随机过程实验讲义

随机过程实验讲义

刘继成

华中科技大学数学与统计学院

2011-2012年上半年为华中科技大学数学系本科生讲授随机过程课程参考资料

前言 (1)

第一章Matlab 简介 (2)

第二章简单分布的模拟 (6)

第三章基本随机过程 (9)

第四章Markov过程 (12)

第五章模拟的应用和例子 (16)

附录各章的原程序 (51)

参考文献 (75)

若想检验数学模型是否反映客观现实，最自然的方法是比较由模型计算的理论概率和由客观试验得到的经验频率。不幸的是，这两件事都往往是费时的、昂贵的、困难的，甚至是不可能的。此时，计算机模拟在这两方面都可以派上用场：提供理论概率的数值估计与接近现实试验的模拟。

模拟的第一步自然是在计算机程序的算法中如何产生随机性。程序语言，甚至计算器，都提供了“随机”生成[0，1]区间内连续数的方法。因为每次运行程序常常生成相同的“随机数”，因此这些数被称为伪随机数。尽管如此，对于多数的具体问题这样的随机数已经够用。我们将假定计算机已经能够生成[0，1]上的均匀随机数。也假定这些数是独立同分布的，尽管它们常常是周期的、相关的、……。

……

本讲义的安排如下，第一章是Matlab简介，从实践动手角度了解并熟悉Matlab环境、命令、帮助等，这将方便于Matlab的初学者。第二章是简单随机变量的模拟，只给出了常用的Matlab 模拟语句，没有堆砌同一种变量的多种模拟方法。对于没有列举的随机变量的模拟，以及有特殊需求的读者应该由这些方法得到启发，或者参考更详细的其他文献资料。第三章是基本随机过程的模拟。主要是简单独立增量过程的模拟，多维的推广是直接的。第四章是Markov过程的模拟。包括服务系统，生灭过程、简单分支过程等。第五章是这些模拟的应用。例如，计算概率、估计积分、模拟现实、误差估计，以及减小方差技术，特别给读者提供了一些经典问题的模拟，通过这些问题的模拟将会更加牢固地掌握实际模拟的步骤。平稳过程的模拟、以及利用平稳过程来预测的内容并没有包含在本讲义之内，但这丝毫不影响该内容的重要性，这也是将会增补进来的主要内容之一。希望读者碰到类似的问题时能够查阅相关资料解决之。

各章的内容包括了模拟的基本思路和Matlab代码。源程序包展示了对各种随机过程与随机机制的有效模拟和可视化的基本技术，试图强调matlab自然处理矩阵和向量的方法，目标是为涉及应用随机模拟的读者在准备自己的程序代码时找到灵感和想法。建议读者在了解了模拟的基本方法之后就着手解决自己感兴趣的实际问题。对实际具体问题的解决有助于更深刻理解模拟的思想、也会在具体应用中拓展现有的模拟方法。

第一章Matlab 简介

若你想在计算机上运行Matlab，点击：开始/程序/MATLAB 6.5，这样将会出现有三个窗口的交互界面。如果你是初学者，可以先浏览一下Matlab的指导材料，点击：Help/ MATLAB Help,打开窗口左边的“MATLAB”一节即可看到相关的内容。

就自己而言，我学习Matlab更喜欢的方式是：输入并运行一些命令、观察出现的结果，然后查阅想了解的帮助文件。这也正是本节的方法。在“command window”窗口中显示有提示符“>>”,在提示符后输入下面的命令，按回车键即可运行并显示相应的结果。当然，不要输入行号、也不必输入后面的注释。

在这个部分讨论的Matlab 文件有: rando.m，vrando.m，show.m。

一、Matlab 初步

1：2*9 Matlab当作计算器用。2：sin(1) Matlab仅显示四位小数，但保存的更多！3：format long 显示更多位小数。4：sin(1)

5：2^999

6：format short

7：x=sin(1) 将计算结果存在变量中。8：x 显示x的值。9：x=rand(10,1) x是包含有10个[0，1] 上均匀分布随机数的集合，它是一个列向量或者是10×1的矩阵。

10：x+5 x的每个分量都加5。11：1000*x x的每个分量都乘以1000。12：x=rand(10,7) 10×7的随机数矩阵。若想重复此命令或其他命令，按住向上的光标键直至看到想重复的命令。

13：x=rand(1000,1) 将1000换成更大的数试试。14：x=rand(1000,1); 用分号“；”可以不显示结果。15：help 显示标准的帮助列表。16：help elmat 显示关于初等矩阵的帮助，包括命令“rand”。17：help rand 直接显示“rand”的帮助。18：x(1:20,1) 取出x的第一列中的1-20个数。19：help punct Matlab中关于标点符号的用法。20：max(x)

21：mean(x)

22：sum(x)

23：median(x) x的中位数。24：cumsum(x) x的分量累计和向量。25：y=sort(rand(10,1)) 由小到大排序后的向量。

26：hist(x) 作出x的直方图。27：hist(x,30) 用30个方柱代替缺省的10个。28：y=-log(x) 对x的分量取自然对数。29：hist(y,30) 多数的y的分量只是接近0的，但有些是和6差不多大的，y中的数被称为指数分布随机数。

30：z=randn(1000,1); 生成1000个标准正态分布随机数。31：hist(z,30) 直方图是钟形的。对大于1000的数试试结果。

二、获取更多帮助

32：如果你想查找不会使用的命令，可以点击：：Help/ MATLAB Help，打开左边的“MATLAB”

节，选择“Functions –Categorical List”即可。据我所知，这是寻求帮助的最好方法。

三、画出数据点

33：plot(x(1:10),’*’); 用“*”描出x的前10个点。注意两个单引号为英文的单引号，下同。34：plot(x-0.5); 向下平移0.5，描出述据点，且将其连成线。35：hold on 将下面的图形加到上面的图形中。36：plot(cumsum(x-0.5),’r’); 将这个结果图画到上面的图形中。“’r’”表示用红色的线绘出，而缺省的颜色为蓝色。

37：zoom on 用鼠标点击可放大图形，双击回到原始的尺寸。38：clf 清除当前的图形。39：z=randn(1000,1); 生成1000个标准正态分布随机数。40：w=z+randn(1000,1); 生成依赖z的随机数。41：plot(z,w,’*’); 作出（z,w）的图形。42：axis([-3 3 -4 4]); 显示x在 [-3，3]与y在[-4 ，4]范围的图形。

四、作图函数

43：clf

44：ezplot(’sin(x)’,[0 3*pi]); 画出正弦函数的图形。45：hold on

46：t=0:0.01:3*pi; 定义一个时间点向量，间隔为0.01。47：t t为一行向量。48：t=t’现在t为一列向量。49：plot(t,sin(5*t),’r’); 用红色画sin(t)关于t的函数。显然，函数ezplot不能设置图形的颜色。

50：title(’sin(x) and sin(5x)’) 给图形加上更恰当的标题。

五、运行现有的Matlab程序

51：上网下载或者拷贝一些编辑好的Matlab程序到自己的电脑中。

52：如果在你电脑的某个文件夹中有现成的Matlab程序（*.m）,可以设置“Current Directory”

(Command Window窗口的上面)为该文件夹即可运行这些程序。

53：如果在你电脑里的几个文件夹里都有Matlab程序，点击菜单中：File/ Set Path/Add Folder, 加入所有这些文件夹，最后选择“Save”。当你在Command Window窗口键入一命令后，Matlab 会在所有的这些文件夹中查找这个命令名。

