有心力作用下质点的守恒量

有心力作用下质点的守恒量

在物理学中，心力是指质点受到的向心力或者引力的做功。当一个质

点在一个中心力场中运动时，心力是其能量守恒的重要量之一、本文将详

细讨论有心力作用下质点的守恒量。

首先，我们考虑质点在一个中心力场中运动的情况。一个中心力场是

一个向心力场，它使得质点向力场的中心运动。这种力场是非常常见的，

例如：地球的引力场、行星围绕太阳的引力场等。在这种情况下，质点受

到的力可以表示为F=-k/r²，其中k是常数，r是质点与力场中心的距离。

当质点沿着力场的中心向心运动时，根据力学中的能量守恒原理，质

点的机械能守恒，即质点的动能和势能之和保持不变。在没有外力作用的

情况下，质点的机械能守恒可以表示为E = T + V = const，其中T是质

点的动能，V是质点的势能。

质点的动能可以表示为T=(1/2)m*v²，其中m是质点的质量，v是质

点的速度。因此，质点运动的动能与速度的平方成正比。而质点的势能可

以表示为V=-k/r，势能与质点与力场中心的距离r成反比。

由此得出质点的机械能守恒方程为E = (1/2)m*v² - k/r = const。

这个方程描述了有心力作用下质点机械能的守恒特性。

此外，在有心力作用下，还存在另外一个守恒量，即角动量。角动量

是质点运动的一个重要物理量，表示质点绕力场中心旋转的倾向。角动量

的大小可以表示为L = m*r*v*sinθ，其中θ是质点速度与力场切线方

向的夹角。

由于质点的角动量是一个守恒量，即L = m*r*v*sinθ = const。这

个方程表示了绕着力场中心运动的质点的角动量守恒。

可以看出，有心力作用下质点的机械能和角动量都是守恒量。这两个守恒量在物理学中具有重要的应用和意义。

例如，当质点在重力场中运动时，重力是一个向心力，质点的机械能和角动量都是守恒量。这解释了为什么行星围绕太阳的轨道是椭圆形的，因为机械能守恒方程和角动量守恒方程可以确定行星的轨道参数。

此外，在量子力学中，角动量守恒在描述原子和分子的性质以及电子态的转换过程中也起到了关键作用。量子力学中，质点的机械能和角动量都是离散化的，它们的量子化描述了微观粒子运动的特性。

总结起来，有心力作用下质点的机械能和角动量是守恒量。这些守恒量在物理学中具有广泛的应用，解释了物理现象以及量子力学中微观粒子的运动规律。理解和研究有心力作用下质点的守恒量对于物理学的发展和应用具有重要意义。

理论力学习题及解答

第一次作业 [单选题]力场中的力，必须满足的条件是：力是位置的（）函数 A：单值、有限、可积 B：单值、有限、可微 C：单值、无限、可微 D：单值、无限、可积参考答案：B [单选题]下列不属于牛顿第二定律的特点或适用条件的是（） A：瞬时性 B：质点 C：惯性系 D：直线加速参考系 参考答案：D [单选题]在质心坐标系与实验室坐标系中观测两体问题时，（） A：在质心坐标系中观测到的散射角较大 B：在实验室坐标系中观测到的散射角较大 C：在两种体系中观测到的散射角一样大 D：在两种体系中观测到的散射角大小不确定参考答案：A [判断题]两动点在运动过程中加速度矢量始终相等，这两点的运动轨迹一定相同（） 参考答案：错误 [判断题]惯性力对质点组的总能量无影响（） 参考答案：正确 [判断题]只在有心力作用下质点可以在空间自由运动。（） 参考答案：错误 [单选题]下列表述中错误的是：（） A：如果力是关于坐标的单值的、有限的、可微的函数，则在空间的每一点上都将有一定的力作用，此力只与该点的坐标有关，我们称这个空间为力场； B：保守力的旋度一定为0； C：凡是矢量，它对空间某一点或者某一轴线就必具有矢量矩； D：由动量矩守恒律（角动量守恒律）可知，若质点的动量矩为一恒矢量，则质点必不受外力作用。参考答案：D [单选题]某质点在运动过程中，其所属的状态参量位移、速度、加速度和外力中，方向一定相同的是：（）A：加速度与外力； B：位移与加速度； C：速度与加速度; D：位移与速度。参考答案：A [单选题]下面关于内禀方程和密切面的表述中，正确的是（） A：密切面是轨道的切线和轨道曲线上任意点所组成的平面； B：加速度矢量全部位于密切面内； C：切向加速度在密切面内，法向加速度为主法线方向，并与密切面垂直； D：加速度和主动力在副法线方向上的分量均等于零。参考答案：B [单选题]力的累积效应包括（） A：冲量、功 B：力矩、动量矩

