微积分试卷及答案
微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟
命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级
教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）
1.2
ln()d x x x =? .
2.cos d d x
x =? .
3. 31
2d x x --=
?
.
4.函数2
2
x y z e
+=的全微分d z = .
5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分）
1.设()1x
f e x '=+，则()f x = ( ).
(A) 1ln x C ++ (B) ln x x C +
(C) 2
2x x C
++ (D) ln x x x C -+
2.设
2
d 11x
k x +∞=+?
，则k = ( ).
(A) 2π
(B) 22π
(C) 2
(D) 2
4π
3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）.
(A) z z a
b x
y ??=?? (B) z z x y ??=
?? (C) z z b
a x
y ??=?? (D) z z x y ??=-
?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0
y f x y '=成立，则（ ）
(A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）．
(A) 211(1)n
n n ∞
=-∑
(B) 1
(1)n n ∞
=-∑ (C) 1
3(1)2n n
n n ∞
=-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）
1.2d x
x e x
?
2.4
?
四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
1.设
arctan
y z x =，求2,.z z z x y x y ???????， 2.设函数v
z u =，而222,23u x y v x y =+=+，求,z z
x y ????.
3.
设方程xyz =(,)z f x y =，求,.z z x y ????
五、计算二重积分sin d d D
x
x y x ??其中D 是由三条直线0,,1y y x x ===所围成的闭
区域. (本题10分)
六、（共2小题，每题8分，共计16分）
1.判别正项级数12n
n n ∞
=∑的收敛性．
2. 求幂级数1(1)2n n
n x n ∞
=-?∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.
七、求抛物线2
2y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积（本题10分）
八、设
102()10
1x x x f x x e ?≥??+=?
?
(1)d f x x
-?
.（本题6分）
徐州工程学院试卷
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末B 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 杨淑娥 2010 年 6 月10日 使用班级 09财本、会本、信管等
教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）
1. 2cos d 2x x ? .
2.22d dt d x t
x
e x =? .
3. 2
1
2d x x -=
? .
4.
函数z =的全微分d z = .
5.微分方程11
d d 0
x y y x +=的通解为 .
二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设(ln )1f x x '=+，则()f x = ( ).
(A) x
x e C ++ (B)
2
12x e x C +
+
(C) 21ln (ln )2x x C ++ (D) 212x x e e C
++
2.下列广义积分发散的是 ( ).
(A)
1
+∞
?
(B) 1d x
x +∞? (C)
2
1
d x x +∞
?
(D)
1
+∞
?
3. 设22
()z f x y =+，且f 可微，则z z y
x x
y ??-=?? .
(A) 2z (B) z (C) x y + (D) 0
4.函数
32
(,)6121f x y y x x y =-+-+的极大值点为（ ） (A) (1,2) (B) (2,1) (C) (3,2)- (D) (3,2)-- 5.下列级数绝对收敛的是（ ）．
(A) 1
(1)n
n ∞
=-∑ (B) 1
1
(1)n n n ∞
=-∑ (C) 1(1)
n
n n
∞
=-∑ (D) 31
1(1)
n
n n ∞
=-∑
三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.sin d x x x
?
2.0
x
?
四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
1.
设z =，求2,.z z z x y x y ???????，
2. 设函数2ln z u v =，而,32u xy v x y ==-，求
,z z
x y ????. 3.设方程222
20x y z xyz ++-=确定隐函数(,)z f x y =，求,.z z
x y ????
五、计算二重积分
2
d d D
x
y x y
??，其中D 是由三条直线0,0x y ==与22
1x y +=所
围成的位于第一象限的图形.(本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分）
1. 判别正项级数11(21)!n n ∞
=+∑
的收敛性．
2. 求幂级数2
1(2)n n x n ∞
=-∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.