六、抛硬币

54：3<5 不等式满足结果为1。55：5<3 结果是0。56：x=rand(20,1) 前面已输入过类似的命令。输入“x=”，然后用向上的光标键往回翻看，找到后将1000改为20。

57：x>0.5 对x的所有分量检查该不等式。58：z=1+(x>0.5) z的值为1或者2。这有点像抛硬币，1为正面，2为反面。59：show(z,’正反’) 这是一个名字为show的程序，有两个变量，一个是自然数向量，一个是用来与每个数相对应显示的字符串。它是自己编制的程序，保存在：

d:\MATLAB6p5\work\show.m。

60：show(1+(rand(1500,1)>0.5),’正反’)生成1500个抛硬币的结果。现在按下向上的光标键/回车，就会得到很多抛硬币的结果。你找到连续出现正面最多的个数了吗？61：show(1+(rand(1500,1)>0.5),’O-’) 可以通过改变显示的字符来简化刚才的问题。用向上的光标键很容易更改前面的命令来实现它。

这些语句对抛硬币的问题当然是足够了，因为它只有两个结果。但对其他，像掷色子，的随机试验，“rando.m”将更加有用，这也是自己编制的程序，保存在：

d:\MATLAB6p5\work\show.m。

62：d=[1 1 1 1 1 1]/6 掷色子的结果概率是一个行向量（或者1×6矩阵）。63：sum(d) 确认它们的和为1！64：rando(d) 用这些概率去模拟掷色子的每个结果。用向上的光标键重复这个命令几次。模拟掷色子的另一个简单的方法是放大均匀分布随机数后取整，

floor(1+6*rand(1))。

65：vrando([1 1 1 1]/4,20) 程序rando的向量版本。每个数是等概率出现的。66：show(vrando([1 1 1 1]/4,100),’BGSU’) 随机地生成字符B、G、S和U。出现BUGS 之前，BGSU出现了吗？

七、写一个Matlab程序

你将创建一个新的Matlab程序，名字为mywalk.m，用它来模拟100步的随机游动。在“file”

菜单下有一个空白的按钮，按下它即打开一个新的编辑窗口。在那个窗口里，分行输入下面的命令，然后保存该程序为mywalk.m。如果你保存在新的文件夹里，请确认这个文件夹是否已加入到Path中或者改变为Current Directory。

67：n = 100; 选取步数。68：x = rand(n,1); 生成均匀分布随机数。69：y = 2*(x > 0.5) - 1; 转换这些数到为-1和+1。70：z = cumsum(y); 计算y的累积和。71：clf

72：plot(z) 画出z的第1, 2, 3, ...等的值。

在command window窗口中输mywalk，运行（按回车）该程序，然后用光标键多次重复它。

如果有错误提示，检查你的输入是否是正确的。

73：运行几次后，你或许想一次就生成一个更长的字符串。到此目的的一个好的方法是将mywalk.m改为带参数的Matlab function，这样就可以调用它。

74：在你的程序中，将行“n = 100;”替换为

function [z] = mywalk(n) 这样，mywalk是一个带参数n的函数(生成序列的长度)，返回变量z。

函数里面的变量（比如y）是内部变量，它的值不被带到函数外面。就像sin和rand一样，函数mywalk 返回一个值（向量z）。回到command window窗口输入：

75：mywalk(1000); 运行参数为1000的程序mywalk。

八、矩阵

76：M=rand(6,6) 6×6的随机数矩阵。77：M(2,:) 取出矩阵M的第2行。78：M(:,4) 取出矩阵M的第4列。79：diag(M) 取出矩阵M的对角线元素。80：sum(M) 矩阵列求和。81：sum(M’)’ 对矩阵M的行求和。“’”表示转置。

九、Markov链

在第66行中，序列中字母的出现是相互独立的。我们将建立下面的一种情形，B通常跟随在U之后，但决不跟在G之后。出现B后，依概率向量[0.2 0.6 0.2 0]选择下一个字母。G出现后，又以另一不同的概率向量出现下一个字母，以此类推。为此，我们将创建名字为

BGSU_markov.m的新程序。打开一个新的编辑窗口，输入下面的命令，然后再命令窗口输入BGSU_markov运行之。

82：P=[[0.2 0.6 0.2 0]; [0 0.2 0.6 0.2]; [0.2 0 0.2 0.6]; [0.6 0.2 0 0.2]]; P是一个4×4矩阵。每一行表明将以多大的概率选择下一个字母。第一行即是数字1之后（对应字母B）的概率，第二行是数字2之后（G）的概率等等。

83：x(1) = rando([1 1 1 1]/4); 随机地选择第一个状态。84：for i=1:399,

85：x(i+1) = rando(P(x(i),:)); 这是非常明智的：无论在哪个时刻，x(i)的值是多少，P(x(i),:)总是矩阵P的第x(i)行。该行的概率作为rando的参数来生成下一个状态。

86：end

87：show(x,’BGSU’);

88：hist(x,4);

第二章简单分布的模拟

Matlab里生成[0，1]上的均匀随机数的语句是：rand(1,1); rand(n,m)。一旦有了[0，1]上均匀随机数，则我们就能够做下面的事情。

在这个部分讨论的Matlab 文件有: simexp.m, simpareto.m，simparetonrm.m, simdiscr.m, simbinom.m, simgeom.m, distrmu.m, distrstat.m。

一、一般连续分布（逆变换法、拒绝法、Hazard率方法）

生成有连续分布函数随机数的一般方法是用反函数法。设G(y)=F^{-1}(y)，如果u(1)..., u(n) 是服从（0，1））上均匀分布的随机数，那么G(u(1)), ..., G(u(n))就是分布函数为F(x)的随机数。比如，指数分布，Pareto分布等。

1、指数分布 simexp.m

事件以强度lambda的时间随机地发生，即事件在[t，t＋h]时间内发生的可能性是lambda

×h，令t为事件发生前的等待时间。

t=-log(rand)/lambda; % 服从参数为lambda的指数分布Exp(lambda)的随机数。

t=-log(rand(1,m))./lambda; % 服从Exp(lambda)的m维行向量。

2、Pareto分布 simpareto.m

概率密度函数: f(x)=alpha/(1+x)^(1+alpha), x>0

累积分布函数: F(x) = 1-(1+x)^(-alpha)。

这是带有所谓重尾分布中最简单的分布列子。产生一个均匀分布的样本，并用分布函数的反函数：

sample = (1-rand(1, npoints)).^(-1/alpha)-1;

3、标准Pareto分布 simparetonrm.m

概率密度函数: f(x)=gamma*alpha/(1+gamma*x)^(1+alpha), x>0

累积分布函数: F(x) = 1-(1+gamma*x)^(-alpha)

其中，参数gamma是用来控制期望值的。在分布有重尾的情况下，若1

sample = ((1-rand(M, N)).^(-1/alpha)-1)./gamma;

