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二项分布经典例题+测验题

二项分布

1．n 次独立重复实验

一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。

（1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。

（2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率

()P X k ==(1)k k

n k n

C p p --。 2．二项分布

若随机变量X 的分布列为()P X k ==

k k n k

n C p q

-，其中

0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X

B n p 。

1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2

1，乙每次击中目标的概率为3

（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（2）求乙至多击中目标2次的概率；

（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】

1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且

规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.

(Ⅰ)求X的分布列。

(Ⅱ)求X的数学期望E(X).

2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)

甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投

篮投中的概率为1

3,乙每次投篮投中的概率为1

,且各次投篮互不

影响.

(Ⅰ) 求甲获胜的概率。

(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望

3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜

4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1

，

试求需要比赛场数的期望．

3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.

下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽

样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .

5.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为5

4、5

3、5

2，且各轮问题能

否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示

6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中

湖北理工学院湖北师范学院

9 650

7 2 15

12589

34 6

0 1

任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布.

(1)每次取出的产品不再放回去；

（2）每次取出的产品仍放回去；

（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.

7. （2007?山东）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；

8.（本题满分12分）

活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如

图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假

定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；

停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望. 9. (本题满分12分)中国?黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指

出湖北师范学院志愿者身高的中位数；

（2）如果用分层抽样的方法从“高

个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该

产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

x 5 6 7 8

P 0．4 a b 0．1

且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；

（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4

7 5 3 4

8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.

11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机

抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的

利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；

（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，

只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

巩固练习答案

1.【解读】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.

5395

(3)42

C P X C ===

。 21

20(4)42C C P X C ===。

12543

915(5)42C C P X C ===。 3

392(6)42

C P X C ===. 故,所求X 的分布列为

X 3

20104221

=1554214

=214221

(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:

E (X )=6

13()3

i i P X i =?==∑.

【答案】(Ⅰ)见解读。(Ⅱ) 133

2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事

件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.

解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则

()13k P A =,()1

k P B =, ()1,2,3k ∈

(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++

()()()()()()()()

()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++ 2

1211211

3323323????=+??+?? ? ????? 11113

392727

=++=

(2)ξ的所有可能为:1,2,3

由独立性知:()()()111121213

P P A P A B ξ==+=+?=

()()()

1121122211212

2323329

P P A B A P A B A B ξ????==+=??+= ? ?????

()(

)

1122211

3329

P P A B A B ξ????==== ? ?????

综上知,ξ有分布列

从而,1233

E ξ=?+?+?=

(次) 3. 解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．

4400

044411112(4)()()()()222216

P X C C ==??+??=；

（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以

33431141441111114

(5)()()()()22222216

P X C C --==+=

（3）类似地，事件“6X =”、“7X =”的概率分别为

33532252551111115

(6)()()()()22222216P X C C --==+=，

33633363661111115

(7)()()()()22222216

P X C C --==+=

比赛场数的分布列为

故比赛的期望为()4567 5.812516161616

E X =?

+?+?+?=（场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负． 4.【答案及解读】

(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25

人,从而2×2列联表如下:

由2×2列联表中数据代入公式计算,得:

因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. (II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率

,由题意, 视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为1

,从而X的分布列为:

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()

D X,考查分析解决

E X和方差()

问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.

5.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，

则14

()5P A =，23()5P A =，32()5

P A =，

∴该选手被淘汰的概率

112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++ 142433101

555555125

=+?+??=

．（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，

则14()5P A =，23()5P A =，32

()5

P A =．

∴该选手被淘汰的概率

1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-

432101

1555125

=-??=

．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5

P P A ξ===，

1212428

(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

， 12124312

(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

． ξ∴

11235252525

E ξ∴=?+?+?=

． 6.（1）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为 P(X=1)=7/10，

P(X=2)=3/10×7/9=7/30， P(X=3)=3/10×2/9×7/8=7/120， P(X=4)=3/10×2/9×1/8=1/120。

（2）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为

P(X=k)=137

().1010

k ，k=1，2，3，……

（3）X 的所有可能值为1，2，3，4。X 的分布列为 P(X=1)=7/10，

P(X=2)=3/10×8/10=6/25， P(X=3)=3/10×2/10×9/10=27/500， P(X=4)=3/10×2/10×1/10=3/500。

的分布列为∴

则111(),(),()632

P A P B P C ===.

……

（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.

111()()632P P A P B ∴=+=

………………4分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12

. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120. ………………5分

111

(0);

224111

(30)2;

23311115

(60)2;

263318111

(90)2;

369111

(120).

