第三章复变函数的积分习题与解答
第三章 复变函数的积分习题与解答
3.1 如果函数
f ( z)
是在【 1】单连通区域；【 2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径
有无关系？
【答案
单连通 无关，复连通
有关】
dz
3.2 计算积分
|z|
2
z 3
1 的值
【答案 0】
dz
3.3 计算积分
L
z
2
a 2
:其中
a
0．设 L 分别为 （1） (1)| z | a / 2;
| z a | a;
(3) | z a |
a
πi
(3)
πi
【答案 (1)0；（2） a ；
a
】
3.4 计算积分 Im zdz ，其中积分曲线 C 为
C
（１）从原点到 2 i 的直线段；
（２）上半圆周 |
z| 1
，起点为 1，终点为
1；
（３）圆周
| z
a | R ( R
0)
的正方向（逆时针方向）
【答案
(1)1 i / 2;(2) π/ 2;(3)
πR 2 】
z
dz 3.5 计算积分
C
| z| 的值，
(1)| z | 2; (2) | z|
4;
【答案 (1)4πi;(2)8 πi 】
π 2i
3.6 计算积分的值
z
cos dz
2
【答案
e 1/ e 】
3.7 计算下列积分的值
dz
2
(3)
dz
; (4)
dz
（ 1）
|z| 1
cosz ；（ 2）
|z| 2 ze dz |z| 1
z 2
2 z 4 |z| 1
( z
2i 1
)(z 2)
4πi
【答案（ 1） 0；（ 2） 0；（ 3） 0；（ 4） 4 i 】
3.8 计算
(1)
e z
dz;
(2)
z
dz;
|z| 2
z3
|z| 2
( z 1)2
(2 z 1)
(3)
cos z
dz;
(4)
e z dz
|z i| 1
( z i) 3 |z| 1
z 2
(z
2) (5)
e z (6) dz
z 5 dz;
2
2
4)
|z| 1
|z i| 2
z ( z
3
πi
πi
π
【答案 （ ） ；（ ） ；（ ） π icosi ；（
）
（ ）
】
2 ；（ ）
128
1 0
2
3
4
5
6
3.9 计算积分
（1）
(1)
1
zsin zdz; (2)
6πi
ch3zdz;
(3) i
( z 1)e z dz
0 【答案
(1)sin1
cos1; (2) 1 i;
(3)1 cos1 i[sin(1) 1]
】
3
—
(1)
cos z
dz
，其中 C 1 :| z | 2 顺时针方向； C 2 :| z |
3
逆时针方向．
3.10 计算复数
C 1
C
2
z 3
e z
dz
|z| 1
( z
3
（ 2）
a)
，其中复常数
| a | 1
【答案 （ 1） 0；（ 2）当
| a |
1,0;| a | 1,πe a i 】
3.11 设 L 为不经过点 b
和
b 的简单正向（逆时针）曲线，
b 为不等于零的任何复数，试就
曲线 L 与 b 的各种可能计算积分的值．
I
z
dz
L
( z b)( z
b)
（1） L 不含 b ，则 I=0; （ 2） L 含 b ，
I
πi
πi 【答案
b ； L 含 b ， I
b
；（ 3）两点在内
部 I
0 】
π
h( z)
e 3 d
| | 2
z
3.12 已知
，试求 h(i), h( i) ，以及当 | z | 2 时， h ( z) 的值 .
