轻杆模型中的机械能守恒
轻杆模型中的机械能守恒
一、模型构建
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型． 二、模型条件
1．忽略空气阻力和各种摩擦．
2．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。 三、模型特点
1．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． 2．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
1．[轻杆连接的系统机械能守恒]质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q ，中间用轻质杆固定连接，杆长为L ，在离P 球L
3处
有一个光滑固定轴O ，如图8所示．现在把杆置于
水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：
图8
(1)小球P 的速度大小；
(2)在此过程中小球P 机械能的变化量．
答案 (1)2gL 3 (2)增加4
9
mgL
解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q 摆到最低位置时P 球的速度为v ，由于P 、Q 两球的角速度相等，Q 球运动半径是P 球运动半径的两倍，故Q 球的速度为2v .由机械能守恒定律得 2mg ·23L －mg ·13L ＝12m v 2＋12
·2m ·(2v )2，
解得v ＝2gL
3
.
(2)小球P 机械能增加量ΔE ＝mg ·13L ＋12m v 2＝4
9
mgL
图5－3－9
如图5－3－9所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m 的小球A 和B ，两球之间用一根长为L 的轻杆相连，下面的小球B 离斜面底端的高度为h .两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小； (2)整个运动过程中杆对A 球所做的功．
【解析】 (1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为v ，根据机械能守恒定律有：
2mg (h ＋L 2sin θ)＝2×12
mv 2
解得：v ＝2gh ＋gL sin θ.
(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v 比B 单独从h 处自由滑下的速度2gh 大，增加的机械能就是杆对B 做正功的结果．B 增加的机械能为 ΔE k B ＝12mv 2－mgh ＝1
2mgL sin θ
因系统的机械能守恒，所以杆对B 球做的功与杆对A 球做的功的数值应该相等，杆对B 球做正功，对A 球做负功，所以
杆对A 球做的功W ＝－1
2
mgL sin θ.
【答案】 (1)2gh ＋gL sin θ (2)－1
2
mgL sin θ
在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
(1)本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
(2)杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P 做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q 做负功，使小球Q 的机械能减少，系统的机械能守恒.
[变式训练]
9.如图8所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg 和2 kg 的可视为质点的小球A 和B ，两球之间用一根长L ＝0.2 m 的轻杆相连，小球B 距水平面的高度h ＝0.1 m ．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g 取10 m/s 2.则下列说法中正确的是( )
图8
A ．整个下滑过程中A 球机械能守恒
B ．整个下滑过程中B 球机械能守恒
C ．整个下滑过程中A 球机械能的增加量为23 J
D ．整个下滑过程中B 球机械能的增加量为2
3
J
答案 D
解析 在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B 球沿水平面滑行，而A 沿斜面滑行时，杆的
弹力对A 、B 球做功，所以A 、B 球各自机械能不守恒，故A 、B 错误；根据系统机械能守恒得：m A g (h ＋L sin θ)＋m B gh ＝1
2
(m A
＋m B )v 2，解得：v ＝23 6 m/s ，系统下滑的整个过程中B 球机械能的增加量为12m B v 2－m B gh ＝2
3
J ，故D 正确；A 球的机械能
减少量为2
3
J ，C 错误．
[例2] 如图5－3－2所示，质量分别为m 和2m 的两个小球A 和B ，中间用轻质杆相连，在杆的中点O 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B 球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
图5－3－2
A ．
B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒 B ．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒
C ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒
D ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒
[解析] A 球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B 项正确；由于A 球、B 球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C 项正确，D 项错误；所以B 球和地球组成系统的机械能一定减少，A 项错误。
[答案] BC
3.如图5－3－7所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量为m 的球，杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A 、B 两球分别做了多少功？
图5－3－7
解析：设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为v A 和v B 。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。
若取B 的最低点为重力势能参考平面，可得：2mgL ＝12m v 2A ＋12m v 2B
＋1
2mgL 又因A 球与B 球在各个时刻对应的角速度相同，故v B ＝2v A
由以上二式得：v A ＝
3gL
5
，v B ＝12gL
5
。 根据动能定理，可解出杆对A 、B 做的功。
对A 有：W A ＋mg L 2＝12m v 2
A
－0，所以W A ＝－0.2mgL 。
对B 有：W B ＋mgL ＝12m v 2
B
－0，所以W B ＝0.2mgL 。 答案：－0.2mgL 0.2mgL 4.
图5－3－11
(多选)轻杆AB 长2L ，A 端连在固定轴上，B 端固定一个质量为2m 的小球，中点C 固定一个质量为m 的小球．AB 杆可以绕A 端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图5－3－11所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是( )
A ．A
B 杆转到竖直位置时，角速度为
10g 9L
B ．AB 杆转到竖直位置的过程中，B 端小球的机械能的增量为4
9
mgL
C ．AB 杆转动过程中杆CB 对B 球做正功，对C 球做负功，杆AC 对C 球做正功
D ．AB 杆转动过程中，C 球机械能守恒
【解析】 在AB 杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B 球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有：
mg ·2L ＋2mg (2L )＝mgL ＋12
×2m (ω·2L )2＋12
m (ωL )2，解得角速度ω＝
10g
9L
，A 项正确．在此过程中，B 端小球机械能的增量为：ΔE B ＝E 末－E 初＝12·2m (ω·2L )2
－2mg ·(2L )＝49
mgL ，B 项正确．AB 杆转动过程中，杆AC 对C 球不做功，杆CB 对
C 球做负功，对B 球做正功，C 项错．C 球机械能不守恒，B 、C 球系统机械能守恒，
D 项错．
【答案】 AB
6．内壁光滑的环形凹槽半径为R ，固定在竖直平面内，一根长度为2R 的轻杆，一端固定有质量为m 的小球甲，另一端固
定有质量为2m 的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图6所示．由静止释放后
( )
图6
A ．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能
B ．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能
C ．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
答案AD
解析根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律，故A、D对，B错；由于乙球的质量大
于甲球的质量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点，否则就不满足机械能守恒，C错．
11．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和3m的小球A和B.A、B之间用一长为2R的轻杆相连，如图10所示．开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：
图10
(1)B球到达最低点时的速度大小；
(2)B球在圆环右侧区域内能达到的最高点到圆环圆心的竖直高度．
答案(1)2gR(2)
3 2R
解析(1)A、B组成的系统机械能守恒：
m A gR＋m B gR＝1
2m A v2A＋
1
2m B
v2B
又A、B速度大小相同：v A＝v B
得：v A＝v B＝2gR
(2)设B球到圆环右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为θ，设圆环圆心处的水平面为零势能面，由系统机械能守恒得：m A gR ＝m B gR cos θ－m A gR sin θ
代入数据得：θ＝30°
所求竖直高度：h＝R cos θ＝
3 2R