理论力学期末前复习题-3.填空选择

一、填空题 1、质点运动方程为 r = a t ，θ= bt ，则极坐标下的轨道方程为 ，加速度大小 为 。 [θb a r = ；224t b ab +；221t b a +] 1、质点运动方程为t b y t a x ωωsin ,cos ==（b a ,为常数）其轨道方程为 ， 速度大小为 。 [t b t a v b y a x ωω2 2222222cos sin ;1+==+] 2、单位质量的两个质点位于xy 平面上运动，在某时刻其位矢、速度分别为 j i v j i v j i r j i r 52,,32,32121+=-=+=+= 则此时质心位矢=c r ， 质心速度为=c v ，质系动量=p ，质系动能T= ， 质系对原点的角动量=J 。 [)43(21j i r c +=)43(2 1j i v c +=；j i p 43+= ；T=31/2；k J 2=] 3、质量均为1的三个质点组成一质系，若其瞬时速度分别为i v k v j v 3,2,23 21==-=，则质系的动量为 ，质心速度为 。[k j i 223+- ； k j i 3 232+-] 3、质量均为1的三个质点组成一质系，某时刻它们的位矢分别为 ,2,,32321k j r j i r k j i r +=+=++=，则质系的质心位矢为 。 [k j i r c 3 22++=] 4、已知质点势能为)(2 12 2y x V +=，则保守力=F 。[j y i x F --=] 5、当质点受有心力作用时，其基本守恒律的数学表达式为 和 。 [h r =θ 2；E r V r r m =++)()(2 122θ ] 6、一个圆盘半径为r ，质量为m ，沿直线作纯滚动，盘心速度为c v ，则圆盘的转动角速度 =ω ，圆盘的绝对动能T= 。[r v c /=ω；2224 1 2 1ωmr mv T c +=] 7、标出下列两图中作平面运动刚体的转动瞬心的位置：

理论力学各章小结

《理论力学》内容小结 第一章 质点运动学 一、运动的描述方法 1．参考系——描述物体运动时被选作参考的另一物体叫参考系。 2．运动与静止——相对于参照坐标系而言，运动质点的坐标是时间t 的函数，如质点坐标为常数，则为静止。 3．运动学方程 （a ）矢量形式)(t r r = (b)坐标形式 Ⅰ直角坐标)(1t f x =，)(2t f y =，)(3t f z = Ⅱ平面极坐标)(t r r =，)(t θθ= 4．轨道——运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去t 而得。 二、速度与加速度 1．矢量形式dt r d v =，22d d d d t r a == t v 2．分量形式（平面） Ⅰ直角坐标 速度x ，y ；加速度x ，y Ⅱ平面极坐标 径向速度r ，横向速度θ r ；径向加速度2 θ r r -，横向加速度θθ r r 2+ Ⅲ自然坐标 切向速度s ，法向速度0；切向加速度s ，t d d v 或s d d v v ，法向加速度ρ2v 三、平动参考系 1．匀速直线运动参考系 v v v '+= 0（绝对速度＝牵连速度＋相对速度） a a '= （绝对加速度＝相对加速度） 2．加速直线运动参考系 v v v '+= 0 a a a '+= 0（绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度） 第二章 质点动力学 一、质点运动微分方程 1． 自由质点 （a ）矢量形式 ),,(t r r F r m = （b ）分量形式 Ⅰ直角坐标 x F x m = ，y F y m = ，z F z m =