二、一般离散分布 simdiscr.m（除了上面的外，还有Alias方法）

假设给出n个概率p=[p(1)... p(n)], 满足sum(p)=1且分量p(j)是非负的。为产生m个服从这个分布的随机数，可以想象将区间（0，1）以p(1)...,p(n)为长度间隔做一个划分.产生一个均匀随机数，如果该数落在第j个间隔中，赋予此离散分布值j，重复m次。

uni=rand(1,m);

cumprob=[0 cumsum(p)];

sample=zeros(1,m);

for j=1:n

ind=find((uni>cumprob(j)) & (uni<=cumprob(j+1)));

sample(ind)=j;

end

1、0-1分布

(rand(1,m)<=p); % 生成m个以概率p为1，概率1-p为0的随机数（m维行向量）。

三、特殊分布

1、二项分布 simbinom.m

将每次成功的概率为p的试验独立做n次，设x是成功的个数

x=sum(rand(n,m)<=p); % x是服从Bin(n,p)的m维随机数向量。

2、几何分布 simgeom.m

实验每次成功的概率为p，设x为第一次成功前失败的次数。

x=floor(-log(rand(1,m))./(-log(1-p))); %服从参数为p的几何分布Ge(p)的m维随机数行向量。floor 是取小于它的最小整数的函数。

3、泊松分布

Matlab的统计工具箱含有产生泊松分布随机数的命令，为poissrnd。

poissrnd(lambda);

poissrnd(lambda, n, m); % 产生参数为lambda的泊松分布Po(lambda)随机数的n×m矩阵。

如果没有上面的命令，也可以用如下的命令替代之。

arrival=cumsum(-log(rand(1,5)./lambda));

n=length(find(arrival<=lambda)); %find是找出非0值所在的位置，length是它的维数。

4、正态分布

高斯分布，或正态分布的随机数用Matlab生成的命令是randn。

randn(1,m); % 服从标准正态分布N(0,1)的m维随机数行向量。

randn(n,m); % 每个分量是服从N(0,1)的n×m矩阵。

mu+sigma.*randn(1,m); % m个服从N(mu,sigma^2)分布的随机数

四、离散试验的模拟

1、从{1,…,n}中任取一个。

int(n*rand(1,m)+1);

从{1,…,n}中任取不可重复两个。

a=int(n*rand(1)+1);

b=int(n*rand(1)+1);

while(a=b)

b=int(n*rand(1)+1);

end

2、随机子集

模拟集合{1,…,n}的随机子集，我们是定义序列S(j)={0,1}，S(j)=1即表示将j在S中。每个S(j)，j=1,…,n,以1/2的概率独立选择0或1。

for j=1:n

s(j)=int(rand(1)+1);

j=j+1;

end

3、随机排列

假如我们向随机地排列a(1),…,a(n)，一个快速的方法是每一次互换两个数的位置，共n-1次。

for j=n:2

N=int(j*rand(1)+1);

y=a(N);

a(N)=a(j);

a(j)=y;

end

五、外部参数的随机数产生器distrmu.m

1、在一些模拟程序中(比如更新过程)，把概率分布作为一个外部参数来传递是很方便的。这是通过创建一个MATLAB函数来实现。例如，@rand, @simpareto。分布的参数是作为数组来传递的(在rand中为空数组{}，simpareto中为参量alpha{1.4}。

distrmu.m是一个表-查找函数，从它的参数列表中提取期望参数的外部随机数发生器，如：mu = distrmu(@simparetonrm, {1.4, 2.5});

2、平稳分布 distrstat.m

假设有一个分布函数为F(x)、期望值为mu的分布，则它的平稳或均衡分布的分布函数是G(x) = 1/mu * int_0^x (1-F(y))dy。例如，密度函数为f(x)=2-2*x, 0<=x<=1的线性分布是（0，1）上均匀分布上的平稳分布。参数为(alpha-1) Pareto分布是参数为alpha的Pareto分布，参数为lambda的指数分布的平稳分布就是自己。这将出现在平稳更新过程或者排队系统的平稳版本的例子中。

distrstat.m 是一个表-查找函数，给定一个外部随机数生成器，返回它的平稳分布随机数生成器。两个参数都以数组的形式给出。至于应用，可参见平稳更新计数过程。例如：[statdist, statpar] = distrstat(@rand, {});

第三章基本随机过程

两个基本机制是离散时间的随机游动与连续时间的泊松过程。这些过程是基于独立的简单模拟算法的原型。扩展到二维和三维中的模拟是直接的。

在这个部分讨论的Matlab文件有：ranwalk.m, brownian.m, poissonti.m, poissonjp.m, ranwalk2d.m, ranwalk3d.m, bm3plot.m, poisson2d.m, poisson3d.m

一、一维情形

1、随机游动

1). 简单随机游动 ranwalk.m

“从0开始，向前跳一步的概率为p，向后跳一步的概率为1－p”

p=0.5;

y=[0 cumsum(2.*(rand(1,n-1)<=p)-1)]; % n步。

plot([0:n-1],y); %画出折线图。

2).随机步长的随机游动

选取任一零均值的分布为步长, 比如，均匀分布。

x=rand(1,n)-1/2;

y=[0 cumsum(x)-1)];

plot([0:n],y);

2、布朗运动 brownian.m

这是连续情形的对称随机游动,每个增量W(s+t)-W(s)是高斯分布N(0, t)，不相交区间上的增量是独立的。典型的模拟它方法是用离散时间的随机游动来逼近。

n=1000;

dt=1;

y=[0 cumsum(dt^0.5.*randn(1,n))]; % 标准布朗运动。

plot(0:n,y);

3、泊松过程

产生随机事件，满足: (i) 事件彼此独立发生, (ii) 两次或更多事件不会同时发生, (iii) 事件以常数强度发生。[0，t]内事件发生的次数是期望值为lambda*t的泊松分布。计数过程N(t)是泊松过程。连续两次发生的时间间隔服从参数为lambda的指数分布。

1).固定步数 poissonjp.m

%模拟n个服从Exp(lambda)的间隔时间

interarr=[0 -log(rand(1, n))./lambda];

stairs(cumsum(interarr), 0:n); %stairs画出的是水平线条。

2).固定时间区间，一个过程

固定时间区间[ 0 tmax ] 。在该区间内事件发生的总数是期望值为lambda*tmax的泊松分布。在给定事件发生次数的条件下, 事件服从该区间上的均匀分布。

%总点数是服从泊松分布的。

npoints = poissrnd(lambda*tmax);

%在点数为N的条件下，点是均匀分布的。

if (npoints>0)

arrt = [0; sort(rand(npoints, 1)*tmax);

else

arrt = 0;

end

%画出计数过程

stairs(arrt, 0:npoints);

3).固定时间区间，N个过程 poissonti.m

它被复杂化为前面算法的向量形式。到达时间间隔为指数分布的更新过程也将使用相同的算法。

%将0赋给到达时间。

tarr = zeros(1, nproc);

%将指数分布的时间间隔求和作为矩阵的列。

i = 1;

while (min(tarr(i,:))<=tmax)

tarr = [tarr; tarr(i, :)-log(rand(1, nproc))/lambda];

i = i+1;

end

%画出计数过程

stairs(tarr, 0:size(tarr, 1)-1);

二、高维情形

1、二维随机游动 ranwalk2d.m

在(u, v)坐标平面上画出点(u(k), v(k)), k=1:n, 其中(u(k))和(v(k)) 是一维随机游动。例子程序是用四种不同颜色画了同一随机游动的四条轨道。

n=100000;

colorstr=['b' 'r' 'g' 'y'];

for k=1:4

z=2.*(rand(2,n)<0.5)-1;

x=[zeros(1,2); cumsum(z')];

col=colorstr(k);

plot(x(:,1),x(:,2),col);

hold on

end

grid

2、三维随机游动 ranwalk3d.m

三维空间和上面的一样。

p=0.5;

n=10000;

colorstr=['b' 'r' 'g' 'y'];

for k=1:4

z=2.*(rand(3,n)<=p)-1;

x=[zeros(1,3); cumsum(z')];

col=colorstr(k);

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),col);

hold on

end

grid

3、三维布朗运动 bm3plot.m

npoints = 5000;

dt = 1;

bm = cumsum([zeros(1, 3); dt^0.5*randn(npoints-1, 3)]);

figure(1);

plot3(bm(:, 1), bm(:, 2), bm(:, 3), 'k');

pcol = (bm-repmat(min(bm), npoints, 1))./ ...

repmat(max(bm)-min(bm), npoints, 1);

hold on;

scatter3(bm(:, 1), bm(:, 2), bm(:, 3), ...

