ch3复变函数的积分

解：1)sin sin cos (+++=y y x y y e v x

x

， 1)cos sin (cos ++-=y x y y y e v x y ．

由

y x v u = 得：

)()sin cos (]1)cos sin (cos [y g x y y y x e dx y x y y y e dx u u x x x ++-=++-==⎰⎰．

再由

x y v u -= 得：

1)sin sin cos ()()sin cos sin (-++-='+++-y y x y y e y g y y y y x e x x ，

故 1)(-='y g ，c y y g +-=)(． 从而

c y x y y y x e u x

+-+-=)sin cos (，

]

)sin cos ([])sin cos ([)(y x y x y y e i c y x y y y x e z f x x +++++-+-=c z i e z z +++=)1( ．

再由 0c 0)0(=⇒=f ． 这样，

z i e z z f z

)1( )(++=．

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点 k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk=
zk- zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0
时，不论对 c 的分发即 k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极
限值为函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲

第三章 复变函数的积分 第一节、柯西定理

第三章复变函数的积分 (Integration of function of thecomplex variable) 第一讲 授课题目：§3.1复积分的概念 §3.2柯西积分定理 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理. 学时安排：2学时 教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学重点：复变函数积分的计算问题 教学难点：柯西积分定理 教学方式：多媒体与板书相结合 P思考题：1、2、习题三：1-10 作业布置： 75 76 板书设计：一、复变函数积分的计算问题 二、柯西积分定理 三、举例 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社， 第二版）2005年5月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等

教育出版社，2008年4月. 课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分 2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方 法掌握不理想 3、利用课余时间多和学生交流 教学过程： §3.1 复积分的概念 (The conception of complex integration) 一、复变函数的积分的定义（Complex function of the

integral definition ） 定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中 ),...,2,1,0(n k y x z k k k =+= 在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式 ))((11 -=-∑k n k k k z z f ς （1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作 =⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k n k k k z z f ςλ

复变函数的积分 柯西定理

第三章 复变函数的积分 §3-1复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】 复变函数积分的定义： 设C 为复平面上以0z 为起点，而以z %为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=%L 把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -] 上任取一点k ξ作和数： ()()()11 1 n n n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=?∑∑, 其中1k k k z z z -?=- 如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -?=-）趋于零时， 和式()1 n k k k f z ξ=?∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿 路径C 由0z 到z %的积分: ()()1 lim lim n n k k C n n k f z dz S f z ξ→∞ →∞ ===?∑? ， C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。 若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()C f z dz ?? . (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。)

2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是 ()()()(),,C C f z dz u x y iv x y dx idy =++?????? ()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ????=-++???? ??， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质： （1）0C dz z z =-?%，z %、0z 分别为C 之起点、终点。 （2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±???????，1a 、2a 为复常数。 （3）()()()1 2 C C C f z dz f z dz f z dz =+???, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接 而成。 （4）()()C C f z dz f z dz - =-??, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。 4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ??时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()C C f z dz f z dz - =-??蜒 ）。 以后凡遇围道积分，如 不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆时钟方向，C - 代表顺时钟方向)

复变函数的积分习题与解答

第三章 复变函数的积分习题与解答 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系 【答案 单连通 无关，复连通 有关】 计算积分 ||z ?i 【答案 0】 计算积分 22d L z z a -?i :其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0；（2）πi a ； (3)πi a -】 计算积分 Im d C z z ?，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 【答案 2 (1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 计算积分 d ||C z z z ?i 的值， (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =?i ；（2）2||2d z ze z =?i 21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++??i i 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi 4i +】 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+??????i i i i i i 【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】 计算积分 （1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 1 3(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】

3第三章 复变函数的积分3第三章 复变函数的积分

1 第三章 复变函数的积分 复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。 §3.1 复变函数积分的概念 1 积分的定义 复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为- C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。 定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ： )(t z z =，βα≤≤t ， 以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ， 把曲线C 分成n 个小弧段。在每个小弧段 上任取一点k ζ，作和 ∑=∆=n k k k n z f S 1 )(ζ， 其中1--=∆k k k z z z ，记{ } n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到 b ）的积分，并记为⎰=C dz z f J )(，即为 ∑⎰=→∆=n k k k C z f dz z f 1 )(lim )(ζλ 。 （3.1.1） C 称为积分路径，⎰C dz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰- C dz z f )(表示沿C 的负方向的积分。如果C 为有 向闭曲线，且正向为逆时针方向，那么沿此闭曲线的积分可记作 ⎰C dz z f )(。 2 复积分的性质 根据复积分的定义或根据下一段中定理3.1.1所述的复变函数积分和曲线积分之间的关系以及曲线积

