基本不等式-高考历年真题.(精选)
温馨提示：
高考题库为版，请按住，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。
【考点20】基本不等式
2009年考题
1.（2009天津高考）设0,0.a b >>若11
333a b a b
+是与的等比中项，则的最小值为
（ ）
A 8
B 4
C 1
D 14
【解析】选B. 因为333=?b a ，所以1=+b a ，
1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b
+=++=++≥+?=， 当且仅当b a a b
=即2
1==b a 时“=”成立，故选择B. 2.（2009天津高考）设y
x b a b a b a R y x y x 1
1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值
为（ ）
A.2
B.2
3 C.1 D.2
1
【解析】选C. 因为3log ,3log ,3b a y x y x b a ====，
1)2
(log log 11233=+≤=+b a ab y x （当且仅当
3时等号成立）.
3.（2009重庆高考）已知0,0a b >>，则112
ab a
b
++的最小值是（ ）
A ．2
B ．22
C ．4
D ．5 【解析】选C. 因为1
1112222()4ab ab ab a
b
ab ab
++≥+=+≥当且仅当11
a b =， 且
1
ab ab
=，即a b =时，取“=”号。.5
4.（2009湖南高考）若x∈(0, 2
π)则2(2
π)的最小值为 .【解析】由(0,)2
x π∈，知1
tan 0,tan()cot 0,2tan παααα
>-==
>所以1
2tan tan()2tan 22,2tan παααα
+-=+≥当且仅当2tan 2α=
时取等号，即最小值是
22。
答案：22
5.（2009湖南高考）若0x >，则2x x
+的最小值为 . .5
【解析】 0x >Q 22
2x x
?+≥2
2x x x
=
?=时取等号. 答案：2
2
6.（2009湖南高考）若0x >，则2x x
+的最小值为 . 【解析】选0x >Q 222x x ?+≥22x x x
=?=. 答案：227.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a
+；如果他
买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为
n n a
+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为
12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35
A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35
A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均
最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】(1)
当35
A B m m =时，235
35(20)(5)125B B B B B B B m m m h m m m m =
?=
++++甲
235320(5)(20)35
B
B B B B B B m m m h m m m m =
?=
++++乙 h 甲=h 乙
（2）当3
5
A B m m =时，
2211
=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B B
m h m m m m m m ==++++++甲
由111
[5,20][,]205B B m m ∈∈得
，故当1120
B m =即20,12B A m m ==时， 10
。
（3）由（2）知：0h 10 由010
=125A B A B m m h h m m ?≥=
++甲得：
1255
2
A B A B m m m m ++?≤， 令
35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2
x y ++≤。 同理，由010
5
h h ≥=
乙得：5(1)(14)2
x y ++≤
另一方面，1[,1]4
x y ∈、141x x +∈+∈5
、1+4y [2,5],、1+y [,2],2
55(14)(1),(1)(14),22
y x y ++≤++≤当且仅当1
4x y ==，
即A m =35B m 时，取等号。由（1）知A m =35
B m 时h 甲乙
所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立。
8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m 2
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元,新墙的造价为180元,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）。
（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：.5
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则
2y =45180(2)+180·2225360360
由已知360,得x
360,
所以
2252
360360(0)x x
-> .5 ()2
23600,225222536010800x x x >∴+≥?=Q 104403603602252
≥-+=∴x
x y .当且仅当
225
x
2
360时，等号成立.
即当24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
2008年考题
1、（2008四川高考）已知等比数列{}n a 中2
1a =，则其前3项的和3
S 的取值范
围是( )
（A ）(,1]-∞- （B ）(,0)(1,)-∞+∞U （C ）[3,)+∞ （D ）(,1][3,)-∞-+∞U 【解析】选D.方法1：∵等比数列{}n
a 中21a
=∴当公比为1时，1
231a
a a ===，
33S =；
当公比为1-时，1
231,1,1a
a a =-==-，31S =-从而淘汰（A ）
（B ）（C ）故选D ；
方法2：∵等比数列{}n a 中2
1a
=∴3123211
(1)1S a a a a q q q q
=++=++=++∴当公比0
q >
时，31113S q q
=+++…；当公比0q <时，
311()11S q q =-----?∴3(,1][3,)S ∈-∞-+∞U 故选D ；
方法3：3
11S
x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x
=+的图象知，12x x +…或12x x +-?，故选D ．
2、（2008重庆高考）函数()f x =的最大值为（ ）
A ．25
B ．12
C D ．1
【解析】选B.1
()
2f x ==
=，即1x =时取等号）。故选
B 。
3、（2008浙江高考）已知0,0,2,a b
a b +=且则厖（ ）
A.12ab ?
