高中数学知识点

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第一章集合与函数概念一、集合

1、集合的含义与表示

一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 。通常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示元素。

2. 集合中元素的特征

⑴确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任

何一个元素在不在这个集合中就确定了。如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。

⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的) ，即，集合中的元

素是不重复出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。

⑶无序性：不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。 3、集

合相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 4、元素与集合

的关系

如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 中

的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ?A 。

5、常见的数集及记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ；所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除0的集合），记N *或N +；全体整数组成的集

合称为整数集，记Z ；全体有理数组成的集合称为有理数集，记Q ；全体实数组成的集

合称为实数集，记R 。

例已知P ={x , y , 1}, Q =x 2, xy , x , 且P =Q , 求x , y 的值

{}

?y =xy , ?y =x 2,

解析由?①或?2 ②

xy =1, ??x =1,

解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。解②得x= -1或1(舍去) 这时y=0

?x= -1，y=0 6、集合的表示方法

⑴列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的

方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式：{a 1, a 2, a 3, ?，a

n }

⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在

花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化) 范围；再画一条竖线，在

竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可

以是有限集。形式：{x ∈D p (x ) }，其中x 为元素，p(x)表示特征。

(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等) 内。例用适

当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：⑴由所有非负奇数组成的集合；

⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；⑶方程x 2+x+1=0的实数根组

成的集合。

解：⑴由所有非负奇数组成的集合可表示为：A ={x x =2n +1, n ∈N }，无限集。

⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：C ={(x , y ) x

⑴子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个无素都是集合B 中

的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B (或B ?A ) ，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”) 。可简述为：若x ∈A ?x ∈B ，则集合A 是集合B 的子集。⑵集合相等：如果集合A 是集合B 的子集(A ?B ) ，且集合B 是

集合A 的子集(B ?A ) ，此

2

2

{x x

时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A=B。

数学表述法可描述为：对于集合A 、B ，若A ?B ，且B ?A ，则集合A 、B 相等。

⑶真子集：如果集合A ?B ，但存在元素x ∈B ，且x ?A ，我们称集合A 是集合B 的

真子集，记作A B(BùA) 或说：若集合A ?B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集。

⑷空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

8、集合间的基本运算

⑴并集：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B

的并

⑶全集与补集

①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称

这个集合为全集，通常记作U 。

②补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集

合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作euA ={x x ∈U , 且x ?A }。

例设集合A ={x 2, 2x -1, -4}, B ={x -5, 1-x , 9}，若A ∩B={9}，求A ∪B 。

解析由A ∩B={9}得，9∈A 。?x 2=9或2x-1=9

①由x 2=9得，x=±3。当x=3时，A ={9, 5, -4}, B ={-2, -2, 9}，与元素的互异

性矛盾。当x=-3时，A ={9, -7, -4}, B ={-8, 4, 9}，此时，A ?B ={-8, -7, -4, 4, 9}. ②由2x-1=9得x=5.

当x=5时，A ={25, 9, -4}, B ={0, -4, 9}，此时，A ?B ={-4, 9}，与题设矛盾。

综上所述，A ?B ={-8, -7, -4, 4, 9}. ⑷集合中元素的个数：

在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card 来表示有限集合A 中元素的个数。例如：A ={a , b , c }, 则card (A ) =3.

一般地，对任意两个有限集A ，B ，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

当时仅当A ∩B=φ时，card(A∪B)=card(A)+card(B). 解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn 图。

例学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少

名同学参赛？

}，B ={球类运动会参赛的学生}，那么解：设A ={田径运动会参赛的学生

}，A ?B ={所有参赛的学生}， A B ={两次运动会都参赛学生

Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) =8+12-3=17

答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛二、函数及其表示

1、函数的概念：一般地，我们说：

设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意

一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x ), x ∈A

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫

做函数值，函数值的集合{f (x ) x ∈A }叫做函数的值域，显然，值域是集合 B 的子集。

2、函数的三要素

⑴函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。

⑵由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且

对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。

3、区间：

设a ，b 是两个实数，而且a

⑴满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为［a,b ］；⑵满足不

等式a

⑶满足不等式a ≤x

实数集常用区间表示为(-∞，“≦”读作“无穷大”。“-∞”读作“负无穷大”，“++∞)，≦”读作“正无穷大”

例1 求下列函数的定义域y =x +1+

解：要使y =x +1+

1 2-x

1

有意义，则必须 2-x

?x +1≥0?x ≥-1

，即x ≥-1且x ≠2，???

