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培优锐角三角函数辅导专题训练附详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=1

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：BF

=，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE

的

值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）

=（3）

tan

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1

PE2

=．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．

∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．

∵∠BPE=

∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．

又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=1

BM ． ∴BF=

12PE ，即

BF 1

PE 2

=．（3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

由（2）同理可得BF=1

BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．

∴

BM BN

PE PN

=．在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴

BM =tan PE α，即2BF

=tan PE

α． ∴

BF 1

=tan PE 2

α．（1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．

（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出

BF 1

PE 2

=的结论．（3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1

BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN

tan =PN

α即可求得

BF 1

=tan PE 2

α．

2．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，点B （10，0），C （7，4）．直线l 经过A ，D 两点，且sin ∠2

．动点P

在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线

A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．

（2）在点P、Q运动的过程中：

①当0＜t≤1时，如图1，

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ?cos∠CBF=5t?3

=3t．

∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

S=1

PM?PE=

×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．

②当1＜t≤2时，如图2，

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．

S=1 2

PM?PE=

×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．

③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，

即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=

．

当2＜t＜

时，如图3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

PM?MQ=

×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．

综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为

()

5t14t0

S{7t16t1

14t322

-+≤

=-+≤

-+ ?

．（3）①当0＜t≤1时，

749

S5t14t5t

=-+=--+

，

∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=7

，

∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．

∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．

②当1＜t≤2时，

864

S7t16t7t

=-+=--+

，

∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=8

，

∴当t=8

时，S有最大值，最大值为

．

③当2＜t＜

时，S=﹣14t+32

∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．

又∵当t=2时，S=4；当t=

时，S=0，∴0＜S＜4．

综上所述，当t=

时，S有最大值，最大值为

．

（4）t=20

或t=

时，△QMN为等腰三角形．

【解析】

（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=2

，利用特殊三角函数值，得到

△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：

∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．

∵sin∠DAB=2

，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．

设直线l的解析式为：y=kx+b，则有

4k b0

{

-+=

，解得：

{

．∴y=x+4．

∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．

（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；

③当2＜t＜16

时，如图3．

（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：

①如图4，点M在线段CD上，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，

由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=20

．

②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，

此时△QMN 为等腰三角形，t=125

． ∴当t=

209

或t=12

5时，△QMN 为等腰三角形．

考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．

3．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C ，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E 处（C ，E ，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）

【答案】22.4m 【解析】【分析】

首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】

解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG 3，

∴FG =tan 3

AG AFG =∠，

在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG

， ∴CG =

tan AG

ACG =3AG ．

又∵CG ﹣FG =24m ，

即3AG ﹣

=24m ， ∴AG =123m ， ∴AB =123+1.6≈22.4m ．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线DE 交x 轴于点E （30，0），交y 轴于点D （0，

40），直线AB ：y ＝

x +5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交直线DE 于点P ，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AB 于点F ，以EF 为一边向右作正方形EFGH ．（1）求边EF 的长；

（2）将正方形EFGH 沿射线FB 的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E 1F 1G 1H 1，在平移过程中边F 1G 1始终与y 轴垂直，设平移的时间为t 秒（t ＞0）． ①当点F 1移动到点B 时，求t 的值；

②当G 1，H 1两点中有一点移动到直线DE 上时，请直接写出此时正方形E 1F 1G 1H 1与△APE 重叠部分的面积．

【答案】（1）EF ＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】

（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-4

x+40，可

求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；

（2）①易求B（0，5

），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；

②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE

上时，在Rt△F'NF中，NF

NF'

，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，

=，

t=4，S=1

×(12+

)×11=

1023

；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，

F K'

，

PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PK

KG'

＝

1539

＝

，t=7，S=15×（15-7）=120.

