初等几何研究答案

《初等几何研究》作业

一、填空题

1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。

2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。

3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。

4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。

5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。

6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。

7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。

8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。

9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是

1=??ZB

AZ

YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.

33．①答案不惟一.

34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.

36． ①1

=??ZB AZ

YA CY XC BX （或－1）

37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.

12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.

13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.

14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.

15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，

16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.

17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.

18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.

19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.

20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性

和可加性.

21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.

22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.

23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.

25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.

26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等

27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则

1

=

?

?

ZB

AZ

YA

CY

XC

BX

（或－1）.

28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。已知圆心和半径可作一圆(或其部分)..

29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：不共线的三点A、B、C及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。

30．巴士公理：设A、B、C三点不共线，a是A、B、C所在平面上的一条直线，但不通过A、B、C中任一点，若a通过线段AB上一点，则必定也通过BC或CA上一点。

31．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由 连续 公理保证的。

32．欧氏几何公理系统共有 5 组公理，它们分别是 结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理、

平行公理 。

33．写出一条与罗氏平行公理等价的命题： 。

34．罗氏函数的定义域是 （0，+∞） ，值域是 （0，π/2） ，其性质有 连续 和单调递减.。 35．合同变换包括 平移 变换、 旋转变换和 轴对称变换。

36．梅内劳斯定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 被一直线分别截于X 、Y 、Z 点，则

X 、Y 、Z 共线的充要条件是 1

=??ZB AZ

YA CY XC BX （或－1） 。

37．解作图问题的步骤一般分为： 写出已知与求作 、 分析 、 作法 、 证明 、 讨论 。

二、问答题：

1、在数学公理系统中，模型指的是什么？

对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型； 2、巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？ 刻划了直线的无限延伸性及三角形的封闭性； 3、定义线段长度的两个条件是什么？ ①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；

②当C B

A ?时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 4、以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？

命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。

5、欧氏几何公理系统中，不加定义的原始概念有哪些？对它们为什么不加定义？

点，直线，平面；因为一般数学概念都需要用已知概念来定义，所以必须要有不加定义的原始概念. 6、试给第一组公理一个模型.

四面体就是第一组公理的一个最简单的模型，其中：“点”对应四面体的顶点，“直线”对应四面体的棱，“平

面”对应四面体的面.可以验证，第一组公理中的每条（8条）公理在这个四面体的模型上都成立.

7、第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？

一共有5条.这组公理的名称“合同”与长度、角度、相等、全等等概念有关.

8、定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？

介于关系，合同关系.

9．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义.

结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等.

10．数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？

相容性，独立性，完备性。相容性即要求公理之间无矛盾，独立性即要求公理不能有多余的，完备性要求公理的个数足够，保证所有模型都同构.

11．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？

长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.

12．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？

由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生.

13．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？

通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。

14．数学公理系统的三个基本问题中哪个最重要，必须首先满足？

相容性最重要，必须首先满足，因为数学公理系统不允许有矛盾。

15．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？

线段“合同”的概念是由公理引出来的，线段“长度”的概念是以定义的形式引出来的。

16．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？

不可以。问题出在第二步“设⊿ABC的内角和为x”。设任何三角形的内角和都相等是不对的。

在⊿ABC中，过A作AD交BC于D，如图所示。

设⊿ABC的内角和为x，用ω表示直角，

则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。

三、轨迹问题：

1、 若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。 已知：BC 是定线段，l 是过B 点的定直线，A 是l 上的动点，O 是⊿ABC 的外心，MN 是BC 的中垂线，求证：O 的轨迹是MN. (2分)

① 完备性：O 是⊿ABC 的外心，则OA=OB=OC. 又∵MN 是BC 的中垂线，∴O 点必在MN 上.

②纯粹性：在MN 上任取一点O,作OP ⊥l, 在l 上取点A,使PA=PB, 则OP 是AB 的中垂线. OP 与MN 的交点O 是⊿ABC 的外心， 即MN 上的任意点都符合条件.

③结论：由①②可知，⊿ABC 的外心O 的

轨迹是BC 的中垂线MN.

④讨论：若A 与B 重合, 则⊿ABC 不存在，外心也就不存在. 过B 作l 的垂线交MN 于Q, 虽然Q 点不符合条件，但Q 点周围的任意点都符合条件, 即MN 上除Q 点外都符合条件.

