第十一讲 数学谜中的最值

离散数学 第11章形式语言与自动机

第11章形式语言与自动机 1．写出字符串011的全部前缀、后缀和子串。 解：前缀：{0，01，011，ε}，后缀：{1，11，011，ε}，子串：{0，01，011，ε，11，1} 2.以合理的顺序展开下列语言，把它们写成带省略号的列举法表示。 (1){ab }* ，(2){a ，b }* ，(3){a }* {b }* ，(4){a n b 2n |n ≥0}。 解：（1）{ε，ab ，abab ，ababab ，…} （2）{ε，a ，b ，aa ，ab ，ba ，bb ，aaa ，aab ，aba ，abb ，…} （3）{ε，a ，b ，ab ，aa ，bb ，aaa ，aab ，bbb ，abb ，…} （4）{ε，abb ，aabbbb ，…} 3.现有文法G [S ]：S →aAb ，A →BcA ，A →B ，B →idt ，B →ε，给出下面几个句子的推导过程。 (1)aidtccb (2)ab (3)aidtcidtcidtb 解：(1) S →aAb →aBcAb →aidtcAb →aidtcBcAb →aidtccAb →aidtccBb →aidtccb (2)S →aAb →aBb →ab (3) S →aAb →aBcAb →aidtcAb →aidtcBcAb →aidtcidtcAb →aidtcidtcBb →aidtcidtcidtb 4.指出G ＝({S }，{a ，b }，P ，S )属于哪一型文法，其中P ＝{S →bSS ，S →a }，并用集合的形式写出它产生的语言。 解：该文法属于上下文无关文法。 {以b 开头以aa 结尾且字符a 的个数比字符b 的个数多1的所有符号串} 5.设M ＝({p ，q ，r }，{a ，b }，δ，p ，{r })为有限自动机，其中δ如表11-1所示，画出M 的状态转换图，并用格局转换推导式证明字符串abaab ∈L (M )。 表11-1 解：M 的状态转换图如图11-1所示： (p ,abaab )├(q ,baab )├(p ,aab )├(q ,ab )├(r ,b )├(r ,ε) 其中r ∈F ，即(r ,ε)是终止格局 6.设有一个NFA ：M =({ p ，q ，r ，S }，{0，1}，δ，p ，{S })，其中状态转换函数δ如表11-2 所示，试构造与它等价的DFA 。 表11-2 图11-1

(冀教版)四年级下册数学奥数讲义-第十一讲整除问题进阶

四年级第十一讲整除问题进阶 ◆温故知新： 1.对于每三位重复的多位数，在考虑7、11、13的整除性时，可根据三位截断法和差的整 除性去掉其中形如abcabc的部分，新数对于7、11、13的整除性不变。 2.对于没有整除特性的数，可以通过列竖式的方式找到能被这个数整除的数。 ◆例题展示 例题1 自然数6426，12589，34584，24479，124774这些数中哪些能被7整除？哪些能被13整除？哪些数能被11整除？ 练习1 有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205.这些数中哪些能被7整除？哪些能被13整除？哪些能被11整除？

例题2 已知51位数55…5□99…9能被13整除，中间方格内的数字是多少？ 25个5 25个9 练习2 已知多位数11…1□33…3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？ 2010个1 2010个3 例题3 已知多位数81□258258…258能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？ 2010个258 练习3 已知多位数182182…182□189189…189能同时被7和13整除，那么方格内的数字是

多少？2013个182 2014个189 例题4 一个多位数，它的各位数字之和为15，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？ 练习4 （1）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？ （2）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