Ⅱ平面极坐标 r F r r m =-)(2θ ，θθθF r r m =+)2( Ⅲ自然坐标 τF t m d d v ，n F m =ρ2v ，b F =0 2． 非自由质点——取消约束，代以约束范作用力，就可把非自由质点视为自由质点，再和 约束方程联立求解。 3． 理想线约束 τF t m =d d v ，n n R F m +=ρ2v 二、功与能 1． 功 z F y F x F r F W z y B A x B A d d d d ++=⋅= ⎰⎰ 是一个线积分，一般随路径而异 2． 能——物体作功的本领，功是能量变化的量度 3． 动能22 1 v m E k =，m 是质点的质量，v 是质点的速度 4． 势能 如V F -∇= ，则力所作的功与路径无关，只与两端点的位置有关，这种力叫保守力， 在保守力场中，函数),,(z y x V 就是质点在),,(z y x 点上相对于某一规定零点的势能。 三、质点动力学的几个基本定理与守恒定律 1． 动量定理与动量守恒定律 动量v m p = 动量定理F t m t p ==d )(d d d v 动量守恒定律0=F ，=p 恒矢量，或1C x = ，2C y = ，3C z = 2． 角动量定理与角动量守恒定律 对一点的角动量p r J ⨯= 力矩F r M ⨯= 角动量定理 t J M d d = 或 [][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=--=-x y z x y z yF xF x y y x m t xF zF z x x z m t zF yF y z z y m t )(d d )(d d )(d d 角动量守恒定律0=M ，=J 恒矢量，或 4C y z z y =- ，5C z x x z =- ，6C x y y x =-

有心力

有心力与轨道 摘要本文主要有心力的特点，行星轨道的特点，以及用比耐方程解决一些关于有心力与轨道的问题。 关键词有心力轨道比耐方程 1有心力 a质点所受力的作用线恒通过一固定点，且其值为两点距离的函数的力场。该固定点称为力心。 方向：质点在运动中受力的方向总通过某固定点 b大小：矢径r 的函数 c有心力的运动微分方程 m x =F(r)x r m y =F(r)y r 极坐标 m(r ?rθ2)=F r m rθ+2r θ=Fθ d性质：在有心力的作用下，质点对力心的动量矩守恒，质点只能在平面内运动。有心力是保守力。 2行星轨道方程

行星轨道方程r = ?2/k 2 1+(2 k 2)cos θ 极坐标系下椭圆方程r = p 1+e cos θ 可以看出 行星的轨道是圆锥曲线 形状由e 决定。当 e>1轨道为双曲线 e=1轨道为抛物线 e<1 轨道为椭圆 3比耐方程 a 由轨道微分方程 ? ??==-h r r F r r m θθ 2) ()( 可得 ?2u 2 d 2 u dθ2+u =?F m 上式被称为比耐方程。 b 令u = 1r = 1+cos θ p 将其代入比耐方程 2 22 2 2 2 2 2 2 2 )cos 1 cos ()( pr h m u p h m p e p p e u mh u d u d u mh F -=-=+ + - -=+-=θθθ 可得引力与距离成平方反比的关系 c 假设 ? F m =u 3?2时 将上式代入比耐方程，可得

1 u d2u dθ2 +u=1 可知du dθ =const 当初速度方向与半径方向垂直时 r=?h du dθ =0 所以r=const 此时的运动轨道为圆。 Dα粒子散射 当电子经过α粒子的立场时，所受的力为 F=1 4πε02Ze2 r2 （因为是斥力，所以右式写正号） 代入比耐公式得 d2u dθ2+u=? 1 4πε0 2Ze2 ?2m 令u=δ?1 4πε02Ze2?m 代入得d 2δ dθ2 +δ=0 解得δ=Acos(θ?θ0) r=1 u = 4πε0m?2/2Ze2 4πε0m?2 2Ze2 A cos(θ?θ0)?1 是双曲线的一支，这和测量结果是相同的。由此可见，质点受到有心力的作用，运动轨迹不一定是椭圆运动。当质点收到有心力作用时，我们就可以利用比耐公式求其运动轨迹。

