高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题
【基础知识点】
一、平行问题
1.直线与平面平行的判定与性质
定义判定定理性质性质定理
图形
条件a∥α
结论a∥αb∥αa∩α=a∥b
2. 面面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
条件α∥β,a?β
结论α∥βα∥βa∥b a∥α
平行问题的转化关系:
二、垂直问题
一、直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言图形语言符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直
推论
如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理
垂直于同一个平面的
两条直线平行
4.直线和平面垂直的常用性质
①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平
面的垂线,则这两个平
面垂直
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直,则一个
平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平
面
类型一、平行与垂直
例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点,
且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ;
(Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ;
(Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。
M
D
A
P
B
C
例
2. 如图,已知三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,2AC BC ==,14AA =,AB =M ,N 分别是棱1CC ,AB 中点.
(Ⅰ)求证:CN ⊥平面11ABB A ; (Ⅱ)求证://CN 平面1AMB ;
(Ⅲ)求三棱锥1B AMN -的体积.
【变式1】. 如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧棱1
AA ⊥平面ABC ,ABC ?为等腰直角三角形,
90=∠BAC ,且1AA AB =,F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 (1)求证://DE 平面ABC ; (2)求证:⊥F B 1平面AEF ;
(3)设AB a =,求三棱锥D AEF -的体积。
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M N
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB DC ∥,PAD △是等边三角形,已知24BD AD ==,225AB DC ==.
(1)求证:BD ⊥平面PAD ; (2)求三棱锥A PCD -的体积.
例4、如图,四棱锥P —ABCD 中,⊥PD 平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为PC 的中
点,.3
1
CB CG =
(I )求证:PC BC ⊥; (II )求三棱锥C —DEG 的体积; (III )AD 边上是否存在一点M ,使得//PA 平面MEG 。若存在,求AM 的长;否则,说明理由。
【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2. (Ⅰ)求证:AC⊥平面BB1C1C;(Ⅱ) A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行?
证明你的结论.
三、三视图与折叠问题
例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。
若F为PD的中点,求证:AF⊥面PCD;
(1)证明:BD∥面PEC;
(2)求三棱锥E PBC
-的体积。
A
B
E
P
D
C
4
4
2
2
4
4
4
正视图侧视图
俯视图
例 6.已知四边形ABCD 是等腰梯形,AB DE BAD DC AB ⊥?=∠==,45,1,3(如图1)。现将ADE
?沿DE 折起,使得EB AE ⊥(如图2),连结AB AC ,。 (I )求证:平面⊥ADE 平面ACD ;
(II )试在棱AB 上确定一点M ,使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比1:2:=MECB ADCME V V ; (III )在点M 满足(II )的情况下,判断直线AD 是否平行于平面EMC ,并说明理由。
【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为PD 中点.(I )求证:PB//平面AEC ;(II )求四棱锥C PAB -的体积; (Ⅲ)若F 为侧棱PA 上一点,且
λ=FA
PF
,则λ为何值时,⊥PA 平面BDF.
E
C
A
D
P
M E D C B
A E D
C B
A 图1
图2
【变式4】如图1所示,正ABC ?的边长为2a ,CD 是AB 边上的高,E ,F 分别是AC ,BC 的中点。现将ABC ?沿CD 翻折,使翻折后平面ACD ⊥平面BCD (如图2) (1)试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥C-DEF 的体积。
四、立体几何中的最值问题
例7.图4,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,A 1A= AB=2.
(1)求证: BC ⊥平面A 1AC ;
(2)求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.
