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[推荐学习]高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值学案新人教B版选修2_2

1.3.2 利用导数研究函数的极值

1．理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法．

2．注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法，逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯．

1．函数的极值与最值

(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有______＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________．如果在x0附近都有__________，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________．

(2)极大值与极小值统称为______，极大值点与极小值点统称为______．

(3)函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．

(1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较

是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．

(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点．

【做一做1－1】下列说法中正确的是( )．

A．若f(x)≥f(x0)，则f(x0)为f(x)的极小值

B．若f(x)≤f(x0)，则f(x0)为f(x)的极大值

C．若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)≤f(x0)

D．以上都不对

【做一做1－2】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则( )．

A．极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值

B．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值

C．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值

D．极大值必大于极小值

2．求函数y＝f(x)极值的步骤

第1步：求________；

第2步：求方程________的所有实数根；

第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是______；如果由负变正，则f(x0)是______．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．

可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝

x 3在x ＝0处导数f′(0)＝0，但x ＝0不是它的极值点，即可导函数在点x 0处的导数f′(x 0)＝0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件．

【做一做2－1】函数y ＝x 2

＋x ＋1的极小值是( )．

A ．1

B ．34

C ．7

D ．不存在

【做一做2－2】若函数y ＝2x 3－3x 2

＋a 的极大值是6，则a ＝________. 3．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤

第1步：求f (x )在开区间(a ，b )内所有使f′(x )＝0的点．

第2步：计算函数f (x )在区间(a ，b )内使f′(x )＝0的所有点和端点的______，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

利用导数法求最值，实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值．因此，我们可以在导数法求最值的基础上进行变通，令f′(x )＝0得到方程的根x 1，x 2，…，直接求得函数值f (x 1)，f (x 2)，…，然后再与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程．当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值．

【做一做3】函数f (x )＝x 3＋x 2

－x 在区间[－2,1]上的最大值为________，最小值为________．

函数的极值与最值有何关系？

剖析：如果函数在某些点处不可导，也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点．

观察下图中一个定义在区间[a ，b ]上的函数f (x )的图象．图中f (x 1)与f (x 3)是极小值，f (x 2)是极大值．函数f (x )在[a ，b ]上的最大值是f (b )，最小值是f (x 3)．

一般地，在区间[a ，b ]上如果函数f (x )的图象是一条连续不间断的曲线，那么该函数在[a ，b ]上必有最大值与最小值．

注意：(1)在区间(a ，b )内函数f (x )的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数不一定

有最大值与最小值，如函数f (x )＝1

在(0，＋∞)内连续，但没有最大值与最小值．

(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．

(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不间断的曲线，是f (x )在区间[a ，b ]上有最大值与最小值的充分而不必要条件．

(4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有．

题型一求函数的极值

【例题1】求下列各函数的极值：

(1)f (x )＝x 2·e －x

； (2)y ＝1＋3x 4＋5x

. 分析：按照求极值的方法，首先从方程f′(x )＝0入手，求出函数f (x )在定义域内所

有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值．

反思：函数的极值研究是导数应用的关键知识点，可加深对函数单调性与其导数关系的理解，y ＝f (x )的导数存在时，f′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值的必要条件，只有再加上x 0两侧附近的导数的符号相反，才能断定y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值．

题型二求函数在区间[a ，b ]上的最值

【例题2】已知函数f (x )＝ln x

－x ，求函数f (x )的最大值．

分析：求出f (x )的极值及定义域区间端点处的函数值，比较得到最大值．

反思：如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，求f (x )在区间[a ，b ]上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值．

题型三由函数的最值求参数的值

【例题3】已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2

＋b ，问是否存在实数a ，b 使f (x )在区间[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．

分析：利用求最值的方法确定a ，b 的值，注意对a 的讨论．

反思：此类题目属于逆向思维题，但仍可根据求函数最值的步骤来求解，借助于待定系数法求其参数值．

题型四易错辨析

易错点：对于可导函数，极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点求某些参变量的值时，应验证所得结果是否符合题意．

【例题4】已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2

在x ＝－1处有极值0，求常数a ，b 的值．

错解：因为f (x )在x ＝－1处有极值0，且f′(x )＝3x 2

＋6ax ＋b ，所以(1)0(1)0.

f f '-=??

-=?，

即

36013+0a b a b a -+=??+-=?，-，解得=1=3a b ???，或=2=9.

a b ???，

综上所述，a ＝1，b ＝3或a ＝2，b ＝

1下列结论中，正确的是( )． A ．导数为零的点一定是极值点

B ．如果在x 0附近的左侧f′(x )＞0，右侧f′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值

C ．如果在x 0附近的左侧f′(x )＞0，右侧f′(x )＜0，那么f (x 0)是极小值

D ．如果在x 0附近的左侧f′(x )＜0，右侧f′(x )＞0，那么f (x 0)是极大值 2下列说法正确的是( )．

A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值

B ．闭区间上图象连续不断的函数一定有最值，也一定有极值

C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值，反之，若有极值则一定有最值

D ．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；但若有极值，则可有多个极值甚至无穷多个

3函数f (x )＝2x 3－3x 2

－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )． A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－16

4函数f (x )＝2x 3－6x 2

－18x ＋7的极大值为__________，极小值为__________．

5函数y ＝2x 3－6x 2

＋m (m 为常数)，在区间[－2,2]上有最大值3，那么它在区间[－2,2]上的最小值为________．

答案：

基础知识·梳理

1．(1)f (x ) 极大值点 f (x )＞f (x 0) 极小值点 (2)极值极值点【做一做1－1】D

【做一做1－2】C

2．导数f′(x ) f′(x )＝0 极大值极小值【做一做2－1】B

【做一做2－2】6 y′＝6x 2

－6x ＝6x (x －1)，∴当x (－∞，0)或x (1，＋∞)时，y′＞0，原函数为增函数，当x (0,1)时，y′＜0，原函数为减函数，故当x ＝0时，y 极大值＝a ＝6.