◆拓展提高 拓展1 用数字6、7、8各两个，可以组成能被6、7、8整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数。 强化1 用数字2、3、4各两个，可以组成能被4、13、18整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数 拓展2 一个五位数，它的末三位为999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题 1． 在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 所对的边长，已知:3C π= ,a b c λ+=(其中1λ>） (1)当2λ=时，证明:a b c ==; (2)若3AC BC λ?=,求边长c 的最小值. 2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=- (1)求函数()f x 在区间[,]42 ππ上的值域; (２)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =,求ABC ?面积的最大值。 3. 已知函数2()22cos f x x x m =+- （Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π ∈上有解，求m 的取值范围;(Ⅱ)在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C 所对 的边,当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-,2b c +=时,求a 的最小值 4. 在ABC ?中,sin A a =. (1)求角B 的值;(2)如果2b =，求ABC ?面积的最大值． 5. 如图,扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o ，半径为2,在弧AB 上有一动点P ,过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ,设AOP θ∠=,求POC ?面积的最大值及此时θ的值．

6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min ．在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ,山路AC 长为1260m ,经测量,12cos 13A =，3cos 5 C =. (1) 求索道AB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？ 7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ?中，90POQ ? ∠=,22OP =点M 在线段P Q 上． (1)若5OM =求PM 的长； (2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ?∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ?的面积最小?并求出面积的最小值.

高考数学最值问题复习

第9课时最值问题 要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析

要点·疑点·考点 1.能够根据条件恰当地选择自变量建立目标函数，然后利用求函数最值的方法(如配方法、基本不等式法、三角函数的值域、函数的单调性、判别式法等)求出最大、最小值 2.能够结合曲线的定义和几何性质，运用“数形结合”或者用“几何法”求出某些最大、最小值. 返回

1322=-y x 1.定长为12的线段AB 的端点在双曲线的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为_____.2.已知点，F 是椭圆的左焦点，一动点M 在椭圆上移动，则|AM|+2|MF|的最小值为_____.3.若动点P 在直线2x+y+10=0上运动，直线PA 、PB 与圆x 2+y 2=4分别切于点A 、B ，则四边形PAOB 面积的最小值为_______.112 1622=+y x () 32，A 课前热身 2 7 108

返回 4.椭圆且满足，若离心率为e ，则的最小值为()(A)2(B)(C)(D)()0122 22>>=+b a b y a x b a 3≤221e e +6133132 35.设点P 是椭圆上的动点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则sin ∠F 1PF 2的最大值为_________________12222=+b y a x 783B

能力·思维·方法 1.过椭圆2x2+y2=2的一个焦点作直线交椭圆于P，Q两点，求△POQ面积S的最大值. 【解题回顾】本题若选择PQ为底表示△POQ的面积则运算量较大

【解题回顾】本题是通过建立二次函数求最值，基本手法是配方，要注意顶点横坐标是否在此区间内的讨论.2.已知定点A (a ,0)，其中0＜a ＜3，它到椭圆上的点的距离的最小值为1，求a 的值.149 2 2=+y x

四年级上册奥数讲义-第十一讲 割补法巧算面积-冀教版(无答案)

四年级第十一讲割补法巧算面积 ◆温故知新： 1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。 2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形 面积相联系。 ◆练一练 1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。 2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。阴影部分的面积是多少平方厘 米？ ◆例题展示 例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）

练习1如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。 请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。请问：图中阴影部分的面积总和 等于多少平方厘米？

例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？ 练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是 多少平方厘米？ 例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。 已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。请问：图b中阴影部分的面积 是多少平方分米？

高中数学最值问题

最值问题 一、点击高考 最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。 回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。 由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。 可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。 二、考点回顾: 分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1、函数的最值； 2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等； 3、字母的取值范围； 4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如： f(x)≥0对x∈R恒成立?f(x)的最小值≥0成立， f(x)≤0对x∈R恒成立?f(x)的最大值≤0成立； 5、实际应用问题： 实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。

三、知识概要 1、求函数最值的方法： “数”和“形”，数形结合： 配方法 直接法 均值不等式法 单调性 代数方法 导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 平面几何知识 几何方法 线性规划 解析几何 斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a x a x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型： 能直接判断 线性规划 建立目标函数 曲函数的最值 四、典型例题分析 例1(2002·全国卷·理·21) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性；