第三章 复变函数的积分.doc

习题 3 第三章 复变函数的积分 1.（1）计算积分1 1z dz -?，积分路径是直线段 解：C: z=x,-1≤x ≤1因此， 1 1 z dz -? =1 1x dx -?=1 ()2计算积分1 1z dz -?,积分路径是上半单元圆周 解 c:i z e θ=,θ是从π变到0,因此 ()0 1 1 cos sin i i c z dz de i e d i d θθ π π θθθθ-===+=? ??? 2 2．（1）利用积分估值，证明()2 2c x iy dz 2+≤?，其中C 是连接-i 到i 的直线段。 证明：C: x=0,-1y 1≤≤ 因为()2222f z x iy iy y 1=+==≤ 而积分路径长为()i--i 2= 故 ()()i 2 2 2 2c i x iy dz x iy dz 12=2-+= +≤??? （2）利用积分估值，证明 22()c x iy dz π+≤? ，其中C 是连接-i 到i 的右半圆周. 证明：C ：221x y +=，0x ≥ 2244()()1f z x iy x y =+≤+≤，右半圆为长度为π。 22(())()C x iy f z L +≤? ，L π=； 即： 22(())1C x iy ππ+≤?=? 3.不用计算，验证下列积分之值为零，其中C 均为单位圆周z 1=。 ()c dz 1cos z ? 证：因为距离原点最近的奇点Z=2π± ，在单位圆z 1≤外部，所以1 cos z 在z 1≤上

处处解析，由积分柯西定理知 c dz 0cos z =? （2）2 56 z C dz z e z ++? 证： 2 (2)(3) 56 z z z z z e e z = ++++，因奇点2,3z =--在单位圆1z ≤外部，所以 2 22 z z e z ++在1z ≤处处解析。由柯西积分定理：2 056 z C dz z e z =++? 。 （3）2 cos C z dz z ? 证：因为2cos z z 在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理知：2 cos 0C z dz z =? 。 4、求积分()d z z a z ? ++π20 2 182 解：由于()1822++=z z z f 在z 平面上解析， 所以在z 平面内积分与路径无关。 因此，选取最简单的路径为o 与a π2的直线段[]a π2,0, 则： ( ) a a a z z z dz z z a a πππππ2163 16432182223 320 2320 2++= ? ?? ??++=++? 7．（分布积分法）设函数f(z),g(z)在单连通区域D 内解析，αβ，是D 内两点，试证 ()()()()[()()]f z g z dz g z f z dz f z g z β β β α αα ''=-?? 证明：因为f(z),g(z)在单连通区域D 内是解析。故f(z)g(z)在[()()][()()]()()()() ()()()()()()[()()()()][()()]()()[()()](f z g z D f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z dz f z g z f z g z dz f z g z f z ββ α α β β αα ''''??=+''+''+=?''=?-?? 在内解析，且 仍解析。所以是的一个原函数。 所以 所以 )()g z dz β α ? 8.计算（C ：2z =） （1） 221 1 C z z dz z -+-?

第三章 复变函数的积分

第三章 复变函数的积分 复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的有力工具,解析函数许多重要的性质都需要利用复积分来证明.本章主要介绍复变函数积分的定义、性质与基本计算方法，解析函数积分的基本定理——柯西-古萨定理及其推广，柯西积分公式及其推论以及解析函数与调和函数的关系.柯西-古萨定理和柯西积分公式是复变函数的理论基础，以后各章都直接地或间接地用到它们. §3.1 复变函数积分的概念 1.复变函数积分的定义 在介绍复变函数积分的定义之前，首先介绍有向曲线的概念.设平面上光滑或分段光滑曲线C 的两个端点为A 和B .对曲线C 而言，有两个可能方向：从点A 到点B 和从点B 到点A .若规定其中一个方向(例如从点A 到点B 的方向)为正方向，则称C 为 有向曲线.此时称点A 为曲线C 的起点，点B 为曲线C 的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B 到起点A 的方向则称为曲线C 的负方向，记作C -. 定义3.1 设C 为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A 为起点，B 为终点.函数f (z )在曲线C 上有定义.现沿着C 按从点A 到点B 的方向在C 上依次任取分点： A =z 0,z 1,…,z n -1,z n = B , 图3.1 将曲线C 划分成 n 个小弧段.在每个小弧段1k k z z -(k =1,2,…,n )上任取一点,k ξ,并作和式 1 ().n n k k k S f z ξ==∆∑ 其中1k k k z z z -∆=-.记λ为n 个小弧段长度中的最大值.当λ趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点k ξ的取法如何，n S 极限存在，则称函数f (z )沿曲线C 可积，并称这个极限值为函数f (z )沿曲线C 的积分.记作 1 ()d lim (),n k k k C f z z f z λ ξ→==∆∑⎰