【
h(i) π( 3
i); h( i) π(3 i);| z | 2, h ( z) 0 】
ze z
3.13 计算积分
C
( z
a) 3
dz
，其中 常数 a 在闭曲线 C 内部
1
(2 a) e a
【答案 2
】
3.14 设 C 为正向圆周
z
1
，且
| a | 1
，证明：积分
|dz |
2 π
(| a | 1)
1 |a|2
2
2 π
(| a | 1)
|z| 1 | z a |
2
|a| 1
3.15 利用积分
3.16 计算积分
（提示 ：令
c : z
3.17.已知
dz
2π1
2cos
1
z
2 的值，证明 0 5 d 0
|z|
4cos
| dz| ,(| a | r ) |z|
r
| z a |2
2
re i
|dz |
i r
z
dz, 注意到点
a, r
a 是关于圆周
| z | r
的对称点
）
sin
π
f ( z)
4 d
2 z
求 f (1 2i), f (1), f (1) ．
cos z
| z| 1 e z z 2
dz 3.18 计算积分（ 2）
本章计算机仿真编程
2π
1 2cos
5
d
3.19 计算机仿真编程验证 3.15 的积分结果
4cos
3.20
计算机仿真计算下列积分的值
（沿非闭合路径的积分）
(1)I 1
3 πi 6πi
(3) I 3
i z
dz;
e 2 z
dz;(2) I 2
ch3zdz;
( z 1)e πi
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—
i
1
tan z
(4) I 4
cos 2 dz,
1 到 i 的直线段．
1
z 其积分的路径为沿
(说明 ：沿闭合路径的积分可以利用留数的定义，留数定理来计算；而留数可以利用计算机仿真编程 Matlab 直接求解 )
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(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-?
(3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：
复变函数的积分习题与解答
第三章 复变函数的积分习题与解答 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系 【答案 单连通 无关，复连通 有关】 计算积分 ||z ?i 【答案 0】 计算积分 22d L z z a -?i :其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0；（2）πi a ； (3)πi a -】 计算积分 Im d C z z ?，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 【答案 2 (1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 计算积分 d ||C z z z ?i 的值， (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =?i ；（2）2||2d z ze z =?i 21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++??i i 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi 4i +】 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+??????i i i i i i 【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】 计算积分 （1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 1 3(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】
复变函数习题解答(第3章)
p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =
[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz
复变函数及积分变换试题及答案
第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------
3第三章 复变函数的积分3第三章 复变函数的积分
1 第三章 复变函数的积分 复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。 §3.1 复变函数积分的概念 1 积分的定义 复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为- C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。 定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ： )(t z z =，βα≤≤t ， 以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ， 把曲线C 分成n 个小弧段。在每个小弧段 上任取一点k ζ，作和 ∑=∆=n k k k n z f S 1 )(ζ， 其中1--=∆k k k z z z ，记{ } n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到 b ）的积分，并记为⎰=C dz z f J )(，即为 ∑⎰=→∆=n k k k C z f dz z f 1 )(lim )(ζλ 。 （3.1.1） C 称为积分路径，⎰C dz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰- C dz z f )(表示沿C 的负方向的积分。如果C 为有 向闭曲线，且正向为逆时针方向，那么沿此闭曲线的积分可记作 ⎰C dz z f )(。 2 复积分的性质 根据复积分的定义或根据下一段中定理3.1.1所述的复变函数积分和曲线积分之间的关系以及曲线积
复变函数习题答案第3章习题详解.docx