七、求由曲线y x =与2
y x =所围成的平面图形的面积. （本题10分）
八、设
2
10()0x
x x f x e x ?+<=?≥?，求3
1(2)d f x x -?.（本题6分）
徐州工程学院试卷
2010 — 2011 学年第 二 学期 课程名称 微积分 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟
命 题 人 张娅 2011 年 5 月 20日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共 5 小
题，每题 3 分，共计15 分） 1. 函数
(
)ln z y x =-+
的定义域为 。 2.
2
arctan lim
x
x tdt x
→=
? 。
3. 函数arctan()=z xy 的全微分=dz 。
4.
221
--=
?
x x dx 。
5. 幂级数1n n x n ∞
=∑
的收敛域为 。
二、选择题（共 5 小题，每题 3 分，共计 15分）
1.()()ln 1,( )f x x f x '
=+=则
（A ）
()2
1ln ln 2x x c +
+ （B ）212x x e c ++
（C ）x
x e c ++ （D ）212x
x e e c ++ 2.下列广义积分发散的是（ ）
（A ）
1
dx
x +∞? （B
）1+∞?
（C ）
21
dx
x +∞?
（D
）1+∞?
3.关于级数()
1
1
1n p
n n -∞
=-∑
收敛性的下述结论中，正确的是（ ）
（A ）01p <≤时绝对收敛 （B ）01p <≤时条件收敛 （C ）1p >时条件收敛 （D ）01p <≤时发散 4.微分方程ln ln 0y xdx x ydy +=满足初始条件x e
y
e ==的特解是（ ）
（A ）22ln ln 0x y += （B ）22
ln ln 2x y += （C ）22ln ln 0x y += （D ）22
ln ln 2x y +=
5. ()f x 在[],a a -上连续，则下列各式中一定正确的是（ ） （A ）()0
a
a f x dx -=? （B ）()()0
2a
a
a
f x dx f x dx
-=??
（C ）()()()0a a
a f x dx f x f x dx -??=+-???
? （D ）()()()0a a
a
f x dx f x f x dx -??=--?
??? 三、求下列不定积分和定积分（共 2 小题，每题 5 分，共计 10 分）
1. 2x x e dx
-? 2.
?
四、计算下列函数的偏导数（共 3小题，每题5分，共计15分）
1. 设()ln z x x y =+ ，求2,,
z z z
x y x y ???????
2.
sin ,,.u z z
z e v u xy v x y x y ??===+??而求
，
3.
设方程2x y z ++=(,)z f x y =，求,.
z z x y ????
五、计算二重积分,
D
σ?? 其中D
由两条抛物线2
围成的闭区域
（本题8 分）
六、 求函数
3322
(,)=339x f x y x y x y -++-的极值。（本题 8 分） 七、判别级数213n
n n ∞
=∑的敛散性。（本题 8 分）
八、求微分方程()
3
211dy y x dx x -=++的通解。（本题 8 分）
九、求由曲线1
y x =
与直线y x =，2x =所围成的封闭图形的面积。 （本题 8
分） 十、求证：()
()()()
a
y
a
m a x m a x dy e
f x dx a x e
dx
--=-???（本题 5分）
徐州工程学院试卷
2010 — 2011 学年第 二 学期 课程名称 微积分 试卷类型 期末B 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟
命 题 人 张娅 2011 年 5 月 20 日 使用班级
教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共 5 小
题，每题 3 分，共计15 分） 6.
函数
=z 的定义域为 。
7.
32
2-=
?
x dx 。
8.
20
=?x d dx 。 9. 函数xy
z e =的全微分=dz
10. 幂级数()
1
1
1n
n n x n ∞
-=-∑的收敛域为 。
二、选择题（共 5 小题，每题 3 分，共计 15分）
1.
()()
ln ( )x
f x f
x e
x -'==?
,则
（A ）
1
c x -
+ （B ）ln x c -+
（C ）1c
x + （D ）ln x c + 2.下列反常积分收敛的是（ ）
（A ）1
0dx
x ? （B
）1?
（C
）
1?
（D ）1
30dx
x ?