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B

的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式 S n =∑f(?k )n k?1(z k -z k-1)= ∑f(?k )n k?1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫f(z)dz c =lim δ 0 ∑f(?k )n k?1?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f(?k)n k?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n = (∑1+∑2)= ∑k?1n z k (z k 2?z k?12)=b 2-a 2 ∴ ∫2zdz c =b 2-a 2 1.2 定义衍生1：参数法：

复变函数积分计算公式

复变函数积分计算公式 柯西定理是复变函数的一个基本定理，它与实分析中的格林定理相对应。它的表述如下： 设f(z)是C上的连续函数，在C的内部点a处可导，则对于C上的 任意闭合路径L，有积分公式： ∮L f(z)dz = 0 其中∮代表沿曲线的积分。 柯西定理揭示了一个重要性质，即在曲线内部的积分和沿曲线上的积 分是等值的。这个公式的实际应用是在计算闭合曲线围成的域内的积分时，可以通过计算沿曲线的积分来得到结果。 柯西-黎曼公式是复分析中的一个重要公式，它是柯西定理在复平面 上的推广。其表述如下： 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在单连通域D上的全纯函数，则对于 D上的任意简单闭合曲线L，有积分公式： ∮L [u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∮L [v(x, y)dx + u(x, y)dy]= 其中i是虚数单位。 柯西-黎曼公式是柯西定理在复平面上的推广，它关联了函数的实部 和虚部，揭示了全纯函数在实轴和虚轴上的性质，是复变函数积分计算的 基础。

在计算复变函数积分时，需要将积分路径表示为参数方程形式，并根 据具体问题选择合适的计算方法。常用的计算方法包括直接计算、换元法、分部积分法、留数法等。 直接计算方法是将积分路径表示为参数方程形式，然后将积分公式代 入进行计算。这种方法在积分路径较简单且函数形式简化时适用。 换元法是将积分路径用新的参数方程表示，通过变量替换将复变函数 积分转化为实变函数积分。这种方法主要用于积分路径的形式复杂且可以 找到合适的变换。 分部积分法是将复变函数积分转化为求导和积分的组合运算，通过重 复应用分部积分法，可以将复杂的函数逐步简化。 留数法是一种特殊的计算方法，适用于计算含有奇点的函数的积分。 留数法利用了复变函数在奇点处的局部性质，通过计算奇点处的留数来求 解积分。 总之，复变函数积分的计算公式主要有柯西定理和柯西-黎曼公式， 并且还需要根据具体问题选择合适的计算方法进行计算。

复数函数的积分

第三章 复数函数的积分 重点： 1．复变函数的积分的定义与计算方法 )dx ()()()1(iay iv u dz z f c c ++=⎰⎰ )vd ud ()v (x y i dy udx C ++-=⎰ 其中f(z)=u(z ，y)+iv(z ，y) (2)若曲线C 的方程为 ,),()()(βα≤≤+==t t iy t x t z z 则 由公式，得 dt t y t y t x v t x t y t x u dz z f c a )}()](),([)()](),([{)('-'=⎰⎰β ,)}()](),([)()](),([{dt t x t y t x v t y t y t x u i a '+'+⎰β 上式右端可以写成 dt t y i t x t y t x w t y t x u a )]()()]}[(),([)](),([{'+'+⋅⎰ β dt t t z z a )()]([f ⎰=β 因此复变函数的积分可利用公式 t )()]([)(t z t z f dz z f a r '=⎰⎰β 来进行计算．这是计算复变函数积分的参数方程法． 2．柯西定理 ,0)(=⎰dz z f C 其中，(z)在D 内解析，C 在D 内。 推论1 设函数，(z)在单连通区域D 内解析，则积分dz z f c )(⎰只与曲线C 的起点和终点有关，而与曲线C 无关。 推论2 设闭曲线C 是在单连区域D 的边界，函数，(z)在D 内解析，在C 上连续，则.0)(=⎰dz z f c (1)原函数与不定积分 设f(z)是单连通区域D 内的解析函数，则 ζζd f x F z x )()(0 ⎰= 也是D 内的解析函数，且).()(z f z F =' 若函数，(z)在区域D 内解析，)(z Φ是，(z)在D 内的一个原函数，21,z z 是D 内的两