3．函数值

【做一做3】1 －2 f (x )′＝3x 2

＋2x －1，令f (x )′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，又f (－

1)＝1，f (13)＝－5

，f (－2)＝－2，f (1)＝1，故函数的最大值为1，最小值为－2.

典型例题·领悟

【例题1】解：(1)函数f (x )的定义域为R ， f′(x )＝2x e －x ＋x 2e －x (－x )′＝x (2－x )e －x ，令f′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，

当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表：

从表中可以看出，

当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0；

当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e －2

. (2)y′＝322

12545x x -(+)

，令y′＝0，得x ＝12

，当x 在R 上取值时，y′，y 的变化情况

如下表：

∴当x 【例题2】解：∵f′(x )＝

1－ln x x

－1，令f′(x )＝0，得x 2

＝1－ln x ，显然x ＝1是方程的解．令g (x )＝x 2

＋ln x －1，x (0，＋∞)，则g′(x )＝2x ＋1x

＞0，∴函数g (x )在(0，

＋∞)上单调，∴x ＝1是方程f′(x )＝0的唯一解．

∵当0＜x ＜1时，f′(x )＝1－ln x

－1＞0，当x ＞1时，f′(x )＜0，∴函数f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，∴当x ＝1时，函数有最大值f (x )max ＝f (1)＝－1. 【例题3】解：显然a ≠0，

f′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，

令f′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．

(1)当a ＞0，x 变化时，f′(x )，f (x )的变化状态如下表：

所以当x ＝0时，()取得最大值．所以＝3.

又f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)＞f (2)，

所以当x ＝2时，f (x )取得最小值，所以－16a ＋3＝－29，即a ＝2. (2)当a ＜0，

所以当x ＝0时，()取得最小值．所以b ＝－29.

又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)＞f (－1)，

所以当x ＝2时，f (x )取得最大值，所以－16a －29＝3，即a ＝－2. 综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.

【例题4】错因分析：根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，错解中未验证x ＝－1两侧函数的单调性，故求错．

正解：因为f (x )在x ＝－1处有极值0，且f′(x )＝3x 2

＋6ax ＋b ，所以

????

f －＝0，

f －1＝0.

即?

????

3－6a ＋b ＝0，

－1＋3a －b ＋a 2

＝0，解得?

a ＝1，

b ＝3，或?

a ＝2，

b ＝9.当a ＝1，b

＝3时f′(x )＝3x 2

＋6x ＋3＝3(x ＋1)2

≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去，当a ＝2，b ＝9时，f′(x )＝3x 2

＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，当x (－3，－1)时，f (x )为减

函数；当x －1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.

随堂练习·巩固 1．B 2．D

3．A 由f′(x )＝6x 2

－6x －12＝6(x ＋1)(x －2)＝0，得x ＝－1或x ＝2. 因为f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，所以f (2)＜f (3)＜f (0)．

所以f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (2)＝－15.

4．17 －47 由f′(x )＝6x 2

－12x －18＝6(x ＋1)(x －3)＝0，得x ＝－1或x ＝3，当

x (－∞，－1)时，f′(x )＞0，当x (－1,3)时，f′(x )＜0，当x (3，＋∞)时，f′(x )＞0，所以极大值为f (－1)＝17，极小值为f (3)＝－47.

5．－37 y′＝6x 2

－12x ＝6x (x －2)，

∴在(－2,2)上，只有x ＝0是f (x )的极值点，且为极大值点． ∴f (x )极大值＝f (0)＝m ，

又f (－2)＝－16－24＋m ＝m －40， f (2)＝16－24＋m ＝m －8.

容易判断m －40＜m －8＜m ，∴m ＝3. ∴f (x )min ＝m －40＝－37.

函数的极值与导数教案完美版

《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1）【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤．【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤．【内容分析】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的．从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号．【教学过程】一、复习引入： 1．函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．二、讲解新课： 1．极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f

利用导数研究函数的极值、最值

利用导数研究函数的极值、最值【例1－1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 角度2已知函数求极值【例1－2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝1 2 时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(角度2) 设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数. ①若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值； ②若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值. 考点二已知函数的极值求参数

【例2】设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 【训练2】已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx －17(a ，b ，c ∈R)的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( ) A.－8122 B.1 3 C.2 D.5 考点三利用导数求函数的最值【例3】已知函数f (x )＝2x 3 －ax 2＋2. (1)讨论f (x )的单调性； (2)(经典母题)当0