排列组合、概率与统计.

排列组合、概率与统计

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A =｛1,2,3,4｝, B =｛-1,0,1｝,现建立从A 到B 的映射f ：x →f (x )，若f (1) < f (2)< f (3),则这样的映射共有 （ ）

A ．3个

B ．9个

C ．12个

D ．16个 2.（理）下列随机变理ξ的分布列不属于二项分布的是 ( )

A.．某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对他们进行年度考核，每人考核结果为优秀的概率是0.25. 假设每人年度考核结果是相互独立的，ξ为考核结果为优秀的人数. B ．某汽车总站附近有一个加油站，每辆车出汽车总站后进加油站加油的概率是0.12，且每辆车是否加油是相互独立的. 某天出汽车总站有50辆汽车，ξ为进加油站加油的汽车数. C ．某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，ξ为从开始射击到击中目标所需要的射击次数.

D ．某周内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.5，ξ表示下载n 次数据后电脑被病毒感染的次数.

(文) 某学校有老教师28名，中年教师54名，青年教师81名，为了调查他们的身体状况，学校决定从他们中抽取容量为36的样本进行健康调查，最合适的抽取样本的方法是 ( ) A ．简单随机抽样 B ．系统抽样

C ．分层抽样

D ．先从老教师中剔除一人，然后进行分层抽样 3. 已知数列｛a n ｝满足条件：)1(27,7111n n n a a a a -==+, 则对任意正偶数7

3,1=-+n n a a n 的概率等于 （ ）

A ．1

B ．

2

1

C ．n n 21+

D ．n n 21-

4. (理) 设随机变量ξ~N （μ,σ2）且P (ξ<1)=2

1

, P(ξ>2)=p ,则P (0<ξ<1)的值为（ ）

A ．p 2

1

B ．1－p

C ．1－2 p

D ．p -21

(文)如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的变化情况为 （ ）

A ．平均数和方差都不变

B ．平均数不变，方差改变

C ．平均数改变，方差不变

D ．平均数和方差都改变 5. 如图是一个正方体的表面展开图，若把1,2,3,4,5,6随机填入小正 方形内，按虚线折成正方体，则所得正方体相对面上两个数的和都 相等的概率是 （ ） A ．

61 B ．15

1

C ．601

D ．1201

6. 已知随机变理ξ只能取3个值：x 1, x 2, x 3, 其概率依次成等差数列，则这个数列的公差的取值范围是 （ ） A ．[4

1,

41-] B ．[51,51-] C ．[31,31-] D ．[21

,21-]

7. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0

A ．2)1(3p p -

B ．2

)1(6p p - C ．2

2

)1(3p p - D ．2

2

)1(6p p -

8. 设两个独立事件A ，B 都不发生的概率为9

1

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，那么P （A ）为 （ ） A ．

91 B ．32 C ．18

1 D ．31 9. (理) 已知随机变理ξ的概率分布如下：

则P （ξ=10）的值是 （ ） A ．

932 B ．1032 C ．931

D ．10

3

1 (文)从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名. 则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别是 （ ） A ．

401,00313 B ．401

,00013 C ．

003125,00313 D ．003

125

,00013 10. 假设Kobe-Bryant 投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，

b ，

c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则

b

a 31

2+的最小值为 （ ） A ．332 B ．328 C ．314 D ．3

16

11. 若m , n ∈｛x |x =a 2×102+a 1×10+a 0｝，其中a i ∈｛1，2，3，4，5，6，7｝, i=0,1,2, 并且m +n =636，则实数对（m , n ）表示平面上不同点的个数为 （ ）

A ．60个

B ．70个

C ．90个

D ．120个 12. (理)设有n 个样本x 1, x 2…, x n , 其标准差为s x , 另有n 样本y 1, y 2…, y n , 且

y k =3x k +5(k =1,2,…n ) 其标准差为s y , 则下列关系正确的是 （ ）

A ．s y =3s x +5

B ．s y =3s x

C ．x y s s 3=

D ．53+=x y s s (文)一个盒子装着分别编有号码1,2,3,4,5的红色球，白色球各5个，从中任意取出5个，则这5个球中编号之和不小于20的概率是 （ ）

A ．421

B ．631

C ．632

D ．7

1

第II 卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在横线上.