高考数学不等式中最值问题全梳理

高考数学不等式中最值问题全梳理 模块一、题型梳理 题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题 例题1 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则22 12x x +的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ． ) +∞ C ． ()2,+∞ D ．()0,1 【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为 ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞， 12,Inx m Inx m =-= 故可得()120In x x =，解得211x x = ，则22 12x x + =212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2 22 91 sin cos αα +的最小值为（ ） A ．2 B ．16 C ．8 D ．12 【分析】利用22sin cos 1αα+=将22 91sin cos αα +变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵22sin cos 1αα+=，∵ ()22 2222 9191sin cos sin cos sin cos αααααα?? +=++ ??? 2222 sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，2 1cos 4α=时“=”成立，故2291 sin cos αα +的最小值为16. 【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.

例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n －4＝0(m >0，n >0)上，则 m ＋n 的最小值为________． 【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∵1m ＋1 n ＝4，∵m >0，n >0，∵m ＋n ＝14(m ＋n )????1m ＋1n ＝14????2＋n m ＋m n ≥14? ?? ?? 2＋2 n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∵m ＋n 的最小值为1. 题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题 例题4 已知,x y 满足约束条件230 23400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? ，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中 0,0m n >>），则 11 2m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ． 32 【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，再利用不等式求得112m n +最小值. 【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=. ()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ?????+=?+?+=?++≥?+=?= ? ? ?????，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32 .故选：D

北航离散数学第11章习题答案

第11章习题答案 3. 对图11.3的有向图，找出从u 1到u 4的长度为2,3,4的所有通路，并找出顶点u 4上的长 度为2,3,4的所有回路。用M 2，M 3，，M 4 ，来验证这些结果。 解：从u 1到u 4长度为2的通路有1条：（u 1,u 2,u 4） 从u 1到u 4长度为3的通路有2条：（u 1,u 2,u 3，u 4），（u 1,u 4,u 2，u 4） 从u 1到u 4长度为4的通路有3条：（u 1,u 2,u 3，u 2，u 4），（u 1,u 2，u 4,u 2，u 4），（u 1,u 4,u 2， u 3，u 4） 顶点u 4上的长度为2的回路有1条：（u 4,u 2,u 4） 顶点u 4上的长度为3的回路有1条：（u 4,u 2,u 3，u 4） 顶点u 4上的长度为4的回路有2条：（u 4,u 2,u 3，u 2，u 4），（u 4,u 2，u 4,u 2，u 4） M =?? ??????????0010 101011001010 M 2=?? ??????????11 00111010201110 M 3 =????????? ???10 20 212022102120 M 4 =????????????221 323031403230 由M 2 ，M 3 ，，M 4 中的第1行第4列的元素可见，从u 1到u 4长度为2，3，4的通路分别有1 条，2条，3条。由M 2，M 3，，M 4 中的第4行第4列的元素可见，u 4上的长度为2,3,4的回路分别有1条，1条，2条，说明所找的上述通路和回路正确。 5. 设有向图D 具有顶点集合{u 1，u 2，…，u n }，M 是D 的邻接矩阵。证明对于i ≠j 和k=1,2,…， n-1，如果M k （k=1,2,…，n-1）中第i 行第j 列上的元素均为0，则u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。 证明：假设u i 和u j 属于D 的同一个强分图，则u i 和u j 互相可达。由定理9.2可知，从一顶点到另一顶点可达，则有基本通路，因此存在u i 到u j 的基本通路。已知有向图D 中有n 个顶点，根据定理9.4：n 个顶点的有向图中，任何基本通路的长度都不超过n-1。因此存在 u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路。然而，根据定理11.1和已知条件：M k （k=1,2,…，n-1）中第i 行第j 列上的元素均为0，说明从u i 到u j 不存在长度小于或等于n-1的通路。这与前面所述存在u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路矛盾，因此u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。 6. 试用图11.4的有向图的邻接矩阵求出可达性矩阵，并利用可达性矩阵求其强分图。 解： M=????????????????0001010000000010100000010 M 2 =??? ? ???? ??? ?????010******* 00010 1000001000