10, pcol, 'filled');

grid on;

hold off;

4、二维和三维空间中的泊松点 poisson2d.m, poisson3d.m

这是在空间中随机、独立地放置点的通用模型。在任何给定的空间集合中，将放置强度与其容量成比例的泊松分布的点数。在任意两个不相交的集合中的点数是独立的。

%单位体积的泊松点数强度为lambda

lambda=100;

nmb=poissrnd(lambda)

x=rand(1,nmb);

y=rand(1,nmb);

z=rand(1,nmb);

grid

scatter3(x,y,z,5,5.*rand(1,nmb));

第四章Markov过程

Markov性是随机序列x(1), x(2)... 的一种特殊形式的依赖。如果我们知道过去

x(1)...,x(n-1) 和现在x(n)，这种信息可能会或者可能不会影响未来x(n+1), x(n+1)...。Markov过程(Markov链)没有从过去获得额外的信息。对于未来的一切都由我们现在的信息所决定。随机游动和泊松过程是特殊的简单Markov过程的例子。对于那些模拟，我们已经使用了他们结构中内蕴的特殊的独立性质。

在这个部分讨论的Matlab文件有：simgeod1.m, simmm1.m, simmd1.m, simmg1.m, simmginfty.m, simstmginfty.m, birthdeath.m, moran.m, galtonwatson.m

一、离散服务系统中的缓冲动力学simgeod1.m

假设时间是离散的，并且顾客按照一个独立序列a(1), a(2)...到达服务中心，其中a(k)是在第k期到达的数量。一名顾客被服务一期(单服务系统) 。其他的顾客在一个缓冲区域等候，直到可以被服务。因此，在k时刻系统中的顾客数量为n(k)=n(k-1)+a(k)-I{n(k-1)+a(k)>=1 }, k>=2。加上初始条件n(1)=0，递归定义一个Markov链 n(k)，k>=1. 试试参数p的不同取值。从长远看，会发生什么呢?

m=200;

p=0.2;

N=zeros(1,m); %初始化缓冲区

A=geornd(1-p,1,m); %生成到达序列模型, 比如，几何分布

for n=2:m

N(n)=N(n-1)+A(n)-(N(n-1)+A(n)>=1);

end

stairs((0:m-1),N);

二、M/M/1模型simmm1.m

这是一个连续时间的单服务缓冲模型。系统的到达由强度为lambda的泊松过程决定。服务员为每位顾客的服务时间服从指数分布，均值是1/mu。由此得到的系统规模N(t), t>=0，是一个连续时间的Markov 过程，其演变如下。从N(0)=n_0开始。等待强度为lambda+mu的指数分布时间(如果n_0=0，强度为lambda), 然后以可能性lambda/(lambda+mu)向前跳跃和以可能性

mu/(lambda+mu)向后跳跃。如此循环。

在N=0时动力学的改变是在开始用一个短循环来实现的：

if i==0

mutemp=0;

else

mutemp=mu;

end

主循环仅仅检查向前跳或者向后跳：

if rand<=lambda/(lambda+mutemp)

i=i+1; % &向前跳：一个客户到达

else

i=i-1; %向后跳：一个客户离开

end

x(k)=i; %在i时刻的系统大小

有一个避免所有循环的方法，见下面的M/G/1系统。

三、M/D/1系统simmd1.m

与M/M/1一样，这个系统的到达为泊松过程，但每次服务时间是固定的长度1(例如，在缓冲环节中，固定大小的数据包的传输时间) 。这不是Markov 过程。

可以证明, 顾客离开这个系统发生在u_k=k+max(t_1,t_2-2+1..,t_k-k+1)时刻, 其中t_1, t_2... 是泊松过程的到达时刻。因此，系统规模过程N(t), t>=0,在t_k时向前跳跃，在u_k时向后跳跃。假设我们有长度为n到达时向量t_k。这里是得到离开时间的一种方法：arrsubtr=arrtime-(0:n-1)'; % t_k-(k-1)

arrmatrix=arrsubtr*ones(1,n);

deptime=(1:n)+max(triu(arrmatrix))

现在想画出 N(t):

B=[ones(n,1) arrtime ; -ones(n,1) deptime'];

Bsort=sortrows(B,2); %按次序将跳跃分类

jumps=Bsort(:,1);

jumptimes=[0;Bsort(:,2)];

X=[0;cumsum(jumps)];

四、M/G/1系统simmg1.m

这是将M/D/1推广到一般服务时间分布S，其均值为1/mu。一个相似的计算离开时间的技术在此情形也是可以的。特别地, 取Exp(mu)分布的服务时间就是M/M/1系统。因而，我们有了模拟M/M/1的另一种方法。如果lambda/mu<1，则系统处于稳定状态。

五、M/G/infinity系统simmginfty.m

这里每个顾客得到他自己的服务。没有排队。模拟比M/G/1简单。产生到达时间加上服务时间。然后，就像上面的M/D/1系统一样，不管系统规模的改变时间为何时，总标记+1或-1。在示例代码中，将演示如何得到Pareto分布的服务时间：

alpha = 1.5; % Pareto服务时间

servtimes = rand^(-1/(alpha-1))-1; % 平稳更新过程

servtimes = [servtimes; rand(npoints-1,1).^(-1/alpha)-1];

六、M/G/infinity系统, 平稳情形, 任意服务时间simstmginfty.m (依赖 distrmu.m, distrstat.m)

当我们从时间0观察一个平稳系统时，它在负时间一直是活跃到"永远"的。因此，在时刻0，服务时间服从平稳分布的系统中有参数为(lambda*mu)的泊松分布个顾客。这在simstmginfty.m

中得以实现，它是 simmginfty.m的一个修改版本。

simstmginfty.m 也允许用一个服从服务时间分布的随机数生成器作为输入参数。参数是带一个适当的外部函数和含有分布参数数组的MATLAB函数句柄, 参见作为外部参数的RNG。

例子．

产生平稳M/G/infinity队列中[0, 5)时间内的系统规模过程，到达强度为lambda=2，服务时间服从alpha=1.6, gamma=2的标准Pareto分布。

[jmptimes,syssize]=simstmginfty(5,2,@simparetonrm,{1.6, 2},1);

stairs(jmptimes,syssize);

加入simmginfty.m得到平稳版本的步骤：

1、产生在0时刻的"负" 到达和它们的平稳服务时间。用表查找函数distrstat.m来得到平稳分布随机数生成器的句柄。

2、%在时刻0，平稳服务时间的系统中有泊松顾客数。

3、nstart=poissrnd(lambda*servmu); % 泊松随机变量

4、if (nstart>0)

