这两个一次式分别等于（ ），从而实现（ ），这种解法叫做因式分解法。 3、总结因式分解的步骤 （学生总结） （投影展示）【右化零，左分解，两因式，各求解】 4、把关练习（师傅把关） (1)x(x-2)+x-2=0 (2)(x －1)(x ＋2)=2(x ＋2) (3)5x 2-2x-41=x 2-2x+4 3 (4)x 2-12x+35=0 5、找找茬 （对学） 有一个很爱动脑筋的同学，又发现了一种更简洁的解法，大家看一看，这样行吗？ x 2 =4x 解：方程同除以x ，得 x=4
《一元二次方程》教学案例
《一元二次方程》教学案例 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求
根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分
一元二次方程优质课教学设计
《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析
3.4用因式分解法解一元二次方程导学案
3.4用因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 学习过程 一、课前预习： （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 二、课内探究 1、自主学习： 思考下面各题． （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 结论：因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 2、合作交流： 先自己完成，后小组对照答案，改正错误 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式 解：（1） （2）移项，得
中考数学一元二次方程知识点总结
中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题
二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ， ，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数
c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范 围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求
21.1一元二次方程(教学设计)
第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(
公式法解一元二次方程导学案
公式法解一元二次方程导学案 主备人： 组长： 包科领导： 学习目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 学习重点： 求根公式的推导，公式的正确使用 学习难点： 求根公式的推导 预 习 案 1、用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能 否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c ? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解： 移项，得： ， 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况： （1） b 2 -4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方，得： 即x=2b a -± ∴x 1= ，x 2= （2） b 2 -4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。 （3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取
任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 探 究 案 一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0， 当b 2 -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。 （2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。 当b 2-4a c ＞0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。 （4） 一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的 判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac 二、使用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○ 2求出b 2-4ac 的值 ○ 3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式 x 1，x 2；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根 三、用公式法解方程（参考课本65页例题书写） （1）x 2-4x-7=0 （2）4x 2-3x+1=0 四、当堂训练 1.用公式法解下列方程：
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中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m
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