有心力作用下质点的守恒量

有心力作用下质点的守恒量 在物理学中，心力是指质点受到的向心力或者引力的做功。当一个质 点在一个中心力场中运动时，心力是其能量守恒的重要量之一、本文将详 细讨论有心力作用下质点的守恒量。 首先，我们考虑质点在一个中心力场中运动的情况。一个中心力场是 一个向心力场，它使得质点向力场的中心运动。这种力场是非常常见的， 例如：地球的引力场、行星围绕太阳的引力场等。在这种情况下，质点受 到的力可以表示为F=-k/r²，其中k是常数，r是质点与力场中心的距离。 当质点沿着力场的中心向心运动时，根据力学中的能量守恒原理，质 点的机械能守恒，即质点的动能和势能之和保持不变。在没有外力作用的 情况下，质点的机械能守恒可以表示为E = T + V = const，其中T是质 点的动能，V是质点的势能。 质点的动能可以表示为T=(1/2)m*v²，其中m是质点的质量，v是质 点的速度。因此，质点运动的动能与速度的平方成正比。而质点的势能可 以表示为V=-k/r，势能与质点与力场中心的距离r成反比。 由此得出质点的机械能守恒方程为E = (1/2)m*v² - k/r = const。 这个方程描述了有心力作用下质点机械能的守恒特性。 此外，在有心力作用下，还存在另外一个守恒量，即角动量。角动量 是质点运动的一个重要物理量，表示质点绕力场中心旋转的倾向。角动量 的大小可以表示为L = m*r*v*sinθ，其中θ是质点速度与力场切线方 向的夹角。 由于质点的角动量是一个守恒量，即L = m*r*v*sinθ = const。这 个方程表示了绕着力场中心运动的质点的角动量守恒。

可以看出，有心力作用下质点的机械能和角动量都是守恒量。这两个守恒量在物理学中具有重要的应用和意义。 例如，当质点在重力场中运动时，重力是一个向心力，质点的机械能和角动量都是守恒量。这解释了为什么行星围绕太阳的轨道是椭圆形的，因为机械能守恒方程和角动量守恒方程可以确定行星的轨道参数。 此外，在量子力学中，角动量守恒在描述原子和分子的性质以及电子态的转换过程中也起到了关键作用。量子力学中，质点的机械能和角动量都是离散化的，它们的量子化描述了微观粒子运动的特性。 总结起来，有心力作用下质点的机械能和角动量是守恒量。这些守恒量在物理学中具有广泛的应用，解释了物理现象以及量子力学中微观粒子的运动规律。理解和研究有心力作用下质点的守恒量对于物理学的发展和应用具有重要意义。

质心运动守恒

质心运动守恒 动量定理 质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力 的元冲量。用公式表达为 （17-7） （17-8） 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将（17-8）式积分， 积分区间为从到，得 （17-9） 记，称为力在到时间间隔内的冲量。式（17-9）为质点系动量定理的 积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质 点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。 对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系 内力，根据牛顿第二定律得 即 除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。如果质点的质量不变，则有 上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。上式中是质点 系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为

（17-10） 这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。 将式（17-10）写成微分形式 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得（17-11） 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即 这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。 由式（17-10）可知，动量定理在直角坐标轴的投影为 （17-12） 如果外力的矢量和不为零，但在某个坐标轴上的投影为零，则质点系的动量并不守恒，但在该轴上的投影守恒。例如外力在x轴的投影为零，即，则为常量，这是质点系动量守恒的一种特殊情况。 解 将本题分二阶段处理：1.锤头自由下落；2.锤头打击工件 令自由落体时间为t，由运动学知，所以 （1）=0.553s。下落至接触工件前瞬时，锤头具有向下的速度。 （2）锤头打击工件时，锤头受到重力和垂直向上的工件反作用力，因工件反作用力在极短时间内迅速变化，作为工程近似，本题中用平均反

论述角动量守恒定律及应用

谈谈角动量守恒及其应用 （胡建 13级光电信息2班 51305062021） 摘要：简要介绍角动量守恒定律以及其在生活，工程，科学方面的运用。 关键词：角动量守恒定律、应用、自然现象。 角动量守恒是物理学的普遍定律之一。反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。在现实生活之中，也有许多方面运用到了角动量守恒定律。本文会较少角动量守恒定律在生活，工程，科学研究之中的应用。 一、角动量定理：（angular momentum）也称动量矩定理 表述角动量与力矩之间关系的定理。对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间 图1 角动量定理 的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理：质点系对任一固定点O 的角动量对时间的微熵等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。由此可见，描述质点系整体转动特性的角动量只与作用于质点系的外力有关，内力不能改变质点系的整体转动情况。 二、质点的角动量守恒定律：对于固定参考点而言，若受到的合力矩为零，则质点的角动量大小和方向保持不变，这一规律称为质点的角动量守恒定律。对于仅仅受有心力作用的系统，角动量守恒。 三、角动量守恒的应用： (一)跳水：人体作为一个一个质点系，在运动过程中也 应遵循角动量定理。人体 脱离地面和运动器械后。 仅受重力作用，故人体相 对质心角动量守恒用人体