2、 ⊿ABC 的底边BC 固定,∠A=α是定角，延长BA 至D ，使BD=BA+AC ，求D 点的轨迹．（只作分析，并指出轨迹的图形即可）

2、 探求：A 点轨迹是以BC 为弦的弓形弧，

∵∠1=∠2=α/2是定值， ∴D 的轨迹也是以BC 为弦的弓形弧. 但要注意到A 的变化范围：

A B

C

D

1 2

3 4 5 6

α

A

D 1 2 T 3 4

当A →B 时，BA 的

极限位置是B 处的切线BT ， 这时D →T, AB →0,

则BT=B(A)C, ∴∠4=∠BCT=∠3,

又∠4=∠1，∴∠3=∠1= α/2 .

因此：D 的轨迹是以BC 为弦,视角为α/2的弓形弧的一半CDT 弧, 或者说是以CT 为弦,视角为α的弓形弧.

3、 到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.

若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。

①探求：设点M 满足条件，即MA:MB=m, 则M 关于AB 的对称点M ’也满足条件； ∵轨迹是一个圆，∴圆心一定在直线AB 上. 又∵AB 上还有两点C,D 满足条件, 即CA:CB=DA:DB=m,

∴轨迹应是以CD 为直径的圆.

②完备性：即由MA:MB=m 证明M 在CD 为直径的圆上.

∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, ∴MC,MD 分别为⊿ABM 的内角和外角平分线, ∴MC ⊥MD. (5分)

③纯粹性：即对CD 为直径的圆上任一点M 证明MA:MB=m. 作MB 关于MC 的对称线，交AB 于A ’.

∵MC ⊥MD, ∴MC, MD 是∠A ’MB 的内、外角平分线， 因此

CB

DB CD

CB DB A C A D DB A D CB A C -=

-'-'='='， 由CA:CB=DA:DB=m 可知

CB

DB CD

CB DB CA DA DB DA CB CA -=

--==，即CA ’=CA. A

B

C D

M

又A ’与A 在C 同侧，∴A ’与A 是同一点，因此得MA:MB=m.

④下结论：满足命题条件的点的轨迹, 是以CD 为直径的圆周. ⑤讨论: m=1，轨迹是AB 的中垂线；

m<1, 圆在左侧； m>1, 圆在右侧.

四、作图问题

1、给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）

．作法：作A 关于 l 的对称点A ’， 连接A ’B 与 l 交于P ，

则P 点就是所求位置。

作右图 证明：∵A 与A ’对称， ∴AP=A ’P ，即AP+PB=A ’B.

在l 上任取一点Q ，连接AQ ，BQ ， 通过比较可得：AQ+QB=A ’Q+QB > A ’B=AP+PB .

2、从已知圆外一点作一割线，使其圆外部分和圆内部分长度相等.（只写作图过程并讨论）

．作法：作PO 的中点M, 以M 为圆心(1/2)R 为半径 作圆,交⊙O 于A, 连结PA 并延长交⊙O 于B, 则PB 为所求割线. 讨论：当MO>(3/2)R 时，

即PO>3R 时，此题无解；

X Y

B

A

x y

A

B

’

当PO=3R 时，有一解，即割线过圆心； 当R

3、已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y 之间的一段要求与x 垂直.（只写作图过程并证明） ．作法：作AA ’垂直于x,

且使AA ’=xy 的距离， 连接A ’B ，与y 交于P ’， 过P ’作y 的垂线，交x 于P ， 连结AP ，则折线APP ’B 为最短路线.

证明: 若任意作XY 垂直于x, 如图所示，连接AX ，BY ，则AX=A ’Y ， ∵AP+P ’B=A ’B ≤A ’Y+YB= AX+YB ， ∴折线APP ’B ≤折线AXYB.

4、已知一边和该边的对角及此角的角平分线，求作三角形. 作法：作BC=a ， 以BC 为弦作含角α的弓形弧BmC 及其共轭弧的中点E ， 则BE=l 为定长， 以E 为圆心，

与弧BmC 交于A 点， 则⊿ABC 为所求.

x y

A

B

A

B

y

x A ’

P ’

P

X

Y ,2222

为半径画弧l t t a a +??

?

??+ B

C

D E

A

m

5．给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）

作法：作A 关于 l 的对称点A ’， 连接A ’B 与 l 交于P ， 则P 点就是所求位置。

作右图

证明：∵A 与A ’对称， ∴AP=A ’P ，即AP+PB=A ’B. 在l 上任取一点Q ，连接AQ ，BQ ， 通过比较可得：AQ+QB=A ’Q+QB ≥ A ’B=AP+PB .

6．求作一圆，使该圆过两定点，并与一定直线相切.（只写作图过程）

作法：

作AB 的中垂线与l 交于S ， 作⊙O ’与l 相切，且O ’在中垂线上， 连结AS 交⊙O ’于A ’, 作AO ∥A ’O ’交中垂线于O, 作⊙O(AO)即得.