图(2)图(1)
B
C
D 图4
A B
C A 1
例8. 如图,在=
2,2
ABC B AB BC P AB π
?∠==中,,为边上一动点,PD//BC 交AC 于 点D,现
将'
'
,PDA .PDA PD PDA PBCD ??⊥沿翻折至使平面平面
(1)当棱锥'A PBCD -的体积最大时,求PA 的长;
(2)若点P 为AB 的中点,E 为'
'
.AC B DE ⊥的中点,求证:A
【变式5】如图3,已知在?A B C 中,∠=?C 90,P A ⊥平面ABC ,A E P B ⊥于E ,A F P C
⊥于F ,A P A B ==2,∠=A E F θ,当θ变化时,求三棱锥PA E F
-体积的最大值。
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题(答案)
【典例探究】
例1解:(Ⅰ)∵M AB 为中点,D 为PB 中点, ∴MD ∥AP ,又∴MD APC ?平面 ∴DM ∥APC 平面
(Ⅱ)∵△PMB 为正三角形,且D 为PB 中点,∴MD PB ⊥ 又由(1)∴知,MD AP ⊥ ∴AP PB ⊥ 又已知AP PC ⊥ ∴AP PBC ⊥平面, ∴AP BC ⊥,又∵AC BC ⊥
∴BC APC ⊥平面,∴平面ABC ⊥平面PAC , (Ⅲ)∵20AB =,∴10MB =,∴10PB = 又4BC =
,PC ===
∴111
4244BDC PBC S S PC BC ??=
=?=??=
12MD AP ===又
∴11
33
D BCM M BCD BDC V V S DM --?==?=?=
例2.(Ⅰ)证明:因为三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC
又因为CN ?平面ABC , 所以1AA CN ⊥. ……………………… 1分 因为2AC BC ==,N 是AB 中点,
所以CN AB ⊥. ………………………………………… 2分
因为1
AA AB A =, …………………………………………… 3分
所以CN ⊥平面11ABB
A . …………………………………………… 4分 (Ⅱ)证明:取1A
B 的中点G ,连结MG ,NG ,
因为N ,G 分别是棱AB ,1AB 中点,
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
N
G
所以1//NG BB ,11
2NG BB =
. 又因为1//CM BB ,11
2
CM BB =,
所以//CM NG ,CM NG =.
所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分
因为CN ?平面1AMB ,GM ?平面1AMB , …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB . ……………………………………………………… 9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分
所以11MN M N 1124
423223
B A AB V V --==??
??=. ………………………… 13分
变式1.(1)根据中点寻找平行线即可;(2)易证1AF B F ⊥,在根据勾股定理的逆定理证明1B F EF ⊥;(3)由于点D 是线段1AB 的中点,故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距
离的1
2,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。
【解析】(1)取AB 中点O ,连接DO CO ,
∴=∴=,,//,2
1
,//11CE DO CE DO AA DO AA DO 平行四边形
DOCE ,?∴DE CO DE ,//平面ABC ,?CO 平面ABC ,//DE ∴平
面ABC 。 (4分)
(2)等腰直角三角形ABC ?中F 为斜边的中点,BC AF ⊥∴ 又 直三棱柱111C B A ABC -,∴面⊥ABC 面C C BB 11, ⊥∴AF 面B C 1,F B AF 1⊥∴
设EF F B E B EF F B E B EF F B AA AB ⊥∴=+∴===
∴==121221111,,2
3,23,26,1 又,F EF AF = ⊥∴F B 1面AEF 。 (8分)
(3)由于点D 是线段1AB 的中点,故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距离的
12
。2
2126
2B F a a a ??=+= ? ???
,所以三棱锥D AEF -的高为6a ;在Rt AEF ?中,32,22EF a AF a =
=,所以三棱锥D AEF -的底面面积为2
68a ,故三棱锥D AEF -的体积为231661
316a a a ??=。(12分)
O P
D C B
A
二、线面平行与垂直的性质
例3.(1)证明:在ABD △中,由于2AD =,4BD =,25AB =,
∴222
AD BD AB +=. …… 2分
∴ AD BD ⊥.
又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,BD ?平面ABCD , ∴BD ⊥平面PAD . …… 4分 (2)解:过P 作PO AD ⊥交AD 于O .
