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2020高考理科数学大题专项练习:大题综合

大题综合练

一、解答题

1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2B

2. (1)求cos B ;

(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b. 解:(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B

2, 故sin B=4(1-cos B ).

上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=15

17.

(2)由cos B=15

17得sin B=8

17,故S △ABC =1

2ac sin B=4

17ac. 又S △ABC =2,则ac=17

2. 由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c )2-2ac (1+cos B ) =36-2×

172

×(1+15

17)=4.

所以b=2.

2.某商店欲购进某种食品(保质期两天),此商店每两天购进该食品一次(购进时,该食品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价8元,售价12元.如果两天内无法售出,那么食品过期作废,且两天内的销售情况互不影响.为了了解市场的需求情况,现统计该产品在本地区100天的销售量如下表:

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(视样本频率为概率)

(1)根据该产品100天的销售量统计表,记两天中一共销售该食品份数为ξ,求ξ的分布列与期望;

(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据,该商店一次性购进32份或33份,哪一种得到的利润更大?

解:(1)根据题意可得P (ξ=30)=1

5×1

5=1

25,P (ξ=31)=1

5×3

10×2=3

25, P (ξ=32)=1

5×2

5×2+3

10×3

10=1

4,P (ξ=33)=1

5×1

10×2+3

10×2

5×2=7

25,

P (ξ=34)=3

10×1

10×2+2

5×2

5=11

50,P (ξ=35)=2

5×1

10×2=2

25, P (ξ=36)=1

10×1

10=1

100,ξ的分布列如下:

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E (ξ)=30×125+31×325+32×1

4+33×7

25+34×1150+35×2

25+36×1

100=32.8. (2)当购进32份时,利润为32×4×21

25+(31×4-8)×3

25+(30×4-16)×

125

=107.52+13.92+4.16=125.6;

当购进33份时,利润为33×4×59

100+(32×4-8)×1

4+(31×4-16)×3

25+(30×4-24)×

125

=77.88+30+12.96+3.84=124.68.

由125.6>124.68,可知当购进32份时,利润更高.

3.如图,在四棱锥P-ABCD 中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ⊥PD ,PA=PD ,AB ⊥AD ,AB=1,AD=2,AC=CD=√5.

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(1)求证:PD ⊥平面PAB ;

(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值;

(3)在棱PA 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ?若存在,求AM

AP 的值;若不存在,说明理由. 答案:(1)证明因为平面PAD ⊥平面ABCD ,AB ⊥AD , 所以AB ⊥平面PAD.所以AB ⊥PD. 又因为PA ⊥PD ,所以PD ⊥平面PAB. (2)解取AD 的中点O ,连接PO ,CO. 因为PA=PD ,所以PO ⊥AD.

又因为PO ?平面PAD ,平面PAD ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD.

因为CO ?平面ABCD ,所以PO ⊥CO. 因为AC=CD ,所以CO ⊥AD.

如图建立空间直角坐标系O-xyz.

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由题意,得点A (0,1,0),B (1,1,0),C (2,0,0),D (0,-1,0),P (0,0,1).

设平面PCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·PD ????? =0,

n ·PC ????? =0,

即{-y -z =0,

2x -z =0. 令z=2,则x=1,y=-2. 所以n =(1,-2,2).

又PB ????? =(1,1,-1), 所以cos =n ·PB ?????

|n ||PB ????? |=-√33

. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为√3

3. (3)解设M 是棱PA 上一点,则存在λ∈[0,1]使得AM ?????? =λAP ????? . 因此点M (0,1-λ,λ),BM ?????? =(-1,-λ,λ). 因为BM ?平面PCD ,所以BM ∥平面PCD 当且仅当BM ?????? ·n =0, 即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=1

4.

所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ,此时AM

AP =1

4.

4.设椭圆E 的方程为x 2

a 2+y 2

b 2=1(a>b>0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线OM 的斜率为√5

10. (1)求E 的离心率e ;

(2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7

2,求E 的方程.

解:(1)由题设条件知,点M 的坐标为(2

3a ,1

3b), 又k OM =√5

10,从而b

2a =

√5

10

,

进而得a=√5b ,c=222b ,故e=c

a =

2√5

5

. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方程为

5b

+y b =1,点N 的坐标为(√5

2b ,-1

2b).设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为(x 1,7

2),则线段NS 的中点T 的坐标为(√5

4b +

x 12

,-14b +7

4).

又点T 在直线AB 上,且k NS ·k AB =-1, 从而有{ √5

4b+x 1

2√5b +-1

4b+7

4b

=1,

72+12b x 1-√52b =√5,解得b=3.

所以a=3√5,故椭圆E 的方程为x 2

45+

y 29

=1.

5.已知函数f (x )=√x -ln x.

(1)若f (x )在x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2;

(2)若a ≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点. 答案:证明(1)函数f (x )的导函数f'(x )=2√

x

?1

x , 由f'(x 1)=f'(x 2),得2√x ?1x 1

=2

√x ?1

x 2

,

因为x 1≠x 2,所以

√x √x =1

2.

由基本不等式,得12√x 1x 2=√x 1+√x 2≥2√x 1x 24, 因为x 1≠x 2,所以x 1x 2>256.

由题意得f (x 1)+f (x 2)=√x 1-ln x 1+√x 2-ln x 2=1

2√x 1x 2-ln(x 1x 2). 设g (x )=1

2√x -ln x ,则g'(x )=1

4x (√x -4), 所以

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所以g (x )在[256,+∞)上单调递增,故g (x 1x 2)>g (256)=8-8ln 2, 即f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2. (2)令m=e

-(|a|+k )

,n=(

|a |+1k

)2+1,则

f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,

f(n)-kn-a

√n a

n

-k)≤n(

√n

k)<0,

所以,存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a.

所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a,得k=√x-lnx-a

x

.

设h(x)=√x-lnx-a

x

,

则h'(x)=lnx-√x2-1+a

x2

=-g(x)-1+a

x2

.

其中g(x)=√x

2

-ln x.由(1)可知g(x)≥g(16).

又a≤3-4ln 2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln 2+a≤0,所以h'(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.

因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.

综上,当a≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.