指数与指数函数题型归纳(非常全)
指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一．指数幂与根式的互化：
题组一：根式化为分数指数幂
（1）化简=________．(2) 计算=________．
(3)若a＜0，则=________． (4)的值为（）
题组二：运用分数指数幂进行化简：
（1）下列各式中错误的是（）
1. A. B. C. D.
2.化简（）×（-）÷（）的结果（）
A. 6a
B.
C.
D.
3.（1）计算：（2）化简：． (3)（×）6+（）-4（）-×80.25-（-2009）0．
题组三：指数式的条件求值问题：
1.已知，求下列各式的值(写出过程)：
（1） (2) (3)=
2.（1）已知，求的值．（2）已知2x+2-x=3，则 4x+4-x= ______ ．
题组四：利用指数函数比较大小;
1.下列各式比较大小正确的是：
；；
2.已知，则a，b，c三者的大小关系是
A. B. C. D.
3.已知，b=，c=，则（）
A. B. C. D.
题组五：指数函数过定点问题;
1．函数f（x）=2-a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（）
A. B. C. D.
2.函数y=a x-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点______ ．
3.函数y(a＞0，a≠1）的图象经过定点为______
4.题组六：指数函数解方程（或不等式）;
1.设集合A={x|-1＜x＜2}，{x|＜（）x＜1}，则A∩B=（）
A. B. C. D.
2.（1）不等式的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______
(3)求不等式a2x-7＞a4x-1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围
3.方程4x-6×2x+8=0的解是______ ．
题组七：指数函数有关图像问题;
1.函数其中且的图象一定不经过( ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
3.函数f（x）=-3|x|+1的图象大致是（）
A. B. C. D.
4．函数的图象的大致形状是（）
A. B.
C. D.
5.如图,,,,根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为( )
A. B.
C. D.
题组八：指数函数有关复合函数问题：
1.（1）函数的单调递增区间为______
( 2 )函数的单调递减区间为_____
2.（1）函数y=的值域是（）
A. R
B.
C.
D. )
（2）函数的值域为_____ （3）函数的值域是______ 3.求函数y=的定义域、值域和单调区间．
题组九：指数函数与其它函数交汇问题：
1.已知，则（）
A. 2018
B.
C. 2019
D.
2.已知函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是________.
3．若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是______．
4.已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b=______．
5.函数的定义域为．
Ⅰ设,求t的取值范围；
Ⅱ求函数的值域．
6.已知函数,且时,总有成立．
求a的值；
判断并证明函数的单调性；
求在上的值域．
6.已知定义域为R的函数，是奇函数．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)若对任意的t R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查指数幂的计算，要求熟练掌握指数幂的运算法则，属基础题.
根据分数指数幂的运算法则进行求解即可.
【解答】
解：由条件知a≥0，
则=
.
故选C.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
利用已知条件，通过开方运算，求解即可，利用=，即可得. 【解答】
解：由，可得a＞0，，
∴===3，
故选A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查指数运算及倒序相加法进行求和，属于中档题.
，再利用倒序相加进行求和即可求解.由已知
＋
【解答】
，
解: 由已知有
＋
设＋＋＋＋，
则＋＋＋＋，
两式相加得2T=4037×1，
故选B.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查有理指数幂的化简求值，是基础的计算题．
化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.
【解答】
解：=．
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：原式==a，
故选：A
根据指数幂的运算性质计算即可．
本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了指数函数解析式,由已知解析式得到5a+b=3，所求为5a?5b，利用同底数幂的乘法运算转化即可，属于中档题.
【解答】
解：因为f（x）=5x，
因为f（a+b）=3，所以5a+b=3，
则f（a）?f（b）=5a?5b=5a+b=3.
故选A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键，比较基础．根据指数幂的运算性质，进行平方即可得到结论．
【解答】
解：∵f（x）=3x+3-x，
∴f（a）=3a+3-a=4，
平方得32a+2+3-2a=16，
即32a+3-2a=14．
即f（2a）=32a+3-2a=14．
故选B．
8.【答案】D
【解析】解：∵a＜0，ax3≥0，
∴x≤0，
∴=|x|=-x，
本题考查了根式的化简，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础题.
求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M，N，然后直接利用补集和交集的运算求解.
【解答】
解：由题意，集合M={x|x2+x-6＜0}={x|-3＜x＜2}，
N={x|≥4}={x|x≤-2}，全集为R，
所以={x|x＞-2}，
所以M∩（）={x|-2＜x＜2}，
所以M∩（）=（-2，2）．
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：A、原式=；
B、原式=；
C、原式=；
D、原式==．
故选：A
根式与分数指数幂的互化公式是，分数指数幂公式是x-n=（x≠0），按公式
运算即可．
本题考查了根式与分数指数幂的互化以及负分数指数幂的运算问题，是基础题．11.【答案】C
【解析】【分析】
根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了分数指数幂和根式的互化，以及指数幂的运算性质，属于基础题．
【解答】
解：，
故选C.