2-x ≠0x ≠2??

故所求函数的定义域为{x |x ≥-1且x ≠2}

例2 ⑴已知函数f(x)的定义域是［-1，3］，求f(x+1)和f(x2) 的定义域⑵已知函

数f(2x+3)的定义域为(-1, 2]，求f(x-1)的定义域

解：⑴≧f(x)的定义域为［-1，3］，

?f(x+1)的定义域由-1≤x+1≤3确定，即-2≤x ≤2，?f(x+1)的定义域为［-2，2］.

f(x2) 的定义域由-1≤x 2≤3确定，即-≤x ≤ ?f(x2) 的定义域为[-3] ⑵≧函数

f(2x+3)的定义域为(-1, 2]，?2x+3中的x 满足-1

令t=2x+3，则f(t)的定义域为(1, 7]. 又1

式子y=f(x)表示y 是自变量x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，我们从式子y=f(x)中解出x 得到x=g(y)，如果对于y 在C 中的任何一个值通过式子x=g(y),x在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=g(y)表示y 是自变量x 的函数，这样的函数x=g(y)叫做y=f(x)

的反函数，记作x =f -1(y ) ，一般写成y =f -1(x ) .

5、函数的三种表示法

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

6、分段函数

若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函

?f 1(x ) x ∈D 1?

?f (x ) x ∈D 2

数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是：f (x ) =?2

?????f n (x ) x ∈D n

分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D 1∪D 2∪…∪D n .

例中国移动通信已于2019年3月21日开始在所属18个省、市移动公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：

请问：“套餐”中第3种收费方式的月话费y 与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和) 的函数关系式。

解：“套餐”中第3种收费函数为

?168,0≤t ≤330, y 1=??

??168+0.5(t -330), t >330.

7、复合函数

若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n)，那么y 关于x 的函数y=f［g(x)］，x ∈(a,b)叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是g(x)的值域。 8、映射

设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A

→B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

9、函数解析式的求法

⑴待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。

⑵换元法。若已知函数y =f [?(x ) ]的解析式，可令t =?(x ) ，并由此求出

x=g(t)，然后代入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t 的取值范围为所求函数的定义域。

⑶赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。

⑷列方程(组) 法求解。若所给式子中含有f(x)，f ?或f(x),f(-x)等形式，可考虑构造另一个方程，通过解方程组获解。

⑸配凑法

例解答下列各题：

⑴已知f(x)=x2-4x+3，求f(x+1)；⑵已知f(x+1)=x2-2x ，求f(x)；

?1??x ?

⑶已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5，图象过原点，求g(x)。解：

⑴f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x

⑵方法一：(配凑法)

f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3，?f(x)=x2-4x+3

方法二：(换元法) 令x+1=t，则x=t-1， f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3，

?f(x)=x2-4x+3.

⑶由题意设g(x)=ax2+bx+c，a ≠0. ≧g(1)=1,g(-1)=4，且图象过原点，

?a +b +c =1, ?a =3, ??

??a -b +c =5, 解得?b =-2, ?c =0. ?c =0. ??

?g(x)=3x2-2x.

三、函数的基本性质 1、函数的单调性

⑴一般地，设函数f(x)的定义域为I ：

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2，当x 1

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2，当x 1f(x2) ，

那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数，如图⑵所示。

如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上

具有(严格的) 单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

⑵函数单调性的判断方法

①定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为

第一步：取值。设x 1、x 2是该区间内的任意两个值，且x 1

第二步：作差、变形。准确作出差值，并通过因式分解、配方、分子(分母) 有理化

等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。

第三步：判断f(x1)-f(x2) ［或f(x2)-f(x1) ］的符号。第四步：根据定义作出结论。

简记为“取值—作差—变形—定号—结论”。

②直接法。运用已知的结论，直接得到函数的单调性，常见结论有：ⅰ函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反；ⅱ当函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y =

