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[推荐学习]高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值学案新人教B版选修2_2

1.3.2 利用导数研究函数的极值

[推荐学习]高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值学案新人教B版选修2_2

1.理解函数极值、极值点的有关概念,掌握利用导数求函数极值的方法.

2.注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法,逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯.

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1.函数的极值与最值

(1)已知函数y=f(x),设x0是定义域内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有______<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作y极大=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个________.如果在x0附近都有__________,则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个________.

(2)极大值与极小值统称为______,极大值点与极小值点统称为______.

(3)函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值.

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(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较

是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.

(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.

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(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值.如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能是区间的端点.

【做一做1-1】下列说法中正确的是( ).

A.若f(x)≥f(x0),则f(x0)为f(x)的极小值

B.若f(x)≤f(x0),则f(x0)为f(x)的极大值

C.若f(x0)为f(x)的极大值,则f(x)≤f(x0)

D.以上都不对

【做一做1-2】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则( ).

A.极大值一定是最大值,且极小值一定是最小值

B.极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值

C.极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值

D.极大值必大于极小值

2.求函数y=f(x)极值的步骤

第1步:求________;

第2步:求方程________的所有实数根;

第3步:考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f′(x)的符号如何变化.如果f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是______;如果由负变正,则f(x0)是______.如果在f′(x)=0的根x=x0的左、右侧,f′(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.

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可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=

x 3在x =0处导数f′(0)=0,但x =0不是它的极值点,即可导函数在点x 0处的导数f′(x 0)=0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件.

【做一做2-1】函数y =x 2

+x +1的极小值是( ).

A .1

B .34

C .7

4

D .不存在

【做一做2-2】若函数y =2x 3-3x 2

+a 的极大值是6,则a =________. 3.求函数y =f (x )在[a ,b ]上的最大(小)值的步骤

第1步:求f (x )在开区间(a ,b )内所有使f′(x )=0的点.

第2步:计算函数f (x )在区间(a ,b )内使f′(x )=0的所有点和端点的______,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

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利用导数法求最值,实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值.因此,我们可以在导数法求最值的基础上进行变通,令f′(x )=0得到方程的根x 1,x 2,…,直接求得函数值f (x 1),f (x 2),…,然后再与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值.

【做一做3】函数f (x )=x 3+x 2

-x 在区间[-2,1]上的最大值为________,最小值为________.

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函数的极值与最值有何关系?

剖析:如果函数在某些点处不可导,也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点.

观察下图中一个定义在区间[a ,b ]上的函数f (x )的图象.图中f (x 1)与f (x 3)是极小值,f (x 2)是极大值.函数f (x )在[a ,b ]上的最大值是f (b ),最小值是f (x 3).

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一般地,在区间[a ,b ]上如果函数f (x )的图象是一条连续不间断的曲线,那么该函数在[a ,b ]上必有最大值与最小值.

注意:(1)在区间(a ,b )内函数f (x )的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数不一定

有最大值与最小值,如函数f (x )=1

x

在(0,+∞)内连续,但没有最大值与最小值.

(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.

(3)函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条连续不间断的曲线,是f (x )在区间[a ,b ]上有最大值与最小值的充分而不必要条件.

(4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有.

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题型一 求函数的极值

【例题1】求下列各函数的极值:

(1)f (x )=x 2·e -x

; (2)y =1+3x 4+5x

2

. 分析:按照求极值的方法,首先从方程f′(x )=0入手,求出函数f (x )在定义域内所

有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值.

反思:函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解,y =f (x )的导数存在时,f′(x 0)=0是y =f (x )在x =x 0处有极值的必要条件,只有再加上x 0两侧附近的导数的符号相反,才能断定y =f (x )在x =x 0处取得极值.

题型二 求函数在区间[a ,b ]上的最值

【例题2】已知函数f (x )=ln x

x

-x ,求函数f (x )的最大值.

分析:求出f (x )的极值及定义域区间端点处的函数值,比较得到最大值.

反思:如果在区间[a ,b ]上函数y =f (x )的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.如果函数y =f (x )在区间(a ,b )内可导,求f (x )在区间[a ,b ]上的最值可简化过程,即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较,即可判定最大(或最小)的函数值,就是最大(或最小)值.

题型三 由函数的最值求参数的值

【例题3】已知函数f (x )=ax 3-6ax 2

+b ,问是否存在实数a ,b 使f (x )在区间[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出a ,b 的值;若不存在,请说明理由.

分析:利用求最值的方法确定a ,b 的值,注意对a 的讨论.

反思:此类题目属于逆向思维题,但仍可根据求函数最值的步骤来求解,借助于待定系数法求其参数值.

题型四 易错辨析

易错点:对于可导函数,极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,因此已知函数的极值点求某些参变量的值时,应验证所得结果是否符合题意.

【例题4】已知f (x )=x 3+3ax 2+bx +a 2

在x =-1处有极值0,求常数a ,b 的值.

错解:因为f (x )在x =-1处有极值0,且f′(x )=3x 2

+6ax +b ,所以(1)0(1)0.

f f '-=??

-=?,

2

36013+0a b a b a -+=??+-=?,-,解得=1=3a b ???,或=2=9.

a b ???,

综上所述,a =1,b =3或a =2,b =

9.

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1下列结论中,正确的是( ). A .导数为零的点一定是极值点

B .如果在x 0附近的左侧f′(x )>0,右侧f′(x )<0,那么f (x 0)是极大值

C .如果在x 0附近的左侧f′(x )>0,右侧f′(x )<0,那么f (x 0)是极小值

D .如果在x 0附近的左侧f′(x )<0,右侧f′(x )>0,那么f (x 0)是极大值 2下列说法正确的是( ).