7．已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y 之间的一段要求与x 垂直。（只写作图过程并证明） 作法：作AA ’垂直于x, 且使AA ’=xy 的距离， 连接A ’B ，与y 交于P ’， 过P ’作y 的垂线，交x 于P ，

A

A

B

y

x A ’

P ’

P X Y

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连结AP ，则折线APP ’B 为最短路线.

证明: 若任意作XY 垂直于x, 如图所示，连接AX ，BY ，则AX=A ’Y ， ∵AP+P ’B=A ’B ≤A ’Y+YB= AX+YB ， ∴折线APP ’B ≤折线AXYB.

8．给定锐角三角形ABC ，求作其内接正方形， 使其两个相邻顶点在BC 边上，

另两个顶点分别在AB 和AC 边上。（只写作图过程）作法：在AB 边上任取一点G ’， 作正方形D ’E ’F ’G ’. 连接BF ’交AC 于F ， 过F 作BC 的垂线和平行线， 分别交BC 和AC 于E 、G ， 过G 作BC 垂线交于D.

则四边形DEFG 即为所求． 五、证明题

1、证明线段的合同关系满足反身性和对称性. 反身性：已知线段AB, 存在线段B A ''使B A AB ''≡（Ⅲ1）， 把B A AB ''≡使用两次作为条件， 由Ⅲ2即得.AB AB ≡ 对称性：∵B A B A ''≡''，且B A AB ''≡， ∴由Ⅲ2即得AB B A ≡''.

2、已知正方形ABCD ，作BF ∥AC ，

使AF=AC ，（如右图）， 则3∠CAF=2∠CAB.

F

D

C

E

’

A

B

C G G E

F ’D

F

D

．将⊿ABF 沿AB 对折，得对称⊿ABG . ∵BF ∥AC ，∴∠ABG=135o . 即O 、B 、G 三点共线. 又∵ AG=AF=AC ， ∴AO:AG=AO:AC=1 : 2， 即∠AGO=30o , 从而得∠FAB=∠BAG =60o －45o =15o =(1/2) ∠CAF.

3、用同一法证明命题：已知P 为正方形ABCD 内一点，若∠PAB=∠PBA=15o

，则⊿PCD 是等边三角形. 用同一法证明： 在正方形内取一点P ’与 CD 构成正三角形. 连接AP ’、BP ’，则 ⊿ACP ’与⊿BDP ’ 为等腰三角形. ∵∠1=∠2=30o ，∴∠3=∠4=75o ， 即∠ABP ’=∠BAP ’， 即P ’点就是P 点，得证.

4、过圆中AB 弦的中点M 任作两弦CD 、EF ，设CF 、DE 与AB 分别交于P 、Q ，求证：PM=MQ .

作E 关于OM 的对称点E ’,

要证PM=MQ 只要证明

⊿PME ’≌⊿QME,即可.

∵ME=ME ’, ∠1=∠2=∠3=∠1’, ∴只证∠5=∠5’即可. ∵CFEE ’四点共圆, ∴∠4=∠3=∠1, 从而得CE ’MP 四点共圆,

A

B

M

F E ’’

E

C D

O

Q P

5 5’ 2

3

6

4

1 1’

因此有∠5=∠6. ∵∠6和∠5’对同一条弧, ∴ ∠5=∠6 =∠5’.

5．利用前两组公理证明定理7：对于A 、C 两点, 直线AC 上至少有一点B 在A 、C 之间. 证明：由Ⅰ3-2 知，直线AC 外有一点D ，

由Ⅱ2知，直线AD 上有一点E 使E D

A ?， 同理，直线CE 上有一点F 使F E C ?， 由Ⅱ3知，～E F

C ?， 对于⊿ACE 和直线DF ，由Ⅱ4， 直线DF 与AE 相交，但不与CE 相交， 故必与AC 相交（于B ）.

6．在⊿ABC 边AB 的同侧

作三个正方形ACEF 、 CBGH 、BAIJ （如右图）， 求证：FJ ∥AG ， 且FJ=AG .

连接FI 、GJ ，

作旋转变换如下：

CBA FIA o

A ???→??)

90,(，

GBJ CBA o B ???→??)

90,(，

在两次旋转变换下，AF 与GJ 是对应边， 因此：AF ∥GJ ，且AF=GJ, 即得到平行四边形AGJF, 得证.