1

与y=f(x)的单调性相反； f (x )

ⅲ在公共区间内，增函数+增函数，其和为增函数，增函数-减函数，其差为增函数等。

③图象法：按照作图的方法，准确作出函数的图象，观察判断函数的单调性。

④若当x ∈(a,b)时，f ′(x)>0，则f(x)在(a,b)上递增；若当x ∈(a,b)时，

f ′(x)

例讨论函数f (x ) =

ax +11

(a ≠) 在(-2，+≦) 上的单调性。 x +22

ax +2a +1-2a 1-2a

解：设-2

x +2x +2

?f(x2)-f(x1)=(a +

x 1-x 21-2a 1-2a 11

) -(a +). =(1-2a )(-) .=(1-2a ) ?. x 2+2x +2x 2+2x 1+2(x 2+2)(x 1+2)又≧-2

x 1-x 2

(x 2+2)(x 1+2)

121

当1-2a时，上式>0，即f(x2)>f(x1) 。

2

?当1-2a>0，即a

ax +1

在(-2，+≦) 上为减函数 x +2

1ax +1当a >时，f (x ) =在(-2，+≦) 上为增函数

2x +2

?当a

12

⑶复合函数的单调性

对于复合函数y=f［g(x)］，若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，则y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数；若t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时为增或减) ，则y=f［g(x)］为增函数，若t=g(x)与g=f(x)单调性相反，则y=f［g(x)］为减函数，简单地说成“同增异减”。

2函数的最大(小) 值

⑴定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足⑴对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；⑵存在x 0∈I ，使得f(x0)=M.那么，我们称M 是函数y=f(x)的最大值。

同样地：如果存在实数M 满足：⑴对于任意x ∈I ，都有f(x)≥M ；⑵存在x

0∈I ，使得f(x0)=M.那么我们称M 是函数的最小值。

⑵二次函数在闭区间上的最值

二次函数f(x)=ax2+bx+c，当a>0时，在闭区间［m,n ］上的最值可分如下讨论：

b

②若->n 时，则最大值为f(m)，最小值为f(n)；

2a b b

③若m ≤≤n 时，则最大值为f(m)或f(n)，最小值为f (-) .

2a 2a 1

例已知≤a ≤1，若f(x)=ax2-2x+1，在［1，3］上最大值为M(a)，最小值为N(a)，令

3

①若-

g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式。

1?1?

解：f (x ) =a x -?+1-.

a ?a ?

2

≧≤a ≤1，?1≤

1

31

≤3. a

又≧x ∈［1，3］. ?当x =时，

1 a

11

当1≤≤2，即≤a ≤1时，

a 2

1a

f(x)min =N(a)=1-

f(x)max =M(a)=f(3)=9a-5. 当2

1a

13

1

时， 2

f(x)max =M(a)=f(1)=a-1

11?9a +-6, ≤a ≤1, ??a 2

?g (a ) =M (a ) -N (a ) =?

111?a +-2, ≤a

3、函数的奇偶性

⑴偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，

那么函数f(x)就叫做偶函数。

⑵奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(1)若函数f(x)是偶函数，那么：①对任意定义域的x, 都有f(-x)=f(x)；②函数

f(x)的图象关于y 轴对称；

③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。⑶若函数f(x)是奇函数，那么：

①对任意定义域内的x ，都有f(-x)=-f(x)；②函数f(x)的图象关于坐标原点对称；

③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。⑷函数奇偶性的判定方法

① 定义法：f(x)是奇函数?f (-x ) =-f (x ) ?f (-x ) +f (x ) =0； f(x)是偶

函数?f (-x ) =f (x ) ?f (-x ) -f (x ) =0

②利用图象的对称性：f(x)是奇函数?f (x ) 的图象关于原点对称。 f(x)是偶函数?f (x ) 的图象关于y 轴对称。

例设函数f(x)对任意x 、y ∈R ，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)

⑵试问在-3≤x ≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。解：⑴≧f(x)对于任意x 、y ∈R ，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立?令x=y=0，得

f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0

再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，?f(x)为奇函数。

⑵设x 10时，f(x)