B. 12
ab … C.2
22a b +… D. 2
23a
b +?
【解析】选C.由0,0a b 厖,且2a b +=∴22222
4()22()a b a b ab a b =+=+++?，当且仅当
1时等号成立∴2
22a
b +…。
4、（2008陕西高考）“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x
+…”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】选A.1
8a =112222188a x x x x x x ?+=+?=…，另一方面对任意正数x ，21a x x
+… 只要22221a
a x x a
x
x
+?=2厖18
a ?…，所以选A.
5、（2008江西高考）若1
21212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值
最大的是（ ）
A ．11
22
a b a b + B ．12
12a a
b b + C ．1221a b a b + D ．1
2
【解析】选A.22121212121
(
)()222
a a
b b a a b b ++++=?
112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--…
11221221()a b a b a b a b ++…
12121122112111221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=++++?∴112212
a b a b +… 6、（２００８年安徽高考）设函数1
()21(0),f x x x x
=+-< 则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函
数
【解析】选A .1
020,0x x x
<->->∵∴，11()21[(2)()]1f x x x x x =+-=--+--，由基本不等式1
1()[(2)()]12(2)()1221f x x x x x
=--+------=--?有最大值. 7、（2008
江苏高考）2
,,,230,
y x y z R x y z xz
*
∈-+=的最小值为 。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230x y z -+=得32
x z y +=，代入
2
y xz
得
229666344x z xz xz xz
xz xz
+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。 答案:3
8、 (2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002,
四周空白的宽度为10，两栏
之间的中缝空白的宽度为5，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告面积最小？
【解析】方法1：设矩形栏目的高为a ，宽为b ，则9000. ①
广告的高为20，宽为225，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(20)(225)＝24025500＝18500+2540b
≥18500+2
b a 4025?=18500+.245001000=ab
当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时a 8
5,代入①式得120，从而75.
即当120，75时取得最小值24500.
故广告的高为140 ,宽为175 时，可使广告的面积最小.
方法2：设广告的高为宽分别为x ，y ，则每栏的高和宽分别为x －20，
,2
25
-y 其中x ＞20，y ＞25
两栏面积之和为2(x －20)180002
25=-y ,由此得,2520
18000+-x
广告的面积(252018000+-x )＝2520
18000+-x x ,
整理得.18500)20(2520
360000+-+-x x
因为x －20＞0，所以S ≥2
.2450018500)20(2520
360000
=+-?-x x 当且仅当)20(2520
360000-=-x x 时等号成立，
此时有(x －20)2
＝14400(x ＞20)，解得140，代入20
18000-x 25,得y ＝175，
即当140，y ＝175时，S 取得最小值24500，
故当广告的高为140 ，宽为175 时，可使广告的面积最小. 2007年考题
1.（2007上海高考）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）
A 、22a b <
B 、22ab a b <
C 、
2211ab a b
< D 、b a
a b <
【解析】选C. 若0a b < ,ab a b ab a b >?? 则12,2 b a b a a b a b ==?>,所以D 不成立 ,故选C. 2.（2007重庆高考）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则| |2||2b a ab +的最大值 为（ ） A. 15 52 B. 4 2 C. 5 5 D. 2 2 【解析】选B.a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则222214414||.a b a b ab =-?+=≥ 1 ||.4 ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.a b a b ab +=+-=Q 2||2||ab a b ∴=≤=+ = = 11||4,4|| ab ab ≤ ∴≥Q 4 = 3.（2007山东高考）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线 10(0)mx ny mn +-=>上，则 11 m n +的最小值为 ． 【解析】函数1(01)x y a a a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ， 1110m n ?+?-=，1m n +=，,0m n >， （方法一） ：2m n +≥? ≥， 11224m n +≥≥?=（当且仅当1 2 时等 号成立）.（方法二） ： 1111()()224n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+=（当且仅 当12 时等号成立）. 答案：4. 4.（2007山东高考）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n +的最小值为. 【解析】函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --， (2)(1)10m n -?+-?+=，21m n +=，,0m n >， 12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+= 答案：8. 5.（2007上海高考）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为_____ 【解析】21141 4()4 4 2 16 x y xy x y +=?≤= ，当且仅当41 2时取等号. 答案:16 1 最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。 方便更改 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 第45炼 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12 111n n n H a a a = ++ + （2 ）几何平均数：n G = （3）代数平均数：12n n a a a A n ++ + = （4）平方平均数： n Q = 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a === 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b + ≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 3y x x =+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两 个 2x ，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如3 02 x << ，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求 m n x y +的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求 32 x y +的最小值 解： ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值 解：()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y += 均值不等式复习（学案） 基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：_______________. (2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4) a 2＋ b 22≥? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等” 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的 算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和 最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大) 双基自测 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2 ＋b 2 有最小值 22 4.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) A ．18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 6.若+ ∈R y x ,,且12=+y x ，则 y x 1 1+的最小值为 . 典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 1．若函数f (x )＝x ＋1 x －2 (x ＞2)的最小值为____________. 2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 高考：均值不等式专题 ◆知识梳理 1．常见基本不等式 2 ,0, a R a ∈≥0 a ≥222 ()22 a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则 b b m a a m +< +； 若a,b 同号且a>b 则11 a b <。 ab b a R b a 2,,2 2≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈ 2．均值不等式: 两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，2 2a b ab +?? ≤ ???, ab b a 222≥+等。 3．最值定理:设,0,x y x y >+ ≥由 （1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22 S xy 积有最大值（） 4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。 ◆课前热身 1. 已知,x y R + ∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则 41 x y +的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22 x y x y +-的最小值是 . 4. 4. 已知下列四个结论 ①当2 lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时； ③x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2；④当x x x 1 ,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为 ◆考点剖析 一、基础题型。 1.直接利用均值不等式求解最值。 例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 。 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2 ）几何平均数：n G = （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4 ）平方平均数：n Q = 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤ ?2 a b +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1 ）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 3y x x =+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个 2x ，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如3 02 x << ，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求 m n x y +的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求 32 x y +的最小值 解： ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值 解：()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y += 高中数学均值不等式题库 满分: 班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________ 一、单选题（共13小题） 1.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为（）A．B．C．D．- 2.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是（）A．[1-,1+]B．(-∞,1-]∪[1+,+∞)C．[2-2,2+2]D．(-∞,2- 2]∪[2+2,+∞) 3.若的最小值是（） A．B．C．D． 4.设x,y∈R,a>1,b>1，若，则的最大值为（） A．2B．C．1D． 5.已知，则的最小值是( ) A．2B．C．4D．5 6.设a>0,b>0，若是的等比中项，则的最小值为（） A．8B．4C．1D． 7.设a>b>0，则的最小值是（） A．1B．2C．3D．4 8.若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2B．3C．6D．9 9.已知，，则的最小值是 A．B．4C．D．5 10.若集合，且，则=（）A．B．C．D． 11.设, ，若，，则的最大值为（） A．1B．2C．3D．4 12.若直线平分圆, 则的最小值是（）A．1 B．5C．D． 13.设，若关于的不等式在恒成立，则的最小值为（）A．16B．9C．4D．2 二、填空题（共15小题） 14. 已知函数f(x) =4x+(x> 0, a> 0) 在x=3时取得最小值, 则a=. 15.函数的最小值为___________. 16.若，则的最小值为 17.已知，且满足，则xy的最大值为_______. 18.若对任意x>0，恒成立，则a的取值范围是________． 专题32 均值不等式的灵活应用 一．【学习目标】 会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力． 二．【知识要点】 1.不等式建模应用问题 实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题?假设建模?求解模型?检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型. 2.不等式综合应用类型 类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题. 类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题. 类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等. 类型4：探究数列的递增(递减)性，前n 项和的最值等问题. 3．基本不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab ；变式：a 2＋b 2 2 ≥ab ；当且仅当a ＝b 时等号成立； (2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b 2≥ab ；变式：ab ≤????a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 4．(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝P (定值)，则由ab ≤????a ＋b 22 ＝P 2 4可知，当a ＝b 时，ab 有最大值P 2 4； (2)若a >0，b >0且ab ＝S (定值)，则由a ＋b ≥2ab ＝2S 可知，当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2S . 三．题型方法规律总结 1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题. 