13. 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布

直方图如图，若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生能报A 专业的人数为_________.

14. (理) 某超市为扩大销售，决定对进入超市的人数做一次调查，经观察，在一段时间内，

进入超市为n 个人的概率为P (n )，且满足P (n ) =,)

6(0

)

51()

0()2

1(?????≥≤≤?n n P n

那么在某

一时刻，一个顾客也没有的概率P (0) =__________.

(文)高三学生李丽5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ,10, y ,11,9. 已知这组数据的平均数为10，方差为2.，则y x -的值为____________.

15. 同时掷六枚材质均匀的硬币，则至少有两枚正面向上的概率为__________. 16. 设a 在区间[0，5]上随机的取值，则方程02

1

42

=++

+a ax x 有实根的概率为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)

一项“过关游戏”规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果第n 关的n 次抛掷所出现的点数之和大于n 2就算过关.问： （1）张强在这项游戏中最多能连过几关？ （2）他连过前两关的概率是多少？

18. (本小题满分12分)

某智力测试有5道度题. 假定任何智力正常的人答对第i 道题的概率都是

).,5,4,3,2,1(3

1

i （1）求智力正常的人将这5道试题都答错了的概率以及至少答对4道试题的概率； （2）（只理科做）如果甲将这5道试题都答错，乙答对4道试题，答错1道试题. 能否判定甲的智力低于正常水平. 请运用所学概率知识表达你的观点.

19. （本小题满分12分）

一种赌博游戏：一个布袋内装有6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6个全白，赢得100元.

只有你摸出了3红3白才会输100元，而对于其他六种情况，你均能赢得相应的钱数，而且这个游戏是免费的.

请解释下面说法是否正确：“用概率论的语言说，这7种情况是等可能的，赢的机会为76

，输的机会仅为7

1，摸7次有6次都应该赢”.

20. （本小题满分12分）

甲乙进行乒乓球比赛，比赛规则：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先得2分的一方为胜方.

(1)根据以往战况，双方在每一分的争夺中甲的胜概率为0.6. 求一局中甲在以8：9落后

的情况下以12:10获胜的概率.

(2)根据以往战况，双方在每一分的争夺中甲胜的概率为p(0

获胜的概率.

21. (本小题满分12分)

某大学的校摔跤队与数学系摔跤队举行对抗赛，校对的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率是0.6，现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（5）双方各出7人. 三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利. 问：对系队来说，哪一种方案最有利？

22. （本小题满分12分）

（理）在独立重复试验中，某事件发生的概率是P . 求第2次事件发生所需要的试验次数ξ的分布列、数学期望.

(文) 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：

.2)(,cos )(,sin )(,)(,)(,)(65433221======x f x x f x x f x x f x x f x x f

（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数不多于三次的概率.

参考答案

1. A 由)4(,1)3(,0)2(,1)1()3()2()1(f f f ，f f f f ==-=<<知可以取－1，0，1三者

之一，于是这样的映射有3个，故选A.

2. (理) 选项A ：每人考核结果只有“优秀”，“不优秀”两个对立结果，且每人考核结果为优秀是相互独立的，并且概率为常数，所以随机变量ξ服从二项分布；选项B ：每辆汽车出汽车总站后，只有进加油站加油和不进加油站加油两个结果，同时每辆车进加油站加油的概率为常数，而且相互独立，所以随机变量ξ服从二项分布；选项C ：在一次又一次的射击中，第一次射中是我们关注的事件A ，随机变量ξ表示第一次击中目标时射击的次数，显然随机变量ξ服从几何分布，不服从二项分布；选项D 同选项A 、B ，可判断随机变量ξ服从二项分布. 选C.

(文)D 根据随机抽样和分层抽样的意义可知选D.

3. A 由递推关系得，，a a a a Λ,7

6

,73）761( 7627,76,735432==-?===于是当n 是偶数时，,73=n a 当n 是奇数是，,76=n a 故对任意的正偶数n , 总有7

3

1=-+n n a a 成立，故

其概率是1，选A.

