第三章 复变函数的积分习题与解答

第三章 复变函数的积分习题与解答

3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系？

【答案 单连通 无关，复连通 有关】 3.2 计算积分 3||21z z =

-⎰

的值

【答案 0】

3.3 计算积分

22d L z

z a -⎰:其中0a >．设 L 分别为

（1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+=

【答案 (1)0；（2）

πi

a

； (3)πi

a -】

3.4 计算积分 Im d C z z

⎰，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段；

（２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-；

（３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向）

【答案 2

(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】

3.5 计算积分 d ||C z z

z ⎰的值，

(1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】

3.6 计算积分的值 π2i

cos d 2z z

+⎰

【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值

（1） ||1d cos z z z =⎰；（2）2||2

d z z

e z =⎰21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++⎰⎰ 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi

4i +】

3.8 计算

2||2||232|i|1||15

22||1|i|2(1)d ; (2)d ;

3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z

z z z e z z z z z ==-===-=--+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π

8-

】

3.9 计算积分 （1）

π6

1

i

i

(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z

--⎰⎰⎰

【答案

1

3(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】

3.10 计算复数

123

cos (1)d C C z

z

z +⎰

，其中1:||2C z =顺时针方向；2:||3C z =逆时针方向．

（2）3||1d ()z

z e z

z a =-⎰，其中复常数||1a ≠

【答案 （1） 0；（2）当

||1,0;||1,πi a

a a e ><】 3.11 设L 为不经过点

b 和b -的简单正向（逆时针）曲线，b 为不等于零的任何复数，试就

曲线L 与b 的各种可能计算积分的值．

d ()()

L z

I z

z b z b =+-⎰ 【答案 （1）L 不含b ±，则I=0;（2）L 含b ，πi b

I =；L 含b -，πi

b I =-；（3）两点在内

部 0I =】

3.12 已知 π3

||2()d e h z z

ξ

ξξ

ξ==-⎰，试求(i),(i)h h -，以及当||

2z >时，

()h z '的值. 【 ()π(i);(i)i);||2,()0h i h z h z '=-=>=】 3.13 计算积分 3d ()z

C ze z

z a -⎰，其中 常数a 在闭曲线C 内部

【答案 1

(2)2a

a e +】

3.14 设 C 为正向圆周

1=z ，且||1a ≠，证明：积分

222π

1||22π||1||1 (||1)

|d ||| (||1)

a z a a z z a a -=-<⎧⎪=⎨->⎪⎩⎰

3.15 利用积分 ||1d 2z z

z =+⎰的值，证明2π012cos d 054cos θθθ+=+⎰

3.16 计算积分 2

|||d |

,(||)||z r z a r z a =≠-⎰

（提示：令i i :|d |d ,

r z c z re z z θ=⇒=注意到点

2

,r a

a 是关于圆周||z r =的对称点）

3.17.已知

2πsin 4()d f z z

ζζζζ==-⎰

求(12i),(1),(1)f f f '-．

3.18 计算积分（2）2

||1cos d z z z

z e z =⎰

本章计算机仿真编程

3.19 计算机仿真编程验证3.15的积分结果2π

012cos d 0

54cos θ

θθ+=+⎰

3.20 计算机仿真计算下列积分的值 （沿非闭合路径的积分）

π6

3πi

i i

2123πi

(1)d ; (2)ch3d ; (3)(1)d ;

z

z I e z I z z I z e z --===-⎰⎰⎰

i

4211tan (4)d ,

cos z

I z z +=⎰

其积分的路径为沿1到i 的直线段．

(说明：沿闭合路径的积分可以利用留数的定义，留数定理来计算；而留数可以利用计算机

仿真编程Matlab 直接求解)

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-?