复变函数的积分方法

复变函数的积分方法 一、引言 复变函数是数学中的重要概念，它与实变函数有着很大的区别。复变函数的积分方法是研究复变函数在复平面上的积分性质和计算积分值的方法。本文将介绍一些常见的复变函数的积分方法。 二、复变函数的积分定义 在复变函数中，积分是对函数的一种运算，类似于实变函数中的积分。复变函数的积分定义如下： 设f(z)是定义在复平面上的一个函数，如果存在一个复数C，使得对于给定曲线γ上的任意两个点A和B，都有： ∫[A,B]f(z)dz = C 那么我们就说f(z)在曲线γ上是可积的，并且称C为f(z)沿曲线γ的积分。 三、复变函数的积分方法 1. 直线积分 直线积分是最常见的一种复变函数的积分方法。它是沿着一条直线对复变函数进行积分。直线积分的计算方法是将直线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个直线的积分值。

2. 曲线积分 曲线积分是复变函数的另一种常见的积分方法。它是沿着一条曲线对复变函数进行积分。曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个曲线的积分值。 3. 围道积分 围道积分是复变函数的一种特殊的积分方法。它是沿着一个围道对复变函数进行积分。围道积分的计算方法是将围道分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个围道的积分值。围道积分的计算方法比直线积分和曲线积分要复杂一些，需要使用复变函数的柯西-黎曼积分定理等相关定理。 四、复变函数的积分应用 复变函数的积分方法在数学和物理中有着广泛的应用。它可以用来计算复变函数的积分值，求解一些特殊的微分方程，研究复杂的物理现象等。 在数学中，复变函数的积分方法可以用来计算复变函数的奇点，判断函数是否解析，计算函数的留数等。 在物理中，复变函数的积分方法可以用来计算电场、磁场等物理量的积分，求解电磁场的边界值问题，研究光学现象等。

复变函数积分的几种计算方法

复变函数积分的几种计算方法 1.直接计算： 直接计算是最基本的方法，通过对复变函数$f(z)$在积分路径上进行 参数表示，然后将被积函数代入并对参数进行一定的变换和化简，最后进 行求和或积分求解。这种方法适用于被积函数的表达式简单，并且路径也 比较简单的情况。例如，对于一个简单的复变函数$f(z)=z^2$，可以沿着 一个简单闭合的路径求积分。 2.共形映射： 共形映射是一个重要而强大的工具，它可以将一个复平面上的路径映 射到另一个复平面上的路径，并保持路径上的角度不变。通过选择适当的 共形映射，可以将复变函数$f(z)$在原路径上的复变积分变换为相对简单 的形式。例如，对于一条围绕原点的圆形路径，可以通过一个合适的共形 映射将其映射为一条直线路径，这样原本的复变函数积分就可以转化为实 变函数积分。 3.柯西-黎曼方程： 柯西-黎曼方程是复变函数的基本性质之一，它表明对于任意一个复 变函数$f(z)$，其满足柯西-黎曼方程的实部和虚部的偏导数存在且连续。利用柯西-黎曼方程可以将复变函数$f(z)$表示为一个实部$f(x,y)$和虚 部$g(x,y)$的形式，然后对实部和虚部分别进行求积分，最后进行合并得 到原始的复变函数积分结果。 4.留数定理：