3.微分方程01+1+x y dx dy y x -=满足初始条件0
1x y
==的特解是（ ）
（A ）3232
23235y y x x ---= （B ）
323223230y y x x +--=
（C ）
323223230y y x x ---= （D ）323223235y y x x +--=
4.下列各级数绝对收敛的是（ ）
（A ）()
1
1
121n n n n ∞
-=--∑ （B ）()()121
!13n n n n n +∞
=-∑ （C ）()
31
1
15n n n n ∞
-=-∑ （D ）(
)1
1
1100n n n ∞
-=-+∑ 5. ()f x 在[],a a -上连续，则下列各式中一定正确的是（ ） （A ）()0
a
a f x dx -=? （B ）()()0
2a
a
a
f x dx f x dx
-=??
（C ）()()()0a a
a f x dx f x f x dx -??=+-???? （D ）()()()0a a
a f x dx f x f x dx -??=--?
??
? 三、求下列不定积分和定积分（共 2 小题，每题 5 分，共计 10 分） 3.
()2
ln 1x dx +?
4.
()
2
1
2
2
1x dx
x +?
四、计算下列函数的偏导数（共 3小题，每题5分，共计15分）
4. 设()1y
z xy =+ ，求
2,,z z z
x y x y ??????? 5.
cos ,,.u z z
z e v u xy v x y x y ??===+??而求
，
6. 设方程()2sin 2323x y z x y z +-=+-确定的隐函数(,)z f x y =，求
,.z z x y ???? 五、计算二重积分2
,D
xy d σ?? 其中D 由圆周22
4x y =+及y 轴所围成的右半闭区
域
（本题 8 分）
六、求函数()22
(,)=4f x y x y x y ---的极值。（本题 8 分）
七、判别级数1212n
n n ∞
=-∑的敛散性。（本题 8 分）
八、求微分方程22x
dy
xy xe dx --=的通解。（本题 8 分）
九、求由曲线2
y x =与直线,2y x y x ==所围成的封闭图形的面积（本题 8
分） 十、 求证：(
)(
)()2
1
1
y
x
dy f x dx e e f x dx =-??（本题 5分）
徐州工程学院试卷
2011 — 2012 学年第 一 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 卷 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 戴振祥 2012 年 6月 12 日 使用班级 11级各班 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号
一、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 1、过点(1,3)且切线斜率为2x 的曲线方程为
2、sin x 为()f x 的一个原函数，则()f x '
=
3、广义积分
20
1dx
x +∞
+?
=
4、级数
11111...24816-
+-+-的通项是
5、220
x t d e dt dx ?????
??= 二、选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1、下列关系式正确的是（ ） A 、
()()
d f x dx f x =? B 、()()
f x dx f x '=?
C 、()()d f x dx f x dx =?
D 、()()d f x dx f x C dx =+?
2、下列级数收敛的有（ ）
A 、11n n ∞
=∑ B 、115n n ∞=∑ C 、1
1n n aq ∞-=∑（a ≠0，1q <） D 、1n n ∞=∑
3、如果()f x 为偶函数，则下面正确的为（ ） A 、()0a
a f x dx -=? C 、()()0
2a
a
a
f x dx f x dx
-=?? B 、()1
a
a
f x dx -=? D 、()()0
a
a
f x dx f x dx
-=-??
4、交换积分次序1
100
(,)x
dx f x y dy
-??
=（ ）
A 、11
00(,)x
dy f x y dx
-?
? B 、 110
(,)x
dy f x y dx
-?
?
C 、1
10
(,)dy f x y dx
?? D 、1
10
(,)y
dy f x y dx
-??
5、微分方程0dx dy y x +=满足初始条件3
4x y
==的特解是（ ）
A 、22x y C +=
B 、22
0x y += C 、222x y C += D 、22
25x y +=
三、计算题（共9小题，每题5分，共计45分） 求下列积分 1、
2ln x xdx
?
2、221
dx a x -? （a >0）
3
、0?（a >0）
4、3
1
|2|x dx
--?
