【数学】培优锐角三角函数辅导专题训练附答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，

【答案】（1）∠BPQ=30°；

（2）该电线杆PQ的高度约为9m．

【解析】

试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；

（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

试题解析：延长PQ交直线AB于点E，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°；

（2）设PE=x米．

在直角△APE中，∠A=45°，

则AE=PE=x米；

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°

在直角△BPE中，BE=

3

3

PE=

3

3

x米，

∵AB=AE-BE=6米，

则3

，

解得：3

则BE=（33+3）米．

在直角△BEQ中，QE=

3

3

BE=

3

3

（33+3）=（3+3）米．

∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．

答：电线杆PQ的高度约9米．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=1

2

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：BF

PE

=，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE

的

值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）

1

2

BF

PE

=（3）

1

tan

2

BF

PE

α

=

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1

PE2

=．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．

∵∠BPE=1

2

∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．

又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=1

2 BM．

∴BF=1

2PE，即

BF1

PE2

=．

（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

由（2）同理可得BF=1

2

BM，∠MBN=∠EPN．

∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN．∴BM BN

PE PN

=．

在Rt△BNP中，

BN

tan=

PN

α，∴

BM

=tan

PE

α，即

2BF

=tan

PE

α．

∴BF1

=tan

PE2

α．

（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE．

（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到

BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出

BF 1

PE 2

=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1

2

BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN

tan =PN

α即可求得

BF 1

=tan PE 2

α．

3．如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点

A 的坐标为（4，0），点D 在边A

B 上，且tan ∠AOD ＝

1

2

，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H ． （1）求B ，D 两点的坐标；

（2）当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小；

（3）以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G ．是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标．

【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣

2，8﹣2）或（2，2）或42164216,77??

? ???或16421642--??

，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 1

2

得AD=

1

2

OA=2，据此可得点D 坐标； （2）由1tan 2GF GOF OF ∠=

=知GF=1

2

OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即

GF=1

2

EF，根据GH∥x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位

线，即HD∥BE，据此可得答案；

（3）分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x，结合题意建立关于x的方程求解可得．

【详解】

解：（1）∵A（4，0），

∴OA＝4，

∵四边形OABC为正方形，

∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，

∴B（4，4），

在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，

∵tan∠AOD＝1

2

，

∴AD＝1

2OA＝

1

2

×4＝2，

∴D（4，2）；

（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°

∴tan∠GOF＝GF

OF ＝

1

2

，即GF＝

1

2

OF，

∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，

∴GF＝1

2

EF，

∴G为EF的中点，

∵GH∥x轴交AE于H，

∴H为AE的中点，

∵B（4，4），D（4，2），∴D为AB的中点，

∴DH是△ABE的中位线，

∴HD∥BE，

∴∠HDA＝∠ABO＝45°．

（3）①若⊙G与对角线OB相切，

如图2，当点E在线段OB上时，

过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝2x，OF＝EF＝22x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣22x，

∵G为EF的中点，H为AE的中点，

∴GH为△AFE的中位线，

∴GH＝1

2AF＝

1

2

×（4﹣22x）＝2﹣2x，

则x＝2﹣2x，

解得：x＝22﹣2，

∴E（8﹣42，8﹣42），

如图3，当点E在线段OB的延长线上时，

x2x﹣2，

解得：x＝2

∴E（2，2

②若⊙G与对角线AC相切，

如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，

过点G 作GP ⊥OB 于点P ，设PG ＝x ，可得PE ＝x ， EG ＝FG ＝2x ， OF ＝EF ＝22x ， ∵OA ＝4， ∴AF ＝4﹣22x ，

∵G 为EF 的中点，H 为AE 的中点， ∴GH 为△AFE 的中位线， ∴GH ＝

12AF ＝1

2

×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22， ∴3x ﹣22＝2﹣2x ， ∴422

7

x +=

， ∴42164216,E ??++ ? ???

； 如图5，当点E 在线段OM 上时，

GQ ＝PM ＝23x ，则23x ＝22， 解得422

7

x =

，

∴16421642,77E ??

-- ?

???

； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，

3x ﹣22＝2x ﹣2， 解得：422

7

x -=

（舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣42，8﹣42）或（8+42，8+42）或

42164216,77??++ ? ???或16421642,77??

-- ? ???

． 【点睛】

本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．

4．3米/秒 =65.88千米/小时>60千米/小时．

∴此车超过限制速度．…4分

5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ，B 重合)，作∠DPQ ＝60°，边PQ 交射线DC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）用含t 的代数式表示线段DC 的长：_________________； （2）当t =__________时，点Q 与点C 重合时；

（3）当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，求出t 的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）t 的值为或或.

【解析】

【分析】

（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；

（2）利用AQ=AC，即可得出结论；

（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．

【详解】

（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°

∴AC= , AD=

∴CD=；

（2）AQ=2AD=

当AQ=AC时，Q与C重合

即=

∴t=1；

（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，

∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.

∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝

②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，

∴∠QMN ＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.

在Rt△NMQ中，

∵AN＋NQ＝AQ，∴

③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，

∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.

∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.

在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.

∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.

即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．

6．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：

,，）

【答案】旗杆的高度约为.

【解析】

【分析】

在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据

tan∠ADC==即可求出AB的长度

【详解】

解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m

在Rt△ADC中，tan∠ADC==

∴tan50°= =1.19

∴AB7.6m

答：旗杆AB的高度约为7.6m.

【点睛】

此题主要考查了三角函数的应用

7．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为

60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）

【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm ． 【解析】 【分析】

过点A 作AP ⊥CD 于点P ，交BC 于点Q ，由∠CQP ＝∠AQB 、∠CPQ ＝∠B ＝90°知∠A ＝∠C ＝60°，在△ABQ 中求得分别求得AQ 、BQ 的长，结合BC 知CQ 的长，在△CPQ 中可得PQ ，根据AP ＝AQ +PQ 得出答案． 【详解】

解：如图，过点A 作AP ⊥CD 于点P ，交BC 于点Q ，

∵∠CQP ＝∠AQB ，∠CPQ ＝∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠C ＝60°， 在△ABQ 中，∵AQ ＝（cm ）， BQ ＝AB tan A ＝20tan60°＝20（cm ），

∴CQ ＝BC ﹣BQ ＝60﹣20（cm ），

在△CPQ 中，∵PQ ＝CQ sin C ＝（60﹣20

）sin60°＝30（

﹣1）cm ，

∴AP ＝AQ +PQ ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm ），

答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm ．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．

8．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3

cos 5

C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的

P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .

()1当P与边BC相切时，求P的半径；

()2联结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，

并直接写出x的取值范围；

()3在()2的条件下，当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.

【答案】（1）40

9

；（2）()

2

5

880

010

320

x x x

y x

x

-+

=<<

+

；（3）1025

-

【解析】

【分析】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=

3

5

，则sinC=

4

5

，sinC=

HP

CP

=

R

10R

-

=

4

5

，即可求解；

（2）PD∥BE，则

EB

PD

＝

BF

PF

，即：2

2

4880

5

x x x y

x y

--+-

=，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．

【详解】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC=

3

5

，则sinC=

3

5

，

sinC=

HP

CP

=

R

10R

-

=

4

5

，解得：R=

40

9

；

（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=

3

5

，

设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，

则BH=ACsinC=8，

同理可得：

CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2BP=()2

2

84

x

+-=2880

x x

-+，DA=

25

x，则BD=45-

25

x，

如下图所示，

PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，

tanβ=2，则

55

EB=BDcosβ=（5

5

5

x）

5

2

5

x，

∴PD∥BE，

∴EB

PD

＝

BF

PF

，即：2

2

4880

5

x x x y

x y

--+

=，

整理得：y=)

2

x8x80

0x10

3x20

-+

<<

+

；

（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，

两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，

∵点Q时弧GD的中点，

∴DG⊥EP，

∵AG是圆P的直径，

∴∠GDA=90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，

∴AG=EP=BD，

∴5

设圆的半径为r，在△ADG中，

55

AG=2r，

55

51

，

则：

5

5

相交所得的公共弦的长为5

【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

9．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝3A，D两点作⊙O，交AB于点E，

（1）求弦AD的长；

（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？

（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）23

（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形

（3）不变，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；

（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后

根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1

2

3

3

；

当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，

∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，

又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到

∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到33；

（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得

∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，3DP-DQ的值．

【详解】

解：（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC中点，BC＝3

∴AD＝1

2

BC＝3

（2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，

当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，

∴OE⊥DM，

又∵AD＝AC，

∴△ADC为等边三角形，

∴∠CAD＝60°，

∴∠DAO＝30°，

∴∠DON＝60°，

在Rt△ADN中，DN＝1

2

AD3，

在Rt△ODN中，ON＝

3

3

DN＝1，

∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；

当MD＝ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE，

∵AD＝23，∠DAE＝30°，

∴DH＝3，∠DEA＝60°，DE＝2，

∴△ODE为等边三角形，

∴OE＝DE＝2，OH＝1，

∵∠M＝∠DAE＝30°，

而MD＝ME，

∴∠MDE＝75°，

∴∠ADM＝90°﹣75°＝15°，

∴∠DNO＝45°，

∴△NDH为等腰直角三角形，

∴NH＝DH＝3，

∴ON＝3﹣1；

综上所述，当ON等于1或3﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：

连AP、AQ，如图2，

∵∠C＝∠CAD＝60°，

而DP⊥AB，

∴AC∥DP，

∴∠PDB＝∠C＝60°，

又∵∠PAQ＝∠PDB，

∴∠PAQ＝60°，

∴∠CAQ＝∠PAD，

∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，

∴△AQC≌△APD，

∴DP＝CQ，

∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．

【点睛】

本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相

等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．

10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）

（1）如果∠A＝30°，

①如图1，∠DCB等于多少度；

②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）

【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝

2DE?tanα．理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；

②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，

（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．

【详解】

（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，

∵AD＝DB，

∴CD＝AD＝DB，

∴△CDB是等边三角形，

∴∠DCB＝60°．

②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：

∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°， ∴△CDB 为等边三角形. ∴∠CDB ＝60°

∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ， ∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ， ∴∠FDB ＝∠CDP ， 在△DCP 和△DBF 中

DC DB CDP BDF DP DF =??

∠=∠??=?

， ∴△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF.

（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．

理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α， ∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，

∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ， ∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α， ∵∠PDF ＝2α，

∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，

∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ， ∴DP ＝DF ， 在△DCP 和△DBF 中

DC DB CDP BDF DP DF =??

∠=∠??=?

， ∴△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF ， 而 CP ＝BC+BP ， ∴BF ﹣BP ＝BC ，

在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°， ∴tan ∠CDE ＝

CE

DE

，

∴CE＝DEtanα，

∴BC＝2CE＝2DEtanα，

即BF﹣BP＝2DEtanα．

【点睛】

本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．