第三章习题详解 1?沿下列路线计算积分J；' z2dz o 1）自原点至3 + i的直线段； 解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0 p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故?C1/(z + 2) dz = 0． 设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]． 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ． 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz． 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]． 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]， 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0． 因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)． ?t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析， 因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)． 显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]． 因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到 的单射，而z(t)是[α, β]到D内的单射，故f(z(t))是[α, β]到 内的单射． 因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0． 所以，Γ是光滑曲线． (2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；?t1∈[α, β]，?t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)． 与(1)完全相同的做法，可以证明f(z(t))∈C1[α, β]，且| f’(z(t))z’(t) |≠ 0． 由z(α) = z(β)和z’(α) = z’(β)，可知f’(z(α))z’(α) = f’(z(β))z’(β)． 第1章 复数与复变函数 (作业1) 一、填空题 1、i e π2的值为 。 2、k 为任意整数，则3 4+k 的值为 。 3、复数i i (1)-的指数形式为 。 4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ） 2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ） 3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．复数)(tan πθπ θ<<-=2 i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 3．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若 θi re i i =+--2 ) 1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,2 10 r （C ）3arctan ,2 10 -== πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。 (A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) x y arctan +-π 四、计算与证明题 1、设i i i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z 习题 3 第三章 复变函数的积分 1.（1）计算积分1 1z dz -?，积分路径是直线段 解：C: z=x,-1≤x ≤1因此， 1 1 z dz -? =1 1x dx -?=1 ()2计算积分1 1z dz -?,积分路径是上半单元圆周 解 c:i z e θ=,θ是从π变到0,因此 ()0 1 1 cos sin i i c z dz de i e d i d θθ π π θθθθ-===+=? ??? 2 2．（1）利用积分估值，证明()2 2c x iy dz 2+≤?，其中C 是连接-i 到i 的直线段。 证明：C: x=0,-1y 1≤≤ 因为()2222f z x iy iy y 1=+==≤ 而积分路径长为()i--i 2= 故 ()()i 2 2 2 2c i x iy dz x iy dz 12=2-+= +≤??? （2）利用积分估值，证明 22()c x iy dz π+≤? ，其中C 是连接-i 到i 的右半圆周. 证明：C ：221x y +=，0x ≥ 2244()()1f z x iy x y =+≤+≤，右半圆为长度为π。 22(())()C x iy f z L +≤? ，L π=； 即： 22(())1C x iy ππ+≤?=? 3.不用计算，验证下列积分之值为零，其中C 均为单位圆周z 1=。 ()c dz 1cos z ? 证：因为距离原点最近的奇点Z=2π± ，在单位圆z 1≤外部，所以1 cos z 在z 1≤上 处处解析，由积分柯西定理知 c dz 0cos z =? （2）2 56 z C dz z e z ++? 证： 2 (2)(3) 56 z z z z z e e z = ++++，因奇点2,3z =--在单位圆1z ≤外部，所以 2 22 z z e z ++在1z ≤处处解析。由柯西积分定理：2 056 z C dz z e z =++? 。 （3）2 cos C z dz z ? 证：因为2cos z z 在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理知：2 cos 0C z dz z =? 。 4、求积分()d z z a z ? ++π20 2 182 解：由于()1822++=z z z f 在z 平面上解析， 所以在z 平面内积分与路径无关。 因此，选取最简单的路径为o 与a π2的直线段[]a π2,0, 则： ( ) a a a z z z dz z z a a πππππ2163 16432182223 320 2320 2++= ? ?? ??++=++? 7．（分布积分法）设函数f(z),g(z)在单连通区域D 内解析，αβ，是D 内两点，试证 ()()()()[()()]f z g z dz g z f z dz f z g z β β β α αα ''=-?? 证明：因为f(z),g(z)在单连通区域D 内是解析。故f(z)g(z)在[()()][()()]()()()() ()()()()()()[()()()()][()()]()()[()()](f z g z D f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z dz f z g z f z g z dz f z g z f z ββ α α β β αα ''''??=+''+''+=?''=?-?? 在内解析，且 仍解析。所以是的一个原函数。 所以 所以 )()g z dz β α ? 8.计算（C ：2z =） （1） 221 1 C z z dz z -+-? 第三章 复变函数的积分习题答案 3.4 计算积分Im d z z ? ，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +-- 3.5 计算积分 d ||C z z z ?i 的值，其积分路径分别为： (1)||2; (2)||4;z z == 答案：(1)4πi;(2)8πi 3.7计算下列积分的值 （1） 11d cos z z z =?? （4）11d 1()(2)2z z z z i =++??