4. (理) D 由正态曲线的对称性和P (ξ<1)=

2

1

知，期望μ=1, 即正态曲线关于直线x =1对称，于是P （ξ<0）= P （ξ>2），所以P （0<ξ<1）= P （ξ< 1）- P （ξ< 0）= P （ξ<1）- P （ξ>2）=

2

1

－P , 故选D. (文) C 平均数是衡量样本（或一组数据）平均水平（或集中趋势）的特征数，而方差是衡量样本（或一组数据）和总体的波动大小的特征数，所以平均数改变，方差不变，即若ξ是随机变理，则η=ξ+b (b ≠0为常数)也是随机变量，则E η=E ξ+b, D η=D ξ,所以选C. 5. B 把1，2，3，4，5，6随机地填入小正方形内，一共有A 66种不同的方法，当按虚线折成正方体时，所得正方体相对面上两个数的和都相等，则应该是1+6=2+5=3+4，即正方体的三组对面上分别应填入1、6、2、5、3、4，这三组数字之间可以全排列，所以有A 33种方法，而在每一组相对的面上两个数字还可以交换，各有2种方法，所以所得正方体

相对面上两个数的和都相等的填法是A 3

3×2×2×2.所以所求概率为P =151

2226

6

33=???A A . 选B.

6. C 随机变量ξ只能取3个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，设为

d d +-3

1

,31,31(d 为公差)，由概率的性质，得,1

31013

10???

???

?

≤+≤≤-≤d d 解不等式组，得,3131≤≤-d 选C. 7. C “第4次射击恰好是他第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标，前3次射击

中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：2

213)1(p p C -. 故选C 。

8. B 由已知，得,)()(91)(??

?

??

?=?=?B p A p p

∴,)

()(91)()()()(1?????

==+--B P A P B P A P B P A p 整理，得.,3

2

)(,91))(1(2

B A p ，A p 选得解方程==

- 9. （理）根据随机变理分布列的意义，得所以,13

2323292=++++m Λ32

(1-=m

P 故,313

11)

311(321)32329

992=---=+++Λ(10)=,319=m 选C. (文)C 学生甲被剔除的概率,003130066

2005

521==C C P 则学生甲不被剔除的概率为10031000100331=-,所以甲被选取的概率,003

131003100000050299949

12=?=C C P 故选C. 10. D 由已知得.10,3

2

0223,2023<<<<=+=?++b a ，b a c b a 其中即 因为

,3

1622231022313)312(223312=?+≥+++=+?+=+b a a b b a a b b a b a b a 当且仅当

212=

=b a 时取等号，即b a 312+的最小值为3

16，选D. 11. 由6=5+1=4+2=3+3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3=2+1=7+6-10, 故 （1）由3=2+1知，首位数字的可能选择有2×5=10种；

（2）由3=7+6-10及5=4+1=2+3知，首位数字的可能选择有2×4=8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5×(10+8)=90种. 故选C.

12. (理)B 由平均数的定义，得,53+=x y 由方差的计算公式

])()()[1222212x x x n

s n -++-+-=Λ,得2

29x

y s s =，所以s y =3s x ,选B. 方法探究：记住平均数、方差的一些常用性质非常必要. 如：①如果样本x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，那么样本;),(,,,21b ax b a b ax b ax b ax n ++++的平均数是是常数Λ②当x 1，

x 2，…，x n 波动到最大状态时，s 2取得最大值；③若两样本x 1，x 2，…，x n ；y 1，y 2，…，y n 满足y i =ax i +b (a 、b 为常数，i =1,2,…n )，则y 1，y 2…y n 的方差是x 1，x 2，…，x n 的方差

的a 2倍，即222x

y s a s ?=等等. (文)A 编号之和不小于20共有三类情况：

5+5+4+4+2=20, 5+5+4+4+3=21, 5+5+4+3+3=20, 于是所求概率为

,42176665

10

2

21222122222122222=??=++=C C C C C C C C C C p 选A. 13. 20 依题意，该班学生视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，频率为0.4×50=20，故该班学生中能报A 专业的人数为20. 14.(理)

++=++++21

1)(0(,1)0(21)0(41)0(21)0(63325p p p p p 所以由题意可得Λ 1)32

141=++Λ，解方程得.6332)0(=p

(文) 4 由平均数为10可得：x +y =20,由方差为2, 得 8)10()10(2

2

=-+-y x ，解这个方程组，得,12

8

812???==??

?==y x y x 或 所以.4=-y x

15.