5、 [statdist,statpar]=distrstat(servdist,servpar); %平稳分布句柄

6、 rndpar1={nstart,1,statpar{:}}; %随机数生成器参数

7、 stattimes=feval(statdist, rndpar1{:}); %平稳服务时间

8、 arrtimes=zeros(size(stattimes)); %在t＝0时刻前到达的顾客按到达时间为0来看待。

9、end

10、一旦创建了计数过程,就删除开始时"负"到达额外的0点。增加maxtime到跳跃，以得到正确的图形。

七、生灭过程

1、一般的生灭强度 birthdeath.m

作为例子，我们选择在水平i上出生强度为lambda_i=lambda/(1+i)，死亡强度为mu_i=mu*i 的模型,其中lambda和mu为固定的常数。要求循环满足直到下次跳跃，跳跃强度和等待时间才被更新,即

lambda_i=lambda/(1+i);

if i==0

mu_i=0;

else

mu_i=mu*i;

end

time=-log(rand)./(lambda_i+mu_i);

2、Moran模型 moran.m

另一个起源于遗传学的生灭过程。有限状态空间, 吸收界限。

x=1:N+1;

lambda(x)=(x-1).*(1-(x-1)./N); % 出生率。

mu(x)=(x-1).*(1-(x-1)./N); % 死亡率。

q(x)=lambda(x)+mu(x); % 两次跳跃时间间隔的指数分布率。

八、分支过程

Galton-Watson过程 galtonwatson.m

离散时间，生命长度为1。死亡的每个个体产生随机的后代个数。函数offspring(k)给出从人口规模为k开始的祖先向量。

p=[1/2 0 1/2];

z=[cumsum(p)];

n=length(p); % 可能的子孙数量

offmu=dot(0:n-1,p); % 子孙的平均个数

u1=sort(rand(1,k));

for j=1:n

u(j)=length(find(u1 < z(j)));

end

u=diff([0 u]);

nu=u*(0:n-1)';

九、计数过程

计数过程N(t)记录的是实值随机点过程{T_k}在区间[ 0, t)内的点数。泊松过程及排队系统中遇到的系统规模过程都是计数过程。

十、更新过程

更新过程，是一列独立同分布的正随机变量的部分和序列。这个过程可以被想象为：当同种生物的一些个体生命期结束，同时他们也被新的生命所代替的时间点序列。更新计数过程记录的是在时间区间[0，t）内更新的次数。它是一个随机阶梯函数。

第五章模拟的应用和例子

大数定律表明：1、经验均值收敛到它的期望值；2、统计物理中，轨道平均与总体平均是渐进相同的；3、为随机模拟提供了理论基础，并建立了事件频率和概率的联系。

一、计算积分I=\int_a^b f(x)dx

1、I=(b-a)E(f(a+(b-a)U))，U\sim (0,1)。模拟X_j=E(f(a+(b-a)U_j))，用平均

1/n\sum_{j=1}^n X_j逼近I/(b-a)。大数定律说明，可以用独立试验的频率来近似期望值。

2、选取一个包含函数f图形的矩形，比如[a,b][min{f},max{f}]。生成该矩形上n对均匀分布随机数(X,Y),记录事件“Y

3、I=\int_a^b f(x)dx=\int_a^b \frac{f(x)}{g(x)}g(x)dx=E(\frac{f(X)}{g(X)})，然后用1/N\sum_{j=1}^N f(X_j)/g(X_j)来近似I，其中X_j为独立的密度函数为g(x)的随机数，\int_a^b g(x)dx=1。通过选择合适的函数g可以减小方差,这被称为重要样本法。

这是Monte Carlo方法的基础，它是一类计算积分的概率方法。n次近似的方差的阶是

n^{-1/2}，这比光滑函数时的梯度法差些。但作为回报，该近似对维数、被积函数的光滑性不敏感。因此Monte Carlo方法应用于不正则区域上的多重积分非常有效。另外，Monte Carlo方法的可靠性、误差的上界依赖随机数生成器的质量。在需要大量随机化的问题中使用不知道的随机数生成器是很草率的。

二、误差估计

1、Chebyshev不等式。由P(|X-EX|>t)<\frac{1}{t^2}Var(X)，得

P(|1/n\sum_{j=1}^n X_j-EX|>t)<\frac{1}{n t^2}Var(X).

然而，Var(X)往往也是不知道的，这是由1/n\sum_{j=1}^n(X_j-\bar{X})^2来近似的，其中\bar{X}=1/n\sum_{j=1}^n X_j。

2、中心极限定理。由中心极限定理知道，近似地有

\frac{1/n\sum_{j=1}^nX_j-EX}{Var(X)/n}服从标准正态。因此，P(|1/n\sum_{j=1}^n

X_j-EX|

\frac{t}{{Var(X)/n}}。当然，Var(X)也如上面一样来近似。

中心极限定理的另一个用处是模拟某种连续过程的轨道，即

X_n(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k<=nt}\xi_k，其中\xi_k为独立的0均值随机变量。当然，它还可以用来近似模拟标准正态随机数。

三、减小方差技术（对立变量、条件期望、控制变量、重要样本）

上面提到，方差往往是不知道, 它也是通过产生的随机数来估计。由估计的误差分析知,该方差越小越好，因此给出几种减小方差的一般方法。

……

四、模拟的例子

（一）概率问题的模拟

问题一车和羊的游戏；问题二蒲丰投针问题；问题三掷骰子问题；问题四无记忆性的例子；问题五生日问题；问题六 Galton 钉板实验；问题七赶火车问题；

问题一车和羊的游戏

假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面分别都是一头山羊。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后，知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且，当然，那里有一头山羊。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得到轿车？

《广场杂志》刊登出这个题目后，竟引起全美大学生的举国辩论，许多大学的教授们也参与了进来。真可谓盛况空前。据《纽约时报》报道，这个问题也在中央情报局的办公室内和波斯湾飞机驾驶员的营房里引起了争论，它还被麻省理工学院的数学家们和新墨哥州洛斯阿拉莫斯实验室的计算机程序员们进行过分析。

问题分析

在一次实验中，如果第一次选择选中了轿车（概率为1/3），那么主持人打开一扇门后，如果坚持原来的选择，则能得到轿车，反之，改变第一次选择则不能得到轿车。如果第一次没有选中轿车（概率为2/3），那么其余两扇门后面必有一个是轿车，主持人只能打开有山羊有那扇门，则剩下的一扇门后面是轿车，此时坚持原来的选择不能得到轿车，改变第一次的选择必能得到轿车。因此，经过分析，坚持第一次的选择不变得到轿车的概率为1/3，改变第一次的选择得到轿车的概率为2/3。

实际上，在只有三扇门的情况下，那么改不改变选择效果并不明显。如果有100扇门，参与的嘉宾选择了其中的一扇，而主持人随后把剩下的99扇门中间的98扇门都打开，这98扇门后面都没有奖品，这时应该改变选择，毕竟最开始自己选择的那扇门中奖的概率只是1%而已。

需要注意的是，主持人是在知道其他两扇门后面都有什么的情况下选择一个门打开的。这种情况下三个门后是轿车的概率因为主持人知道结果并参与其中而关联在一起，而不是孤立等同的。如果打开门的不是主持人，而是另一个参与者，并且当他打开门时发现什么也没有，那么，剩下的两个门后是轿车的概率才是相等的。

计算机模拟

为了验证这一结果，我们就要比较不改变选择中奖的几率和改变选择中奖的几率。

模拟方法是：我们从0，1，2这3个数中随机一个为轿车（即中奖号码），另随机一个数为你的选择。如果你的选择与中奖号相同，则计这次为不改变选择中奖；如果你的选择不对，则是改变选择中奖。分别累积出不改变选择中奖和改变选择中奖的次数，就可以得到不改变选择中奖的几率和改变选择中奖的几率了。