2020高考数学(理)大一轮复习配套练习：第九章10第9讲第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题含解析

[基础题组练] 1．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵ 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( ) A ．(10，14) B ．(12，14) C ．(10，12) D ．(9，11) 解析：选C.抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1， 圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C (1，0)，半径为5， 可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ， 由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝25可得交点的横坐标为4，即有x P ∈(4，6)，可得6＋x P ∈(10，12)， 故△PQC 的周长的取值范围是(10，12)．故选C. 2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB → (λ＞1)， 则λ的值为________． 解析：根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB → ，得????p 2－x 1，－y 1＝λ????x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43????x －p 2，联立直线AB 与抛物线方程，消元得y 2－3 2 py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2 y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4. 答案：4 3．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程； (2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF → 的取值范围． 解：(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a ＝2＋0＋ 2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，

条件数学期望及其应用

条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical. Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为 },,{21 p p .又事件A 有0)( A P ，这时 ,2,1,) () }({)|(| i A P A x X P A x X P P i i A i 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 A i i i p x | 则称 A i i i p x A X E |]|[ ． 为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)( A P ，且X 在条件A 之

高考数学最值问题

专题十六最值问题 【考点聚焦】 考点1向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积 考点2:解斜三角形. 考点3:线段的定比分点、平移. 考点4:向量在平面解析几何、三角、复数中的运用 考点5:向量在物理学中的运用. 【自我检测】 1求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法， 2、求几类重要函数的最值方法； (1)二次函数：配方法和函数图像相结合； a (2) f (x) =x (a = 0, a ? R):均值不等式法和单调性加以选择； x (3)多元函数：数形结合成或转化为一元函数?3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值) 【重点?难点?热点】 问题1:函数的最值问题 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题?求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、 判别式法、有界性、图象法等? 例1: (02 年全国理1)设a 为实数，f (x) =x2+ x —a +1(x^ R)， (1)讨论f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值. 思路分析：(1)考察f(x)与f (-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论. (1)解法一：(利用定义)f (一x) =x2+ x + a +1, - f (x) = -x2- x -a T. 若f(x)为奇函数，贝V f(-x) = -f(x),即2x2+ x + a +|x-a +2 = 0.此等式对R 都不成立，故f(x)不是奇函数；

四年级下册数学试题-思维训练：第11讲 统筹与对策-对策的构造(含答案)全国通用

统筹与对策 第11讲 ——对策的构造 情 课 堂 激

例1：甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向下图所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜。如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里？ 例2：两个人做一种游戏：轮流报数，必须不大于6的非零自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是100，谁就获胜。如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报_____，以后怎样报？

例3：有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。如果甲先取，那么_____有必胜策略。如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。 练习1：有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取2枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。如果甲先取，那么_______有必胜策略。如果取

走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么_______有必胜策略。 例4：现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。每次最少从中取出2根，最多取出4根。谁无法再次取出火柴谁就赢。如果甲先取，那么_______有必胜策略。 练习2：现有2009个石子，甲、乙两个人轮流从中取出石子。每次最少从中取

出2个，最多取出5个。谁无法再次取出石子谁就赢。若甲先取，那么________有必胜策略。 例5：甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球。那么如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么_______有必胜策略，请说明理由。

2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析

与圆有关的最值问题 一、考情分析 通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享 1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值 问题；③形如(x －a )2 ＋(y －b )2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展 1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -. 2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径. 3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为. 四、题型分析 (一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题 利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.