； 答案（1）0；（4）4416417i i i πππ-=+ 3.8 计算 （1）2d 3z z e z z =-??；（3）31 cos d ()z i z z z i -=-??；（5）51d z z e z z =?? 答案 （1）0；（3）πicosi -；（5） 12i π 3.9 计算积分 （1） 10sin d z z z ?；（2）0(1)d i z z e z --? 答案：（1）sin1cos1- ；（2） 3i 3.12 已知 π3||2()d e h z z ξξξ ξ==-?i ，试求(i),(i)h h -，以及当||2z >时，()h z '的值. 答案：/3()2()z z i h i i e i πππ=??==??； /3 ()2)z z i h i i e i πππ=-??-==?? 当2z >时，()0h z =，所以，()0h z '= 3.15 利用积分 ||1d 2z z z =+?i 的值，证明2π012cos d 054cos θθθ+=+? 证明：略。 补充作业:计算下列积分： （1）22||11(1)z i dz z -=+??；（2）22|2|3 1(9)z i dz z -=+??；（3）22||211z z dz z =-+??；（4）2||1sin z z e dz z =?? 答案：（1） 2π；（2）54π；（3）0；（4）2cos1i π 第三章 复变函数的积分 一、 判断题 （1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。（ ） （2） 有界整函数必为常数。（ ） （3） 积分 ? =--r a z dz a z 1 的值与半径)0(>r r 的大小无关。（ ） （4） 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。（ ） （5） 若)(z f 在10< 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++ 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设 C 为从原点沿 y 2 x 至 1 i 的弧段，则 ( x iy 2 ) dz [ ] C （ A ） 1 5 i （ B ） 1 5 i （ C ） 1 5 i （ D ） 1 5 i 6 6 6 6 6 6 6 6 2. 设 C 是 z (1 i)t ， t 从 1 到 2 的线段，则 arg zdz [ ] C （ A ） （ B ） i （ C ） 4 (1 i) （ D ） 1 i 4 4 3．设 C 是从 0 到 1 i 的直线段，则 ze z dz [ ] 2 C （A ）1 2 e （B ） 1 e （C ） 1 ei （D ）1 ei 2 2 2 4．设 f ( z) 在复平面处处解析且 i 2 i ，则积分 i z)dz [ ] f ( z)dz f ( i i （A ） 2 i （ B ） 2 i （C ） 0 （ D ）不能确定 二．填空题 1． 设 C 为沿原点 z 0到点 z 1 i 的直线段，则 2 z dz 2 。 C 2． 设 C 为正向圆周 | z 4 | 1 ，则 z 2 3z 2 dz 10 i. C (z 4)2 三．解答题 1．计算下列积分。 （ 1） 3 i e 2 z dz i 1 2 z 3 i e i 2 1 (e 6 i e 2 i ) 0 2 练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）； 解：=（2）解： 2．将下列复数写成三角表示式。 1） 解：（2） 解： 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1） 解： （2） 解： 4．.设三点适合条件：=0，是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。 证：因所以都在圆周又因=0 则，所以也在圆周上，又所以以0 理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与， 三个顶点。 5．解方程 6．试证：当时，则。 证： 7．设是Z的辐角），求证 证： 则 当时 故 当时，同理可证。 *8 .思考题： （1）复数为什么不能比较大小？ 答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。（2）是否任意复数都有辐角？ 答：否，是模为零，辐角无定义的复数。 练习二 1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？（1） 解：设则 则点Z的轨迹为： （2），其中为实数常数； 解：设则： 则： 若：则轨迹为： 若：则 轨迹： 若：则无意义 （3），其中为复数为实常数。 解：由题设可知： 即： 若：，则Z的轨迹为一点-， 若：，则Z的轨迹为圆，圆心在-，半径为 若：，无意义 2．用复参数方程表示曲线，连接与直线段。解： 则 3 连域？并标出区域边界的方向。 （1） 解：由，得 又，得 有界，单连域 （2） 解：令 由 即： 无界，单连域 解：令则： 无界，多连域 4．对于函数，描出当在区域内变化时，的变化范围。 解：令 则 则 的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴 5.试证不存在。 证：= 令则：上述极限为不确定，因而极限不存在。 *6.思考题 （1）怎样理解复变函数？ 答：设就是 即因此，一个复变函数与两个实变函数和相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看 作是平面上的点集到平面上的点集上的映射。 （2）设复变函数当时的极限存在，此极限值与z趋于所采取的方式（取的路径）有无关 系？ 答：没有关系，以任意方式趋于时，极限值都是相同的，反过来说，若令沿两条不同的曲 线趋于时极限值不相等，则说明在没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函 数中，只能从左、右以任何方式趋于，而这里可以从四面八方任意趋于。 第三章、复变函数的积分 习题课： 1、 分别计算沿（1）直线段；（2）单位圆（ 1||=z ）的左半圆； （3）单位圆的右半圆的下列积分： ?-=i i z z I d ||。 2、 计算积分： z z I L d R e ?=， 在这里L 分别表示：（1）单位圆（按反时针方向从1到1取积分）； （2）从1z 沿直线段到2z 。 3、 设函数)(z f 当)10(||000<<>-r r z z 时是连续 的。令)(r M 表示|)(|z f 在00||r r z z >=-上的最大值，并且假定 0)(lim =+∞ →r M r 。 试证明 0d )(lim =?+∞→r K r z z f 在这里 r K 是圆r z z =-||0。 4、 如果满足上题条件的函数 )(z f 还在00||r z z >-内解析，那么对任何0r r >， 0d )(=? r K z z f 5、 计算积分： ?=-2||4d 11z z z 。 