7．利用第一组公理和第二组公理的前三条，证明每条直线上至少有5个不同的点。

E H

I

J

A

B

C

F

G

B

A

C

D E

F

E

H I

J

A B

C

F

G

由公理Ⅰ3，直线上至少有两个点，设为A 、B ； 由公理Ⅱ2，直线上存在点C ，使B 在A 、C 之间． 再由公理Ⅱ2，直线上存在点D ，使C 在A 、D 之间， 则D 不同于B 点，否则与Ⅱ3矛盾； 同理，由公理Ⅱ2，直线上存在点E ，使A 在E 、C 之间， 则E 不同于B 点，且E 不同于D 点， 否则均与Ⅱ3矛盾，得证．

8．已知⊿ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C = 4∶2∶1，求证：

将原式化为

c b

a b a =+， 延长BC 到D, 使得CD=b ， 令∠C=θ，

作CE, 使∠ACE=θ， 则∠CAE=∠CEA=3θ, CE=AC=b=CD=BE ，

∴∠CDE=∠CED=θ，即AC ∥ED, 因此BD:BC=BE:BA ，得证.

.111c

b a =+ D

A B

C

θ

2θ

4θ E θ θ

错位相减法求和附答案解析

错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn 程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1. 均在函数，点的图象上．和为 ）求数列Ⅰ（的通项公式； 是数列的前项和，求．（Ⅱ）设， [解析]考察专题：，，，；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

，，则设 ∴，∴， 又点均在函数的图象上， ∴． 时，，当∴ 又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） ，）知，Ⅰ）由（Ⅱ （． ∴， ∴， 上面两式相减得：

． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数， ． ）求数列的通项公式；1 （ ）的值.（2][答案查看解析 时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－ 即，, －①② , ∴． （），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． ）2③ （ 又④ ③④－ = 12分 设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3. ，数列前数列.项和，满足， ）求数列的通项公式；（Ⅰ

，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为 ，得由Ⅰ[答案] () 为公比的等比数列，故.是以 ）由（Ⅱ得， …， …+，记

用错位相减法可求得： （注：此题用到了不等式：进行放大. . ） 与的等比中项．4.已知等差数列是中，； ）求数列的通项公式：（Ⅰ 项和Ⅱ）若的前．求数列 （ 的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，

初等几何研究试卷2

第 1 页 （共 2 页） 2 一、填空题（本大题共7题，每空3分，共24分） 1、等边ABC ?外接圆周上一点P 与三顶点的连线中PA 最长，则PA 、PB 、PC 之间的关系是 。 2、ABC ?中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，则BC 边上的中线AM 长为 。 3、ABC ?中，AB ＝AC ，E 、D 分别是AB 、AC 上的点，且BC ＝BD ＝EA ＝ED ，则A ∠的度数是 。 4、等腰梯形ABCD 中，AD CB ，5AB DC ==，:1:2AD BC =，中位线9EF =，则这个等腰梯形的高是 ，面积是 。 5、已知AT 是圆O 的切线，ABC 是割线，OD AC ⊥，并且12AT =，36AC =，2OD =，则半径OC = 。 6、四边形ABCD 中，4AB BC ==，60B ∠=，7CD =，则AD 的取值范围是 。 7、到两定点A 、B 的距离的平方差为常量K 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，垂足为N ，则AN ＝ 。 二、计算题（本大题共2题，每小题8分，共16分） 1、梯形ABCD 的下底AB 在平面α上，上底高出平面40cm ，已知AB ：DC=5：3，求两对角线交点到平面α的距离. 2、AB 与圆O 相切于A ，D 点在圆O 内，DB 与圆O 相交于C ，若3BC DC ==， 2OD =，6AB =，求圆O 的半径. 三、证明题（本大题共5题，第1小题6分，第2、3、4小题每题10分, 第5小题12分,共48分） 1、已知F 是P ∠的平分线上一点，过F 任作两直线AD 、BC 分别交P ∠的一边于A 、C ， 交另一边于B 、D ，求证： AC BD =PA PC PB PD ??.（6分）

初等几何研究综合测试题(十八).doc

《初等几何研究》综合测试题（十八） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1 -卜列命题是假命题的是（） A.直角的补角是直角； B.钝角的补角是锐角; C.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D.过直线外的一点到直线上点的连线中，垂线段最短。 2.命题“同角的余角相等”的题设是（） A.同角； B.余角； C.等角的余角； D.同角的余角 3.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（） ? ? A.设这个角是45°,则它的余角为45°,但45°=45°； B.设这个角为30°,则它的余角为60°，但30°<60°; C.设这个角为50°,则它的余角为40°,但50°>40°; D.设这个角为60°,则它的余角为30°,但60°>30°. 4.下列说法错误的是（） ? ? A.到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上； B.一条直线上有一点到己知角的两边的距离相等，这条直线平分已知角； C.到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角； D.已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角。 5.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60° ”，先应假设这个三角形中有（） A.每一个内角都小于6。°； B.有一个内角小于60°； C.有一个内角大于60°； D.每一个内角都大于60°。 6.如图1所示，直线BD与直线CE相交于点O,且NA0E=90°,则匕A0B的余角是（） A.ZBOC； B. ZAOE； C. ZAOD； D? ZB0C 与ZEODo 7.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向 相同，这两次拐弯的角度是（） A?第一次向左拐30°,第二次向右拐30°；\ B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130° : \

初等几何研究综合测试题(十三)

《初等几何研究》综合测试题（十三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为___________。 A.1cm； B.2cm； C.3cm； D.4cm。 2.n边形对角线条数是__________。 A.； B.； C.； D.。 3. 在Rt AB C中，CD是斜边AB上的高，CD=6，且AD:BD=3:2，则斜边AB上的中线长等于________________。 A.； B.； C.； D.. 4.一个三角形的周长为偶数，其中两边分别为2和5，则第三边应是 _________。 A.5； B.6； C.3； D.4. 5.一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为________。 A. ； B.1.5r； C. ； D.2r。 6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。 A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； C.圆的切线垂直于过切点的半径； D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 7.不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是_________。 A.MA=MB ,NA=NB ； B.MA=MB,MN⊥AB； C.MA=NA，BM=BN； D.MA=MB,MN平分AB。 8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形， 现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。 A.在AC、BC两边高线的交点处； B.在AC、BC两边中线的交点处； C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处； D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处。

错位相减法-(含答案)

— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。

由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[

初等几何研究试题答案(2)李长明版

初等几何研究试题答案（II ） 二、关于和、差、倍、分线段（角） 1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明： BD+AD=BC 。 D ' B C A 43 2 1 证：在BC 上取点D , ,使BD , =BD,连结DD , 0100A ∠=且 BD 平分∠ABC 00120,40C ∴∠=∠= 又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠ 0240∴∠= 即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴= 又03180A ∠+∠= ∴点A 、D 、D ， 、B 四点共圆且14∠=∠ ∴DD , =AD

BC=BD , +CD , =BD+AD 已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC 解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得 FO=2EO.连结BO 、DO 。 由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED, ∵∠FBO+∠BOF=90o ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90o ∴∠BOD=90o △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45o ∴∠DBP+∠QBO=45o ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45o ∵△DQC 为等腰直角三角形 ∴有∠DQC=45o 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQC P Q A B C F E O P D

3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ′、B ′、C ′和D ′. 求证：A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+D ′A ′ 证明：（方法一） ∵X 、A ′、A 、D ′四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ′D ′=∠XAD ′ 又∵∠XAD ′=∠XBC(圆周角） 同理∠XA ′B ′=∠XBC,即∠XA ′D ′=∠XA ′B ′ 同理可得∠XB ′A ′=∠XB ′C ′,∠XC ′B ′=∠XC ′D ′, ∠XD ′C ′=∠XD ′A ′ ∴X 是四边形A ′B ′C ′D ′的内心。 ∴A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+A ′D ′ (方法二)利用正弦定理. 设r 是四边形ABCD 的外接圆 C A B A ′ C ′ D B ′ D ′ X

错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列?的前 项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上? (I)求数列的通项公式; (n)设，,■是数列的前」项和，求?’? ［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般 ［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点， 则设, 又点「均在函数的图象上， 二当心时,?、、= J ；：? ；?■■■ L］ 5 T

又忙：=.：「=乜，适合上式,

I ............................................... （7 分） （n）由（i）知 - 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2 ? ? ：' - 'I+（2?+ l）^"kl,上面两式相减得 =3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】 卜2* 4屮一才丨, , : ■ . 1=2 整理得：，?................. 2.已知数列’的各项均为正数，是数列’ （14 分）的前n项和，且 （1）求数列’的通项公式； （2）二知二一- ［答案］查看解析 解出a i = 3, ［解 析］ 又4S n = a n? + 2a n —3 ①

初等几何研究试题答案(李长明版)

初等几何研究试题答案（I） 、线段与角的相等 1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O 0于F, 求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩 若DF二CE则 / DBA M CBA. 证明:⑴连接AC AE AF、AD 在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF 在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD 由A C、B、E四点共圆得/仁/2 由A D B、E四点共圆得/ 3二/4 所以△ ACE^A AFD ??? DF=CE (2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4 v DF=CE ? △ACE^A AFD

??? AD=AE 在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA 2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD, 2 求证:BD平分/ ABC. 证明：延长AE,BC交于点F 7 AED "BCA =90 ADE "BDC ?CBD =/CAF 又7 ACF BCA = 90 AC 二BC ?ACF 三BCD . AF = BD 1 1 又、:AE BD . AE AF 2 2 又ABEE _ BE ■ BE平分ABF 即BD平分.ABC 3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-

求证：/ BAC 2 CAD h DAE. 证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ?D ???/ DBC=90, ? CD 是直径，则/ CAD=90 证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形 且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=. :丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3? ??? A B 、D E 共圆 同理A C D E 共圆 ? h BAC h CAD h DAE 4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半 径

初等几何研究答案

《初等几何研究》作业 一、填空题 1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。 2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。 3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。 4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。 5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。 6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。 7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。 8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。 9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性. 33．①答案不惟一. 34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称. 36． ①1 =??ZB AZ YA CY XC BX （或－1） 37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.

初等几何研究试卷5

第 1 页 （共 2 页） 5 一、填空题（本大题共 9题，每空 2 分，共 20分） 1、当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，可以先作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的图形就是同一个，这种证法叫做 ； 2、在ABC ?中，,BE AC CF AB ⊥⊥,若AB AC >，则BE 与CF 的大小关系是 ； 3、已知ABC ?的三边分别为5cm,8cm,11cm ，则ABC ?的面积S= ； 4、从圆O 外一点P 引这个圆的两条切线，其夹角为60o，如果PO=6，那么圆的半径等于 ； 5、圆内接四边形ABCD 中，已知AB=6cm,BC=CD=4cm,AD=8cm ，则对角线AC ·BD= ； 6、在一些作图题中，解题的关键在于一些线段的算出，这种利用代数解作图题的方法称为 ； 7、设点C 在线段AB 上且满足关系式2 AC AB CB =?，则点C 称为线段AB 的 ； 8、设一线段在互垂三平面上的射影为123,,r r r ，则此线段的长为 ； 9、到两定点A 、B 的距离的平方差为定值k 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，称为 ，点A 到垂足H 的距离AH= . 二、计算题（本大题共 2 题，第1小题8 分,第2小题10分，共 18 分） 1、在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，连接BE 与AC 交于点P,求:BE EP 的值。 2、已知Rt ABC ?所在平面外一点P 到直顶角C 的距离为24， 到两直角边的距离为求PC 与平面ABC 所成的角。 三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分） 1、 圆的两弦AB 与CD 相交于一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，过F 作圆的 切线FG ，G 为切点，证明EF=FG. 2、设梯形ABCD 的两底之和AD+BC=CD ，求证D ∠与C ∠的平分线交于AB 的中点处。 C E

数列练习题(裂项相消法、错位相减法)

数列练习题 一、单选题 1．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 二、填空题 2．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则7S 的值为___________. 三、解答题 3．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足132a a =，是1a 与7a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）是否存在n 值，使得{}n a 的前n 项和27n S =？

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 5．已知在递增等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3是a 1和a 9的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若112 n a n n n b a a +=+?，求数列{b n }的前n 项和S n ． 6．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332 b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()41n n n a c b += ，求数列{}n c 的前n 项和n T .

7．已知数列{}n a 的前n 项和243n S n n =-+，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 8．已知等差数列{}n a 满足23a =，4822a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的前n 项的和235n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1 3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．

初等几何研究作业参考答案

《初等几何研究》作业参考答案 一.填空题 1.①射线(或半直线),②。 2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。 3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。 4.①平移,②旋转,③轴对称、 5. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。 7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、 10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、 17.1 =??ZB AZ YA CY XC BX (或－1)、 18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、 20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等 21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。 24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题 1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型; 2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A ''); ②当C B A ?时,有d(AB)+d(BC)=d(AC)、

初等几何分析综合测试题(三)

《初等几何研究》综合测试题（三） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形______________ 。 A. 一定全等； B. 一定不全等； C.可能全等，可能不全等； D.以上都不是。 2. 在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有 A.1 种； B.2 种； C.3 种； D.4 种。 3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC 则图中面积相等的三角形共有______________ A.1 对； B.2 对； C.3 对； D.4 对。 4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有 O A.1 种； B.2 种； C.3 种； D.4 种。 5. 如图，在V ABC 中，DE//BC ，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC 等于 ________________ 。 A. 3:5 ；B . 3:2; C . 2:3 ；D . 2:5。 6. O O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm , CD=48cm , AB、CD 的距离为22cm，则O O的半径是______________ 。 A.15cm ； B.20cm ； C.25cm ； D.30cm 。 7. 在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C. 互相平行（或在同一条直线上）且相等； D. 以上都不对。 8. 下列关于平移的说法中正确的是 ____________ 。 A. 原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； B. 平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C. 以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。 D. 以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； 二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 角的大小与边的长短有关。（） 2. 一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。（） 3. 两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。（） 4. 两直线被第三条直线所截，内错角相等，则同旁内角一定互补。（） 5. 平面上4条直线必定有6个交点。（）

初等几何研究试题标准答案()(李长明版)

初等几何研究试题答案()(李长明版)

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初等几何研究试题答案（I） 一、线段与角的相等 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD

∴AD=AE 在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA 2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1 2 BD, 求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11 AE BD AE AF 22 ABEE BE BE ABF BD ABC ∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴???∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分 3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α,

初等几何研究试题答案(1)(李长明版)

初等几何研究试题答案（I） 一、线段与角的相等 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE 在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA 2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=1 BD, 2 求证:BD平分∠ABC. 证明:延长AE,BC交于点F

3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE. 证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形 且底角是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α. ∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α ∴A、B、D、E共圆 同理A、C、D、E共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE 4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60o 证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD C ∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC ∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□ ∴AH=BD

错位相减法数列求和法(供参考)

特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++

(word完整版)错位相减法13年间的高考题

专项训练:错位相减法 目录 1.(2003北京理16) (2) 2.(2005全国卷Ⅰ) (2) 4.(2005湖北卷) (2) 5.(2006安徽卷) (2) 6.(2007山东理17) (2) 7.2007全国1文21) (2) 8.(2007江西文21) (2) 9.(2007福建文21) (2) 10.(2007安徽理21) (3) 11.(2008全国Ⅰ19) (3) 12.(2008陕西20) (3) 13.(2009全国卷Ⅰ理) (3) 14.(2009山东卷文) (3) 15.(2009江西卷文) (3) 16.(2010年全国宁夏卷17) (3) 17.(2011辽宁理17) (4) 18.(2012天津理) (4) 19.2012年江西省理 (4) 20.2012年江西省文 (4) 21.2012年浙江省文 (4) 22.(2013山东数学理) (4) 23.(2014四川) (4) 24.(2014江西理17) (5) 25.(2014安徽卷文18) (5) 26.(2014全国1文17) (5) 27.(2014四川文19) (5) 28.(2015山东理18) (5) 29.(2015天津理18) (5) 30.(2015湖北,理18) (5) 31.(2015山东文19) (5) 32.(2015天津文18) (6) 33.(2015浙江文17) (6) 专项训练错位相减法答案 (7)

已知数列{}n a 是等差数列且12a =,12312a a a ++= (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令()n b a x x R =?∈ 数列{}b 的前n 项和的公式 在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件 242 ,1,2,1 n n S n n S n +==+L , (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记(0)n a n n b a p p =>,求数列 b 的前n 项和n T ? 设{}n a 为等比数列,11a =,23a =. (1)求最小的自然数n ,使2007n a ≥; (2)求和:212321232n n n T a a a a = -+--L . 9.(2007福建文21) 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,* 12()n n a S n +=∈N . (1)求数列{}n a 的通项n a ; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .

初等几何研究试卷4

第 1 页 （共 2 页） 4 一、填空题（本大题共 8 题，每空 2 分，共 20分） 1、当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成证明，这种较单纯的反证法叫做 ； 2、设CM 是ABC ?的中线，则当1 2 CM AB > 时，C ∠是 角； ３、两个平行平面的距离等于12cm ，一条直线和它们相交成60，则这条直线夹在两平面间的线段长为 ； 4、一些作图题中，往往可先作成图形的一个三角形，其余部分可由此三角形陆续作出，这种作图方法称为 ，此三角形称为 ； 5、在ABC ?中，若AB AC >，CD BE 、分别是C ∠和B ∠的平分线，则CD 与BE 的大小关系是 ； 6、已知ABC ?的三边分别为3cm ，5cm ，6cm ，则ABC ?的内切圆半径r= ； 7、到两定点A 、B 的距离之比为定比k 的点的轨迹是 和 ； 8、设圆内接正五、六、十边形的边长分别为5a 、6a 、10a ，则它们之间的关系为 。 二、计算题（本大题共 2 题，每题8 分，共 16 分） 1、在直二面角的棱上有两点A 、B ，AC 和BD 各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱 AB ，设8,6,24AB cm AC cm BD cm ===，求CD 的长。 2、设正方形ABCD 内接于O ，P 为DC 上一点，2 PA PC = = ，求P B P D ?的值。 三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分） 1、四边形ABCD 中，设AB CD =，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，证明直线MN 与AB 、CD 所成的交角相等。 2、证明：梯形两腰的中点，两对角线的中点，四点共线。 C

数列题型(错位相减法)

数列专练（裂项相消法） 1. 已知数列{}n a 的前项和2 2n S n n =+； （1）求数列的通项公式n a ；（2）设1234 1 23111 1 n n n T a a a a a a a a +=++++ ，求n T ． 2. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足213 (1,) 22n S n n n n N *=+≥∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列? ?? ??? +11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n T 成立的n 的最小值. 2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()11 1,2,3, 2 n n a S n +==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当()312 log 3n n b a +=时，求证：数列11n n b b +??? ??? 的前n 项和1n n T n = +. 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点), (n s n n 在直线2 1121+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，() *N n ∈，113=b ，且其前9项和为153. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设) 12)(112(3 --=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T . 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，(1,2,3)n =???；数列{}n b 中，11,b = 点 1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．

初等几何研究综合测试题(二十)

《初等几何研究》综合测试题（二十） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。 A.一定全等； B.一定不全等； C.可能全等，可能不全等； D.以上都不是。 2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。 A.1种； B.2种； C.3种； D.4种。 3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O， 则图中面积相等的三角形共有___________。 A.1对； B.2对； C.3对； D.4对。 4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。 A.1种； B.2种； C.3种； D.4种。 5.如图，在 ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。 A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。 6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。 A.15cm； B.20cm； C.25cm； D.30cm。 7.在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C.互相平行（或在同一条直线上）且相等； D.以上都不对。 8.下列关于平移的说法中正确的是___________。 A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。 D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； 二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1.正方形形既是中心对称图形又是轴对称图形。（√） 2.位似中心一定在两个图形之间。（×） 3.位似中心在连接两个对应点的线段之外的位似图形叫做外位似。（√） 4.两个位似图形对应点连线的交点个数为1或2。（×） 5.设点A与B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C关于x对称。（×） 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于它的周角的11 12 ，则这个角的度数是________. 2. 如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），

试卷3答案

玉溪师范学院2004—2005学年下学期期末试卷答案及评分标准 《初等几何研究》试卷3 一、 填空题（本题共7题，每空3分，共24分） 1、20AH M =； 2 、； 3、61?； 4、10； 5、3； 6 、 7 、,AB 的中点二、 计算题（本题共2题，每小题8分，共16分） 1、解：设平面α与β的交线为AC ，过H 作HD AC ⊥，连BD ，则由三垂线定理知 BD AC ⊥，于是30BDH ∠=?.———3分 在Rt BHD ?中，有2BD BH =————2分 在Rt BDA ?中 sin 2BD BAD BH AB ∠= == 60.BAD ∴∠=?———————————3分 2、解：在ABD ?中，使用余弦定理， 22222257313 cos 1225714 AD BD AB AD BD +-+-∠===???——2分 sin 1∠==——————————1分 因为A ∠与C ∠互补，所以A B C D 、、、共圆———1分 于是 11'∠=∠，245BDC ∠=∠=?，——————2分 在ABC ?中，使用正弦定理 sin 2sin 1BC AB ='∠∠ 3sin 45sin 1BC ?=∠，故BC =.————————2分 三、 证明题（本题共5题，第1、2小题每题8分，第3、4小题每题10分，第5小题12 分，共48分） 1、证明：在CDB ?与CDA ?中， BD DA =，CD 公用，AC BC > CDA CDB ∴∠>∠————————3分 在EDB ?与EAD ?中 BD DA =，ED 公用，CDA CDB ∠>∠ AE BE ∴>———————————3分

高中数学数列_错位相减法求和专题训练含答案

错位相减法求和专题训练 1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数 ，且*12,1,2n N a a ∈==. (1)求 {}n a 的通项公式； (2)设* 1,n n n b a a n N +=?∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ； (3)设()2121n n n n c a a -=?+-，证明： 123 111154 n c c c c ++++ < 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 2 1691n n a S n +=++， *n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =?，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ； ②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2 563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112 a = 且224433,,S a S a S a +++成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 1 22 n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12 log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1 250n n T n ++?>成立的正整数n 的 最小值. 5．已知数列{}n a 及()2 12n n n f x a x a x a x =++ +，且()()11?n n f n -=-, 1,2,3, n =. （1）求123a a a ，，的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；