留数定理是复变函数积分的重要工具，它给出了对于一个复变函数在围道内的积分结果与围道内的奇点有关。根据留数定理，复变函数的积分结果可以表示为该函数在奇点处的留数与围道内奇点的总个数之和。通过计算围道内的奇点的留数，可以得到复变函数的积分结果。 5.应用级数展开： 对于一些复变函数，可以通过级数展开的方法进行计算。例如，对于一个解析函数，可以将其展开为泰勒级数，并根据泰勒级数的性质进行积分。通过截取级数展开的有限项，可以得到复变函数积分的近似解。 除了上述方法，还有一些特殊的积分计算方法，例如分部积分法、换元法等，这些方法在复变函数积分中同样适用。关键在于选取合适的方法和工具，根据具体的被积函数和路径选择最合适的计算方法。

复变函数的积分总结

复变函数的积分总结 引言 复变函数积分是复分析的重要内容之一。与实变函数不同的是，复变函数在积 分时需要同时考虑实部和虚部，因此在处理复变函数的积分时需要注意一些特殊的性质和方法。本文将对复变函数的积分进行总结，包括复积分的定义、性质和常见的积分方法。 复积分的定义 复积分是对复变函数沿着曲线或者面积进行积分的操作。复积分可以分为线积 分和面积积分两种形式。 线积分 对于复变函数f(z)，其在线段L上的线积分定义为： $$ \\int_L f(z)dz = \\int_a^b f(z(t))z'(t)dt $$ 其中z(t)是L上参数化曲线的方程，$t \\in [a, b]$。线积分的结果是一个复数。 面积积分 对于复变函数f(z)，其在有界连续曲线围成的区域D上的面积积分定义为： $$ \\int_D f(z)dz = \\iint_D f(z) dxdy $$ 其中z=x+iy，dxdy是区域D上的面积微元。 复积分的性质 复积分具有一些重要的性质，它们在计算复积分时非常有用。 线积分的基本性质 •线积分与路径无关：如果L1和L2是起点和终点相同的两条路径，且f(z)在路径间连续，则 $\\int_{L_1} f(z)dz = \\int_{L_2} f(z)dz$。 •线积分的线性性质：对于任意的复数c1和c2，以及复变函数f(z)和g(z)，有 $\\int_L (c_1f(z) + c_2g(z))dz = c_1\\int_L f(z)dz + c_2\\int_L g(z)dz$。 •同路径积分相等：如果L是起点为z1终点为z2的路径，且f(z)在L 上连续且有原函数F(z)，则 $\\int_L f(z)dz = F(z_2) - F(z_1)$。

第三章复变函数的积分

第三章 复变函数的积分 §1. 复积分的概念 一. 复积分的定义与计算 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A 到B 作为曲线C 的正向, 那么B 到 A 就是曲线C 的负向, 定义： 设C 为z 平面上一条以A 为起点，以B 为 终点的简单光滑曲线，复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上有定义.在曲线C 上任取B z z z A n == ,,10将C 分为n 个小弧段，（k k k y i x z +=，k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1）在每个小弧段上任取一点k k k i ηξς+=，作和式 (),z f S n k k k n ∑=∆=1ς 设,max k z ∆=λ若当0→λ时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及k ς的取法无关，则称此极限值为复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上从A 到B 的 . - C 记为

复积分，记作()⎰c dz z f ；若曲线方向改为由B 到A ,则积分记作 ()⎰ - c dz z f ；当C 为简单闭曲线时，则此 积分记作()⎰c dz z f .（规定逆时针方向为C 的正向） 定理1 设()()()y x v i y x u z f ,,+=在光滑曲线C 上连续，则积分()⎰c dz z f 存在，且为 ()()()()().,,,,⎰⎰⎰++-=c c c dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f （注：上式在形式上可看做函数()v i u z f +=与微分 y i x dz +=相乘后得到的，这样便于记忆） 特别地，若C 的参数方程为：()()()t y i t x t z += （()()B b z A a z ==,），则有 ()()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()() ()()()()()()[]()()[]()[](). ,,,,,,,,,,dt t z t z f dt t y i t x t y t x v i t y t x u t dy t y t x u t dx t y t x v i t dy t y t x v t dx t y t x u dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f b a b a b a b a c c c '='+'+=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