形状可变的性质，应用角动量守恒定律就可做出千姿百态的动作出来。当物体绕定轴转动时，如果它对轴的转动惯量是可变的，则在满足角动量守恒的条件下，物体的角速度随转动惯量I的改变而变，但两者之乘积却保持不变，因而当I 变大时，变小；I变小时，变大。 在花样滑冰中，运动员利用身体的伸缩改变自身的转动惯量，以改变绕自身竖直轴的角速度。 （二）举哑铃：人手持哑铃在转台上的自由转动属于系统绕定轴转动的角动量守恒定律的特例。因为人，转台和一对哑铃的重力以及地面对转台的支承力皆平行于转轴，不产生力矩，M=0，故系统的角动量应始终保持不变。 . 图4 四、解释自然现象 角动量和角动量守恒，是大学物理课程中的一个重要知识。在课本中，已经列出了可以用角动量守恒解释的例子，这包括溜冰员、芭蕾舞演员、空中飞人和高台跳水员等的旋转运动。除此之外，角动量定律和一些重要的自然现象有密切的关系。 （一）地面风的偏移

质点系动量守恒的充要条件

质点系动量守恒的充要条件 动量是物理学中一个重要的概念，描述了物体运动的特征。在物理学中，质点系动量守恒是一个非常重要的原理，它可以帮助我们理解物体运动的规律。在本文中，我们将探讨质点系动量守恒的充要条件。 一、动量的定义 动量是物体运动的特征之一，它是物体质量与速度的乘积。动量的公式为： p = mv 其中，p表示动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。 动量是一个矢量量，它的方向与物体速度的方向相同。因此，当物体速度改变时，动量也会改变。 二、质点系动量守恒的定义 质点系是指多个质点组成的系统。质点系动量守恒是指，在一个质点系中，如果没有外力作用，那么质点系的总动量将保持不变。 在质点系中，每个质点的动量可以表示为： pi = mi vi 其中，pi表示第i个质点的动量，mi表示第i个质点的质量，vi表示第i个质点的速度。 质点系的总动量可以表示为： p = Σ pi = Σ mi vi 其中，Σ表示对所有质点进行求和。

如果质点系没有外力作用，那么质点系的总动量将保持不变，即： p1 + p2 + … + pn = p1' + p2' + … + pn' 其中，p1、p2、…、pn表示初始状态下每个质点的动量，p1'、p2'、…、pn'表示最终状态下每个质点的动量。 三、质点系动量守恒的充要条件 质点系动量守恒有两个充要条件：无外力作用和内部相互作用力满足一定条件。 1. 无外力作用 当质点系没有外力作用时，质点系动量守恒。 外力是指质点系外部对质点系施加的力，它可以改变质点系的动量。如果质点系没有外力作用，那么质点系的总动量将保持不变。 2. 内部相互作用力满足一定条件 当质点系有内部相互作用力时，质点系动量守恒的条件比较复杂。 内部相互作用力是指质点系内部质点之间相互作用的力。在质点系中，每个质点都会受到其他质点的作用力，这些作用力可以改变质点的动量。因此，要满足质点系动量守恒，内部相互作用力必须满足一定条件。 在质点系中，如果内部相互作用力满足以下条件，那么质点系的总动量将保持不变： 1）内部相互作用力是保守力； 2）内部相互作用力是静力学力，即内部相互作用力只与位置有关，与速度无关。