(3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：

复变函数的积分习题与解答

第三章 复变函数的积分习题与解答 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系 【答案 单连通 无关，复连通 有关】 计算积分 ||z ?i 【答案 0】 计算积分 22d L z z a -?i :其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0；（2）πi a ； (3)πi a -】 计算积分 Im d C z z ?，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 【答案 2 (1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 计算积分 d ||C z z z ?i 的值， (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =?i ；（2）2||2d z ze z =?i 21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++??i i 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi 4i +】 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+??????i i i i i i 【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】 计算积分 （1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 1 3(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】

复变函数及积分变换试题及答案

第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++

复变函数习题答案第3章习题详解.docx

第三章习题详解 1?沿下列路线计算积分J；' z2dz o 1）自原点至3 + i的直线段； 解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0

复变函数习题解答(第3章)

p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故?C1/(z + 2) dz = 0． 设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]． 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ． 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz． 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]． 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]， 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0． 因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)． ?t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析， 因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)． 显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]． 因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到 的单射，而z(t)是[α, β]到D内的单射，故f(z(t))是[α, β]到 内的单射． 因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0． 所以，Γ是光滑曲线． (2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；?t1∈[α, β]，?t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)． 与(1)完全相同的做法，可以证明f(z(t))∈C1[α, β]，且| f’(z(t))z’(t) |≠ 0． 由z(α) = z(β)和z’(α) = z’(β)，可知f’(z(α))z’(α) = f’(z(β))z’(β)．

工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静） 高等教育出版社 习题一（P12） 对任何z ，2 2z z =是否成立如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立 解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，2 22z x y =+； 若2 2z z =成立，则有2222 2x y xyi x y -+=+，即222220 x y x y xy ?-=+?=?，解得 0y =，即z x =。 所以，对任何z ，2 2z z =不成立，只对z 为实数时才成立。 求下列各式的值： （1）5 )i ； （2）6(1)i +； （3； （4）1 3 (1)i -。 解：（16 2i i e π- =，所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? （2）因为41i i e π +=，所以 6 3663 442(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? （3）因为1cos sin i ππ-=+，所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+，其中 0,1,2,3,4,5k =； 即01cos sin 6 6 22w i i π π =+= +，1cos sin 22 w i i ππ =+=， 2551cos sin 662w i i ππ=+=+，3771 cos sin 662 w i i ππ=+=-，

433cos sin 22 w i i ππ =+=- ，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。 （4 ）因为1cos()sin()44i i ππ?-=-+-??，所以 1 13 6 2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ??-+-+?? =-=+???? ?? ，其中0,1,2k =； 即 16 02cos()sin()1212w i ππ? ?=-+-?? ? ?， 1 6 1772cos sin 1212w i ππ? ?=+???? ， 1 6 2552cos sin 44w i ππ? ?=+???? 。 求方程380z +=的所有根。 解法一：用因式分解法求解。 因为 33322 82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ??+=+=+-+=+-++?? 22 (2)(1)((2)(11z z z z z ??=+-+=+-+--?? 所以由380z += ，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =- ，21z =- 31z =+ 故方程380z +=的所有根为12z =- ，21z =+ 31z =+ 解法二：用复数的方根的方法求解。 由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而 88(cos sin )i ππ-=+，所以 2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++?? ?==+=+??????，其中0,1,2k =； 即02cos sin 133z i ππ? ?=+=+ ?? ?12(cos sin )2z i ππ=+=， 2552cos sin 133z i ππ? ? =+=- ?? ?

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章 复数与复变函数 (作业1) 一、填空题 1、i e π2的值为 。 2、k 为任意整数，则3 4+k 的值为 。 3、复数i i (1)-的指数形式为 。 4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ） 2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ） 3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．复数)(tan πθπ θ<<-=2 i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 3．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若 θi re i i =+--2 ) 1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,2 10 r （C ）3arctan ,2 10 -== πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。 (A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) x y arctan +-π 四、计算与证明题 1、设i i i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z