又平面PAD ⊥平面ABCD , ∴PO ⊥平面ABCD . …… 6分 ∵PAD △是边长为2的等边三角形, ∴3PO =. 由(1)知,AD BD ⊥,在Rt ABD △中,
斜边AB 边上的高为45
AD BD h AB ?=
=. …… 8分
∵AB DC ∥,∴
1145
52
22ACD S CD h =?=??=△. …… 10分
∴
11232333A PCD P ACD ACD V V S PO --==?=??=
△. …… 14分
例4、(I )证明:⊥PD 平面ABCD ,BC PD ⊥∴ 又∵ABCD 是正方形,∴BC ⊥CD , ∵PDICE=D , ∴BC ⊥平面PCD
又∵PC ?面PBC ,∴PC ⊥BC
(II )解:∵BC ⊥平面PCD ,∴GC 是三棱锥G —DEC 的高。
∵E 是PC 的中点,1)222
1
(212121=???===∴???PDC EDC EDC S S S
9
2
1323131=??=?==∴?--DEC DEC G DEG C S GC V V
(III )连结AC ,取A C 中点O ,连结EO 、GO ,延长GO 交AD 于点M ,则PA//平面MEG 。
下面证明之
∵E 为PC 的中点,O 是AC 的中点,∴EO//平面PA , 又MEG PA MEG EO 平面平面??, ,∴PA//平面MEG
在正方形ABCD 中,∵O 是AC 中点,OCG ?∴≌OAM ?
,32==∴CG AM ∴所求AM 的长为.32
变式2.证明:(Ⅰ)直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BB 1⊥平面ABCD ,∴BB 1⊥AC . 又∵∠BAD =∠ADC =90°,AB =2AD =2CD =2, ∴AC =2,∠CAB =45°,∴BC =2,∴BC ⊥AC . 又BB 1∩BC =B ,BB 1,BC ?平面BB 1C 1C ,∴AC ⊥平面BB 1C 1C .
(Ⅱ)存在点P ,P 为A 1B 1的中点。
证明:由P 为A 1B 1的中点,有PB 1∥AB ,且PB 1=2
1
AB .
又∵DC ∥AB ,DC =2
1
AB ,∴DC ∥PB 1,且DC =PB 1,
∴DCB 1P 为平行四边形,从而CB 1∥DP .又CB 1∥?ACB 1,DP ?面ACB 1,∴DP ∥面ACB 1. 同理,DP ∥面BCB 1.
例5、
(1)由几何体的三视图可知,底面ABCD 是边长为4的正方形,PA ⊥面ABCD , PA ∥EB ,2 4.PA EB ==
,PA AD =F 为PD 中点,.PD AF ∴⊥
又,,CD DA CD PA ⊥⊥,CD AF ∴⊥AF ⊥面PCD 。
A B E P D C 4 4
2
2
4 4 4 正视图 侧视图 俯视图
(2)取PC 的中点M ,AC 与BD 的交点为N ,1
,2
MN PA ∴=
MN ∥PA , ,MN EB ∴=MN ∥EB ,故BEMN 为平行四边形,
EM ∴∥BN ,BD ∴∥面PEC 。
(3)1116
()323
E PBC C PBE V V BE AB BC --===
例6.答案略
变式3.解:(1)由三视图得,四棱锥底面ABCD 为菱形, 棱锥的高为3,设AC BD O ?=,则PO 即是棱锥 的高,底面边长是2,连接OE ,,E O 分别 是,DP DB 的中点,OE ∴∥BP ,
,OE AEC BP AEC ??面面PB ∴∥AEC 面
(2)1111(223)332232V V V ??
===?????=????