著名机构四年级数学秋季讲义第11讲.火车过桥

第11讲 第7级下超常体系 教师版四年级暑假 追及问题四年级秋季 环形跑道四年级秋季火车过桥 四年级春季 相遇与追及综合四年级春季流水行船 掌握火车过桥问题的几个基本类型及各个类型的解题方法 漫画释义 知识站牌

第7级下超常体系教师版 同学们出门旅游的时候坐过火车吗？你们了解车次前的“T ”、“D ”、“K ”、“L ”、“Z ”该怎么念，代表什么意思吗？ 1.掌握火车过桥问题的几个基本类型及各个类型的解题方法； 2.学会分析行程问题中不同物体之间的运动关系. 火车过桥问题实际上是很简单的相遇与追及问题.通过火车过桥看尾巴,可以把火车过桥问题转化成人的简单行程问题及人与人之间的相遇与追及问题. 一、火车过桥 完全过桥：是指从车头上桥，到车尾离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长加一个火车长． 完全在桥上：是指从车尾上桥，到车头开始离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长减一个火车长． 一般我们所说的火车过桥是指完全过桥的这种情况． 二、铁路旁的人与火车问题 1．人站在铁路旁不动从开始看到车头驶过到车尾离开的过程（火车与树或电线杆问题）这个过程把人看成是长度为零的桥，因此火车走过路程为一个车长． 2．人在铁路旁和火车同向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程 这个过程实质是人和火车的追及问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，追及的路程差为一个车长． 3．人在铁路旁和火车相向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程 这个过程实质是人和火车的相遇问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，相遇的路程和为一个车长． 4．人坐在火车上从车窗看到外面火车车头到车尾离开的过程 这个过程实质还是人和火车的相遇、追及问题．此时只是把人看成运动的速度为所坐火车的 速度，长度为零的桥． 课堂引入 经典精讲 教学目标

条件数学期望及其应用

实用文档 文案大全条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it's application Abstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各 点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积 分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都 是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1设X是一个离散型随机变量，取值为},,{21?xx，分布列 为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP，这时 ,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi

为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有 ???Aiii px| 则称 ??． Aiii pxAXE|]|[ 为随机变量X在条件A下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2设X是一个连续型随机变量，事件A有0)(?AP，且X在条件A 之 实用文档 ??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf．若 X在条件A下的条件数学期望． 定义3设),(YX是离散型二维随机变量，其取值全体为 },2,1,),,{(??jiyx ii， 联合分布列为 ?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij， 在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若 ???jiii px|， 则 ??? jiiii pxyYXE|]|[ 为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望． 定义4 设),(YX是连续型二维随机变量，随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX，若 ??????dxyxpx YX)|(|， 则称

学而思四年级第11讲.最值问题(基础-提高-尖子班)

349876第十一讲 最值问题（一） 例1（2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛） 【分析】 答案：247.要使两个五位数的差最小，这两个五位数首位上的数应该尽力接近，且 较大数的后四位应尽可能小，较小数的后四位应尽可能大。较大的五位数的后四位最 小为0123，较小的五位数的后四位最大为9876，还剩下4和5两个数，所以较大的数 是50123，较小的数是49876，差为5012247?=. 例2 （2008年数学解题能力展示） 【分析】 答案：50.一共20张牌，点数之和是固定的：2110(123...10)×++++=.由于每轮的点 数差做为两人的得分，那么两人的总分之和就是10轮的点数差之和，即10轮中较大 数之和-10轮中较小数之和（令它们分别是A 和B，则总分之和=A-B）又因为A+B=110 所以A-B 的最大值即110-2B 的最大值，转换成求出B 的最小值即可。令B 最小，既最 小的十张牌之和：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5.所以B 最小为30 ，总分之和最大 =110-2B=50 例3 (第十三届华杯赛) 【分析】 极端分析法—答案：2005.通过找规律解决问题，要得到最小值，即让每次划去最多， 应该从大往小擦数，最终得到2。要得到最大值，即让每次划去最少，应该从小往大 擦数，最终得到2007，从而最大与最小的差为220052007?=. 例4 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛） 【分析】 极端分析法—答案：155.最倒霉原则： “保证”=“最倒霉”+1. 最倒霉的情况是：取出了两种颜色的全部和其他颜色各9个依然不满足条件， 即个，从而1550296154×+×=41155+=1×+556一定能保证满足条件. 例5 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛） 【分析】 极端分析法—答案：92.总表面积固定，当蓝色面积最大时，白色面积最小.因此， 让蓝色木块优先占据特殊位置.分析发现，染色后8个角上的正方体3个面有颜色， 扣去两角后的每条棱上的3个正方体有2个面。其余表面上的正方体染色后只有1 个面。优先让蓝色小正方体占据8个角，余下17个蓝色正方体再占据棱上位置。则 蓝色最大面积为837258×=，则白色最少面积为5892××?123...13=. 例6 【分析】 极端分析法—答案：13.由于苹果数固定，则当每个人得到的苹果尽量少时，人数最多. 若有13个小朋友，则至少需要9199++++=<个苹果，余下8个苹果。人数有 13个，余下的8个苹果不会影响到人数。 例7 【分析】 不等式的估算法——设取出1个后第二堆苹果数为x 个，列表如下：