64

57

由于硬币的材质均匀，所以同时掷六枚材质均匀的硬币，相当于“掷一枚硬币”连续掷六次，属于独立重复试验. 事件“至少有两枚正面向上”的对立事件是“至多有一枚正面向上”，于是所求概率为

.64

57)21(6)21(1)21(,)21()21()21(1)1()0(1661

6116600666=?--=--==-=-C C p p p

16. 5

3 一元二次议程有实根的充要条件是△≥0, 而

,0)2)(1(2)2

1

4(422≥-+=--=+-=?a a a a a a 解得a ≤－1或a ≥2, 于是区间[0,5]

∩((－∞, －1)]∪[2,+8))=[2,5]的长度为3，而区间[0，5]的长度为5，故所求概率p =5

3

.

17. 由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的.

(1)因为点数最大为6，抛掷n 次点数之和的最大值为6n . 所以6×1>12, 6×2>22,6×3>32, 6×4>42,6×5>52,6×6=62,6×7>72,…, (4分) 当≥6时，点数之和不可能大于n 2，即此时过关的概率为0.所以张强在这项游戏中最多能连过5关. (6分) (2)记第n 次过关为事件A n ,基本事件总数为6n .

第一关：由12=1知. 点数不小于2即可，所以,6

5

)(1=

=A p (8分) 第二关：由22=4知，考虑对立事件2A ，即“不能过第二关”依次取a =2、3、4, 解不

定方程x +y =a (前两次所掷点数分别为x 、y ),得其解的个数是,61

31211=++C C C 从而

.6

56661)(1)(22=?-

=-==A p A p 所以连过前两关的概率是.36

25

6565=?=p （10分）

思路点拔：本例综合了概率、组合、不等式、不定方程等知识，是一道新颖、独特的好题，有利于考查考生分析问题、解决问题的基本技能，概率问题是高考命题的主干知识，涉及到的问题情景是常考常新的，多数是与生活实际相联系的. 18. (1)智力正常的人将这5道试题都答错的概率为

.132.0243

32

)311(5≈=-=o p （理3分，文5分）

答对4道试题的概率为.041.0243

10)311()31(4

454≈=-=C p

答对了5道试题的概率为.004.0243

1)31(5

555≈==C P

∴智力正常的人至少答对4道试题的概率为.045.0243

11

54≈=+=P P P

(理7分，文12分)

（2）（只理科做）智力正常的人将这5道试题都答错了概率P 0≈0.132>0.05, 因而不能判定甲的智力低于正常水平 （理9分） 智力正常的人答对4道以上试题的概率P ≈0.045<0.05. 根据小概率事件在一次试验中几乎不发生的原理知，假设乙的智力在正常水平，答对4道试题的情况几乎不发生. 从而可以认定乙智力高于正常水平. (理12分) 拓展迁移：通过本题的学习，要正确理解概率统计中的著名原理——小概率事件在一次试验中几乎不发生. 概率是从统计的角度，通过大量的重复的试验得到的关于某个事件发生的频率的稳定性的一个描述，反映了某个事件发生可能性的大小.

19. 游戏的妙处就在于这7种情况发生不是等可能的. (2分)

由于球的形状、大小、重量等完全一样，所以在我们无法看到的情况下是无法区分红球和白球的，任意摸6个球，不论红或白，共有C 612=724种可能，由此可以计算出摸到“5红1

白”的概率为%9.36

12

1656≈C C C ，而摸到“3红3白”的概率不%.2.436123

6

36≈C C C （6分） 可见，输钱的可能性约占一半，正是由于各种情况出现的概率不均等，才导致了人们上当受骗，这7种情况出现的概率如下表所示：

(8分)

很显然，上面各种情况的概率加起来是1，它们把全部的可能性（100%）进行了不均等的概率分配，从中还可以看出，要想摸出“6个全红”与“6个全白”的可能性各仅点0.1%，相当于1000次中只有1次全赢100元，这是一个概率很小的事件，根据实际推断原理，在一次摸取中，其基本上是不会发生的，而摸到“3红3白”的可能性为43.2%，即几乎每两次就有一次出现，几乎有一半的机会输掉100元，这就是摸得越多，输得越多的原因.