?f(x2) 在［-3，3］上，当x=-3时，f(x)取最大值，即f(x)max =f(-3)=-f(3)=-

3f(1)=6；当x=3时，f(x)取最小值，即f(x)min =f(3)=-6. 第二章基本初等函数一、运算公式

1、指数幂①

r

a =a

1

n

；②a r a s =a r +s （a>0,r,s∈Q ）；③(a r ) S =a r *s （a>0,r,s∈Q ）；

④

m

r r （a>0,b>0,r∈Q ）⑤= (ab ) a b a n =a m

2、对数（a>0,且a ≠1，m >0, 且m ≠1，M>0,N>0）①log a (MN ) =log a M +log

a N ; ②

log a

M n =log a M -log a N ; ③log a M N

=n log a M (n ∈R ) ；④log a N =log m N

log m a

推论 log a m b n =

n

log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0). m

二、指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y =a x (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

x

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，f (x ) =a

(a >0且a ≠1)

值域是[f (a ), f (b )]或[f (b ), f (a )]；

（2）若x ≠0，则f (x ) ≠1；f (x ) 取遍所有正数当且仅当x ∈R ；

x

f (x ) =a (a >0且a ≠1) ，总有f (1) =a ；（3）对于指数函数

三、对数函数

1、对数的概念：一般地，如果a x =N (a >0, a ≠1) ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N （a —底数，N —真数，log a N —对数式）

x

说明：⑴注意底数的限制a >0，且a ≠1；⑵a =N ?log a N =x ；

2、两个重要对数：

⑴常用对数：以10为底对数lg N ；⑵自然对数：以无理数e =2. 71828 为底的对

数ln N 。 3、对数函数

⑴对数函数的概念：函数y =log a x (a >0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+≦）。

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y =2log 2x ，

y =log 5

x

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。 5

②对数函数对底数的限制：(a >0，且a ≠1) ．⑵对数函数的性质：

四、幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y =x α(a ∈R ) 的函数称为幂函数，其中α为常数。

2、幂函数性质归纳

⑴所有的幂函数在（0，+≦）都有定义并且图象都过点（1，1）。

⑵α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0, +∞) 上是增函数。特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0

⑶α

x 轴正半轴．在第一象限内, 过(1,1)点后,|α|越大, 图象下落的速度越快.

⑷解析式f (x ) =x a ，当a=1时，一次函数；当a=2时，二次函数；当a=-1时，

反比例函数；当a=时，。幂函数只要求掌握a 为某些特殊值的时候的图象即可。

1

2

第三章函数的应用

第四章空间几何体一、空间几何体的结构

1、柱、锥、台、球的结构特征

⑴棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE -A ' B ' C ' D ' E ' 或用对角线的端点字母，如五棱

柱

AD ' 。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱

平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

⑵棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围

成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。表示：用各顶点字母，如五棱锥P -A ' B ' C ' D ' E ' 。

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于

顶点到截面距离与高的比的平方。

⑶棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。表示：用

各顶点字母，如五棱台P -A ' B ' C ' D ' E ' 。

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形; ②侧面是梯形; ③侧棱交于原棱锥的顶点。⑷圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几

何体。几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④

侧面展开图是一个矩形。

⑸圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体。几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。⑹圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一

个弓形（扇环）。

⑺球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。二、空间几何体的三

视图和直观图

1 三视图：⑴正视图：从前往后；⑵侧视图：从左往右；⑶俯视图：从上往下。 2

画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等。 3直观图：斜二测画法。4斜二测画法的步骤：

⑴在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于O 。画直观图时，把它们画

成对应的x ' 轴与y ' 轴，两轴交于点O ' ，且使∠x ' O ' y ' =45?(或135?) ，

它们确定的平面表示水平面。

⑵已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ' 轴或y '

轴的线段；⑶已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴

的线段，长度为原来的一半。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：⑴画轴；⑵画底面⑶画侧棱⑷成图三、空间几

何体的表面积与体积

1、空间几何体的表面积与体积

第五章点、直线、平面之间的位置关系一、空间点、直线、平面的位置关系

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线此平面内。

应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示：A ∈l , B ∈l , 且A ∈α, B

∈α?l ?α公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一

平面。

公理2及其推论的作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。公理3为：P ∈α且P ∈β?α

β=l 且P ∈l 公理3作用：①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干

个点共线的依据。二、空间直线与直线之间的位置关系[共面（平行+相交）或异面；平

行或不平行（相交+异面）]