浅析角动量守恒定律

浅析角动量守恒定律 浅析角动量守恒定律 摘要：角动量守恒定律与动量守恒定律及对一轴线和对轴线上任一点的角动量守恒两个容易混淆的问题，从守恒条件和守恒量两个方面进行了比较与澄清。 关键词：动量守恒;角动量守恒;守恒条件;守恒量 角动量(又称动量矩)守恒定律是力学三大守恒定律之一。 一、角动量守恒定律原理 (一)物理学的普遍定律之一 反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。反映不受外力作用或所受诸外力对某定点(或定轴)的合力矩始终等于零的质点和质点系围绕该点(或轴)运动的普遍规律。物理学的普遍定律之一。如，一个在有心力场中运动的质点，始终受到一个通过力心的有心力作用，因有心力对力心的力矩为零，所以根据角动量定理，该质点对力心的角动量守恒。因此，质点轨迹是平面曲线，且质点对力心的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。如果把太阳看成力心，行星看成质点，则上述结论就是开普勒行星运动三定律[1]之一。 外力或外界场作用的质点系，其质点之间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零，从而导出质点系的角动量守恒。如，质点系受到的外力系对某一固定轴之矩的代数和为零，则质点系对该轴的角动量守恒。角动量守恒也是微观物理学中的重要基本规律。在基本粒子衰变、碰撞和转变过程中都遵守反映自然界普遍规律的守恒定律，也包括角动量守恒定律。W・泡利于1931 年根据守恒定律推测自由中子衰变时有反中微子产生，1956年后为实验所证实。 角动量定理的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理：质点系对任一固定点O的角动量对时间的微

角动量及其守恒

1力矩 表述 由点到力的作用点的矢径 r 与力F 的矢量积称为力 F 对点0的力矩，即 注释： ⑴ 力矩是描述物体间相互作用的物理量. 力矩 不仅与力的大小有关，而且与力的方向及作用点的 相对位置有关，相同的力，若作用点不同，产生的 力矩也不同，所以，提到力矩时，必须指明是相对 哪个点而言的. ⑵力矩是矢量，其大小为 M = Frsin =Fd ，式中，［为r 与力F 方向 间（小于180°）的夹角，d 到点O 力矢量的延长线 的距离，称作力臂，显然，若力的作用线通过参考点， 力臂为零，则力矩为零. ⑶力矩的方向由右手旋法则确定， 即将右手的四 个手指由矢量r 沿小于180°转至力F 的方向，此时伸出的指向，即是力矩的方向，如图 1.2.1所示，力矩 M 垂直于r 和F 构成的平面。 2、冲量矩和角动量（动量矩） 冲量矩 力对某定点的力矩 M 与力矩作用的微小时间间隔 dt 的乘积，称为力矩 M 在 时间dt 内的冲量矩，而在t ［到 t ?的一段时间内的冲量矩是 ,2 Mdt . 1 角动量 质点对某点的位矢 r 与质点在相应位置的动量 mv 的矢量积，称作质点对该 定点的动量矩，即: L =r p 是质点运动状态的函数, 第七讲角动量及其守恒 注释 ⑴冲量矩是矢量，反映的是力 对绕定点转动的时间积累作 用，是一个和过程有关的量. ⑵ 角动量是矢量，其大小为 丨=rmvsi ，式中二为r 和 mv 方向间（小 于180° ）的夹角，其方向垂直于由r 和mv 构成的 平面，由右手法则确定，如图所示。 ⑶角动量是描述质点绕定点的运动， 是状态量.提到动量矩， 应指出是相对哪个定点而言的. ⑷ 动量和角动量概念的对比. 动量和角动量都是矢量， 又都 但二者又有区别：从定义看，前者只是速度的函数，而后者除了与 运动速度有关以外， 还与质点对给定点的矢径有关. 以匀速圆周运动为例， 运动过程中动量 不守恒， 图

质点的角动量定理及角动量守恒定律

第六章角动量 内容： §6－1 力矩（4课时） §6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律（4课时） 要求： １.熟练掌握力对点的力矩。 ２.理解对点的角动量定理及角动量守恒定律。 重点与难点： 角动量守恒定律。 作业： P219 1，2，3，4， P220 5，6，，

第六章 角动量 §6－1 力矩 一、力对点的力矩： 如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ⨯= 大小为： θs i n Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对 转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θs i n Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑ ∑=⨯= ⨯=⨯i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝ 四、单位： m N ⋅ 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。 （1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； （2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；