第三章 复变函数的积分习题解答

1. 计算积分 ()2 C x y ix dx -+⎰,其中 C 原点到1i +的直线段. 解 设直线段的方程为 y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤故 ()()1 2 2 1 23 10 0() 1 1 (1)(1)(1)3 33 C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰ 2. 计算积分 ()1C z dz -⎰,其中积分路径 C 为 (1) 从点O 到1i +的直线段 (2) 沿抛物线2 y x =,从点O 到1i +的弧段 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 11()C z dz x ix d x ix i -=-++=⎰⎰ (2)设2z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 22 211()3 C i z dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰ 3. 计算积分 C z dz ⎰,其中积分路径 C 为 (1) 从点i -到i 的直线段 (2) 沿单位圆1z =的左半圆周,从从点i -到i (3) (3) 沿单位圆1z =的右半圆周,从从点i -到i 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤ 1 1 1 1 C z dz ydiy i ydy i --===⎰⎰ ⎰ (2)设i z e θ=. θ从 32π到2 π 2 2332 2 12i i C z dz de i de i π π θ θ ππ===⎰⎰ ⎰ (3) 设i z e θ=. θ从 32π到2 π 232 12i C z dz de i π θ π==⎰⎰

6. 计算积分()sin z C z e z dz -⋅⎰,其中C 为0z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz -⋅= -⋅⎰⎰ ⎰ ∵sin z e z ⋅在z a =所围的区域内解析 ∴ sin 0z C e zdz ⋅=⎰ 从而 ()20 22 sin 0 z i C C i z e z dz z dz adae a i e d π θ π θθ-⋅= ===⎰ ⎰ ⎰⎰ 故 ()sin 0z C z e z dz -⋅=⎰ 7. 计算积分 2 1 (1) C dz z z +⎰ ,其中积分路径C 为 （1）11: 2 C z = （2）2 3:2 C z = （3）3 1:2 C z i += （4）4 3:2 C z i -= 解：（1）在12 z = 所围的区域内， 2 1(1) z z +只有一个奇点0z =. 121 11111 ()2002(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -⋅-⋅=--=+-+⎰ ⎰ （2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故 221 11111()20(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -⋅-⋅=--=+-+⎰ ⎰ （3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故 321 11111()00(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -⋅-⋅=--=-+-+⎰ ⎰ （4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故 421 11111()2(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -⋅-⋅=-=+-+⎰ ⎰ 10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) 20 cos 2 i z dz π+⎰ (2) z i e dz π --⎰ (3) 21 (2)i iz dz +⎰

复变函数的积分例题及解析

复变函数的积分例题及解析 复变函数的积分是数学中一个基础重要的部分。它可以用来求解各种极限问题，如微积分中的各种重要问题。本文将以复变函数的积分为主题，通过几个例题来说明复变函数的积分的解法。 首先说明的是复变函数的定义：它是对实数的函数，它的值是复数。这意味着它可以把实数的函数映射到复数的函数，而积分就是求复变函数的定积分。 现在我们来看几个复变函数的积分例题： 例题1：求下列复变函数的定积分： f(x)=2+2i 解：根据定积分的定义，我们需要求出f（x）在一定区间内的积分，即 ∫ a b [2 + 2i]dx = 2 (b-a) + 2i (b-a) 因此，给定复变函数f(x)=2+2i，其定积分为2(b-a)+2i(b-a)。 例题2：求下列复变函数的定积分： f(x)=3-3i 解：根据定积分的定义，我们需要求出f（x）在一定区间内的积分，即 ∫ a b [3 - 3i]dx = 3 (b-a) - 3i (b-a) 因此，给定复变函数f(x)=3-3i，其定积分为3(b-a)-3i(b-a)。 例题3：求下列复变函数的定积分： f(x)=4+4i

解：根据定积分的定义，我们需要求出f（x）在一定区间内的积分，即 ∫ a b [4 + 4i]dx = 4 (b-a) + 4i (b-a) 因此，给定复变函数f(x)=4+4i，其定积分为4(b-a)+4i(b-a)。 以上例题的解析说明了复变函数的积分方法，基本原理就是：给定复变函数f(x)，在一定的区间内求出f(x)的定积分，并将它转换成实和虚的形式。 此外，复变函数的积分应用于许多领域，比如求解任意一般变量的定积分、求解不可积函数的定积分、求解零点函数的定积分等。例如，有一个复变函数f(x)=x^2+2ix，它的定积分可以写成：∫ a b [x^2 + 2i]dx = 1/3 (b^3-a^3) + 2i(b-a) 这个例子说明了复变函数的定积分可以用来求解各种变量的定 积分问题。 最后，总结一下，复变函数的积分包括定积分和不定积分两种，可以用来解决各种极限问题，如求解任意一般变量的定积分、求解不可积函数的定积分、求解零点函数的定积分、求解复变函数的定积分等。可以用不同的方法来解决复变函数的积分问题，如常见的定积分技巧、牛顿法、梯度法等，从而掌握复变函数的积分。

