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复变函数试卷及答案

【篇一：《复变函数》考试试题与答案各种总结】xt>一、判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )

2.有界

整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若

{zn}

收敛，则

{re zn}{im zn}

与

都收敛. ( )

4.若f(z)在区域d内解析，且

f(z)?0，则f(z)?c（常数）.( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )

6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )

7.若

z?z0

limf(z)

存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c

f(z)dz?0.

( )

10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）

?__________.（n为自然数）

1、 ?|z?z0|?1(z?z)n

22sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?

4.设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

?nz

n?0

的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若n??

limzn??

z1?z2?...?zn

n??n，则______________.

lim

res(n,0)?

z8.________，其中n为自然数.

sinz9. 的孤立奇点为________ .

limf(z)?___zf(z)的极点，则z?z0

10.若0是.

三.计算题（40分）：

1. 设

f(z)?

(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

dz.?|z|?1cosz2.

3?2?7??1

f(z)??d?

c??z3. 设，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).

4. 求复数

z?1

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证

: f(z)?

f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,

并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

《复变函数》考试试题（一）参考答案

一．判断题

?2?in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，(k?z)；4. z??i； 5. 1 0n?1?

6. 整函数；

7. ?；

8. 三．计算题.

1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1

1?zn111n

??z??(). f(z)???

2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?0

； 9. 0； 10. ?.

(n?1)!

2. 解因为

resf(z)?lim

?lim1??1, coszz???sinzz?

resf(z)?lim

z??

?lim1?1. coszz????sinz

所以

sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re??z??z?

3. 解令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)?

?(?)

?c??z?2?i?(z).

所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令

z?a?bi, 则 w?

z?122a(?1?bi)2a(?1)b2

. 2?1?1?122222

z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b

, . )?1?im()?

z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2

故 re(

四. 证明题.

1. 证明设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv,

则f(z)?u2?v2?c2.

?uux?vvx?0

两边分别对x,y求偏导数, 得?

?uuy?vvy?0

(1)(2)

因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为

?uux?vvx?022

. 消去ux得, (u?v)vx?0. ?

?vux?uvx?0

1) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.

2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).

所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.

证明f(z)?

的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就

不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.

由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以

f(z)?的幅角共增加

. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2

?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,

故f(?1)??.

《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在d 内连续. ( )

2. cos z与sin z在复平面内有界.( )

3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )

4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )

z?z0

6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )

7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0.

( )

8. 若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析. ( )

111

10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....

n?12n2n

( )

二. 填空题. (20分)

1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__

z?1?i

2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则

limf(z)?________.

?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）

4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .

n?0

5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.

6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?

，则f(z)的孤立奇点有_________. 2

1?z

9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

z?1

10. res(,1)?____. 4

三. 计算题. (40分)

sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z

?i处的值.

??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）

?ii

3. 计算积分：i

的右半圆.

4. 求

sinz

z?2

(z?)2

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（二）参考答案

一. 判断题.

【篇二：复变函数试题与答案】

>一、选择题

1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i

（a）i （b）?i（c）1 （d）?1

2．设复数z满足arc(z?2)??

3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 6

1331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?

3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22

?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222

224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）

2222（a）z??2z （b）z??2z

22（c）z??2z （d）不能比较大小

５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）

（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针

旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

1?3i，则原向量对应的复数是（）

（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i

７．使得z2?z成立的复数z是（） 2

（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数

８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）

（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444

９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i

（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区

域

10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）

（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２

的圆周

（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２

的圆周

11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）

（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2

z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）

12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）

（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i

13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0

（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在

14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）

（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续

（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2

z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1

二、填空题

1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)

2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?

3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4

(cos5??isin5?)2

4．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)

5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6

７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z

８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??

2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i

三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．

四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.

五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z

六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z

七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2

z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.

z1?z2???zn?z1?z2???zn.

八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有

f(z)?x?x01a. 2

九、设z?x?iy，试证x?y

2?z?x?y.

十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续

性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0?

?x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.

?0,z?0?

第二章解析函数

一、选择题：

1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )

（a）解析的（b）可导的

（c）不可导的（d）既不解析也不可导

2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )

4 2

（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件

（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件

3．下列命题中，正确的是( )

（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1

（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导

（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析

（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析

4．下列函数中，为解析函数的是( )

（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi

（c）2(x?1)y?i(y2?z?x2

0?2x)（d）x3?iy3

5．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )

（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在

6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )

（a）0（b）1（c）2（d）?2

7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )

（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数

8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是

（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数

（b）若re(f(z))在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数

（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数

（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数

9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )

【篇三：大学复变函数考试卷试题及答案】

ss=txt>?z2

?,z?0

1．设f?z???z，则f?z?的连续点集合为（）。

?0,z?0?