三、动量矩守恒定律：

三、动量矩守恒定律 上一次课我们从牛顿第二定律出发导出了两条重要推论，一条是动量定理及其守恒定 律，另一条就是动量矩定理及其守恒定律。根据动量矩守恒定律我们还可以证明这样一个特 征：力矩为零的质点只能作平面运动。我们课本上的P.59页的例1，其实就是证明这个结论 的例子。这个例题让我们证明：当质点所受的力，如果恒通过某一个定点，则质点必定在一 平面上运动。下面我们就利用动量矩守恒定律来对它加以证明。 证明：质点所受的力，如果恒通过某一个定点，那么这个定点就叫力心。例如地球绕太 阳运行而受到太阳的引力作用，这些引力的作用线总是通过太阳中心的，这种有力心的力就 叫做有心力。如果我们取力心为坐标原点，那么由于运动质点的位置矢径r 与质点所受的力F 是在同一直线上的。显然，质点所受的力F 对坐标系的原点即力心的力矩 F r ⨯ 是等 于零的，即：0=⨯F r 。所以，此情况下的质点在运动过程中角动量是守恒的。即 c v m r =⨯。将它写成直角坐标的分量形式的话，则有： m (y ..y z z -)=x c ------(1) m (z ..z x x -)=y c ------(2) m (x ..x y y -)=z c --------（3） 我们将（1）z y x ⨯+⨯+⨯)3()2( 即： xm (y . .y z z -)=x c x ym (z ..z x x -)=y y c + zm (x ..x y y -)=z c z 0=++z c y c x c z y x 所得到的这个方程，是什么方程？根据空间解析几何知识可知它是 一个平面方程。这就证明了质点只能在这个平面方程所决定的平面上运动。因此，通过对这 个例子的证明，其实也同时包含证明了：力矩为零的质点只能作平面运动的这一特征。前面，我们根据牛顿第二定律已经得到了两个推论，接下去就讲他的第三个推论。 §6．动能定理与机械能守恒定律 在此先介绍有关功与能的几个基本概念和基本物理量。

利用圆锥曲线性质巧解有心力运动问题

利用圆锥曲线性质巧解有心力运动问题 厉守清 摘要：质点在有心力作用下的运动轨迹是圆、椭圆、抛物线或双曲线，本文从这四种圆锥曲线的性质出发，巧妙的求解物理竞赛中的运动时间、射程、运动方向等问题。 关键词：质点有心力圆椭圆抛物线双曲线运动时间射程运动方向 运动质点在某力场中运动时始终受到来自某定点的力的作用，且力的作用线为运动质点和该定点的连线，运动质点所受的这种力统称为有心力，这个定点则称作力心。质点在这样的有心力作用下的运动就叫做有心力运动。有心力运动的现象，在自然界中是大量存在的。例如行星绕太阳的运动，人造卫星绕地球的运动，以及小到我们肉眼直接看不到的原子内部的电子绕原子核的运动和a粒子的散射等等都属于有心力运动。有心力运动的基本特点：在有心力场中，对力心的角动量守恒；在有心力场中质点作平面运动；有心力运动的面积速度是恒定的；有心力存在势能。运动质点在在有心力场中的运动轨迹为圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线或双曲线。物理竞赛中常常涉及这四中圆锥曲线的运动问题，我们可以利用它们的性质，巧妙的求解运动时间、射程、运动方向等问题。 一、利用椭圆的性质，巧解时间问题 天体运动轨迹往往是圆或着是椭圆，求解运动时间的问题，对于圆或椭圆半个周期的整数倍，利用开普勒第三定律是比较容易求解的，但对于椭圆运动中一般时间的求解往往要用高等数学求解，比较麻烦，这里我们介绍一种利用圆和椭圆的性质，用初等数学来巧妙求解椭圆冠的面积，根据开普勒第二、第三定律求解椭圆轨道中的运动时间问题。 例1．竖直上抛中，以T表示到达最高点所需时间，以H表示最高点离地球表面的距离，R为地球半径，M为地球质量，G为万有引力常数，不计阻力，从考虑万有引力是“平方反比力”出发，确定时间T的数学表达式。