命题动向：《考试大纲》要求了解概率的意义，也就要求我们既能够利用概率来解决有关的实际问题，同时也要求我们能反过来对所求出的概率作出合理的解释.

拓展迁移：在市场经济高度发展的今天，经济活动已经深入到我们的日常生活中，投资变得不再陌生，如投资经济、保险、证券、股票等. 作投资之前我们都会分析各种各样的情况进而做出投资的决策. 由本题可知，博彩者是利用数学知识来蒙骗投资者，我们必须学好数学知识来提升自己的科学素养才不至于上当受骗. 20. (1)从比分8:9到12:10有下面三种情况： 8:9——8:10，9:10，10:10, 11:10, 12:10 8:9——9:9, 9:10, 10:10，11:10, 12:10

8:9——9:9, 10:9, 10:10, 11:10, 12:10 （4分）

由此可知：最后两分必为甲且必出现10平，甲以8:9落后的情况下以12:10获取的概率

为1552.06.04.06.02

213=???=C P (6分)

（2）甲以14：12获取必出现10平，11平，12平，且最后两分必为甲得. (8分)

前20分中甲得10分的概率为，p p C 10

101020)1(-?所以甲以14：12获胜的概率为.)1(4)1()1()1(121410202121210101020p p C p p p C p p C p p C -?=?-???-???-? (12分)

命题动向：本题以“乒乓球赛”为素材，让考生感到真实、亲切. 这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神. 考查运用概率知识解决实际问题的能力.

21. 三种方案中，哪一种方案系队获胜的概率更大一些，哪一种方案对系队就更有利. 进行几场比赛相当于进行几次独立重复实验，可以用n 次独立重复实验中某事件发生k 次的概率方式解题.

记一次比赛系队获胜为事件A ，事件A 的对立事件为校队获胜，所以P (A )=1－0.6=0.4.

(2分 )

用方案一：A 发生两次为系队胜，A 发生3次也为系队胜，所以系队获胜的概率为

.352.04.06.04.0)3()2(33322333=?+??=+C C P P (4分)

用方案二：A 发生3、4、5次为系队胜：

.317.04.06.04.06.04.0)5()4()3(5554452335555≈?+??+??=++C C C P P P （7分）

用方案三：A 发生4、5、6、7次为系队胜，所以系队胜利的概率为：++)5()4(77P P

290.04.06.04.06.04.06.04.0)7()6(7776672557344777≈?+??+??+??=+C C C C P P .

(10分) 比较可以看出，双方各出3人对系队更有利，获胜概率为0.352. (12分)

实际上，对弱队而言，比赛场数越少，对弱队越有利，侥幸取胜的可性越大.

规律总结：“决策”与人们的生活体戚相关. 随着社会的不断进步，人们对许多实际问题会有多种解决方案，但哪种方案最有利于解决问题，需要进行科学决策，比如此次比赛中的三个方案，选哪种方案对本队有利.通过概率、数学期望的计算. 并进行大小比较，就是其中的一种科学决策的手段. 因此从这个意义上说，这道题不但考查了互斥事件与相互独立事件的概率，而且潜移默化地交给了考生一种决策的方法，值得称道. 这也充分反映了考试大纲中“精心设计考查数学主体的内容，体现数学素质的试题”的要求，凸现出数学学科的育人功能！

22. （理）（1）由题意知),,4,3,2()(2211Λ====--k p q C k P k k ξ其中,1p q -=

则ξ的概率分布为：

（4分）

则?++?+++=--2

21122132122432p q kC p q C qp C p E k k ξ

++=q p

122

3C (2)42

11213?++?+--k k q

kC q C ))1(34232(222?+-+?+?+?+=-k q k k p q p

∴

))1(34232(1322?+-+?+?+?+=-k q k k q q q p qE ξ

两式相减，得，])1(4321[2)1(2

3

2

2

?+-+?++++=--k q k q q q p E q ξ (7分)

记，q

k q q q S k ?+-+?++++=-2

3

2

)1(4321

所以?+-+?++++=-1

4

3

2

)1(432k q k q q q q qS

则,1)1(2

3

2

?++?++++=--k q

q q q S q

注意到?+?++++=<<<-2

3

2

1)1(10k q

q q q S q ，q 有,)

1(1,112

q S q -=-=

于是 所以.2

)

1(23

2p q p E =-=ξ （12分） 命题动向：本题在概率统计的考题中属于难度偏大的试题，它对我们理解能力及运算能力都提出了较高要求. 尤其在考题中把求数学期望与用错位相消法进行数列求和及无穷递缩等比数列的和联系起来，是一个有益的尝试，应引起我们的注意.