6、 设)(z f 及)(z g 在单连通区域D 内解析，证明： ??-=βαβ αβα z z g z f z g z f z z g z f d )()('|)()(d )(')( 在这里从α到β的积分是沿D 内连接α及β的一条简单曲线取 的。 7、 计算积分： （1）?=C z z I d ； （2）?=C z z I d ln ， 在这里用 C 表示单位圆（按反时针方向从1到1取积分），而被积函数分别取为按下列各值决定的解析分支：（1）11=；（2）01ln =或i π21ln =。 8、 如果积分路径不经过点i ±，那么 复变函数与积分变换试题 系别班级学号姓名 得分评卷人 -------------- 一、填空(每题3分，共24分) 1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______ 1-V3/ 2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是 否为区域—. 3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ . 4. (l + i)i的值为______________________________________________ 主值为. 5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ . Juw z J izi=2 4) a--)" 1 -L 6.函数J (z)=——7"-3在Z =。处Taylor展开式的收敛半径是 ______ . z-l 7.设F [<(。]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=, 其中力⑺* /2(0定义为. 8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。是何种类型的奇点？ . Z 得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何 处解析？并在可导处求出导数值. 三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解 析函数 f(z) = u + iv. 四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z +1 Laurent 级数. 得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分) 1. /(z) = f 求/(1 + ) J 图7 4-z 2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数 3. L(f 32产(”。) 4. 尸——二~＜公 J 。1 + sin- x 六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下 的象. 复变函数与积分变换试题与答案 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1 ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、判断题（每题2分，共20分，请在正确的题打“√”，错误的题后打“×”） 1．区域Im(z)＞0是无界的单连通的闭区域。（ ） 2．初等函数在其定义域内解析，可导。（ ） 3．解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )的u(x ,y )与v (x ,y )互为共扼调和函数。（ ） 4．如果f (z )在z o 解析，那么f (z )在z o 连续。（ ） 5．如果)(o z f '存在，那么f (z )在z o 解析。（ ） 6．如果z o 是f (z )的奇点，那么f (z )在z o 不可导。（ ） 7．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。（ ） 8．每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ） 9．幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（ ） 10．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成泰勒级数。（ ） 二、计算题(6分×4) 1．求p ，m ，n 的值使得函数)()(2323pxy x i y nx my z f +++=为解析函数。 第一章 复数与复变函数 一、 判断题 （8）平面点集2=z 是单联通区域。 （9）如果z 不是实数，则z a z a rg rg -=。 二、 选择题 1．当) 3 1sin()31cos() 65sin()65cos(ππππi i z ++= 时，7425623572009z z z z +++--的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）0 （D ）1 2．一个复数乘以i -，则( ) （A ）复数的模不变，辐角减少π/2。 （B ）复数的模不变，辐角增加π/2。 （C ）复数的模增加，辐角减少π/2。 （D ）复数的模减少，辐角增加π/2。 3.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 4．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 5．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=6,621且有221=-z z ，则动点),(y x 的 轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 7．设z 为复数，则方程组⎩ ⎨⎧-=++=-i iz z i i z z 34)1(22121的解是（ ） （A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z i z 51756565321 （B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=i z i z 51756565321 （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ +-=+-=i z i z 51756565321 （D ）⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 51756565321 8．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 9．下列方程所表示的平面点集中，为有界区域的是（ ） （A ） 21 1 >+-z z （B ）433>--+z z （C ）0Im ,2Re 1=<复变函数习题解答(第3章)
复变函数与积分变换习题册(含答案)
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