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1、异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 性质：既不平行，又不

相交。③ 判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直

线。④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异

面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两

条异面直线互相垂直。

2、求异面直线所成角步骤：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条

同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。②证明作出的角即为所求角③利用

三角形来求角

3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。三、空间直线与平面之间的位置关系：

1、三种位置关系⑴直线在平面内：l ?α，有无数个公共点；

⑵直线不在平面内：①相交：l α=A ，有一个公共点；②平行：l ∥α，无公共点。

2、直线与平面平行

⑴判定定理：平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平

面平行。a ?α, b ?α, 且a ∥b ?a ∥α。

⑵性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面和这个平面的交线，与该直线平行。

3、直线与平面相交：斜交和垂直。

90?] ⑴直线与平面所成的角，α∈[0?，

⑵直线与平面垂直

①定义：如果直线l 和平面α内的任何一条直线都垂直，则说直线l 和平面α互

相垂直，记作l ⊥α。

②判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

③ 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。四、平面与平面之间的位置关系

1、⑴平行：没有公共点；α∥β。⑵相交（αβ=l ）：有一条公共直线，斜交和

垂直。 2、平面与平面平行

⑴判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

⑵性质定理：如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、平

面与平面垂直

⑴判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。

⑵性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。

五、有关概念

1、异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b ，经过空间任意一点○作直线a '

∥a , b ' ∥b

90?]）我们把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。（α∈0?，

2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这

条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直

线和平

90?] 面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。α∈[0?，

3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做

二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。在二面角的棱上任取一点O ，以该点为垂足，在两

个半平面内分别作垂直于棱的两条射线OA 、OB, 则OA 、OB 构成的∠AOB 叫二面角的平面角。

α∈(0?，180?) 。α=90?时直二面角

4、点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

5、直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.

6、和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等。公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离。第六章直线与方程

一、倾斜角：直线l 向上方向与x 轴正向夹角α。注意0°≤α＜180°

二、斜率：直线l 的倾斜角的正切值。即k =tanα。注意倾斜角为90°直线斜率k 不存在。斜率公式（P (x , y ) 、P (x , y ) ）。

111222

y 2-y 1

k =

x 2-x 1

三、直线关系判定及性质：（方程组的解）

1、设l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2

①l 1||l 2?k 1=k 2, b 1≠b 2（方程组无解），（l 1与l 2重合?k 1=k 2，b 1=b 2（方程组无数解））②l 1⊥l 2?k 1k 2=-1。

2、设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，①l 1∥l 2?A 1=B 1≠C 1（方程组无解）；（l 1与l 2重合?

A 2

B 1

C 2

A 1

B C

=1=1

A 2

B 1

C 2

（方程组无数解）

）

②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0。四、直线的五种方程

k 1、点斜式：y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为) 。

2、斜截式：y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距) 。

3、两点式：y -y 1=x -x 1(y 1≠y 2)(P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)) 。

y 2-y 1

x 2-x 1

4、截距式：x +

a y

=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b b

≠0) 。

5、一般式：Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0) 。五、平面两点 (A(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ) 间的距离公式

d

= =A , B |AB |=

六、点P (x , y ) 到直线l ：Ax +By +C =0的距离（两平行线距离：可转化为点到直线距离）

00

d =

Ax 0+By 0+C

A +

B 2

2

七、四种常用直线系方程

1、定点直线系方程：经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0) (除直线x =x 0), 其中k 是待定的系数; 经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为A (x -x 0) +B (y -y 0) =0, 其中A , B 是待定的系数．

2、共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1) +λ(A 2x +B 2y +C 2) =0(除l 2) ，其中λ是待定的系数．

3、平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0) ，λ是参变量．

4、垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0 (A≠0，B ≠0) 垂直的直线系方程是

Bx -Ay +λ=0, λ是参变量．

第七章圆与方程一、圆的方程

1、标准方程(x -a )+(y -b )=r 2，圆心(a , b )，半径为r ；

2

2

点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系：①当(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2，点在圆外②当(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2，点在圆上③当(x 0-a )

2+(y 0-b ) 2

D E ?1①当D 2+E 2-4F >0时，方程表示圆，此时圆心为? -, -?，半径为r =

?