高考数学总复习之【最值问题】专题

专题 最值问题 【考点聚焦】 考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形. 考点3：线段的定比分点、平移. 考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用. 考点5：向量在物理学中的运用. 【自我检测】 1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法， 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a x a x x f ∈≠+ =:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数. 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值) 【重点?难点?热点】 问题1：函数的最值问题 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等. 例1：(02年全国理1) 设a 为实数，)(1)(2 R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值． 思路分析：(1)考察)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论． (1)解法一：(利用定义)2 )(x x f =-＋1++a x ，2 )(x x f -=-. 1---a x

若2 2),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数； 若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2 x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对 R x ∈恒成立，只能是0=a ． 故0=a 时，)(x f 为偶数； ≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数． 解法二：(从特殊考虑),1)0(+=a f 又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数． 若0=a ，则=)(x f 1)(2 ++=-x x x f ，)(x f 为偶函数； 若 ≠a ，则12)(,1)(2 2++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在 ≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数． （2）当a x ≤时，4 3 )2 1(1)(2 2 ++-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知：若2 1 ≤ a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2 +=a a f ；若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为4 3)21(=f ，且 )()2 1 (a f f ≤． 当a x ≥时，函数4 3)21(1)(22 +-+=+-+=a x a x x x f ． 若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21 (a f f ≤-； 若2 1 ->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最 小值为1)(2 +=a a f ． 综上所述，当21- ≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12 +a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是4 3+a ．

高中数学最值问题

最 值 问题的解法 一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1 ≤ x ．即 81max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 34522+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++= 的值域为]4,1[-，求常数b a ,

高考数学专题14 数列中的最值问题

一、选择题
1．已知等差数列 的前 项和是 ,若
,
,则 最大值是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由等差数列的前 n 项和的公式可得：
故
则
,故在数列 中,当
时,
,当
,所
以 时, 达到最大值.
2．若等差数列 的前 项和
,则
的最小值为
A．
B.8
C.6
D.7
【答案】D
3.已知正项等比数列 的前 项和为 ,且
,则
为 A. 10 B. 15 【答案】C
C. 20
D. 25
【解析】由题意可得：
,由
可得
由等比数列的性质可得： 可得：
成等比数列,则
的最小值
, ,综上
,

当且仅当
时等号成立.综上可得,则
的最小值为 20.
4.已知数列 的通项公式为
最大值为 A．4 【答案】C
B．5
C．6
【解析】
,记数列 的前 项和为,则使 D．8
成立的 的 ,
,
,…,所以使
成立的 的最大值为 ,故选 C.
5．设数列 为等差数列, 为其前 项和,若
,
,
,则 的最大值
为
A. 3 B. 4 C.
D.
【答案】B
【
解
析
】
∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,a1+4d≤5,a1+2d≤3,
两式相加得：2（a1+3d）≤8,∴a4≤4,故选 B.
6. 等比数列 的前 项和
（ 为常数）,若
恒成立,则实数
的最大值是 A. 3 B. 4 【答案】C
C. 5
D. 6
7. 正项等比数列｛an｝中,存在两项 am,a（n m,n
的最小值为 A. 5 B. 6 【答案】B
C. 7
D. 8
）使得 aman=16a12,且 a7=a6+2a5,则 +