（a）单连通区域（b）多连通区域（c）开集非区域（d）闭集非闭区域

2．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，那么u(x,y)与v(x,y)在点?x0,y0?可微是f?z?在点z0?x0?iy0可微的（）。

?a?充分但非必要条件

?c?充分必要条件

3．下列命题中，不正确的是（）。

?b?必要但非充分条件

?d?既非充分也非必要条件

,??0?a?如果无穷远点?是f?z?的可去奇点,那么res??f?z?

dz,则?f?在z?b?若f?z?在区域内任一点0的邻域内展开成泰勒级数

c幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.??ez?i

(z)??映射为单位圆??1.?d?函数??z将带形域0?im

e?i

4．设c是z??1?i?t，t从1到2的线段，则 ?a?

。 ?argzdz（）

内解析d.

?b?

?c??1?i?

z?0

?d?1?i

5．设f?z?在0?z?1内解析且limzf?z??1，那么resf?z?,0?（）。 ?a?2?i

??b??2

c1?????d

二、填空题（15分，每空3分） 1．ln?1?i?的主值为。

2．函数f(z)=zre?z?+im?z?仅在点z= 处可导。

z?n??2?

3．罗朗级数的???1????11???????收敛域为。

z?33??n?1??n?1

4．映射w?，将圆域z?1?1映射为。5． ??。 zcoszz?1

三．(10分)求解析函数f(z)=u+iv，已知u?x?y?xy,f(i)??1?i。四．(20分)求下列积分的值

应用数理统计试题第 1 页共 3 页

1．

z?4

?z?z?1?

dz2．?

xsinx

?a?0? 2

x?a

五．(15分)若函数??z?在点z0解析，试分析在下列情形：1．z0为函数f?z?的m阶零点； 2．z0为函数f?z?的m阶极点；求res???z?

f??z??

,z0?。 fz?

六．（15分）写出函数的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛

范围。

cosz

七．（10分）求函数f?t??1?tu?t????3?t??sin2t傅氏变换。三、单项选择题（15分，每小题3分） 1．a。2． b 。3． a。4． c。5．c。四、填空题（15分，每空3分） 1

．2

i。2． ?i 。3． 2?z?3?3。4．半平面re?w??

r。5．0。 2

三．(10分)解:容易验证u是全平面的调和函数。利用c-r条件，先

求出v的两个偏导数。

?v?u?v?u???2y?x,??2x?y?x?y?y?x则v(x,y)??

?x,y?

?0,0?

?2y?x?dx??2x?y?dy?c

????x?dx???2x?y?dy?c11

??x2?2xy?y2?c

四．(20分)求下列积分的值1．2??3?e?i2．这里m=2，n=1，m-

n=1，r(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的

因此?

xsinx1??x1?aix

dx?im(edx)??e.2222???x?a2x?a2

zeex?aixiz

z?iaz?iax2?a22

五．(15分)

应用数理统计试题第 2 页共 3 页

解:函数??z?在点z0解析等价于在z0的一个邻域内

??z????z?????z0??z?z0????

??n??z0?

?z?z0?

(1)z0为f?z?的m阶零点等价于在z0的一个邻域内

f?z???z?z0???z?其中??z?在点z0解析,??z??0,于是在z0的去心领域

f??z?m??z????z?m??z0?????z??n?1??m??z????z?????z? ???m?z?z??z?0????

fzz?z0?zz?z0n!?z?n?1????f??z??由此可

知,res???z?,z0??m??z0?

fz??

六．

?2?与上面类似res???z?

f??z??

,z0???m??z0?fz?

距原点最近的奇点?,其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半

径,cosz2??11z2

即r=,收敛范围为z?.由e?1?z2?z4???z2n???z???,

222!n!函数

??1?z2n??z??及幂级数的除法,可设11

cosz?1?z2?z4?????2!4!2n!

ez???

?c0?c1z?c2z2???z??cosz2??

注意到ez与cosz均为偶函数,其展开式中不含z2n?1项,可知

c1?c3???0

???1??1111242n2242n

于是1?z?z???z????c0?c2z?????1?z?z???z??? ??2!n!4!2n!?2!?

329

比较同次系数得c0?1,c2?,c4?,?

224ez3294???

故?1?z2?z???z??cosz2242??

证明：f[1]?2????? f[tu(t)]??

七．（10分）

??i??(?)

f[??3?t?]?e?3?i f[sin2t]??i??????2??????2???从而f[f?t?]??

应用数理统计试题第 3 页共 3 页

?e?3?i?2???????i????(?)?????2??????2???