第3章 复变函数的积分习题与解答cxf

第三章 复变函数的积分习题答案 3.4 计算积分Im d z z ? ，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +-- 3.5 计算积分 d ||C z z z ?i 的值，其积分路径分别为： (1)||2; (2)||4;z z == 答案：(1)4πi;(2)8πi 3.7计算下列积分的值 （1） 11d cos z z z =?? （4）11d 1()(2)2z z z z i =++??； 答案（1）0；（4）4416417i i i πππ-=+ 3.8 计算 （1）2d 3z z e z z =-??；（3）31 cos d ()z i z z z i -=-??；（5）51d z z e z z =?? 答案 （1）0；（3）πicosi -；（5） 12i π 3.9 计算积分 （1） 10sin d z z z ?；（2）0(1)d i z z e z --? 答案：（1）sin1cos1- ；（2） 3i 3.12 已知 π3||2()d e h z z ξξξ ξ==-?i ，试求(i),(i)h h -，以及当||2z >时，()h z '的值. 答案：/3()2()z z i h i i e i πππ=??==??； /3 ()2)z z i h i i e i πππ=-??-==?? 当2z >时，()0h z =，所以，()0h z '= 3.15 利用积分 ||1d 2z z z =+?i 的值，证明2π012cos d 054cos θθθ+=+? 证明：略。 补充作业:计算下列积分： （1）22||11(1)z i dz z -=+??；（2）22|2|3 1(9)z i dz z -=+??；（3）22||211z z dz z =-+??；（4）2||1sin z z e dz z =?? 答案：（1） 2π；（2）54π；（3）0；（4）2cos1i π

第三章复变函数的积分(答案).doc

复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设 C 为从原点沿 y 2 x 至 1 i 的弧段，则 ( x iy 2 ) dz [ ] C （ A ） 1 5 i （ B ） 1 5 i （ C ） 1 5 i （ D ） 1 5 i 6 6 6 6 6 6 6 6 2. 设 C 是 z (1 i)t ， t 从 1 到 2 的线段，则 arg zdz [ ] C （ A ） （ B ） i （ C ） 4 (1 i) （ D ） 1 i 4 4 3．设 C 是从 0 到 1 i 的直线段，则 ze z dz [ ] 2 C （A ）1 2 e （B ） 1 e （C ） 1 ei （D ）1 ei 2 2 2 4．设 f ( z) 在复平面处处解析且 i 2 i ，则积分 i z)dz [ ] f ( z)dz f ( i i （A ） 2 i （ B ） 2 i （C ） 0 （ D ）不能确定 二．填空题 1． 设 C 为沿原点 z 0到点 z 1 i 的直线段，则 2 z dz 2 。 C 2． 设 C 为正向圆周 | z 4 | 1 ，则 z 2 3z 2 dz 10 i. C (z 4)2 三．解答题 1．计算下列积分。 （ 1） 3 i e 2 z dz i 1 2 z 3 i e i 2 1 (e 6 i e 2 i ) 0 2

复变函数与积分变换习题解答

练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）； 解：=（2）解： 2．将下列复数写成三角表示式。 1） 解：（2） 解： 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1） 解： （2） 解： 4．.设三点适合条件：=0，是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。 证：因所以都在圆周又因=0 则，所以也在圆周上，又所以以0 理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与， 三个顶点。 5．解方程 6．试证：当时，则。 证： 7．设是Z的辐角），求证 证：

则 当时 故 当时，同理可证。 *8 .思考题： （1）复数为什么不能比较大小？ 答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。（2）是否任意复数都有辐角？ 答：否，是模为零，辐角无定义的复数。

练习二 1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？（1） 解：设则 则点Z的轨迹为： （2），其中为实数常数； 解：设则： 则： 若：则轨迹为： 若：则 轨迹： 若：则无意义 （3），其中为复数为实常数。 解：由题设可知： 即： 若：，则Z的轨迹为一点-， 若：，则Z的轨迹为圆，圆心在-，半径为 若：，无意义 2．用复参数方程表示曲线，连接与直线段。解： 则 3 连域？并标出区域边界的方向。 （1） 解：由，得 又，得 有界，单连域 （2） 解：令 由 即：