【理论】理论力学一

【关键字】理论 《理论力学》一 一．填空题 1. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等)称为( 约束)。 2．惯性力（约束）对应的反作用力，（称作）牛顿第三定律。 3. 如果力只是位置的函数，并且它的旋度等于零，即满足 则这种力叫做( 惯性力)。 4．真实力与参考系的选取（无关），而惯性力却与参与系的选取（相关）。 5．质点系的动能等于质心的动能与各质点相对（速度矢量和）的动能之和。 6. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等)称为(约束)。 7．同一质点系中各质点之间的相互作用力称为（约束反力） 二．选择题 1. 称为质点的( C )。 a. 法向加速度 b. 切向加速度 c. 横向加速度 d. 径向加速度 2．称为A a.平动惯性力 b.离心惯性力 c.科氏惯性力 3．称为质点的( C )。 a. 法向加速度 b. 横向加速度 c. 切向加速度 d. 径加速度 4．质点系中所有内力对任一力矩的矢量和A a. 等于零 b. 不等于零 c. 不一定等于零 5. 称为质点的( A )。 a.径向加速度 b.横向加速度 c.切向加速度 d.法向加速度 6．质点系内力所作的功A a. 等于零 b. 不等于零 c. 不一定等于零 7. 称为质点的( B )。 a. 横向加速度 b. 法向加速度 c. 径向加速度 d. 切向加速度 8．如果作用在质点上的力都是保守力，或虽是非保守力作用但非保守力不作功或所作功之和等于零。则质点系机械能A a. 守恒 b. 不守恒 c. 不一定守恒 9．称为A a.科氏惯性力 b.离心惯性力 c.平动惯性力 三．简答题 1．在曲线坐标系中，单位矢量和基矢有无区别？若有，区别何在？ 答：有区别，主要是角度变化。 2．瞬时速度中心；瞬时速度中心可以有加速度吗？ 答：可以有 3．写出质点系的动能定理，说明内力作功之和不为零的原因。 答：质点系动能定理：dT=F*vdt=F*dr.如果所有的力都是保守力就为零了。

万有引力作用下的质点运动问题讲解

引言 日月升落，星光闪烁，自古以来就吸引着人们探究其运行规律。这固然是航海、农业等生活、生产的需要，却也是人类了解自身环境秩序的渴求。今天，电子计算机和射电望远镜的使用不但使我们认识到星系的大小、结构，还为探求宇宙起源的大爆炸理论提供了证据。人造天体的升空实现了在太阳系内的实地考察。1990年4月由“发现者号”航天飞机送入太空的哈勃空间望远镜是探索宇宙空间的利器，它可以观测远在4000～5000万光年的造父星系，它还有能力发现遥远的非常暗、非常小的处于生长期的星系，寻找黑洞。1994年7月17日休梅克-列维9号彗星与木星相撞，哈勃空间望远镜已送回了清晰地图像。应该说，是牛顿的万有引力定律为我们今日对宇宙的认识开辟了道路，而万有引力定律开始形成就是植根于对宇宙中地、月、日运行的探索之中[1]。

1行星运动和开普勒定律 在古代，人们对天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。无论是地心说还是日心说，古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美的、最和谐的匀速圆周运动。德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现如果行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符。只有假设行星绕太阳运动的轨迹不是圆，而是椭圆，才能解释这种差别。他还发现了行星运动的其他规律。开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的下列规律，后人称为开普勒行星运动定律，即，开普勒三定律。 1.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，如图1.1。 图1.1 3.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 3 2 a T 恒量

理论力学习题(1)

第一章 思考题 1。1 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致? 答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况,它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致. 1。2 在极坐标系中，θθ r v r v r ==，为什么2θ r r a r -=而非r ？为什么θθθ r r a 2+=而非θθθ r r a +=？你能说出r a 中的2θ r -和θa 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？ 答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化,而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零,导致了上面几项的出现.实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量r a 中，除经向 直线运动的加速度r 外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量2θ r -;横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量θ r 外,还有沿横向的附加加速度θ r 2，其中的一半θ r 是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半θ r 是由于横向运动受径向运动的影响而产生的。 1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度b a 等于零,而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？ 答:由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了n a 沿主法线方向且指向曲率中心.在副法线方向不存在加速度分量,b a 等于零,这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到∑=0b F ，即所有外力之和在副法线方向平衡.