高考文科数学试题汇编 统计

I单元统计

I1随机抽样

17．I1，I2[2013·安徽卷] 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，

x 2，估计x 1－x 2的值．

17．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n ，由题意知，30

n ＝0.05，即n ＝600.

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.

(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x 1′，x 2′，根据样本茎叶图可知，

30(x 1′－x 2′)＝30x 1′－30x 2′

＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92

＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.

因此x 1′－x 2′＝0.5，故x 1－x 2的估计值为0.5分．

3．I1[2013·湖南卷] 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )

A ．9

B ．10

C ．12

D ．13

3．D [解析] 根据抽样比例可得360＝n 120＋80＋60，解得n ＝13，

选D.

5．I1[2013·江西卷] 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()

A.08 B．07

C．02 D．01

5．D[解析] 选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D.

7．I1，I4[2013·四川卷] 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图1－4所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是()

图1－4

图1－5

7．A[解析] 首先注意，组距为5，排除C，D，然后注意到在[0，5)组和[5，10)组中分别只有3和7各一个值，可知排除B.选A.

I2用样本估计总体

17．I1，I2[2013·安徽卷] 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．

17．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n ，由题意知，30

n ＝0.05，即n ＝600.

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.

(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x 1′，x 2′，根据样本茎叶图可知，

30(x 1′－x 2′)＝30x 1′－30x 2′

＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92

＝2＋49－53－77＋2＋92

＝15.

因此x1′－x2′＝0.5，故x1－x2的估计值为0.5分．

16．I2，K1，K2[2013·北京卷] 图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

图1－4

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；

(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)

16．解：(1)在3 月1日至3 月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空

气质量优良的概率是6 13.

(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．

所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为4 13.

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

12．I2[2013·湖北卷] 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：

7，8，7，9，5，4，9，10，7，4

则(1)平均命中环数为________；

(2)命中环数的标准差为________．

12．(1)7(2)2[解析] x＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4

10＝7，

标准差σ＝1

10[（7－7）

2＋（8－7）2＋…＋（4－7）2]＝2.

16．I2[2013·辽宁卷] 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．

16．10[解析] 由已知可设5个班级参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，又S2＝4，x＝7，

所以（x1－7）2＋（x2－7）2＋（x3－7）2＋（x4－7）2＋（x5－7）2

5＝4，所以(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，

即五个完全平方数之和为20，要使其中一个达到最大，之五个数必须是关于0对称分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五个班级参加的人数分别为4，6，7，8，10，最大数字为10.

5．I2[2013·辽宁卷] 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率

分布直方图如图1－1，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()

图1－1

A．45B．50C．55D．60

5．B[解析] 由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频

率为0.3，而低于60分的人数为15人，所以该班的总人数为15

0.3＝50

人．

图1－9

19．B1，I2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．

19．解：(1)当X ∈[100，130)时， T ＝500X －300(130－X) ＝800X －39 000.

当X ∈[130，150]时，T ＝500×130＝65 000.

所以T ＝?????800X －39 000，100≤X ＜130，

65 000，130≤X ≤150.

(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当 120≤X ≤150.

由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

10．I2[2013·山东卷] 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示．则7个剩余分数的方差为( )

A.1169

B.36

7 C ．36 D.6 7

7

10．B [解析] 由题得91×7＝87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ，

解得x ＝4，剩余7个数的方差s 2＝1

7[(87－91)2＋2(90－91)2＋2(91－91)2

＋2(94－91)2

]＝36

7.

5．I2，K2[2013·陕西卷] 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )

图1－1

A ．0.09

B ．0.20

C ．0.25

D ．0.45

5．D [解析] 利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为0.25＋0.2＝0.45.

15．I2，K2[2013·天津卷] 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级，若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，

(i)用产品编号列出所有可能的结果；

(ii)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”．求事件B发生的概率．

15．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：

其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的

一等品率为6

10＝0.6.

从而可估计该批产品的一等品率为0.6.

(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，

{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．

(ii)在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}, 共6种．

所以P(B)＝615＝2

5.

18．I2、I5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

图1－4

18．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.

由观测结果可得

x＝1

20(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋

2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋

3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，

y＝1

20(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋

1.7＋1.8＋1.9＋

2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋

3.2)＝1.6.

由以上计算结果可得x>y, 因此可看出A药的疗效更好．

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有7

10的叶集中在茎

2，3上，而B药疗效的试验结果有7

10的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．

6．I2[2013·重庆卷] 图1－2是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为()

图1－2

A．0.2 B．0.4

C．0.5 D．0.6

6．B[解析] 由茎叶图可知数据落在区间[22，30)内的频数为4，

所以数据落在区间[22，30)内的频率为4

10＝0.4，故选B.

I3正态分布

I4变量的相关性与统计案例

19．K1，I4[2013·福建卷] 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产

件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图1－4所示的频率分布直方图．

图1－4

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21

）2

n 1＋·n 2＋·n ＋1·n ＋2

? ??

??注：此公式也可以写成K 2＝n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

19．解：(1)由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名．

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，“25周岁以上组”工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；“25周岁以下组”

工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.

从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

所以得

K

2

＝n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

＝

100×（15×25－15×45）260×40×30×70

＝25

14≈1.79.

因为1.79<2.706.

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

11．I4[2013·福建卷] 已知x与y之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()

A.b^>b′，a^>a′

B.b^>b′，a^

C.b^a′

D.b^

11．C[解析] 画出散点图即可，选C.

4．I4[2013·湖北卷] 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x ＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.

其中一定不正确

．．．的结论的序号是()

A．①②B．②③

C．③④D．①④

4．D[解析] r为正时正相关，r为负时负相关，r与k符号相同，

故k>0时正相关，k<0时负相关．

7.I1，I4[2013·四川卷] 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图1－4所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是()

图1－4

图1－5

7．A[解析] 首先注意，组距为5，排除C，D，然后注意到在[0，5)组和[5，10)组中分别只有3和7各一个值，可知排除B.选A.

17．I4[2013·重庆卷] 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i(单位：千元)的数据资料，算得错误!，a＝y－bx，

其中x，y为样本平均值．线性回归方程也可写为y^＝b^x＋a^.

17．解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝20

10＝2，

又l xx ＝错误!i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，

由此得b ＝l xy l xx

＝24

80＝0.3，a ＝y －bx ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回

归方程为y ＝0.3x －0.4.

(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．

(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

I5 单元综合

17．I5[2013·广东卷] 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85)的有几个？