无界，单连域

解：令则： 无界，多连域 4．对于函数，描出当在区域内变化时，的变化范围。 解：令 则 则 的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴 5.试证不存在。 证：= 令则：上述极限为不确定，因而极限不存在。 *6.思考题 （1）怎样理解复变函数？ 答：设就是 即因此，一个复变函数与两个实变函数和相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看 作是平面上的点集到平面上的点集上的映射。 （2）设复变函数当时的极限存在，此极限值与z趋于所采取的方式（取的路径）有无关 系？ 答：没有关系，以任意方式趋于时，极限值都是相同的，反过来说，若令沿两条不同的曲 线趋于时极限值不相等，则说明在没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函 数中，只能从左、右以任何方式趋于，而这里可以从四面八方任意趋于。

复变函数与积分变换 习题三

第三章 复变函数的积分 一、 判断题 （1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、积分中值定理等均可推广到复变函数。（ ） （2） 有界整函数必为常数。（ ） （3） 积分 ? =--r a z dz a z 1 的值与半径)0(>r r 的大小无关。 （ ） （4） 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。（ ） （5） 若)(z f 在10<

复变函数的积分 复习题

第三章、复变函数的积分 习题课： 1、 分别计算沿（1）直线段；（2）单位圆（ 1||=z ）的左半圆； （3）单位圆的右半圆的下列积分： ?-=i i z z I d ||。 2、 计算积分： z z I L d R e ?=， 在这里L 分别表示：（1）单位圆（按反时针方向从1到1取积分）； （2）从1z 沿直线段到2z 。 3、 设函数)(z f 当)10(||000<<>-r r z z 时是连续 的。令)(r M 表示|)(|z f 在00||r r z z >=-上的最大值，并且假定 0)(lim =+∞ →r M r 。 试证明 0d )(lim =?+∞→r K r z z f 在这里 r K 是圆r z z =-||0。

4、 如果满足上题条件的函数 )(z f 还在00||r z z >-内解析，那么对任何0r r >， 0d )(=? r K z z f 5、 计算积分： ?=-2||4d 11z z z 。 6、 设)(z f 及)(z g 在单连通区域D 内解析，证明： ??-=βαβ αβα z z g z f z g z f z z g z f d )()('|)()(d )(')( 在这里从α到β的积分是沿D 内连接α及β的一条简单曲线取 的。 7、 计算积分： （1）?=C z z I d ； （2）?=C z z I d ln ， 在这里用 C 表示单位圆（按反时针方向从1到1取积分），而被积函数分别取为按下列各值决定的解析分支：（1）11=；（2）01ln =或i π21ln =。 8、 如果积分路径不经过点i ±，那么

复变函数习题解答(第3章)

复变函数习题解答(第3章) LT

p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分 C1/(z + 2) dz之值证明 [0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故 C1/(z + 2) dz = 0． 设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]． 则 C1/(z + 2) dz = C1/(z + 2) dz = [0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = [0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = [0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = [0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i [0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ． 所以 [0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故 [-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故 [0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) [-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0．7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证 [α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] - [α, β] g(z) f’(z)dz． 【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． [α, β] f(z)g’(z)dz + [α, β] g(z) f’(z)dz = [α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = [α, β] ( f(z)g(z))’dz． 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 [α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]． 因此有 [α, β] f(z)g’(z)dz + [α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]， 即 [α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] - [α, β] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0． 因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)． ∀t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析， 因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)． 显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]． 因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到的单射，而z(t)是[α, β]到D 内的单射，故f(z(t))是[α, β]到内的单射． 因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0． 所以，Γ是光滑曲线． (2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；∀t1∈[α, β]，∀t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)．