三棱锥C-PAB 三棱锥P-ABC 四棱锥P-ABCD
(3)过O 作3
,,3,3,23OF PA POA PO AO PA AF ⊥====
在Rt 中分 :3,,
,,PF FA OF PA PO BD AC BD PO AC O BD PAC
λ∴=⊥⊥⊥?=∴⊥时即=3时面---------------12分
,BD PA OF PA BD OF O PA BDF ∴⊥⊥?=∴⊥由且面---------------14分
变式4.解:(1)判断:AB//平面DEF………………………………………………..2分 证明:
因在ABC ?中,E ,F 分别是 AC ,BC 的中点,有
EF//AB………………..5分 又因
AB ?平面DEF , EF ?平面DEF…………..6分 所以
AB//平面DEF……………..7分
图(2)图(1)F E F E
A B
C
A B D C D M
(2)过点E 作EM ⊥DC 于点M , 面ACD ⊥面BCD ,面ACD
面BCD =CD ,而EM ?面ACD
故EM ⊥平面BCD 于是EM 是三棱锥E-CDF 的高……………………………..9分
又?CDF
的面积为2111222CDF BCD S S CD BD a ??==??== EM =11
22
AD a =……………………………………………………………………11分
故三棱锥C-DEF 的体积为
23
111 (14334224)
C DEF E CDF CDF V V S EM a a a --?==??=??=分
四、立体几何中的最值问题
例7.证明:∵C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,
AB 是圆柱底面圆的直径,∴BC ⊥AC, ……2分
∵AA 1⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,
∴AA 1⊥BC , ……4分
∵AA 1∩AC=A ,AA 1?平面AA 1 C ,AC ?平面AA 1 C , ∴BC ⊥平面AA 1C. ……6分
(2)解法1:设AC=x ,在Rt △ABC 中,
BC = (7)
分
故1A -ABC ABC 11
1
111
V =S
AA AC BC AA 3
323
?=????=(0 即1A -ABC 1V =3==……11分 ∵0 三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为 2 3 . ……14分 解法2: 在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2=4, ……7分 1A -ABC ABC 11111 V =S AA AC BC AA 332 ?=???? ……9分 22211AC BC 1AB 2 AC BC 332323 +=?≤?=?=. ……11分 图4 A B C A 1 当且仅当 AC=BC 时等号成立,此时2. 例8.解:(1)设x PA =,则)2(31312 x x x S PA V PDCB PBCD A -=?='底面- 令)0(,632)22(31)(3 2>-= -=x x x x x x f 则2 32)(2 x x f -=' x )33 2, 0( 3 3 2 ),3 3 2( +∞ )(x f ' + 0 - )(x f 单调递增 极大值 单调递减 由上表易知:当3 3 2= =x PA 时,有PBCD A V -'取最大值。 证明: (2)作B A '得中点F ,连接EF 、FP 由已知得:FP ED PD BC EF ////2 1 //? PB A '?为等腰直角三角形,PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'. 变式6. 解:因为P A ⊥平面ABC B C ?平面ABC , 所以P A B C ⊥ 又因为B C A C P A A C A ⊥?=,, 所以B C ⊥平面PAC , 又A F ? 平面PAC , 所以B C A F ⊥, 又A F P C P C B C C ⊥?=,, 所以A F ⊥平面PBC ,即A F E F ⊥。 EF 是AE 在平面PBC 上的射影, 因为A E P B ⊥, 所以E F P B ⊥, 即P E ⊥平面AEF 。 在三棱锥PA E F -中, A P A BA E P B ==⊥2,, 所以P E A E ==22 ,, A F E F V S P E P A E F A E F ===?=????-221 3131 2222s in ,c o s s in c o s θθθθ, ? = 2 6 2sin θ 因为02 << θπ , 所以02021<<<≤θπθ ,s i n 因此,当θπ =4 时,V P A E F -取得最大值为26。 高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值 2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ; 2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 新课标全国卷 文科数学总结 立 体 几 何 一、选择题 【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径.若该几何体的体积是 28π 3 ,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π 【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点 A ,α∥平面11C B D ,α平面ABCD m =, α 平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A . 2 B .2 C .3 D .13 【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8 【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】 【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱 【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .15 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
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