A .函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值

B .闭区间上图象连续不断的函数一定有最值,也一定有极值

C .若函数在其定义域上有最值,则一定有极值,反之,若有极值则一定有最值

D .若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值;但若有极值,则可有多个极值甚至无穷多个

3函数f (x )=2x 3-3x 2

-12x +5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ). A .5,-15 B .5,-4 C .-4,-15 D .5,-16

4函数f (x )=2x 3-6x 2

-18x +7的极大值为__________,极小值为__________.

5函数y =2x 3-6x 2

+m (m 为常数),在区间[-2,2]上有最大值3,那么它在区间[-2,2]上的最小值为________.

答案:

基础知识·梳理

1.(1)f (x ) 极大值点 f (x )>f (x 0) 极小值点 (2)极值 极值点 【做一做1-1】D

【做一做1-2】C

2.导数f′(x ) f′(x )=0 极大值 极小值 【做一做2-1】B

【做一做2-2】6 y′=6x 2

-6x =6x (x -1),∴当x (-∞,0)或x (1,+∞)时,y′>0,原函数为增函数,当x (0,1)时,y′<0,原函数为减函数,故当x =0时,y 极大值=a =6.

3.函数值

【做一做3】1 -2 f (x )′=3x 2

+2x -1,令f (x )′=0,得x 1=-1,x 2=13,又f (-

1)=1,f (13)=-5

27

,f (-2)=-2,f (1)=1,故函数的最大值为1,最小值为-2.

典型例题·领悟

【例题1】解:(1)函数f (x )的定义域为R , f′(x )=2x e -x +x 2e -x (-x )′=x (2-x )e -x , 令f′(x )=0,得x =0或x =2,

当x 变化时,f′(x ),f (x )的变化情况如下表:

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从表中可以看出,

当x =0时,函数有极小值,且f (0)=0;

当x =2时,函数有极大值,且f (2)=4e -2

. (2)y′=322

12545x x -(+)

,令y′=0,得x =12

5

,当x 在R 上取值时,y′,y 的变化情况

如下表:

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∴当x 【例题2】解:∵f′(x )=

1-ln x x

2

-1,令f′(x )=0,得x 2

=1-ln x ,显然x =1是方程的解.令g (x )=x 2

+ln x -1,x (0,+∞),则g′(x )=2x +1x

>0,∴函数g (x )在(0,

+∞)上单调,∴x =1是方程f′(x )=0的唯一解.

∵当0<x <1时,f′(x )=1-ln x

x

2

-1>0,当x >1时,f′(x )<0,∴函数f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,∴当x =1时,函数有最大值f (x )max =f (1)=-1. 【例题3】解:显然a ≠0,

f′(x )=3ax 2-12ax =3ax (x -4),

令f′(x )=0,解得x 1=0,x 2=4(舍去).

(1)当a >0,x 变化时,f′(x ),f (x )的变化状态如下表:

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所以当x =0时,()取得最大值.所以=3.

又f (2)=-16a +3,f (-1)=-7a +3,f (-1)>f (2),

所以当x =2时,f (x )取得最小值,所以-16a +3=-29,即a =2. (2)当a <0,

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所以当x =0时,()取得最小值. 所以b =-29.

又f (2)=-16a -29,f (-1)=-7a -29,f (2)>f (-1),

所以当x =2时,f (x )取得最大值,所以-16a -29=3,即a =-2. 综上所述,a =2,b =3或a =-2,b =-29.

【例题4】错因分析:根据极值定义,函数先减后增为极小值,函数先增后减为极大值,错解中未验证x =-1两侧函数的单调性,故求错.

正解:因为f (x )在x =-1处有极值0,且f′(x )=3x 2

+6ax +b ,所以

?

????

f -=0,

f -1=0.

即?

????

3-6a +b =0,

-1+3a -b +a 2

=0,解得?

??

??

a =1,

b =3,或?

??

??

a =2,

b =9.当a =1,b

=3时f′(x )=3x 2

+6x +3=3(x +1)2

≥0,所以f (x )在R 上为增函数,无极值,故舍去,当a =2,b =9时,f′(x )=3x 2

+12x +9=3(x +1)(x +3),当x (-3,-1)时,f (x )为减

函数;当x -1,+∞)时,f (x )为增函数.所以f (x )在x =-1处取得极小值,因此a =2,b =9.

随堂练习·巩固 1.B 2.D

3.A 由f′(x )=6x 2

-6x -12=6(x +1)(x -2)=0,得x =-1或x =2. 因为f (0)=5,f (2)=-15,f (3)=-4, 所以f (2)<f (3)<f (0).

所以f (x )max =f (0)=5,f (x )min =f (2)=-15.

4.17 -47 由f′(x )=6x 2

-12x -18=6(x +1)(x -3)=0,得x =-1或x =3,当

x (-∞,-1)时,f′(x )>0,当x (-1,3)时,f′(x )<0,当x (3,+∞)时,f′(x )>0,所以极大值为f (-1)=17,极小值为f (3)=-47.

5.-37 y′=6x 2

-12x =6x (x -2),

∴在(-2,2)上,只有x =0是f (x )的极值点,且为极大值点. ∴f (x )极大值=f (0)=m ,

又f (-2)=-16-24+m =m -40, f (2)=16-24+m =m -8.

容易判断m -40<m -8<m ,∴m =3. ∴f (x )min =m -40=-37.

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