为了将结果表示的明显，我们可以假设有100扇门，参与的嘉宾选择了其中的一扇，而主持人随后把剩下的99扇门中间的98扇门都打开，这98扇门后面都没有奖品，然后模拟并比较不改变选择中奖的几率和改变选择中奖的几率。此时的情况也是相同的，只是每次随即都是从0到99中随机数而已。

结果及分析

下面两幅图分别是3个门时不改变选择中奖的概率在N次模拟结果下的概率分布（第二幅是为了便于观察特意画在固定坐标轴上的）。

下面则是100个门的情况下，不改变选择中奖的概率分布：

可以显然地看出在主持人帮助的情况下，改变选择是可以大大增加自己中奖的几率的。

通过这样一个例子，我并不是想说明什么概率意义上的问题。只是通过这么一个模拟过程来学习计算机随机模拟的一些基本方法与技巧。像在主持人不知道内幕随机的打开一个发现是山羊这，我们可以通过同样的随机模拟过程来模拟这种情况。并可以验证改变选择与否对自己中奖的影响是相同的。

当模拟的次数逐渐的增多时，其模拟值越接近理论值，这说明模拟的效果越好。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然必然中包含着必然。

此次模拟试验也正好用实际的模拟例子说明了大数定理的正确性和应用性。

Matlab程序

1、编写函数

n=10000; %实验次数

stick=0; %坚持选择的获奖次数

随机过程习题及复习资料

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关

（2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----

随机过程上机实验报告讲解.pdf

2015-2016第一学期随机过程第二次上机实验报告 实验目的：通过随机过程上机实验，熟悉Monte Carlo计算机随机模拟方法，熟悉Matlab的运行环境，了解随机模拟的原理，熟悉随机过程的编码规律即各种随机过程的实现方 法，加深对随机过程的理解。 上机内容： （1）模拟随机游走。 （2）模拟Brown运动的样本轨道。 （3）模拟Markov过程。 实验步骤： （1）给出随机游走的样本轨道模拟结果，并附带模拟程序。 ①一维情形 %一维简单随机游走 %“从0开始，向前跳一步的概率为p，向后跳一步的概率为1－p” n=50; p=0.5; y=[0 cumsum(2.*(rand(1,n-1)<=p)-1)]; % n步。 plot([0:n-1],y); %画出折线图如下。

%一维随机步长的随机游动 %选取任一零均值的分布为步长, 比如，均匀分布。n=50; x=rand(1,n)-1/2; y=[0 (cumsum(x)-1)]; plot([0:n],y);

②二维情形 %在(u, v)坐标平面上画出点(u(k), v(k)), k=1:n, 其中(u(k))和(v(k)) 是一维随机游动。例 %子程序是用四种不同颜色画了同一随机游动的四条轨 道。 n=100000; colorstr=['b' 'r' 'g' 'y']; for k=1:4 z=2.*(rand(2,n)<0.5)-1; x=[zeros(1,2); cumsum(z')]; col=colorstr(k); plot(x(:,1),x(:,2),col);

hold on end grid ③%三维随机游走ranwalk3d p=0.5; n=10000; colorstr=['b' 'r' 'g' 'y']; for k=1:4 z=2.*(rand(3,n)<=p)-1; x=[zeros(1,3); cumsum(z')]; col=colorstr(k); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),col);

(完整版)答案应用随机过程a

山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ） 二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。 三． 简答题（每小题5分，共10分） 1． 简述马氏链的遍历性。 答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？

答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分） 解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分） 解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程

随机过程作业题及参考答案(第一章)

第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。

00 11101222 11

几种常用的随机过程

第十讲 几种常用的随机过程 10.1 马尔可夫过程 10.1.1马尔可夫序列 马尔可夫序列是指时间参数离散，状态连续的马尔可夫过程。 一个随机变量序列x n （n=1,2,…）,若对于任意的n 有 )|(),...,,|(112 1 x x F x x x x F n n X n n n X ---= （10.1） 或 )|(),...,,|(112 1 x x f x x x x f n n X n n n X ---= （10.2） 则称x n 为马尔可夫序列。x n 的联合概率密度为 ) ()|( ) |()|(),...,,(1 1 2 2 11 2 1 x f x x f x x f x x f x x x f X X n n X n n X n X ??---= （10.3） 马尔可夫序列有如下性质： （1） 一个马尔可夫序列的子序列仍为马尔

可夫序列。 （2） ) |(),...,,|(1 21x x f x x x x f n n X k n n n n X -+++= （10.4） （3） )|(),...,|(111x X x x X n n n n E E --= （10.5） （4） 在一个马尔可夫序列中，若已知现在， 则未来与过去相互独立。即 ) |() |()|,(1 x x f x x f x x x f r s X n n X r s n X -= ，n>r>s （10.6） （5） 若条件概率密度)|(1 x x f n n X -与n 无关， 则称马尔可夫序列是齐次的。 （6） 若一个马尔可夫序列是齐次的，且所 有的随机变量X n 具有同样的概率密度，则称该马尔可夫序列为平稳的。 （7） 马尔可夫序列的转移概率满足切普曼 —柯尔莫哥洛夫方程，即 ) |()| ()|(x x f x x f x x f s r X r n X s n X ? ∞ ∞ -= ， n>r>s (10.7) 10.1.2马尔可夫链 马尔可夫链是指时间参数，状态方程皆

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

随机过程MA335.doc-致远学院-上海交通大学

上海交通大学致远学院2014年秋季学期 《随机过程》课程教学说明 一.课程基本信息 1．开课学院（系）：致远学院 2．课程名称：《随机过程》(Stochastic Processes) 3．学时/学分：64学时/4学分 4．先修课程：概率论 5．上课时间：周二、四，3-4节课 6．上课地点：中院207 7．任课教师：韩东（donghan@https://www.wendangku.net/doc/f813135818.html,） 8．办公室及电话：数学楼1206，54743148-1206 9．助教：张登（zhangdeng@https://www.wendangku.net/doc/f813135818.html,） 10.Office hour：周四下午3-5点，数学楼1206 二.课程主要内容（中英文） 随机过程是定量研究随机现象（事件）统计规律的一门数学分支学科。学习《随机过程》的主要目的是：了解、认识随机现象的统计性质；知道如何构造随机模型并且能计算和分析随机事件随时间发生变化的的概率及其相关性质。《随机过程》主要包括：Poisson过程、Markov过程、鞅过程、Bronian 运动、随机分析基础(Ito积分与随机微分方程)、平稳过程等。 Stochastic Processes are ways of quantifying the dynamic relations of sequences of random events. It is a branch of mathematics. The main content of this course includes: General theory of stochastic processes; Poisson process and renewal theorems; Martingales; Discrete-time Markov Chains; Continuous-time Markov Chains; Brownian motion; Introduction to stochastic analysis; Stationary processes and ARMA models. 第一章概率论精要 主要内容：概率公理化，全概率公式和Bayes 公式，随机变量及其数字特征、条件期望、极限定理。重点与难点：条件期望和极限定理。 第二章随机过程的基本概念 主要内容：随机过程的定义、随机过程的存在性、随机过程的数字特征。 重点与难点：随机过程的存在性。 第三章Poisson 过程 主要内容：Poisson过程的定义及性质，首达时间与其间隔的分布，Poisson过程的极限定理。 重点与难点：首达时间间隔与Poisson过程的关系。 第四章Markov过程