(文)（1）记事件A 为“任意取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所以

.5

1

)(2623==C C A P (4分)

（2）由已知抽取一次停止的概率为,21

1

6131==C C P （6分） 抽取两次停止的概率为,103

151

316132=?=C C C C P （8分）

抽取三次停止的概率为,20

3

1413151216133=??=C C C C C C P （10分）

所以抽取次数不多于三次的概率.20

19

20310321321=++=

++=P P P P （12分） 规律总结：此题表明，解答有关概率问题不仅需要坚实的排列、组合知识，而且还需具备函数等其他数学知识，只有在掌握了正确的思维方法之后，才能客观地、有效地解决问题. 而这道考题很好地把概率的知识与函数奇偶性交汇在一起，新颖别致，创造性地拓展了高考命题的思路.

概率统计 排列组合

概率统计 排列统计 班级： 姓名： 学号： 成绩： 一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.以下条件可以确定一个平面的是（ ）。 .A 空间三点 .B 一直线和一个点 .C 两条直线 .D 两平行直线 2.两条直线不平行是这两直线异面的（ ）。 .A 充分条件 .B 必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 3.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，那么这种五位数的个数是（ ）。 .A 72 .B 60 .C 48 .D 50 4.用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 .A 24个 .B 30个 .C 40个 .D 60个 5.将12人分成两组，一组8人，一组4人的分法数为（ ）。 .A 812A .B 812C .C 841212+C C .D 841212 C C 6.抛掷两枚硬币的试验中，设事件M 表示“两个都是反面”，则事件M 表示（ ）。 .A 两个都是正面 .B 至少出现一个正面 .C 一个是正面一个是反面 .D 以上答案都不对 7.同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）。 . A 14 . B 15 . C 16 . D 1 9 8.样本：6,7,8,8,9,10的标准差是（ ）。 .A 2 . B . C 3 . D 9.下列变量中，不是随机变量的是（ ）。 .A 一射击手射击一次的环数 .B 水在一个标准大气压下100C 时会沸腾

.C 某城市夏季出现的暴雨次数 .D 某操作系统在某时间发生故障的次数 10.某射击手击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ）。 .A 0.16 .B 0.36 .C 0.06 .D 0.42 11.在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）。 . A 19 . B 1 10 .C 111 .D 112 12. 在10(x 的展开式中，6x 的系数为（ ）。 .A 61027C - .B 41027C .C 6109C .D 6 109C - 13.二项式8(1)x -的展开式中的第5项是（ ）。 .A 3 56x .B 3 2 56x - .C 470x .D 270x 14.设()6 26012631+…x a a x a x a x -=+++，则0126+=…a a a a +++（ ）。 .A 32 .B 64 .C 729 .D 56 15.已知某种奖券的中奖概率是50%，现买5张奖券，恰有2张中奖的概率是（ ）。 . A 25 . B 58 . C 516 . D 5 32 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。 16.56101054 99 4P P P P -=- 。 17.甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为 。 18.已知互斥事件,A B 的概率3()4P A = ，1()6 P B =，则()P A B ?= 。 19.若把英语单词“bookkeeper ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种。 20.若23 1818 x x C C -=，则x = 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。 21.5人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站排头或排尾，那么不同的排法总数是多少？（10分）

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几 个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边（A, B 可以不相邻）那么不同的排法有 （ ） 4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上， 可 先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素， 如 此继续下去，依次即可完成 ? 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有（ ） A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 例5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是（ ） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 6. 全员分配问题分组法： 例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人，则不同的分配方案有（ 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

在概率的计算中的排列组合

预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…， 第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法，这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种 方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法，这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。 对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当 r ＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义

由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl 成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记 作，由乘法原理得 显然，此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信； 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为 2)是可重复排列问题，投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作 将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为 ， 所有组合中的元素作全排列，共有 个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为 故有