2

2?

2

D 2+

E 2-4F

②当D 2+E 2-4F =0时，表示一个点；

③当D 2+E 2-4F

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

三、直线与圆的位置关系：

1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

设直线l :Ax +By +C =0，圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2，圆心C (a , b )到l 的

距离为

d =

Aa +Bb +C A +B

2

2

，则有d >r ?l 与C 相离；d =r ?l 与C 相切；d

2、过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立

②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程(一定两解)

3、过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y 0) ，则过此点的

切线

方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 四、圆与圆的位置关系：

通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。设圆

C 1:(x -a 1)+(y -b 1)=r 2，C 2:(x -a 2)+(y -b 2)=R 2，两圆的位置关系常通过

两圆半径的

2

2

22

和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当d >R +r 时，两圆外离，此时有公切线四条；

当d =R +r 时，两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R

-r

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线。圆的

辅

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

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教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

新课标人教A版高中数学全部知识点归纳总结

高三第一轮复习资料（注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

高中数学复习必背知识点

高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数：①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域； 2、对数：①负数和零没有对数 ②1的对数等于0：01log =a ③底的对数等于1：1log =a a ， ④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log = ， 第三章 数列 1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 ： ①定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数； ②通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；） ③前n 项和：2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项： A 是a 与b 的等差中项：2 b a A +=或b a A +=2， 三个数成等差常设：a-d ，a ，a+d 3、等比数列：

①定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。 ②通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ） ③前n 项和：??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项： G 是a 与b 的等比中项：G b a G = ，即ab G =2（或ab G ±=，等比中项有两个） 第四章 三角函数 1、弧度制：①π= 180弧度，1弧度'1857)180 ( ≈=π ； ②弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 2、三角函数定义： y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式： 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα

高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳

安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 §

最全高中数学知识点总结(最全集)

最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

高中必考数学知识点归纳整理

高中必考数学知识点归纳整理 1高中数学重难点知识点 高中数学（文）包含5本必修、2本选修，（理）包含5本必修、3本选修，每学期学习两本书。 必修一：1、集合与函数的概念（这部分知识抽象，较难理解）2、基本的初等函数（指数函数、对数函数）3、函数的性质及应用（比较抽象，较难理解） 必修二：1、立体几何（1）、证明：垂直（多考查面面垂直）、平行（2）、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程：

必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分（选择或填空）2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：（图像、性质、高中重难点，）必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：（正、余弦定理、三角恒等变换）高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：（线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分）不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用（高考必考） 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：（新课标比老课本难的多，高考必考内容）

2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选

2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选高中学生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。下面就是我给大家带来的高二数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点(一) 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考常错点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化问题也要了解清楚。 第三章：函数的应用。主要就是函数与方程的结合。其实就是的实根，即函

数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间的灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这是这一章的难点，这几种证明方法都要记得，多练习强化。这二次函数的零点的Δ判别法，这个倒不算难。 高二数学知识点(二) 第一章：三角函数。考试必考题。诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行，难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相，及根据最值计算A、B的值和周期，及等变化时图像及性质的变化，这一知识点内容较多，需要多花时间，首先要记忆，其次要多做题强化练习，只要能踏踏实实去做，也不难掌握，毕竟不存在理解上的难度。 第二章：平面向量。个人觉得这一章难度较大，这也是我掌握最差的一章。向量的运算性质及三角形法则平行四边形法则难度都不大，只要在计算的时候记住要同起点的向量。向量共线和垂直的数学表达，这是计算当中经常要用的公式。向量的共线定理、基本定理、数量积公式。难点在于分点坐标公式，首先要准确记忆。向量在考试过程一般不会单独出现，常常是作为解题要用的工具出现，用向量时要首先找出合适的向量，个人认为这个比较难，常常找不对。有同样情况的同学建议多看有关题的图形。 第三章：三角恒等变换。这一章公式特别多。和差倍半角公式都是会用到的公式，所以必须要记牢。由于量比较大，记忆难度大，所以建议用纸写之后贴在桌子上，天天都要看。而且的三角函数变换都有一定的规律，记忆的时候可以结合起来去记。除此之外，就是多练习。要从多练习中找到变换的规律，比如一般