相关正态随机过程的仿真实验报告材料

实验名称：相关正态随机过程的仿真 一、实验目的 以正态随机过程为例，掌握离散时间随机过程的仿真方法，理解正态分布随机过程与均匀分布随机过程之间的相互关系，理解随机过程的相关函数等数值特征;培养计算机编程能力。 二、实验容 相关正态分布离散随机过程的产生 （1）利用计算机语言的[0,1]区间均匀分布随机数产生函数生成两个相互独立的序列 {U1(n)|n=1,2,…100000}，{U2(n)|n=1,2,…100000} 程序代码： clc; N=100000; u1=rand(1,N); u2=rand(1,N);%----------------在[0,1] 区间用rand函数生成两个相互独立的随机序列 n1=hist(u1,10);%--------------------------hist函数绘制分布直方图 subplot(121);%-----------------------------一行两列中的第一个图 bar(n1); n2=hist(u2,10); subplot(122); bar(n2); 实验结果：

（2）生成均值为m=0，根方差σ=1的白色正态分布序列 {e(n)|n=1,2, (100000) [][] m n u n u n +=)(2cos )(ln 2-)(e 21πσ 程序代码： clc; N=100000; u1=rand(1,N); u2=rand(1,N);%---------------在[0,1] 区间用rand 函数生成两个相互独立的随机序列 en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2);%--------定义白色正态分布e(n) n=hist(en,100);%--------------------------hist 函数绘制分布直方图 bar(n); 实验结果： （3）假设离散随机过程x(n)服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关函数为||2)(r k x x k ασ= )6.0(=α 功率谱函数为

(完整版)应用随机过程期末复习资料

第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为), 0[∞+ 注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随 机 过 程 的 二 维 分 布 ： T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 M

数理统计与随机过程讲义

第四章 假设检验 假设检验是一种重要应用价值的统计推断形式，是数理统计的分支。从发展历史上有重要的节点为 1 ：Pearson 的拟合优度的2χ检验 1900 2：Fisher 的显著性检验 1920 3：Neyman-Pearson 一致最优检验 1928 4：Wald 的判决理论 1950 5：Bayes 方法 （二战之后发展的学派） §4.1 基本术语 关于随机变量的分布、数字特征等，每一种论断都称为统计假设，分为参数假设和非参数假设，例如),(~2σu N X ，假设1,1:==σu H 就称为参数假设；给定一组样本值，假设:H ~X 正态分布，对于分布进行论断，为非参数假设。 无论上面那种假设，都是给出一个对立的假设，比如),(~2σu N X ，那么假设1,1:0==σu H 的对立假设就是1,1:1≠≠σu H ，我们就把0H 称为基本假设，或者原假设，而1H 就称为对立（备选）假设。 为了分别那个假设是对的，需要判断假设真伪，就是对假设做出“否”还是“是”的程序就是检验，这个检验常用否定域形式给出，按照一定规则把样本值集合分成两个部分V V ?，当样本值落入子集V 认为0H 不真，那么V 是0H 的否定域，V 为0H 的接受域。 那么这样就产生了两种错误： 第一类错误α ：本来0H 是真，但是却否定了，弃真； 第二类错误β ：本来0H 不真，但是却接受为真，叫取伪。 选定一种检验方法，我们希望上述两种错误概率都小。但是给定样本容量，使得两种错误任意小是不可能的，我们主要研究两大类检验方法：

1：样本容量给定，控制第一类错误，使得错误概率有一个上界α，叫做检验的显著性水平，根据这种原则建立的检验就是α水平显著性检验； 2：样本容量给定，控制第一类错误α水平固定，还使得第二类错误最小，就是接受不真实假设的概率最小，否定不真实假设的概率就称为检验功效1-β，使得功效最大，，根据这种原则建立的检验就是α水平最大功效检验,或者最佳检验。 §4.2参数假设检验 设X 符合分布),(θx F ，未知参数θΘ∈参数空间，空间分成两部分0Θ和 Θ-0Θ，二者交集为空。 主要对于正态分布参数的统计假设的显著性检验方法。 1）针对不同问题，提出基本假设与备选假设 0H ：θ0Θ∈ 1H ：θ0Θ-Θ∈ 如果参数空间仅仅是由0θθ=和1θθ=两个点组成的，那么我们称简单假设，否则是复合假设。 2）给定检验的显著性水平α，其大小依据不同问题不同，比如火箭、飞机等可靠性问题，α要越小越好，对于一般生产问题，太小了则意味着生产时间和成本的增加； 3）建立对于基本假设的统计量和否定域； 4）取样，计算统计量值，落入否定域则判读0H 为假，否则为真。 例子：某种药片制剂中国家规定成分A 的含量X 必须为10%，现在抽取5个片剂试样，测得A 的含量为 10.9% 9.45% 10.38% 9.61% 9.92% 假设)%,10(~20σ=u N X ，按照显著性水平α=0.05进行检验是否与规定10%相符？ 解：建立基本假设0H ：0u u =，这里显著性水平α=0.05，样本容量为5，样本值如上。 如何确定统计量呢？样本均值X 可以求出，但是这里方差未知，用无偏估 计量* 2n S 来代替2σ，那么统计量 = t )1(~/* 20--n t n S u X n

随机过程上机实验报告-华中科技大学--HUST

随机实验报告 班级：通信1301班姓名：郭世康 学号：U201313639 指导教师：卢正新

一、模块功能描述 CMYRand类是整个系统的核心，它产生各种随机数据供后面的类使用。可以产生伪随机序列、均匀分布、正态分布、泊松分布、指数分布等多种随机数据。 CRandomDlg类是数据的采集处理类。它可以将CMYRand产生的随机数据处理分析，再送入CScope等类进行模拟示波器显示。 CScope等类是有关示波器显示的类。 二、模块间的关系 CRandomDlg类在整个程序中是一个不可缺少的环节，它调用CMYRand中的函数来产生符合所需分布的随机序列，再将产生的结果统计分析，送到CScope类中的函数进行模拟示波器显示。CMYRand为整个程序的核心，就是这个类产生所需分布的随机序列。CAboutDlg是模拟示波器界面上的有关按钮选项的类。我们在示波器界面上点击一个按钮，它就会执行这个按钮所对应功能，比如点击正态分布，它就会调用CRandomDlg中的对应函数，在调用CMYRand中的产生正态分布的函数，再将结果送到CScope类中进行显示，最后我们可以在示波器上看到图形。 三、数据结构 在本次随机试验中所填写的代码部分并没有用到有关于结构体等数据结构的东西。 四、功能函数 1、 /* 函数功能，采用线性同余法，根据输入的种子数产生一个伪随机数. 如果种子不变，则将可以重复调用产生一个伪随机序列。 利用CMyRand类中定义的全局变量：S, K, N, Y。 其中K和N为算法参数，S用于保存种子数，Y为产生的随机数 */ unsigned int CMyRand::MyRand(unsigned int seed) { //添加伪随机数产生代码 if(S==seed)

应用随机过程习题课二

习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求： （1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ； （2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ； （3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ， 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =

随机过程实验报告全

随机过程实验报告学院专业学号姓名

实验目的 通过随机过程的模拟实验，熟悉随机过程编码规律以 及各种随机过程的实现方法，通过理论与实际相结合的方式，加深对随机过程的理解。 二、实验内容 （1）熟悉Matlab 工作环境，会计算Markov 链的n 步转移概率矩阵和Markov 链的平稳分布。 （2）用Matlab 产生服从各种常用分布的随机数，会调用matlab 自带的一些常用分布的分布律或概率密度。 （3）模拟随机游走。 （4）模拟Brown 运动的样本轨道的模拟。 （5）Markov 过程的模拟。 三、实验原理及实验程序 n 步转移概率矩阵 根据Matlab的矩阵运算原理编程，Pn = P A n o 已知随机游动的转移概率矩阵为： P = 0.5000 0.5000 0 0 0.5000 0.5000 0.5000 0 0.5000