高中数学-排列组合概率综合复习

高中数学 排列组合二项式定理与概率统计

其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。 例4、设88 018(1),x a a x a x +=+++L 则0,18,,a a a L 中奇数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例5、组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ） A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1) C r -1n -1 C ．nr C r -1 n -1 D ．n r C r -1n -1 . 例6、在的展开式中，含的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 1 84 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 )5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 4 x

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

排列组合题型总结

排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一．直接法、 1． 特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理： 25A 24A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ， 共有14A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因 而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ??个，其中0在百位的有 2242?C ?22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-2242?C ?22A =432 （个） 三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方 法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ?=100中插 入方法。 四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×4 4A =576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ） 2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校

组合数学中的概率论方法 (1)

组合数学中的概率论方法 概率方法的背景和出发点— 当今科学的发展表明：概率方法是组合数学中最强大和应用广泛的数学工具。导致它迅速发展的一个主要原因在于理论计算机科学与统计物理学中重要研究对象的随机性。 概率方法的基本出发点可以描述如下： 为了证明具有某一个组合结构性质的存在性，人们需要构造一个概率空间并且用它证明：在这个空间中随机选取的一个具有此组合性质的元素的概率值为正。 历史上最早运用这个方法的是伟大的数学家P.Erdos ！在过去的五十多年里面他对于这门学问的贡献是如此之大，以至于人们称之为“P.Erdos 方法”。他在这个邻域里面的众多深邃的研究结果不但多如天上的繁星，更因为许多著名的公开问题和猜想而成为这门学科蓬勃发展的发动机。 这个讲义不可能完全介绍这门学科的全貌，它主要是介绍概率方法在组合数学邻域中的运用,尤其强调通过典型例子的形式来介绍这一方法。 知识背景： 概率是描述事件发生可能性大小的数量指标，它是逐步形成可发展完善起来的。最初人们讨论的是古典概型（随机）试验中事件发生的概率。所谓古典概型试验是指样本空间中的点的样本点的个数是有限的且每一个样本点（组成事件）发生的可能性是相同的，简称为有限性与等可加性。例如：掷一枚均匀骰子的试验与从一个装有n 个相同（编了号）的求中随机模一个球的试验都是古典概型试验。对于古典概型试验，人们给出概率的如下定义： 定义1.设试验E 是古典概型的，其样本空间Ω由n 个样本点组成，其中一事件A 由r 个样本点组成，则定义事件A 的概率为 n r ，记为 n r A A P =Ω= 中样本点数目中样本点数目)( 古典概率有下面几个基本性质： （1） 对于任意一个事件A ，有;1)(0≤≤A P （2） .1)(=ΩP （3） 设m A A A ,...,,21为互斥的m 个事件，则有 ∑===m i i m i i A P A P 1 1 )()( 注意：在实际应用当中，古典概型受到限制！因为他只用于有限概率空间。而对于无限的情形，则要用到一点定义：

(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计

主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 于求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

排列组合常见题型及解答

排列组合常见题型 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、 3 8 A D、 3 8 C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种 不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排

法种数有 【解析】：把A,B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排 法数是52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（数字作答） 【解析】： 1 11789A A A =504 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600 【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有25A ＝20种不同排法。

基本公式排列组合二项式定理及概率统计

基本公式·排列组合二项式定理及概率统计 151排列数公式 ： m n A =)1()1(+--m n n n ！ ！ )(m n -(n ，m ∈N * ，且m n ≤)．规定1!0= 154组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C +规定0 =n C 155组合恒等式 （3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=n r r n C 0=n 2; （5）121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (6)n n r n n n n C C C C C 2210 =++++++ (7)420531 2-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C (8)321 232-=++++n n n n n n n nC C C C (9)r m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 (10)n n n n n n n C C C C C 2222212 0)()()() (=++++ 156排列数与组合数的关系:m m n n A m C =?！ 157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列） （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位 置）1 1111----+= m n m m n A A A （着眼元素）种 （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种 ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种 （3）两组元素各相同的插空 m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有 n m n n n m C A A 11 ++=种排法 （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C + 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n C C C C C N ) !(22=?????=-- （2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m m C C C C C N ) !(!!...22=????=-- （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得

排列组合问题经典题型(含解析)

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

排列组合概率专题讲解

专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。

完整版排列组合题型归纳

排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N mi m2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有口种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N mi m2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.