复变函数的积分

复变函数的积分 复变函数的积分是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域中都有着广泛的应用。复变函数的积分与实变函数的积分有着很大的不同，它涉及到复数域上的积分运算，因此需要特殊的技巧和理论来处理。本文将从基本概念开始，逐步介绍复变函数的积分，并探讨其在不同领域中的应用。 首先，我们来回顾一下复变函数的基本概念。复变函数是定义在复数域上的函数，它可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部。在复变函数中，我们引入了复数域上的积分运算，即复积分。复积分的定义是在复平面上对复变函数的积分运算，它可以表示为∫f(z)dz，其中积分路径可以是曲线、环路或者区域。 复积分的计算需要用到复变函数的积分定理，其中最重要的是柯西积分定理和柯西-黎曼积分公式。柯西积分定理指出，如果在一个简单闭合曲线内部的区域上f(z)是解析的，那么f(z)在这个区域上的积分为0。柯西-黎曼积分公式则给出了解析函数在闭合曲线上的积分与函数在这个曲线内部的性质之间的关系。这些定理为复积分的计算提供了重要的工具和方法。 在实际应用中，复变函数的积分在物理学、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。在物理学中，复变函数的积分可以用来描述电磁场、流体力学和量子力学等问题。在工程学中，复变函数的积分可以用来解决电路分析、信号处理和控制系统等问题。在数学中，复变函数的积分可以用来研究解析函数的性质、级数和积分变换等问题。 除了在理论研究中的应用，复变函数的积分在实际计算中也有着重要的作用。通过复变函数的积分，我们可以求解复杂的积分问题，计算曲线和曲面的长度、面积和体积等。同时，复变函数的积分还可以用来解决微分方程、积分方程和边界值问题等。因此，复变函数的积分在数学和物理学等领域中都有着重要的应用价值。

复变函数积分的几种计算方法

复变函数积分的几种计算方法 《复变函数积分的几种计算方法》 一、概述 求解复变函数积分是数学分析中一个重要问题，复变函数积分是指将某个复变函数沿定义 域内任意等距离曲线积分计算。复变函数积分拥有广泛的应用范围，可以应用在物理、化 学等多种领域，它具有很高的实用性和重要的实现意义。对于复变函数的积分可以采用传统的计算机算法，也可以采用其他算法，以求解复变函数积分的效率和精度。 二、求积法 求积法是常用的复变函数积分的计算方法，它是通过求某个复变函数的定义域内等距离曲线上每个“小段”积分值来计算函数积分。求积法对于多元复变函数积分计算效率较低，但 是具有很高的通用性和稳定性，是初学者最容易掌握的求复变函数积分的算法。 三、数值积分法 数值积分法是将复变函数的积分问题转化为求解多个方程组解的问题，采用数值方法求解 复变函数积分一般包括前向梯形法、中间梯形法、各向同性梯形法和后向梯形法。可以采 用牛顿-拉夫逊数值积分法，以及几何素数、拉格朗日插值等数值计算方法，解决复变函 数积分问题。 四、函数解析法 函数解析法是指采用函数解析的方法，如积分变换、参数替换等，并结合某些函数的性质，求解复变函数的积分问题。目前，微积分的教科书中有许多常见求积公式，这些常见求积 公式可以帮助解决复变函数积分问题。 五、蒙特卡洛法 蒙特卡洛法是指采用概率论中熵学原理，采用大数定律等方法，计算复变函数的积分。蒙 特卡洛法可以避免上述几种方法在求解某些复变函数积分问题时所出现的不精确的结果， 可以改善复变函数积分计算的精度和效率。除此之外，蒙特卡洛法还可用于计算多元复变 函数的积分。

六、结论 复变函数的积分法有很多，上述介绍了几种常用的求解复变函数积分的方法，并对其优缺点作了论述。综上所述，计算复变函数积分一般应对函数特点、计算所采用的算法特点等方面进行选择，确定最合适的求解方法。