不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法. 2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式. 3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系. 实用标准 文档大全高考数学（文）冲刺专题复习之——均值不等式 一、知识点梳理 1、均值不等式 （1）基本不等式：若a,b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号） （2）均值不等式：若a,b∈R+，则2211222babaabba??????（当且仅当a=b时取“=”号） ①（一正）0,0??ba； ②（二定：积定和最小，和定积最大）若sba??，则ab有最大42s值；若pab?，则ba?有最小p2值； ③（三相等）当且仅当a=b时取“=”号； （3）均值不等式的推广（三个数的均值不等式）：若,,abcR??，则abc?? ≥33abc（等号仅当abc??时成立） 2、均值不等式的变形 ①ab≤22ab???????≤222ab?；②abc ≤33abc????????； 3、二个重要不等式： ①若a,b同号，则2??baab（当且仅当a=b时取“=”号） ②若x∈R+，则12xx??（当且仅当1x?时取“=”号） 4、由不等式求最值的方法： （1）、积定，求和最小值：①基本不等式a2+b2≥2ab ② 2abab?? （2）、和定，求积最大值：ab≤2ab?ab（≤22ab???????）（3）、和定，求和与积的最大、最小：①2ab?≤222ab? ②ab≤222ab? 5. 不等式解法⑴整式不等式：①??0axba??；②????200axbxca?????——图 实用标准 文档大全像法 ③高次不等式：()()()0mxaxbxc????——穿根法(系数正化、轴上标根、穿根取解) ⑵分式不等式：①()()0()0()0()fxgxfxgxgx???????（分→整）； ②()()()fxhxgx?()()()0()fxgxhxgx???； ⑶绝对值不等式：①()fxa?（0a?）()afxa????； ②()fxa?（0a?）()fxa??或()fxa??．（若a换为()gx可仿上处理）． 6.简单的线性规划 ⑴二元一次不等式（组）表示的平面区域及判定方法； ⑵可行域：满足约束条件（不等式组）所表示的平面区域； ⑶目标函数：关于,xy的函数解析式； ⑷线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。 ⑸解线性规划问题的一般步骤：设未知数、列出约束条件、建立目标函数、求最优解。 二、考点、题型及方法 考点1 均值不等式 1、设,xyR?,且0xy?，则222211()(4)xyyx??的最小值为 。 2、（重庆）已知0,0,2abab????，则14yab??的最小值是 不等式高级水平必备 目录 Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 幂均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波维奇亚不等式 Ch9. 加权不等式 Ch10. 赫尔德不等式 Ch11. 闵可夫斯基不等式 Ch12. 牛顿不等式 Ch13. 麦克劳林不等式 Ch14. 定义多项式 Ch15. 舒尔不等式 Ch16. 定义序列 Ch17. 缪尔海德不等式 Ch18. 卡拉玛塔不等式 Ch19. 单调函数不等式 Ch20. 3个对称变量pqr法 Ch21. 3个对称变量uvw 法 Ch22. ABC 法 Ch23. SOS 法 Ch24. SMV 法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析 Ch1. 伯努利不等式 1.1若实数i x （i 12n ,,...,=）各项符号相同，且i x 1>-，则： 12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++++ 1() 1() 当12n x x x x ...====时，1()式变为：n 1x 1nx ()+≥+ 2() Ch2. 均值不等式 2.1若12n a a a ,,...,为正实数，记： ⑴ n Q =，为平方平均数，简称平方均值； ⑵ 12n n a a a A n ...+++= ，为算术平均数，简称算术均值； ⑶ n G =，为几何平均数，简称几何均值； ⑷ n 12n n H 111a a a ...= +++，为调和平均数，简称调和均值. 则：n n n n Q A G H ≥≥≥ 3() 均值不等式题型汇总 均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一：证明题 1. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222a b c ab bc ac ++≥++ 类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122y x x x = +<<-的最小值。 4. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。 7. 设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值。 8. 求函数y = 的最大值。 变式：y = 9. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 10. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 11. 若任意0x >，231 x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 12. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题 1.围建一个面积为2 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。 （1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。 （2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 平均购地费用=购地总费用建筑总面积 ） 均值不等式应用 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则 2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=” ） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所 谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1 x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但 其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时， (82)y x x = -的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 < 【高中数学】公式总结(均值不等式)
高中数学讲义 均值不等式
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
2020高考数学---均值不等式
高中数学必修5 均值不等式
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
全国高考数学复习微专题：均值不等式
高中数学均值不等式题库
均值不等式的灵活应用-高考文科数学热点专题
高考数学冲刺专题复习之均值不等式教师版
高考复习 不等式高级水平必备
高考数学均值不等式题型汇总
均值不等式公式总结及应用
- 高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)
- 高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解
- 高考数学考点均值不等式全解
- 【高中数学】公式总结(均值不等式)
- 高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
- 高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)
- 高中数学必修四-《均值不等式》课件
- 均值不等式公式总结及应用
- 均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
- 高考数学一轮复习第11单元鸭4系列第70讲不等式的证明柯西不等式与均值不等式理
- 高考数学冲刺专题复习之均值不等式教师版
- 高考复习 不等式高级水平必备
- 基本不等式(均值不等式)技巧
- 高中数学必修5 均值不等式
- 高中数学均值不等式题库
- 高中数学公式(均值不等式)
- 均值不等式证明
- 高中数学讲义 均值不等式
- 高二数学均值不等式1
- 均值不等式的灵活应用-高考文科数学热点专题