求三步转移概率矩阵p3 及当初始分布为 P{x0 = 1} = p{x0 = 2} = 0, P{x0 = 3} = 1 时经三步转移后处于状态 3 的概率。 代码及结果如下： P = [0.5 0.5 0; 0 0.5 0.5; 0.5 0 0.5] % 一步转移概率矩阵 P3 = P A3 %三步转移概率矩阵 P3_3 = P3(3,3) %三步转移后处于状态的概率 1、两点分布x=0:1; y=binopdf(x,1,0.55); plot(x,y,'r*'); title(' 两点分 布'); 2、二项分布 N=1000;p=0.3;k=0:N; pdf=binopdf(k,N,p); plot(k,pdf,'b*'); title(' 二项分布'); xlabel('k'); ylabel('pdf'); gridon; boxon 3、泊松分布x=0:100; y=poisspdf(x,50); plot(x,y,'g.'); title(' 泊松分布') 4、几何分布 x=0:100; y=geopdf(x,0.2); plot(x,y,'r*'); title(' 几何分布'); xlabel('x'); ylabel('y'); 5、泊松过程仿真 5.1 % simulate 10 times clear; m=10; lamda=1; x=[]; for i=1:m s=exprnd(lamda,'seed',1); x=[x,exprnd(lamda)]; t1=cumsum(x); end [x',t1'] 5.2%输入：

第2章 随机过程习题及答案上课讲义

第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5) =≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

随机过程简史

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：随机过程简史 院系：电气工程学院 班级： 11S0104 设计者：孙延博 学号： 11S001070 指导教师：田波平 设计时间： 2011-10-23 随机过程简史 摘要 本文简要地介绍了随机过程从20世纪初创立至今，100年的发展历程考察了导致随机过程产生的历史契机，以及早期数学家在这方面作出的杰出工作。并简要介绍了随机过程的概念，研究方法

和研究内容，在现代工程技术领域的应用。 关键词：随机过程平稳随机过程平稳随机序列 1.随机过程的概念研究方法及研究内容 随机过程是现代概率论研究的一个重要分支。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。由于物理学生物学，通讯和控制管理科学等学科的需要随机过程逐步发展起来的。马尔柯夫最早研究了随机过程。研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度轮、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。 2.随机过程的历史 1900年，Bachelier在分析股票市场波动时．发现了随机过程的一个重过程——独立增量过程的特恻。1905年，物理学家Einstein在研究Brown运动时，也遇到了相同的过程．1923年，Wiener 给出了Brown运动的数学描述- wiener过程。 Lunbderg在1903年研究一个保险公司所承担索赔累计数的变化规律时．导出了另一类型的随机过程——Lundberg过程。而众所周知、应用甚广的Poisson过程是当所有得付出的索赔总数中每一笔数目都相同时的Lundberg过程。 1909年，Erlang在研究电话业务时引入了Poisson过程，并被物理学家Rutherford和Geiger用于分析放射性蜕变。这些早期对随机过程的研究都是同实际问题紧密联系在一起的。虽然在数学上用了不太严密的方法，却表现出了直观处理这些概念和方法的绝妙能力。

随机过程实验报告全

随机过程实验报告 学院： 专业： 学号： 姓名：

一、实验目的 通过随机过程的模拟实验，熟悉随机过程编码规律以及各种随机过程的实现方法，通过理论与实际相结合的方式，加深对随机过程的理解。 二、实验内容 （1）熟悉Matlab工作环境，会计算Markov链的n步转移概率矩阵和Markov链的平稳分布。 （2）用Matlab产生服从各种常用分布的随机数，会调用matlab自带的一些常用分布的分布律或概率密度。 （3）模拟随机游走。 （4）模拟Brown运动的样本轨道的模拟。 （5）Markov过程的模拟。 三、实验原理及实验程序 n步转移概率矩阵 根据Matlab的矩阵运算原理编程，Pn = P ^n。 已知随机游动的转移概率矩阵为： P = 0.5000 0.5000 0 0 0.5000 0.5000 0.5000 0 0.5000

求三步转移概率矩阵p3及当初始分布为 P{x0 = 1} = p{x0 = 2} = 0, P{x0 = 3} = 1 时经三步转移后处于状态3的概率。 代码及结果如下： P = [0.5 0.5 0; 0 0.5 0.5; 0.5 0 0.5] %一步转移概率矩阵 P3 = P ^3 %三步转移概率矩阵 P3_3 = P3(3,3) %三步转移后处于状态的概率 1、两点分布 x=0:1; y=binopdf(x,1,0.55); plot(x,y,'r*'); title('两点分布'); 2、二项分布 N=1000;p=0.3;k=0:N; pdf=binopdf(k,N,p); plot(k,pdf,'b*'); title('二项分布'); xlabel('k'); ylabel('pdf'); gridon; boxon 3、泊松分布 x=0:100; y=poisspdf(x,50); plot(x,y,'g.');

随机过程实验3

课程名称：随机过程实验 实验项目名称：正弦信号的相关累积检测仿真专业班级：通信工程1301班 姓名：王少丹 学号：201308030104 指导教师：何松华

1.实验目的 通过正弦信号的相关积累检测仿真实验，了解相关函数在信号检测、信号参数估计等方面的应用，掌握基于集合统计的相关函数估计方法，了解噪声对信号检测及信号参数估计精度的影响；培养计算机编程能力。 2.实验要求 给定参数N=128，N‘=32；ω=0.2π，n0=64,S=1 采用MATLAB或VB语言进行编程 (1) 运用正态分布随机数产生函数产生均值为零、根方差σ=0.2 的噪声样本序列[或可参考实验1的正态分布产生方法] {u(n)|n=1,2,…,128}；画出噪声u(n)的波形图 (2) 产生信号{s(n-n0)|n=1,2,…,128}，画出信号波形图 (3) 画出含噪信号{x(n)=s(n-n0)+u(n)|n=1,2,…,128}的波形图 (4) 计算无信号情况下[x(n)=u(n)]的{r xsN(m)|m=0,1,…,96};画出 波形图 (5) 计算有信号情况下[x(n)=s(n-n0)+u(n)]的 {r xsN(m)|m=0,1,…,96}, 画出波形图 (6) 比较无信号、有信号两种情况下|r xsN(m)|的最大值，观测有信号情况下|r xsN(m)|的最大值出现的位置；在同样的噪声强度下反复作多次实验，观测最大值位置的是否变化； (7) 逐渐加大噪声强度σ，重复上述过程，观测噪声强度达到什么程度时，有信号与无信号情况下|r xsN(m)|的最大值没有明显区别(即难以检测到信号)，有信号情况下最大值的位置出现较大的随机性(即难以测量信号的位置参数)；观测噪声强度对信号幅度S的估计值的影响。 3.程序代码 function y(N,N1,w,n0,a,e) sym N,N1,w,n0,a,e;

应用随机过程学习汇总

应用随机过程学习汇总

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应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2 —泊松过程 一.准备知识 1.泊松过程 2.非齐次泊松过程 3. 复合泊松过程 二.作业 1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程， （1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图； （2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图； （3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。 2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)i N μσ:，1,2,3,i =L ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ， （1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差； （2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。

3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数， （1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图； （2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。