6636P X P X P X P X P X ==?===??===??+?===??===?= (10)

分

所以，随机变量X 11511

030609012040

4318936EX =?+?+?+?+?=…………12分

9、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：

5.1682

169

168=+.…2分（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

∴按照分层抽样抽取的

5人中“高个子”为8

5220

=人，

“非高个子”为12

5320

=人；则至少有1人为高个子的概率P ＝1－23257

C C =……6分

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值

…………11分

为0,1，2,3；

故353810(0)56C P C ξ===，21533830(1)56C C P C ξ===，12533815

(2)56C C P C ξ===，

3381

(3)56

C P C ξ===

，即ξ的分布列为：

0 1 2

1056 3056

1556

156

E ζ＝01056?＋13056?＋21556?＋3156?＝9

。

答：

（略） ………………12分

10. 解：（I ）因为16,50.46780.16,67 3.2.EX a b a b =?+++?=+=所以即又由X 1的概率分布列得0.40.11,0.5.a b a b +++=+=即

由67 3.2,0.3,

0.5.0.2.a b a a b b +==????

+==??

解得（II ）由已知得，样本的频率分布表如下：

2X 3 4 5 6 7 8 f

0．3

0．2

0．1

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下： 2

3 4 5

6 7 8 P 0．3 0．2 0．2

0．1

所以

22222223(3)4(4)5(5)6(6)7(7)8(8)

EX P X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+=+=30.340.250.260.170.180.1 4.8.=?+?+?+?+?+?=

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （III ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6 1.6

因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为

4.8

1.2.4= 据此，乙厂的产品更具可购买性。

11. （I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为231

5010

P +=

= （II ）随机变量1X 的分布列为随机变量2X 的分布列为

（III

）

1139

123 2.86255010

EX =?

+?+?=(万元)

219

1.8

2.9 2.791010

EX =?

+?=(万元) 12EX EX >所以应该生产甲品牌汽车。

二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

二次函数专项复习经典试题集锦（含答案）一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x

7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0N ，0>P C. 0>M ，0P D. 0N ，0

x 时，求使y ≥2的x 的取值围.

正态分布练习含答案

正态分布一.选择题： 1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 2. 已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)则P (X <3)等于 ( ) A.15 B.14 C.13 D.12 解析：由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P (X <3)＝P (X >3)＝12 . 答案：D 3．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有 ( ) A ．μ1<μ2，σ1<σ2 B ．μ1<μ2，σ1>σ2 C ．μ1>μ2，σ1<σ2 D ．μ1>μ2，σ1>σ2 解析：由图可知，μ2>μ1，且σ2>σ1. 答案：A 4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论不正确的是。 A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=-<=<-=>-=

随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题【知识梳理】一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;

高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布

专题十一概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布一、选择题 1．（2015湖北）设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B ．21()()P X P X σσ≤≤≤ C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2 (0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=） A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74% 3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0．8 B ．0．75 C ．0．6 D ．0．45

4.（2011湖北）已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则 ()=<<20ξP A ．6.0 B ．4.0 C ．3.0 D ．2.0 二、填空题 5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ． 6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是． 7．（2015广东）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()20D X =，则p = ． 8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．三、解答题 9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)N μσ． (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3) μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生 1 元件2元件3元件

二次函数经典例题及答案

二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点

正态分布及其经典习题和答案

正态分布讲义【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。【典型例题】例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为（） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关）答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102 )， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ??? 。（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。答案：8.5。解析：设两数之积为X ， ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ? ，则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于）答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

二项分布专题练习

二项分布专题练习 1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3?? ??? ，则P (X ＝2)＝( )． A ． 316 B ． 4243 C ． 13 243 D ． 80 243 2．设某批电子手表正品率为 34，次品率为1 4 ，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )． A ．223 13C 44??? ??? B ．2 2331C 44 ??? ? ?? C ．2 1344 ??? ??? D ．2 3144 ??? ??? 3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )． A ．0.6k － 1×0.4 B ．0.24k －1×0.76 C ．0.4k －1×0.6 D ．0.76k － 1×0.24 4．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )． A ．2191010n k -???? ? ? ???? B ． 191010k n k -???? ? ? ???? C ．1119C 1010k n k k n ---???? ? ????? D ．1 1119C 1010k n k k n ----???? ? ??? ?? 5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为 65 81 ，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ． 13 B ． 25 C ． 56 D ． 34 6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为4 5 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________． 7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答) 8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)