5、计算(2)D
x y dxdy
-??,其中D 是由直线1,230,30y x y x y =-+=+-=所围成的
区域
求下列导数
6、设
2u z v =
，其中2u x y =+，2v x y =-，求z x ??，z y ??。 7、求函数y
z x =的所有二阶偏导数。
8、若函数432
51z x y x y =+-+，求该函数的全微分dz 。
9、求方程222
2
221x y z a b c ++=所确定的函数(,)z f x y =的偏导数。
四、解答题（共3小题，每题6分，共计18分）
1、求微分方程2
1
dy y x dx x -=的通解
2、判别级数121
2n
n n ∞
=-∑的敛散性
3、求幂级数1
1
(1)
n
n n x n ∞
+=-∑的收敛半径和收敛域
五、应用题（共2小题，共计10717+=分）
1
、已知一平面图形由曲线y =与直线1,4,0x x y ===所围图形, （1）求此平面图形的面积；
（2）求此平面图形饶x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
2、某加工厂用铁板造一个体积为83
m 的有盖长方体的箱子，问当长、宽、高各取多少时，可以使用料最省
徐州工程学院试卷
2011 — 2012 学年第 一 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期终B 卷 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 戴振祥 2012 年 6月 12 日 使用班级 11级各班 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号 一、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 1、过点(2,5)且切线斜率为2x 的曲线方程为
2、cos x 为()f x 的一个原函数，则()f x '
= 。
3、广义积分21dx x +∞
-∞+?=
4、级数2345...
1234-+-+的通项是
5、20
sin x d tdt dx ???????= 二、选择题（共5小题，每题2分，共计10分）
1、设()f x 为连续函数，则()f x dx '?等于（ ）
A 、()f x '
B 、()f x
C '+ C 、()f x
D 、()f x C +
2、若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则下列级数不收敛的是（ ）
A 、1
2n
n u
∞
=∑ B 、n
n k
u
∞
=∑ C 、1
(2)
n
n u
∞
=+∑ D 、
1
2n
n u ∞
=+∑
3、交换积分次序1
100
(,)x
dx f x y dy
-??
=（ ）
A 、1100
(,)x
dy f x y dx
-?? B 、 1
10
(,)x
dy f x y dx
-??
C 、1
10
(,)dy f x y dx
?? D 、1
10
(,)y
dy f x y dx
-??
4、如果()f x 为奇函数，则下面正确的为（ ） A 、()()0
a
a f x dx f x dx
-=-?? B 、 ()()0
2a
a
a
f x dx f x dx
-=??
C 、()1
a a
f x dx -=? D 、()0
a
f x dx =?
5、微分方程ln ln 0y xdx x ydy +=满足初始条件x e
y e ==的特解是（ ）
A 、22ln ln 0x y +=
B 、22
ln ln 2x y += C 、22ln ln 0x y += D 、
22ln ln 2x y += 三、计算题（共9小题，每题5分，共计45分） 求下列积分 1、
2x
x e dx
?
2、221
dx a x +? （a >0）
3
、0
?（a >0）
4、20
sin xdx
π
?
5、计算(2)D
x y dxdy
-??,其中D 是由直线1,230,30y x y x y =-+=+-=所围成
的区域
求下列导数
6、设2
ln z u v =而
,32x u v x y y =
=-，求z x ??，z y ??。
7、求函数332
3z x y xy =+-的所有二阶偏导数。 8、若函数为2
sin z y x =，求该函数的全微分dz 。 9、求方程0y
y xe x -+=所确定的函数()y f x =的导数。
四、解答题（共3小题，每题6分，共计18分）
1、求微分方程
3
2
(1)1y y x x '-
=++的通解
2、判别级数11
(21)!n n ∞
=-∑
的敛散性
3、求幂级数1
1
1
(1)
n n n x ∞
--=-∑的收敛半径和收敛域
五、应用题（共2小题，共计10717+=分）
1、已知一平面图形由曲线cos y x = ()
2
2x π
π
-
≤≤
和x 轴所围,求
(1)该图形的面积
(2)以及该图形绕x 旋转所得立体的体积。
2、某加工厂用铁板造一个体积为273
m 的有盖长方体的箱子，问当长、宽、高各取
多少时，可以使用料最省
2009-2010（2）微积分期终考试试卷A 答案
一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）
1. 2
ln x C + 2. sin -3. 5 4. 2
2
2
2
d 2d 2d x
y x
y z xe
x ye y ++=+
5.2
2
ln ln x y C += 或 2211
ln ln 22x y C
+=
二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. B 2. D 3. C 4. D 5. A
三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）
1.2d x
x e x
?