高中数学知识点大全

高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}m i n m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若

高考数学必备知识点总结

高考重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质

让我再看你一眼(高中数学知识点回顾)

让我 再看你一眼 高中数学知识点回顾 姓名：

答题技巧 一、技术矫正： 考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴、按序答题,先易后难：一定要选择熟题先做、有把握的题目先做； ⑵、不能纠缠在某一题、某一细节上，该跳过去就先跳过去，千万不能感觉自己被卡住，这样会心慌，影响下面做题的情绪； ⑶、避免“回头想”现象。一定要争取一步到位，不要先做一下，等回过头来再想再检查，高考时间较紧张，也许待会儿根本顾不上再来思考； ⑷、做某一选择题时如果没有十足的把握，初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记，有时间再推敲，不要空答案，否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。 二、规范化提醒： 这是取得高分的基本保证，规范化包括：①解题过程有必要的文字说明或叙述;②注意解完后再看一下题目，看你的解答是否符合题意，谨防因解题不全或失误，答题或书写不规范而失分，总之，要吃透题“情”；③合理分配时间，做到一准、二快、三规范，特别是要注意解题结果的规范化。 例如： ⑴、解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不

3 等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加k Z ∈.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开； ⑵、解题结束后一定要写上符合题意的“答”，如利用法向量求出的空间角的余弦，应用题等都要作答； ⑶、分类讨论题,最后一定要写综合性结论； ⑷、任何结果要最简.如2 , 2 211 4 22 == 等. ⑸、排列组合题,无特别声明,要求出数值. ⑹、函数解析式后面一般要注明定义域； ⑺、参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围； ⑻、注意轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状，且有条件限制的轨迹方程必须注明x 或y 的范围. 三、考前寄语： ①、先易后难，先熟后生； ②、一慢一快：审题要慢，做题要快； ③、不能小题难做，小题大做，而要小题小做，小题巧做； ④、我易人易我不大意，我难人难我不畏难； ⑤、考试不怕题不会，就怕会题做不对； ⑥、基础题拿满分，中档题拿足分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分； ⑦、对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目，力争高上水平，有时“放弃”是一种策略。

高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=

高中数学学业水平必背公式定理知识点默写

高中数学学业水平测试必背公式定理知识点 1、空集定义：_____________________________________； 空集是任何集合的______________。 N ____________ Z __________ Q ___________ R ___________（常用集合字母表示） 2、含n 个元素的集合其子集个数为_____________________。 3、函数定义：对定义域内任意x ，都有___________y 值与之对应，称y 是x 的函数。 4、求函数定义域三种基本形式： ①分式要求：__________________； ②根式，开偶次方根，则_______________________； ③对数式则要求__________________________。 5、①指数函数定义：__________________________________________； 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ②对数函数定义：__________________________________。 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ③幂函数定义：_______________________________________。 当0>α时，图像恒过______________和_______________；在第一象限内单调_________； 当0<α时，图像恒过______________；在第一象限内单调_________； 6、如果函数是奇偶函数，其定义域一定关于_______________对称； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为奇函数； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为偶函数； 7、函数单调性定义：在区间D 内任取两个值1x 、2x ，设21x x <， 如果______________，则函数在此区间内单调递增； 如果______________，则函数在此区间内单调递减。 8、空间两直线位置关系：_____________、________________、_________________； 空间两平面位置关系：________________、______________； 空间直线与平面位置关系_____________、_____________、___________________； 9、空间两直线所成角的范围：____________________； 直线与平面所成角的范围：____________________； 两异面直线所成角的范围：_____________________； 10、线面平行判定定理：_________________________________________________________； 线面平行性质定理：_________________________________________________________； 线面垂直判定定理：_________________________________________________________； 线面垂直性质定理：_________________________________________________________； 面面平行判定定理：_________________________________________________________； 面面平行性质定理：_________________________________________________________； 面面垂直判定定理：_________________________________________________________；

高考精华总结---高中数学知识点总结

高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈--

若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--21 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥---