高一数学共线向量与共面向量

苏教版数学高一苏教版必修42.5向量的应用

高中数学-打印版 最新版高中数学 2.5 向量的应用 一览众山小 诱学导入 材料：向量作为一种重要的工具,除了在数学中有广泛的应用之外,在物理学中也有广泛的应用,是研究物理问题的重要工具之一,如力、速度、加速度的合成与分解都与向量的合成与分解有关,由上节学习数量积的过程可知,功是力与位移的数量积.实际上在日常生活中有好多问题都可以用向量知识来解释.如“两个人同提一桶水,或共同提一个旅行包,夹角越大就越吃力”“在单杠上做引体向上时,两臂的夹角越小就越省力”等. 问题:你能用你所学解释这些现象吗？ 导入：为了确切地描述这一问题,就需要将这一物理问题转化成数学问题.不考虑物理因素,只考虑向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识即可解决问题. 温故知新 1.什么是向量加法的平行四边形法则？ 答:对于两个不共线的非零向量a 、b 分别作出OA =a ,OC =b ,以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC,则以O 为起点的对角线OB 就是向量a 与b 的和,这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 2.平面向量基本定理的内容是什么？ 答:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2使a =λ1e 1+λ2e 2. 3.直角三角形中锐角三角函数是怎样定义的？ 答:在初中我们利用直角三角形定义了锐角的三角函数,如图2-5-1,在Rt △ABC 中,锐角A 的三角函数定义如下: 图2-5-1 sinA= 斜边的对边A ∠;cosA=斜边的邻边A ∠;t a nA=邻边 的对边A A ∠∠.

高一数学向量几何人教版

高一数学向量几何人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容 向量几何 【典型例题】 [例1] 已知向量与反向，下列等式成立的是（ C ） -=- -=+ -=+ +=+ 解：利用向量加、减法的法则，当a 与b -为a 与b 长度之和。 [例2] 已知非零向量、、，条件甲：=++，条件乙：、、 组成三角形ABC ，则甲是乙的（ B ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 和Q 使，用向量的方法证明P 、A 、Q 三点共线

一. 选择题 1. 下列结论中正确的是（ ） A. 若AB 和>，且AB 与同向，则> B. =，则a 与b 的长度相等且共线 C. 对于任意向量a 、b +≤+ D. 不能与任何向量平行 2. 下面有四个式子：① =--)( ② =+ ③ -=-+)( ④ 0=- 则正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 3. 如图，点M 是ABC ?的重心，则-+为（ ） A. B. ME 4 C. MB 4 D. MF 4

7. 已知正方形ABCD 的边长为1，a AB =，b BC =，c AC ==++b （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 22 8. 在平行四边形ABCD 中，设a AB =，b AD =，c AC =，d BD =，则下列等式不

9. 向量、 8= 12= +的最大值、最小值分别为 。 10. 设a 表示向正西北走10km ，b 表示正东北走5km ，c 表示正东南2km ，则c b a 52++

试题答案 一. 1. C 2. A 3. D 提示：2=+ 22-== 4. C 提示：与共线的有：、、 5. B 提示：=-=- 6. D 7. D 8. B 二. 9. 20、4 10. 向东北走10km 提示：222)5(=+=++ 三. 11. 解：)(6 1 6131-+=+=+ =+= )(61-+=6 5 61+= OD OD CD OD CN OC ON 6 1 213121+=+=+= )(3 2 )(3232+=+==

高中数学《向量的线性运算》教案8 苏教版必修4

2.2.3 向量的数乘（1） 一、课题：向量的数乘（1） 二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义； 2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算； 3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。 三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件； 2．向量共线的充要条件及其应用。 四、教学过程： （一）复习： 已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-． 如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-2a =-． （二）新课讲解： 1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如 下： （1）||||||a a λλ=； （2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ= 时，0a λ=． 2．实数与向量的积的运算律： （1）()()a a λμλμ=（结合律）； （2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； （3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）． 例 1 计算：（1）(3)4a -?； （2）3()2()a b a b a +---； （3） (23)(32)a b c a b c +---+． 解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-． 3．向量共线的充要条件： 定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得b a λ=． 例2 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线． 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+= ∴AC 与AE 共线． 例3 判断下列各题中的向量是否共线： a - E a a a O B A C D a - A B C D E

共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解

共线向量与共面向量 1．共线向量与共面向量 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 → 向量，记作 ? ∥ → → ?．0与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 → → → → 对于空间任意两个向量 ?、?（? ≠ 0），? ∥ → → → ?的充要条件是存在实数 λ，使得? = ??． （2）共面向量定理 → → → → → → 如果两个向量 ?、?不共线，则向量?与向量?、?共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得? = ? → → ? +??． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： → → （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使? = ??成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具 → → → 体图形，通过化简、计算得出? = ??，从而? ∥ → ?． → （2）? ∥ → → → ?表示?与?所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化． → → →

（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使??=???+???．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 1/ 3

证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 【命题方向】 1，考查空间向量共线问题 →→→ →例：若 ?=（2x，1，3），?=（1，﹣2y，9），如果?与?为共线向量，则（） A．x＝1，y＝1 B．x =1 2 ，y =― 1 2C．x = 1 6 ，y =― 3 2D．x =― 1 6 ，y = 3 2→→ 分析：利用共线向量的条件?=??，推出比例关系求出x，y 的值． →→ 解答：∵?=（2x，1，3）与?=（1，﹣2y，9）共线， 2?故有 1= 1 ―2?= 3 9 ． ∴x =1 6 ，y =― 3 2 ． 故选C． 点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题． 2．考查空间向量共面问题 例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（） →A．??= → ?? + → ?? + →→→ ??B．??=2??― → ??― → → ?? C．?? = → ?? + 1 2 → ?? + 1 3 → → ?? D．?? = 1 3 → ?? + 1 3 → ?? + 1 3 → ??→ 分析：根据共面向量定理??=?? → ?? +? ? → ?? +? ? → ??，?+?+?=1，说明 M、A、B、C 共面，判断选项的正 误． → 解答：由共面向量定理 ??=?? → ??+? ? → ??+? ? → ??，?+?+?= 1， 说明M、A、B、C 共面，

高一数学向量练习题

高一数学《平面向量》单元测试 姓名: 班级: 一、 选择题(共8小题,每题5分) 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．单位向量都相等 B ． 任一向量与它的相反向量不相等 C ．平行向量不一定是共线向量 D ．模为0的向量与任意向量共线 2．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥b B ．四边形ABCD 是菱形的充要条件是=D C ，且||=|| C ．点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +CG =0 D ．△ABC 中，AB 和的夹角等于180°－A 4．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 （ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 5．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 6．在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 成立的什么条件（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 7．若将函数x y 2sin =的图象按向量平移后得到函数)4 2sin(π-=x y -1的图象,则向量a 可以是： （ ） A ． )1,8(-π B ． )1,8(π- C ． )1,4(π D ．)1,4 (--π 8．在△ABC 中，已知S ABC ?===?则,3,1||,4||的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2 二、 填空题(共4小题,每题5分) 9．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 10．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则 a = . 11．设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是 60，则=+-?-)23()2(2121e e e e 12．在?ABC 中，a =5，b=3,C=0120,则=A sin

高一数学教案：苏教版高一数学向量的概念及表示2

说明: (1) 具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、 (2) 向量AB 的长度(或称模)：线段AB 的长度叫向量 方向和长度； AB 的长度，记作 |AB|. 3.单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义： (1) 单位向量：长度为 1的向量叫单位向量，即* | AB ; (2) 零向量：长度为零的向量叫零向量，记作 0 ； 呻彳呻 (3) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作： 斗a//b// c ； (4) 相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即： a 二b ； (5) 说明: 共线向量: (1)规定：零向量与任一向量平行，记作 0//a ； (2)零向量与零向量相等，记作 0 =0 ； (3)任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。 4 .例题分析： 例1如图1,设O 是正六边厶ABCgEF 的中心，分别 写出图中与向「OA , OB , 00_相等的向量。 解:OA=CB=DQ =西；OB 二 DC 二 EO 二 OC =AB =ED =FO . 例2如图2,梯形ABCD 中, E ,三学别是腰A 空DC 的三等分点， 且|AD|=2 , |BC|=5，求|EF|. 解：分别取BE , CF 的中点分别记为 M , N , 1 | MN | (| EF | ■ BC) 1 ―* 1 -------- * 1 - (AD |EF | | BC |)B 2 2 9 4 由梯形的中位线定理知: 1 | EF | (AD MN ) 3 ?- 3|EF|」(2 5) 4 2 2 例3在直角坐标系 xoy 中，已知|OA| = 5 , OA 与x 轴正方向所成的角为 30，与y 轴正方向所成的角为 120 , 、课题：向量 、教学目标：1.理解向量的概念，掌握向量的二要素(长度、方向) 2.能正确地表示向量，初步学会求向量的模长; 3?注意向量的特点：可以平行移动(长度、方向确定，起点不确定) 三、教学重、难点：1 .向量、相等向量、共线向量的概念； 2 .向量的几何表示。 四、教学过程： (一)问题引入： 老鼠由A 向西北方向逃窜，如果猫由 (二)新课讲解： 1. 向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 2?向量的表示方法：(1)用有向线段表示； (2)用字母表示：a 试作出 2. 1.向量 B 向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么? .?B (终 点) A 1 ) (图2)

高一数学平面向量练习题

高一平面向量测试题 一、选择题： 1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．)0,0(=a ρ )2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρ C ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρ D ．)3,2(-=a ρ )9,6(=b ρ 2.已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则 n m 等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-； D ．2； 3.已知两个非零向量22),2,3(),6,3(,--=--=+则与=（ ） A ．－3 B ．－24 C ．21 D ．12。 4. 在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形 B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 5.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 6.已知向量a = (-3 ,2 ) , b =(x, -4) , 若a//b ，则x=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是 （ ）A.=- B.a （b ·c ）= （a ·b ）c C.()()(,)a a λμλμλμ=∈R D ．00=? 8. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,= +==的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9.已知向量等于则垂直与若a b a n b n a ρρρρ,),,1(),,1(-==（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 10.(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ） A ． B ． 2 C ． D ．10 11.,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u r A B C D

高一数学教案：苏教版高一数学向量的数乘4

第四课时向量的数乘 教学目标： 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算 律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行教学重点：实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律； 教学难点： 对向量共线的理解? 教学过程： I ?复习回顾 前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算?这一节，我们将在加法运算基础上研究相 同向量和的简便计算及其推广? n ?讲授新课 在代数运算中，a+ a+ a = 3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算? 已知非零向量a,我们作出a+ a + a和(一a) + (-a)+ (—a). 亠 A 5C ■崛?■?p N M Q 由图可知，OC= OA + AB+ BC= a + a+ a,我们把a+ a+ a记作3a，即OC = 3a，显然3a 的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即丨3a |= 3 | a | . 同样，由图可知，PN = PQ + QM + MN = (—a)+ (—a) + (—a),我们把(一a) + (—a)+ (—a)记作一3a,即PN = —3a,显然一3a的方向与a的方向相反，一3a的长度是a的长度的3 倍，即|— 3 a | = 3 | a | . 上述过程推广后即为实数与向量的积? 1?实数与向量的积 实数入与向量a的积是一个向量，记作扫，其长度和方向规定如下： (1) | 扫 | = | 入 || a | (2) 当X>0时，入a与a同向；当X< 0时，入a与a反向；当入=0时，^a= 0. 根据实数与向量 的积的定义，我们可以验证下面的运算律 2?实数与向量的积的运算律 ⑴入([B.)=(入?a (2) ( W?a = ?a+ ?a (3) 入(a+ b)= ?a+ 血 说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行

高一数学向量的线性运算练习题

平面向量及其线性运算 （一）基础知识： 1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____. 2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向. 3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______. 4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________; 5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义. 6.向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________. 7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ,使a =_____________________. 8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________, 其中α+β=____, O 为平面内任意一点. 9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面内任意一点,则OM =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则CA BC AB ++ =_________,GC GB GA ++ =____________. （二）例题分析： 1.下列命题中，正确的是（ ） A ．若c b b a //,//，则c a // B ．对于任意向量b a ,，有b a b a +≥+ C ．若b a =，则b a =或b a -= D ．对于任意向量b a ,，有b a b a -≥+ 2.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0 ，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ） A ．1142a b + B. 2133 a b + C. 1124a b + D. 1233 a b + （三）基础训练： 1.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） （A ）→ --AB ＝→ --DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→ 0． 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D. EF OF OE =-- 3．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=AP （ ） A ．)1,0(),(∈+λλAD AB B ．)22, 0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)2 2,0(),(∈-λλBC AB 4.已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB += ,则OC = （ ） A ．2OA O B - B ．2OA OB -+ C ．2133OA OB - D ．1233 OA OB -+ 5O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 [)(),0,,A B A C O P O A P A B A C λλ=++∈+∞ 则的轨迹一定通过ABC 的( ) （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心

高一数学教案[苏教版]平面向量基本定理1

第六课时 平面向量基本定理 教学目标： 了解平面向量基本定理，掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；事物之间的相互转化. 教学重点： 平面向量基本定理. 教学难点： 平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件. 这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用. Ⅰ.讲授新课 平面向量基本定理： 如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一； (5)一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解。当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解。 ［例1］如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使 BF ＝13 BC ，以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →. 分析：以a ，b 为基底分解向量AB →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →. 解：由H 、M 、F 所在位置有： AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12 DC →＝AD →＋12 AB →＝b ＋12 a ， HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13 BC →－12 AD →＝AB →＋13 AD →－12 AD →＝a －16 b ［例2］如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ⅠBC ，且 PQ BC ＝t ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，

2013白蒲中学高一数学教案：平面向量：05(苏教版)

第五教时 教材：实数与向量的积 目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。 二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a ) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a PN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a 讨论：1?3a 与a 方向相同且|3a |=3|a | 2?-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a | 2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa 定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa 1?|λa |=|λ||a | 2?λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0 3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ② 第二分配律：λ (a +b )=λa +λb ③ 结合律证明： 如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立 如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a | ∴|λ(μa )|=|(λμ)a | 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。 从而λ(μa )=(λμ)a 第一分配律证明： 如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则②式显然成立 a a a a O A B C a -a -a -a -N M Q P

高一数学向量知识点

高一数学向量知识点 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

第五章知识点回顾 一、本章知识 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）???==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3. 向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 AB BA =-,AB OA OB =- 数 乘 向 量 1.a λ是一个向量,满 足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=. 向 量 的 数 量 积 a b ?是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ?=. 2.00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=且时， 4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理

e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)两个向量平行的充要条件 a ∥ b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥ b ?a ·b ＝O ?x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则 OP ＝λ+111OP ＋λ +112OP (线段的定比分点的向量公式) ???????++=++=.1,12121λ λλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式： ＝21（1＋2OP ）或??? ????+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式 设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′）， 则P O '＝+a 或???+='+='.,k y y h x x

江苏省白蒲中学2020高一数学平面向量教案22苏教版

江苏省白蒲中学2020高一数学 平面向量教案22苏教版 教材：复习一—向量、向量的加法与减法、实数与向量的积 目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。 过程： 一、 知识(概念)的梳理： 1. 向量：定义、表示法、模、几种特殊向量 2. 向量的加法与减法：法则(作图)、运算律 3. 实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、 平面向量的基本定义 二、 例题： 1.若命题M AA' = BB';命题N:四边形ABB A'是平行四边形。 则M 是N 的 (C ) (A)充分不必要条件 (D 必要不充分条件 (C )充要条件 (D 既不充分也不必要条件 解：若 AA'=BB'，则 | AA'|=| BB'|，且 AA', BB'方向相同 ??? AA' // BB 从而ABB A'是平行四边形，即： M N 若ABB A 是平行四边形，则| AA |=| BB |，且AA // BB 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程 2x 5. 1 AB BC CD 2 DB AC BD 3 OA OC OB CO 解: 1原式=(AB BC) CD AC CD AD 2原式= (DB BD) AC 0 AC AC 3原式= (OB OA) (OC CO) AB (OC CO) AB 0 AB 3. a ="向东走 5 km ” ,b = “向西走 12km\ 试求a +b 的长度与方向。 D O 是平面上的任意五点，试化简: 设 A 、B C 2. 解: ? I AA'|=| BB'| 从而 AA' = BB'，即：N M 如图：|OB| 52 122 13( km ) tan AOB= 12 , 5 AOB= arctan ? a + b 的长为13km 方向与OA 成arctan 4.如图：1已知a 、b 、c 、d ,求作向量a 2已知a 、b 、c ,求作a + c < .a b 12 5 12 的 角。 5 c d o b 、 b a a+ , a b

高中数学向量基础知识

高中数学的平面向量知识 向量的概念 既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），向量可以用a, b, c, .............................................................. 表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量（物 理学中叫做标量）。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。 向量的几何表示 具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作ABo（AB是印刷体, 也就是粗体字母，书写体是上面加个f） 有向线段AB的长度叫做向量的模，记作| AB| o 有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量， 向量a、b平行，记作all b，零向量与任意向量平行，即0〃a， 在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“ 0”和向量“ 0”是有区别的） 零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。 模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作 一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a=xi +yj 我们把（x, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a= （x，y）， 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。 注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对 的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）

高一数学向量知识点

第五章知识点回顾 一、本章知识 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） . (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜ . (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? ?==?2 121y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 AB BA =-,AB OA OB =- 数 乘 向 量 1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=. 向 量 的 数 量 积 a b ?是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ?=. 2.00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=且时，

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2 . (2) 两个向量平行的充要条件 a ∥ b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝O. (3) 两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a ·b ＝O ?x 1x 2＋y 1y 2＝ O. (4) 线段的定比分点公式 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则 OP ＝ λ+111 OP ＋λ +112OP (线段的定比分点的向量公式 ) ??? ????++=++=.1, 12 12 1λ λλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式 ) 当λ＝1 时，得中点公式： OP ＝21（1OP ＋2OP ）或??? ??? ?+=+=. 2,2212 1y y y x x x (5)平移公式 设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′）， 则P O '＝OP +a 或?? ?+='+='. ,k y y h x x 向量 一、平面向量的加法和乘积 1、向量加法的交换律：a b b a +=+r r r r 2、向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r 3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=r r 4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+r r r 5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+r r r r 二、平面向量的基本定理

2013白蒲中学高一数学教案：平面向量：22(苏教版)

1 第二十二教时 教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积 目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。 过程： 一、知识（概念）的梳理： 1． 向量：定义、表示法、模、几种特殊向量 2． 向量的加法与减法：法则（作图）、运算律 3． 实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、 平面向量的基本定义 二、 例题： 1． 若命题M ：'AA ='BB ；命题N ：四边形ABB ’A ’是平行四边形。 则M 是N 的 （ C ） (A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 解：若'AA ='BB ，则 |'AA |=|'BB |，且'AA , 'BB 方向相同 ∴AA ’∥BB ’ 从而ABB ’A ’是平行四边形，即：M ?N 若ABB ’A ’是平行四边形，则|AA ’|=|BB ’|，且AA ’∥BB ’ ∴|'AA |=|'BB | 从而'AA ='BB ，即：N ?M 2． 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： 1?CD BC AB ++ 2?BD AC DB ++ 3?CO OB OC OA -+-- 解：1? 原式= AD CD AC CD BC AB =+=++)( 2? 原式= AC AC AC BD DB =+=++0)( 3? 原式= AB AB CO OC AB CO OC OA OB =+=+-=--+-0)()()( 3． a =“向东走5km ”，b =“向西走12km ”，试求a +b 的长度与方向。 解：如图：13125||22=+=OB (km ) tan ∠AOB = 5 12 , ∴∠AOB = arctan 5 12 ∴a + b 的长为13km ，方向与OA 成arctan 5 12的角。 4． 如图：1?已知a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。 2?已知a 、b 、c ，求作a + c - b A O B a b a+b a a a a b b b b c c c c c - d d d a -b a+c -b a+c

新人教版高一数学《向量的概念》市公开课教案

向量的概念 教学目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 内容分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法— 第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐 本节从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等 在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量 教学过程： 一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用

一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的 注意0与0的区别 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，

苏教版数学高一数学苏教版必修4作业向量平行的坐标表示

课下能力提升(十九) 向量平行的坐标表示 一、填空题 1．若向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则下列说法正确的是________．(填序号) ①a 与b 共线且方向相同 ②a 与b 共线且方向相反 ③a 与b 是相反向量 ④a 与b 不共线 2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP ＝12MN ，则P 点的坐标为________． 3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 4．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________． 5．已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP |∶|PB |＝1∶2，则P 点坐标为________． 二、解答题 6．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ； (2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 7．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．

8．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1t b ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出它们的取值范围；若不存在，请说明理由． 答 案 1．解析：∵a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，∴a ＝－23 b . 又∵－23 <0，∴a 与b 共线且方向相反． 答案：② 2．解析：法一：设P (x ，y )，则MP ＝(x －3，y ＋2)， 12MN ＝12 (－5－3，－1＋2)＝????－4，12.