解
22d d x x x e x x e =??
22d x x
x e xe x =-? ………………2分
22(d )
x x x x e xe e x =--?………………2分
2(22) C.x x x e =-++………………1分
2.4
?
解 令t =
2
,d 2d ,x t x t t ==
当0042x t x t ====时，；时，.………………1分
2
012(1)d 1t
t =-
+?………………2分
20
2[ln(1)]
t t =-+………………1分
2(2ln 3).=-………………1分
四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
1.设
arctan
y z x =，求2,.z z z x y x y ???????， 解
21()1()x z y y x x x ?'=?+221()1()y y x x =-+2
2y x y =-+ ………………2分 21()1()y z y y y x x
?'=?+211
1()
y x x =?+22x x y =+ ………………2分 22222222
2()()z y x y y y
x y y x y x y ??+-?=-=-???++ 22222.()y x x y -=+………………2分 2.设函数v z u =，而222,23u x y v x y =+=+，求,z z
x y ????. 解 x z ??=z u z v
u x v x ????+????=
1(4)ln 2v v
vu x u u -+? 222312223224(23)(2)2(2)ln(2)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++………………3分 222312223222(23)(2)3(2)ln(2)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++………………3分
3.
设方程xyz =(,)z f x y =，求,.z z
x y ????
解
(,,)F x y z xyz =
y F '=
，z F '=
2分
x z F z
x F '?=-='?………………2分
y z F z y F '?=-='?2分
五、计算二重积分sin d d D
x
x y x ??其中D 是由三条直线0,,1y y x x ===所围成的闭
区域. (本题10分)
y
解 100sin sin d d d d x D x
x x y x y x x =????………………4分 1
100sin d sin d x
x x x x x =?=??………………2分 1
(cos )
x =-………………3分
1cos1=-………………1分
六、（共2小题，每题8分，共计16分）
1.判别正项级数12n
n n ∞
=∑的收敛性．
解
1112lim lim 2n
n n n n n u n u n ++→∞→∞+=?………………3分 11
lim
22n n n →∞+==
………………3分
由比值判别法该级数收敛. ………………2分
2. 求幂级数1(1)2n
n
n x n ∞
=-?∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.
解 令1t x =- 级数化为12n
n
n t n ∞
=?∑………………2分
1112lim lim (1)21n n n n n n
a n a n ++→∞→∞?=?+?………………2分 1
lim
2(1)2n n n →∞==
+………………2分
收敛半径 2R =，
由 212x -<-<，得 13x -<<， 收敛区间(2,2).-………………2分
七、求抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积（本题10分）
解 作图
微积分试题及答案(5)
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 北京语言大学网络教育学院 《微积分（上、下）》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设函数()f x 的定义域是[]0,4 ，则函数1)f 的定义域是（ ） 2、数列n n n )211(lim + ∞ →的极限为（ ）。 [A] e 4 [B] e 2 [C] e [D] e 3 3 、函数y = ）。 [A] ()2 1,,y x x =+∈-∞+∞ [B] [ )21,0,y x x =+∈+∞ [C] (] 21,,0y x x =+∈-∞ [D] 不存在 4、1 arctan y x =， 则dy =（ ）。 [A] (1,1)- [B] (1,0)- [C](0,1) [D] [1,25] [A] 2 1dx x + [B] 2 1dx x -+ [C] 22 1x dx x + [D] () 22 1dx x x + 5、x x x x sin cos 1lim 0?-→=（ ） 6、设,ln x y =则'y ＝（ ）。 [A] [B] 1 x ； [C] 不存在 [D] 7、函数433 4 +-=x x y 的二阶导数是（ ）。 [A] 2x [B] 2 1218x x - [C] 3 2 49x x - [D] x 12 8、21lim 1x x x →∞ ?? -= ??? （ ） 9、已知()03f x '=-，则()() 000 3lim x f x x f x x x ?→+?--?=?（ ） 10、函数1()()2 x x f x e e -=+的极小值点是（ ） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（ ） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠ [C] (){},0x y x y +> [D] (){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 12、幂级数1 n n x n ∞ =∑的收敛域是（ ） [A] -1 [B] 0 [C] 1/2 [D] 不存在 [A] 2 e - [B] e [C]2e [D] 1 [A] 12 [B] -12 [C]3 [D] -3 [A] 1 [B] -1 [C]0 [D] 不存在 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 微积分试题及答案 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=- 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 一、单项选择题（本大题分5小题，每小题2分，共10分） （在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号内。） 