高考数学真题07 导数中的问题(学生版)
专题07 导数中的问题
【高考真题】
1．(2022·新高考Ⅱ) 曲线y ＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
2．(2022·新高考Ⅱ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________．
3．(2022·全国乙文)函数f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( )
A ．－π2，π2
B ．－3π2，π2
C ．－π2，π2＋2
D ．－3π2，π2
＋2 4．(2022·新高考Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则( )
A ．f (x )有两个极值点
B ．f (x )有三个零点
C ．点(0，1)是曲线y ＝f (x )的对称中心
D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线
5．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3
，0)中心对称，则( ) A ．f (x )在区间(0，5π12
)单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴 D ．直线y ＝32
－x 是曲线y ＝f (x )的切线 6．(2022·全国乙理)已知x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －ex 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点．若 x 1＜x 2，则a 的取值范围是____________．
7．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A ．[18，814]
B ．[274，814]
C ．[274，643
] D ．[18，27] 【知识总结】
1．导数的几何意义
(1)f ′(x 0)的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y ＝f (x )上；②在切线上．
2．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f (x )的定义域；
②求导函数f ′(x )；
③由f ′(x )>0的解集确定函数f (x )的单调递增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调递减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0(x ∈M )恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集；
③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，则I 是其单调区间的子集．
3．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f ′(x )＝0；
③判断f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0附近两侧的符号变化：
若左正右负，则x 0为极大值点；
若左负右正，则x 0为极小值点；
若不变号，则x 0不是极值点．
(2)求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤
①求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极值；
②比较函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【同类问题】
题型一 曲线的切线方程
1．(2021·全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2
在点(－1，－3)处的切线方程为________． 2．(2020·全国Ⅱ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )
A ．y ＝－2x －1
B ．y ＝－2x ＋1
C ．y ＝2x －3
D ．y ＝2x ＋1
3．(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程 为( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝－x
C ．y ＝2x
D ．y ＝x
4．(2020·全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
5．(2019·全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )
A ．x －y －π－1＝0
B ．2x －y －2π－1＝0
C ．2x ＋y －2π＋1＝0
D ．x ＋y －π＋1＝0
6．(2021·新高考Ⅱ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )
A ．e b B ．e a C ．0 D ．0 7．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)或(－1，3) D ．(1，－3) 8．(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ， －1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________． 9．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ． 10．过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 题型二 曲线的公切线方程 11．(2020·全国Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15 都相切，则l 的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x ＋12 C ．y ＝12x ＋1 D ．y ＝12x ＋12 12．已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程 为 ． 13．若直线l 与曲线y ＝e x 及y ＝－14 x 2都相切，则直线l 的方程为________． 14．曲线C 1：y ＝ln x ＋x 与曲线C 2：y ＝x 2有________条公切线． 15．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ ． 16．(2016·课标全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x 的切线，则b ＝________． 17．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________． 18．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1，0)，若直线l 与g (x )的图 象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3 19．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________． 20．已知曲线f (x )＝ln x ＋1与g (x )＝x 2－x ＋a 有公共切线，则实数a 的取值范围为 ． 题型三 函数的性质 21．设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭ ⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 22．已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为 ． 23．函数f (x )＝2|sin x |＋cos2x 在[－π2，π2 ]上的单调递增区间为( ) A ．[－π2，－π6]和[0，π6] B ．[－π6，0]和[π6，π2] C ．[－π2，－π6]和[π6，π2] D ．[－π6，π6 ] 24．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12 为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 25．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e ，则f (x )的极大值点为( ) A ．1e B ．1 C ．e D ．2e 26．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1 的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1 27．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12 ，则下列结论不正确的是( ) A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增 B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减 C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12 D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12 28．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点 B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值 C ．当－e D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2 29．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________． 30．(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x | e |x |，则下列选项正确的是( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称 C ．f (x )的最大值为1e ＋1 D ．f (x )的最小值为－1e ＋1 1、设函数f(x)＝1 3x 3－ a 2x 2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值； (2)若a>0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 2、已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2 专题07 二次函数综合问题 一．考情分析 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，千变万化，但又是基础的基础，万变不离宗。所以二次函数也是高中学习的重要基础．与其他知识交汇的最值问题以及恒成立问题是目前高考中最基础的两个考试方向。复合函数也越来越重要。所以二次函数的学习，都显示的特别重要。 二．经验分享 1.二次函数解析式的三种形式： ①一般式方程：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). ②顶点式方程：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). ③零点式方程：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. 2.二次函数的图象和性质 解析式 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 对称性 函数的图象关于x ＝－b 2a 对称 最值 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开 口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－ 2b a ；函数取最小值y ＝244ac b a -． 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开 口向下；顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；函数取最大值y ＝2 44ac b a -． 3.恒成立问题 ①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >???（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。 三、题型分析 （一）二次函数之恒成立与存在性问题 例1 已知函数().222 m mx x x f -+-= （1）若不等式()mx x f -≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围; （2）记(){} ,10,≤≤==x x f y y A 且[)，，∞+?0A 求实数m 的最大值。 【分析】二次函数()02 >++=c bx ax x f 040a 2 <->?ac b 且 【解析】（1）由题可知，()mx x f -≥在R 上恒成立，即022 ≥-+-m mx x 恒成立 ∴.0842≤-+=?m m 解得32232-2-+-≤≤m . 所以实数m 的取值范围[] .322-32-2-+， （2） (){},10,≤≤==x x f y y A 且[)∞+?， 0A () 02min 2≥-+-?m mx x 在[]1,0上成立. ①当0 专题07 导数中的问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 曲线y ＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 2．(2022·新高考Ⅱ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________． 3．(2022·全国乙文)函数f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( ) A ．－π2，π2 B ．－3π2，π2 C ．－π2，π2＋2 D ．－3π2，π2 ＋2 4．(2022·新高考Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则( ) A ．f (x )有两个极值点 B ．f (x )有三个零点 C ．点(0，1)是曲线y ＝f (x )的对称中心 D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线 5．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3 ，0)中心对称，则( ) A ．f (x )在区间(0，5π12 )单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴 D ．直线y ＝32 －x 是曲线y ＝f (x )的切线 6．(2022·全国乙理)已知x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －ex 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点．若 x 1＜x 2，则a 的取值范围是____________． 7．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A ．[18，814] B ．[274，814] C ．[274，643 ] D ．[18，27] 【知识总结】 1．导数的几何意义 (1)f ′(x 0)的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)切点的两大特征：①在曲线y ＝f (x )上；②在切线上． 2．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f (x )的定义域； ②求导函数f ′(x )； ③由f ′(x )>0的解集确定函数f (x )的单调递增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调递减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0(x ∈M )恒成立； 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数2 1 ()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．1 2 - B ． 13 C ． 12 D ．1 【答案】C 【解析】 试题分析：函数的零点满足() 2112x x x x a e e --+-=-+， 设()1 1 x x g x e e --+=+，则()()211 1 1 1 1 11x x x x x x e g x e e e e e ---+----'=-=- =， 当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =， 设()2 2h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ， 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 学科@网 3.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是 【答案】D 【解析】 试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【考点】 导函数的图象 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 4.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】 试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤， 高考数学中的导数问题解析在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的知识点。导数的概念、求法和应用一直是高考数学中的重点和难点。在高中数学的学习过程中，学生们需要对导数的定义、求导法则和高阶导数等知识进行深入的学习和理解。本文将探讨高考数学中的导数问题，包括导数的概念、求导法则和应用等方面。 一、导数的概念 导数是微积分中的一个重要概念。它是描述函数变化率的数学工具，用于描述一个函数在某一点上的瞬时变化率。在数学上，导数的定义是：如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么函数f(x)在点x=a处的导数定义为： f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / [x - a] 这个式子的意思是：当x无限趋近于a的时候，f(x)和f(a)之差的商的极限存在，并且这个极限就是函数f(x)在点x=a处的导数。 导数的定义可以用图像来解释。在图像上，一个函数f(x)在点( a , f(a) )处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。因此，导数越大，函数在该点上的变化率越大。 二、导数的求法则 求导是计算导数的过程。求导需要运用一些基本的求导法则。在高考数学中，最常用的求导法则有以下几种： 1. 常数的导数等于0； 2. 变量的一次幂的导数等于这个一次幂的系数； 3. 变量的n次幂的导数等于这个n次幂的系数乘以x的n-1次幂； 4. 变量的n次方根的导数等于这个n次方根的倒数乘以x的n-1次幂； 5. 每条多项式的导数是它各项导数的和； 6. 乘法规则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再加上另一个函数的导数乘以该函数； 7. 除法规则：两个函数的商的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再减去另一个函数的导数乘以该函数，全部除以第二个函数的平方。 以上的规则可以帮助我们在计算导数的时候快速准确地求得导数。 三、导数的应用 在高考数学中，导数的应用十分广泛，常常被用于研究函数在某个区间内的特性，例如最值、单调性、凸性、极值等。下面我们来详细介绍一下导数在求函数极值和函数单调性方面的应用。 1. 导数在求函数的极值方面的应用 高考数学热点必会题型第5讲 导数中含参讨论问题总结 ——每天30分钟7天掌握 一、重点题型目录 【题型】一、由函数的单调区间求参数 【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数 【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 【题型】四、根据极值点求参数 【题型】五、有导数求函数的最值（含参） 【题型】六、已知函数最值求参数 【题型】七、参变分离法解决导数问题 【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小 【题型】九、构造函数法解决导数问题 二、题型讲解总结 【题型】一、由函数的单调区间求参数 第一天学习及训练 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2 ln x ax f x x =++的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则（ ）. A ．(],3a ∈-∞- B ．3a =- C ．3a = D ．(],3a ∈-∞ 【答案】B 【分析】根据()f x 得到()f x '，再根据()f x 的单调递减区间是1 ,12 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ，得到1 2和1是方程 ()0f x '=的两个根，代入解方程即可. 【详解】由()2 ln x ax f x x =++得()2 21x ax f x x ++'=，又()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1 2和 1是方程221 0x ax x ++=的两个根，代入得3a =-.经检验满足题意 故选：B. 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ ,42 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭上是减函数，则 实数a 的取值范围为（ ） A ．1a > B ．1a ≥ C ．1a >D ．1a ≥- 【答案】B 【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解. 【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ ,42 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭上恒成立， 即cos 1sin tan x a x x ≥ =在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上恒成立， 因为tan y x =在ππ ,42 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，所以tan 1y x =>， 所以在ππ,42x ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭时，101tan x < <， 所以1a ≥. 故选：B 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32 f x x ax bx c =+++，() g x 为()f x 的导函数．若 ()f x 在(0，1)上单调递减，则下列结论正确的是（ ） A ．23a b -有最小值3 B ．23a b -有最大值 C ．()()010f f ⋅≤ D ．()()010g g ⋅≥ 【答案】D 高考数学导数的综合应用问题解答题专题练习 一、归类解析 题型一：证明不等式 【解题指导】 (1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性． (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1) 专题44 导数中的函数零点问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙文) 已知函数1()(1)ln f x ax a x x =--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值； (2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 2．(2022·全国乙理) 已知函数()()ln 1e x f x x ax -=++ (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0, 0f 处的切线方程； (2)若()f x 在区间()()1, 0, 0, -+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 3．(2022·新高考Ⅰ)已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ； (2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【方法总结】 1．利用导数求函数零点的常用方法 (1)构造函数g (x )(其中g ′(x )易求，且g ′(x )＝0可解)，利用导数研究g (x )的性质，结合g (x )的图象，判断函数零点的个数； (2)利用零点存在性定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数零点的个数． 2．求解函数零点(方程根)的个数问题的3步骤 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x 轴(或直线y ＝k )在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解． 3．利用函数零点的情况求参数范围的方法 (1)分离参数(a ＝g (x ))后，将原问题转化为y ＝g (x )的值域(最值)问题或转化为直线y ＝a 与y ＝g (x )的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 【题型突破】 1．已知函数f (x )＝x e x ＋e x ． (1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)讨论函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数． 2020年高考数学（理）专题二第七讲 【导数的概念及运算】 1．了解导数概念的实际背景。 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义。 3．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数。 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 热点题型一 导数的计算 例1、求下列函数的导数 (1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2 。(4)y ＝ln(1－2x )。 【举一反三】 求下列函数的导数 (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2 ； (3)y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎫1－2cos 2x 4。 热点题型二 导数的几何意义及应用 例2、（2018年全国I 卷理数）设函数 ，若为奇函数，则曲线在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 【变式探究】【2017山东，理20】已知函数()22cos f x x x =+， ()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程； （Ⅱ）令()()()()h x g x a f x a R =- ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求 出极值. 【举一反三】 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 专题41 导数中不等式的证明问题 【高考真题】 1．(2022·北京)已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0, (0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0, )+∞上的单调性； (3)证明：对任意的, (0, )s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+． 2．(2022·浙江)设函数e ()ln (0)2f x x x x = +>． (1)求()f x 的单调区间； (2)已知, a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233, , , , , x f x x f x x f x 处的切线都经过点(, )a b ．证明： (ⅰ)若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫ <-<- ⎪⎝⎭ ； (ⅰ)若1230e, a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-． (注：e 2.71828=是自然对数的底数) 3．(2022·新高考ⅰ)已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n * ∈N 2 1ln(1)n n + >++． 【方法总结】 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，x x ＋1≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f (x )和g (x )，利用其最值求解． 【题型突破】 1．已知函数f (x )＝ax －ax ln x －1(a ∈R ，a ≠0)． 专题42 导数中的极值点偏移问题 【高考真题】 1．(2022·全国甲理) 已知函数()ln x f x x x a e x =-+-． (1)若()0f x ≥，求a 的取值范围； (2)证明：若()f x 有两个零点12, x x ，则121x x <． 【知识总结】 一、极值点偏移的含义 函数f (x )满足内任意自变量x 都有f (x )＝f (2m －x )，则函数f (x )关于直线x ＝m 对称．可以理解为函数f (x )在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f (x )为单峰函数，则x ＝m 必为f (x )的极值点x 0，如图(1)所示， 函数f (x )图象的顶点的横坐标就是极值点x 0，若f (x )＝c 的两根的中点则刚好满足x 1＋x 22 ＝x 0，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移． 图(1) 图(2) 图(3) 若x 1＋x 22 ≠x 0，则极值点偏移．若单峰函数f (x )的极值点为x 0，且函数f (x )满足定义域内x ＝m 左侧的任意自变量x 都有f (x )>f (2m －x )或f (x ) 高考数学专题 导数中不等式恒成立问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 21ln(1)n n +>++． 【方法总结】 1．单变量恒成立之参变分离法 参变分离法是将不等式变形成一个一端是f (a )，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若f (a )≥g (x )在x ∈D 上恒成立，则f (a )≥g (x )max ；若f (a )≤g (x )在x ∈D 上恒成立，则f (a )≤g (x )min ．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a ，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若a ≥g (x )在x ∈D 上恒成立，则a ≥g (x )max ；若a ≤g (x )在x ∈D 上恒成立，则a ≤g (x )min ． 利用分离参数法来确定不等式f (x ，a )≥0(x ∈D ，a 为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f 1(a )≥f 2(x )或f 1(a )≤f 2(x )的形式． (2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值． (3)解不等式f 1(a )≥f 2(x )max 或f 1(a )≤f 2(x )min ，得到a 的取值范围． 2．单变量恒成立之最值分析法 遇到f (x )≥g (x )型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h (x )＝f (x )－g (x )或“右减左”的函数u (x )＝g (x )－f (x )，进而只需满足h (x )min ≥0或u (x )max ≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． 3．单变量不等式能成立之参变分离法 参变分离法是将不等式变形成一个一端是f (a )，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若f (a )≥g (x )在x ∈D 上能成立，则f (a )≥g (x )min ；若f (a )≤g (x )在x ∈D 上能成立，则f (a )≤g (x )max ．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a ，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若a ≥g (x )在x ∈D 上能成立，则a ≥g (x )min ；若a ≤g (x )在x ∈D 上能成立，则a ≤g (x )max ． 利用分离参数法来确定不等式f (x ，a )≥0(x ∈D ，a 为实参数)能成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f 1(a )≥f 2(x )或f 1(a )≤f 2(x )的形式． (2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值． (3)解不等式f 1(a )≥f 2(x )min 或f 1(a )≤f 2(x )max ，得到a 的取值范围． 高考数学热点必会题型第5讲 导数之二阶导数的应用 ——每天30分钟7天掌握 一、重点题型目录 【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值） 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围 【题型】四、利用二阶导数证明不等式 【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值 【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值 二、题型讲解总结 第一天学习及训练 【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值） 例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，1 2 1112 x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（ ） A ．1e B ．1 C ．1 1e + D ．e 例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2 f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0 x >时，()ln f x x ≥，则b a 的最小值为（ ） A ．2- B ．12 - C ．e - D ．1e - 例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x k f x e e x k -=--=，则（ ） A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值 B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值 C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值 D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值 例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()3 2012 x a f x ae x ax a =- -->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x k k x +>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性 例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛ ⎫= ⎪⎝ ⎭，ln9b =-， ln(ln 0.9)c =-， 则（ ） A ．c 第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理 【知识要点】 在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题 “存在．．． ，存在．． ，使得 成立”． 称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即在区 间 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数 在区间 内的一个函数值．．．．． 小.，即.（见下图1） “存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得 成立”，即在区间),(b a 内至． 少有一个值．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．． 大，即.（见下图2） 2、双任意性问题 “任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意．．),(1b a x ∈，对任意．． 的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即 )(x f 在区间),(b a 任意一个值．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要小，即 . “任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内任意一．．． 个值．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．． 一个函数值都要大,即. 3、存在任意性问题 “存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的存在任意性问题. 存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要小，即 . （见下图3） “存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要大，即 .（见下图4） 【方法讲评】 题型一 双存在性问题 第11讲 ：导数中的隐零点问题 思维导图-----知识梳理 1、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则有： ①关系式 0)('0=x f 成立；②注意确定0x 的合适范围. 2、含参函数的隐零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根 为0x ，则有 ①有关系式 0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系；②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 3、函数零点的存在性 (1)函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少 有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =. ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号 (2)若 ()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一. 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 题型一 不含参数的隐零点问题 例1．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数()()()2 1ln 112 f x x a x a x a =-+-+∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)当1a =时，求证：()()21 e 12ln 2x f x x x x ≤-+-． 例2．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知函数()ln 2x a f x x x =++的图象在点()()1,1f 处的切线方程为30y -=． (1)判断函数()f x 的单调性． (2)证明：当0x >时，()2e x f x ≤． 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 新高考 导数及其应用 考点专题训练 一、单选题 1．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））函数()2ln 1f x x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．(0,2) B ．(0,)e C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．(2,)+∞ 【答案】A 【分析】 先求导数()'f x ，令()0f x '<求解不等式可得答案. 【详解】 由题可知0x >，由()2 10f x x =-<'，解得02x <<. 所以单调递减区间为(0,2). 故选：A. 2．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））设函数()f x 在点x 处附近有定义，且()()()2 00,,f x x f x a x b x a b +∆-=∆+∆为常数，则（ ） A ．()' f x a = B ．()' f x b = C ．()' 0f x a = D ．()' 0f x b = 【答案】C 【分析】 由导函数的定义可得选项. 【详解】 解：因为()()()2 00,,f x x f x a x b x a b +∆-=∆+∆为常数，所以 ()()()()00'000lim lim x x f x x f x f x a b x a x ∆→∆ →+∆-⎛⎫ ==+∆= ⎪∆⎝⎭， 故选：C. 3．（2021·浙江·高考真题）已知函数2 1(),()sin 4f x x g x x =+=，则图象为如图的函数可能 是（ ） A ．1 ()()4y f x g x =+- B ．1 ()()4 y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．() () g x y f x = 【答案】D 【分析】 由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】 对于A ，()()21 sin 4 y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21 sin 4 y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫ '=++ ⎪⎝⎭， 当4x π=时，2102164y π π⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭ ，与图象不符，排除C. 故选：D. 4．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 【答案】B 【分析】 求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 第7题 导数的几何意义及应用 一、原题呈现 【原题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则（ ） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a << D. 0e a b << 【答案】D 【解析】 解法一：设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于() ,e t P t ,对函数e x y =求导得e x y '=,所以曲线e x y =在点 P 处的切线方程为()e e t t y x t -=-,即()e 1e t t y x t =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()e 1e t t y x t =+-上,所以()()e 1e 1e t t t b a t a t =+-=+-,过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则方程()1e t b a t =+-有两个不同实根,令()()1e t f t a t =+-,则()()e t f t a t '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增, 且()0f t >,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减, 所以,()()max e a f t f a ==,如图所示,当直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点时,当0e a b <<时, 直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选D. 解法二：画出函数曲线e x y =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0e a b <<.故选D. 【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(),e t t 有 2个t −−−−−−→整理出关于的方程 关于t 的方程()1e t b a t =+-有2个不同实根→直线y b =与 ()()1e t f t a t =+-有2个交点.另外由解法二可知：点(),a b 在曲线下方且在x 轴上方时符合条件的切线 有2条；点(),a b 在曲线上或在x 轴上或在x 轴下方时符合条件的切线有1条；点(),a b 在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成3y x =,点(),a b 位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下. 二、考题揭秘 【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等. 【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数. 【得分秘籍】 (1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简． (2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. (3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()() ,t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题. 【易错警示】高考数学专题：导数恒成立问题(含答案)
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