复变函数的积分例题及解析

复变函数的积分例题及解析 复变函数的积分是学习复变函数的重要内容，了解复变函数的积分及其解析方法有助于学生对复变函数有更深入的理解，在解决实际问题时也能够更好的运用复变函数的知识。本篇文章的目的，就是为了帮助学生们更好地掌握复变函数的积分，从而解决复变函数的积分问题。 首先，先来看一个简单的例题，是一个求复变函数的定积分问题：求∫[-3,3]sin(x)-3dx的值 解：这是一个普通的求复变函数定积分的问题，使用定积分公式即可求解。下面我们来进行求解， ∫[-3,3]sin(x)-3dx =[-3,3]sin(x)dx -[-3,3]3dx ∫[-3,3]sin(x)dx = -cos(3) + cos(-3) = -cos(3) -cos(3) ∫[-3,3]3dx = 36 = 18 所以∫[-3,3]sin(x)-3dx=-cos(3) -cos(3) -18=-2cos(3)-18 根据上述计算，我们可以得到[-3,3]sin(x)-3dx=-2cos(3)-18，以上就是这道定积分问题的解析。 以上是一道简单的复变函数定积分问题的解析，下面我们继续看一道比较复杂的复变函数不定积分问题: 求∫sin2xcos3xdx的值 解：这是一个不定积分问题，这种问题一般使用公式法解决。下面我们来进行求解， ∫sin2xcos3xdx = 1/4∫sin4xcos3xdx = 1/4(1/3∫sin7xdx -

1/5∫sin5xdx) ∫sin7xdx = -1/7cos7x + C ∫sin5xdx = -1/5cos5x + C 所以∫sin2xcos3xdx = -1/84cos7x + 1/60cos5x + C 根据上述计算，我们可以得到∫sin2xcos3xdx = -1/84cos7x + 1/60cos5x + C，以上就是这道不定积分问题的解析。 以上就是本篇文章要介绍的复变函数的积分例题及解析，帮助学生们更好地掌握复变函数的积分知识。希望本篇文章能够为学生们提供帮助，从而更好地掌握复变函数的积分。

复变函数与积分变换试题及解答

复变函数与积分变换试题 系别班级学号姓名 得分评卷人 -------------- 一、填空(每题3分，共24分) 1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______ 1-V3/ 2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是 否为区域—. 3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ . 4. (l + i)i的值为______________________________________________ 主值为. 5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ . Juw z J izi=2 4) a--)" 1 -L 6.函数J (z)=——7"-3在Z =。处Taylor展开式的收敛半径是 ______ . z-l 7.设F [<(。]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=, 其中力⑺* /2(0定义为. 8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。是何种类型的奇点？ . Z

得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何

处解析？并在可导处求出导数值. 三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解 析函数 f(z) = u + iv. 四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z +1 Laurent 级数. 得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分) 1. /(z) = f 求/(1 + ) J 图7 4-z 2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数 3. L(f 32产(”。) 4. 尸——二~＜公 J 。1 + sin- x 六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下 的象.

《复变函数与积分变换》习题册

第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念； 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y = 3、若1231i z i i ，则z 4、若(3)(25) 2i i z i ，则Re z 5、若4 21i z i i +=- +，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程

为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。 16 二、判断题（正确打√，错误打⨯） 1、复数7613i i +>+. ( ) 2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( ) 3、若 a 为实常数，则a a = （ ） 4、复数0的辐角为0. 5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在 00(,)x y 点连续。 （ ） 6、设21,z z 为复数，则2121z z z z ⋅=。 （ ） 7、1212z z z z +=+ （ ） 8、参数方程2 z t ti =+ （t 为实参数）所表示的曲线是抛物线2y x =. ( ) 三、单项选择题 1、下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是 （ ） A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z ) D. z·z =|z| 2、方程3z =8 的复根的个数为 （ ） A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当11i z i +=-时，1007550z z z ++的值等于 （ ） A i B i - C 1 D 1- 4、方程23z i +-= （ ） A 中心为23i -的圆周