1．当0→x 时，与x 相比较下列变量中是高阶无穷小量的是 （ ） A ．x sin B . x C . 1-x e D . x cos 1- 2．函数)(x f y =在点0x x =处连续且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有 （ ） （A ）0)(0='x f （B ）0)(0<''x f （C ）0)(0='x f 且0)(0<''x f （D ）0)(0='x f 或不存在 3．2 2 11 011lim x x x e e +-→的极限为 （ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）不存在 补充：2=x 是函数x x f -=21 arctan )(的 （ ） A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点 4．已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则=--→x f x f x 2) 1()31(lim 0（ ） （A ）3 （B ）－3 （C ）－6 （D ）6 5．已知某商品的需求函数为5P e Q -=，当3=P 时，下列解释正确的是（ ） （A ）价格上升1％，需求增加0.6% （B ）价格上升1％，需求减少0.6% （C ）价格上升1％，需求增加60% （D ）价格上升1％，需求减少60% 二、填空题（将正确答案填在横线上） （本大题分5小题，每小题2分，共10分） 1．函数)1(arcsin )(+=x x x x f 的连续区间为 2．x x x e e x -→-0lim 的值等于 3．已知21212lim e x x x k x =? ?? ??-+∞→，则=k 4．)99()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=)()100(x f x x sin -与3ax 是等价无穷小，则=a 三、计算题（必须有解题过程） （本大题分12小题，每小题5分，共60分） 1．求极限x x x 2cot ) 2(lim 2ππ -→ 2．x x x ln 1 )(cot lim +→ 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）. 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋 武汉大学网络教育入学考试 高等数学模拟试题 一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( ) A.x y e = B.1sin y x =+ C.ln y x = D.tan y x = 2、函数2 3 ()32 x f x x x -= -+的间断点是( ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( ) A. 一定可导 B. 必不可导 C. 可能可导 D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ ） A.sin x x B.2x - C. sin x x D. 1sin x x + 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( ) A.1 B.1- C.0 D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a a f a x x -=? ( ) A.0 ()d a f x x - ? B.0 ()d a f x x ? C.0 2()d a f x x ? D.0 2()d a f x x -? 7、曲线2 3x x y e --=的垂直渐近线方程是( ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()() 000lim 22h f x h f x h →+-=，则0'()f x = ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( ) A. 4x y e = B. 4x y e -= C. 4x y Ce = D. 412x y C C e =+ 10、级数 1 (1)34 n n n n ∞ =--∑的收敛性结论是（ ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定 11 、函数 ()f x =( ) A. [1,)+∞ B.(,0]-∞ C. (,0][1,)-∞?+∞ D.[0,1] 12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( ) A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 13、极限1lim(1)sin n n e n →∞ -= ( ) A.0 B.1 C.不存在 D. ∞ 14、下列变量中，当x →0时与ln(12)x +等价的无穷小量是（ ） 浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜ 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ . 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x微积分 上 下 模拟试卷和答案
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