【详解】

（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），

∴

300

k b

，

∴

，

∴y＝﹣4

x+40，

直线AB与直线DE的交点P（21，12），

由题意知F（30，15），

∴EF＝15；

（2）①易求B（0，5），

∴BF＝1010，

∴当点F1移动到点B时，t＝101010

÷＝10；

②当点H运动到直线DE上时，

F点移动到F'10，

在Rt △F'NF 中，

NF NF '=1

， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ， ∵MH'＝FN ＝t ，

EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，

MH EM '=， ∴

1533t t =-， ∴t ＝4，

∴EM ＝3，MH'＝4，

∴S ＝

1451023(12)11248?+?=；当点G 运动到直线DE 上时，

F 点移动到F'10， ∵PF ＝10 ∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，

PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝4

， ∴t ＝7，

∴S ＝15×（15﹣7）＝120. 【点睛】

本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．

5．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A 、B 分别为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所夹的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E ，DE =15cm ，AD =14cm ．

（1）求半径OA 的长（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）

（2）求扇形BOC 的面积（π取3.14，结果精确到1cm ）

【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ；(2)扇形BOC 的面积约为2822cm ．【解析】【分析】

(1)在Rt △ODE 中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE 的余弦值，即可求得OD 长，减去AD 即为OA ．

(2)用扇形面积公式即可求得. 【详解】

(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=?． ∵cos DE

ODE DO

∠=， ∴15

0.39

OD ≈

， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．

．，答：半径OA 的长约为24.5cm ． (2)∵67ODE ∠=?， ∴157BOC ∠=?， ∴2

360

BOC

n r S π=

扇形 2

157 3.1424.52360

??≈

()2822cm ≈．

答：扇形BOC 的面积约为2822cm ．【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．

6．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，

以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；

（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）

（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．

【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝4

．理由见解析. 【解析】【分析】

（1）根据三角形判定方法进行证明即可．

（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．

（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中，

ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：

则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，

∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，

EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．

（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：

由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，

结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴

EH FH FH

AB BE CH

==；在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝

FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43

．【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的

综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．

7．如图，建筑物

上有一旗杆

，从与

相距的处观测旗杆顶部的仰角为

，

观测旗杆底部的仰角为

，求旗杆

的高度.（参考数据：

，

）

【答案】旗杆的高度约为.

【解析】【分析】

在Rt △BDC 中，根据tan ∠BDC=求出BC ，接着在Rt △ADC 中，根据

tan ∠ADC==

即可求出AB 的长度

【详解】

解：∵在Rt △BDC 中，tan ∠BDC==1，∴BC=CD= 40m

在Rt △ADC 中，tan ∠ADC==

∴tan50°= =1.19

∴AB

7.6m

答：旗杆AB 的高度约为7.6m. 【点睛】

此题主要考查了三角函数的应用

8．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3

cos 5

C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的

P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .

()1当P与边BC相切时，求P的半径；

()2联结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，

并直接写出x的取值范围；

()3在()2的条件下，当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.

【答案】（1）40

；（2）(

)

5880

010

x x x

y x

=<<；（3）1025

【解析】

【分析】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=

，则sinC=

，sinC=

10R

，即可求解；

（2）PD∥BE，则

＝

，即：2

4880

x x x y

--+-

=，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．

【详解】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC=

，则sinC=

，

sinC=

10R

，解得：R=

；

（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=

，

设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，

则BH=ACsinC=8，同理可得：

CH=6，HA=4，AB=45，则：tan ∠

CAB=2BP=()2

284x +-=2880x x -+， DA=

25x ，则BD=45-25

x ，

如下图所示，

PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β， tanβ=2，则55 EB=BDcosβ=（525

）525x ，

∴PD ∥BE ，

∴EB PD ＝BF

，即：22

48805x x x y x

--+=，

整理得：y=)2

x 8x 80

0x 103x 20

-+<<+；

（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，

两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，

∵点Q时弧GD的中点，

∴DG⊥EP，

∵AG是圆P的直径，

∴∠GDA=90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，

∴AG=EP=BD，

∴5

设圆的半径为r，在△ADG中，

AG=2r，

，

则：

相交所得的公共弦的长为5

【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

9．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，

CG⊥AB，垂足为D

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)求证：PA AD PC CD

=；

(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝3

，CF＝5，求BE

的长．

【答案】（1）见解析；（2）BE=12．

【解析】

【分析】

（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到

∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到

CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3

，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，

设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为

⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=3

5，得到

＝

，于是求得

结论．

【详解】

（1）证明：连接OC，

∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，

∵AB⊥CG，

∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，

∵CF=5，

∴AF=5，

∵AE∥PC，

∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=3

，

∴sin∠FAD=3

，

在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3

，

∴FD=3，AD=4，∴CD=8，

在R t△OCD中，设OC=r，

∴r2=（r﹣4）2+82，

∴r=10，

∴AB=2r=20，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，

∵sin∠EAD=3

5，∴

，

∵AB=20，

∴BE=12．

【点睛】

本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．

10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC＝80，BD＝60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．

(1)求菱形ABCD的周长；

(2)记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；

(3)当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）在菱形ABCD中，

∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。∴菱形ABCD的周长为200。

（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．

①当0＜t≤40时，如答图1，

∵，

∴MP=AM?sin∠OAD=t。

S=DN?MP=×t×t=t2。

②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，

∵，

∴MP=（70﹣t）。

∴S△DMN=DN?MP=×t×（70﹣t）=t2+28t=（t﹣35）2+490。∴S关于t的解析式为。

当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480；当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，最大值不超过480。

综上所述，S的最大值为480。

（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON。

如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，

则N F=ND?sin∠ODA=30×=24，

DF=ND?cos∠ODA=30×=18。

培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553 【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再

人教数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD 的长，得到答案．试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到

1cm）？【答案】【解析】于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

培优锐角三角函数之欧阳光明创编

锐角三角函数欧阳光明（2021.03.07）题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论：（1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）

A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)

培优锐角三角函数

锐角三角函数题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论：（1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。

锐角三角函数专题

如有帮助欢迎下载支持锐角三角函数专题共100分命题人：王震宇张洪林一、选择题（30分） 1、如果∠A 是锐角，且A cos A sin =，那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α，那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A 的正切值（） A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，则sin A 的值等于（） A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角，下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α，那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α，那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中，∠C =90°，53 sin = A ，则BC ∶AC 等于（） A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5： 9、如果α是锐角，且5 4 sin = α，那么)90cos(α-?=（） A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC =3，BD =6，CD =11，则tan α的值为（）

锐角三角函数专题训练

锐角三角函数与特殊角专题训练【基础知识精讲】一、正弦与余弦： 1、在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边的邻边斜边的对边A A A A ∠=?∠=cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，则c a A =sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<

)90sin(cos ),90cos(sin A A A A -?=-?=．七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即 ()A A -=ο90cot tan ， ()A A -=ο90tan cot ．八、同角三角函数之间的关系： ⑴、平方关系：1cos sin 22=+A A ⑵商的关系A A A cos sin tan = A A A sin cos cot = ⑶倒数关系tana ·cota=1 【典型例题】【1】已知a 为锐角①若sina=3/5，求cosa 、tana 的值。②若tana=3/4，求 sina 、cosa 的值。③若tana=2，求（3sina+cosa ）/（4cosa-5sina ）【2】在△ABC 中，角A, 角B,角C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ：b ：c=9:40:41，求tanA,1/tanA 的值. 【3】求下列各式的锐角。 ①2sina=1，②,2tana ·cosa=根号3，③ tan 2 a+（1+根号3）tana+根号3=0 【4】在△ABC 中AB=15，BC=14，S △ABC=84.求tanc ，sina 的值。【5】等腰三角形的面积为2，腰长为根号5，底角为a ，求tana 。【6】锐角a 满足cosa=3/4，则∠a 较确切的取值范围（） A.0°＜a ＜45° B. 45°＜a ＜90° C. 45°＜a ＜60° D. C. 30°＜a ＜45° 【7】计算：020*********sin 88sin 3sin 2sin 1sin +++++Λ 【基础练习】一、填空题：