12.【答案】C
【解析】解：==-9a
故选：C．
由指数幂的运算法则直接化简即可．
13.【答案】D
【解析】解：，
∵指数函数在R上单调递增，
∴ ,
即有a＞c＞b，
即b＜c＜a．
故选：D．
运用指数函数的单调性，可得，即可得到a，b，c的大小关系．
本题考查指数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题.
先求出函数的定义域，再分别讨论x＞0，x＜0时函数的范围，由此判断函数的图象即可．
【解答】
解：函数f（x）=的定义域为：，排除选项A．
当x＞0时，函数f（x）=＞0，选项C不满足题意．
当x＜0时，函数f（x）=＜0，选项D不正确，
故选B．
15.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．
f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．
【解答】
解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）=，
∴x＞0时，图象与y=a x（a>1）在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y=a x（a>1）的图象关于x轴对称，
故选C．
16.【答案】B
【解析】解：函数y=（2a-1）x在R上为单调减函数，
∴0＜2a-1＜1
解得＜a＜1
故选：B．
x
本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题17.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数函数的图象过定点问题，即a0=1的应用，属于基础题.
由x+1=0得x=-1代入解析式后，再利用a0=1求出f（-1）的值，即可求出答案.
【解答】
解：由x+1=0得x=-1，则f（-1）=2-a0=1，
∴函数f（x）=2-a x+1的图象恒过定点（-1，1）.
故选C.
18.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质及与坐标轴交点位置，是解答的关键．
根据已知可分析出函数的奇偶性，进而分析出函数图象的对称性，将x=0代入函数解析式，可判断函数图象与y轴交点的位置，利用排除法可得函数的图象．
【解答】
解：∵函数f（x）=-3|x|+1，
∴f（-x）=-3|-x|+1=-3|x|+1=f（x），
即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B、D，
当x=0时，f（0）=-30+1=0，即函数图象过原点，故排除C.
故选A.
19.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的图象的应用及函数图像的平移变换，属于基础题，由0＜a ＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论. 【解答】
解：由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，
∵0＜b＜1，
∴-1＜b-1＜0，
∴0＜1-b＜1，
∵y=a x的图象向下平移1-b个单位即可得到y=a x+b-1的图象，
∴y=a x+b的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限.
故选C.
20.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查复合函数的单调性，属于基础题，利用二次函数及指数函数的单调性可得出函数的单调性.
【解答】
解：∵函数是由函数与复合而成，
又单调递减，
所以函数的单调递增区间为.
故选A.
21.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数型函数图象恒过定点问题，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．由指数式的指数等于0求解x值，进一步求得y值得答案．
【解答】
解：由x-3=0，得x=3，此时y=a0+1=2．
∴函数y=a x-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点（3，2）．
故选：C．
22.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题．
根据指数函数的单调性判断数的大小即可．
【解答】
解：y=1.7x为增函数，2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A错误，
y=0.6x为减函数，-1<2,∴0.6-1＞0.62,故B正确，
由于1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，故C错误，
由于0.8-0.1=1.250.1，对于指数函数y=1.25x为增函数，0.1<0.2，
∴0.8-0.1<1.252,故D错误，
故选B.
23.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性、指数函数的定义域和值域，属于基础题，令t=-x2+2x，则y=，再根据t≤1以及指数函数的单调性求得y的值域.
【解答】
解：令，则y=，
由于t≤1，∴y≥=，所以函数y=的值域是.
故选B.
24.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用指数函数、幂函数的单调性判断数的大小，属于基础题．
解：∵y=为减函数，且，
∴b＜c，
又∵y=在（0，+∞）为增函数，
∴a＞c，
∴b＜c＜a，
故选D．
25.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查描述法表示集合的定义及表示形式，指数式的运算，以及指数函数的单调性，交集的运算．
可写出，，然后根据指数函数单调性即可求出集合B={x|0＜x＜3}，根
据交集的定义运算即可得出A∩B．
【解答】
解：，1=；
∴由得，0＜x＜3；
∴B={x|0＜x＜3}，且A={x|-1＜x＜2}；
∴A∩B=（0，2）．
故选C．
26.【答案】A
【解析】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，
因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b+1），
∴-1＜b＜0，
故选A.
根据指数函数的图象和性质即可判断.
本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．
27.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的图象和性质，比较函数值的大小即可，比较基础．
根据指数函数的图象和性质即可得到结论．
【解答】
解：很显然a，b均大于1；且y=b x函数图象比y=a x变化趋势小，
故b＜a，综上所述：a＞b＞1．
故选：C．
28.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数函数的图象与性质，作出直线x=1，给出直线与四条曲线的交点坐标是正确解答本题的关键，本题的难点是意识到直线x=1与四条曲线交点的坐标的纵坐标恰好
【解答】
解：由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）
故有b＜a＜1＜d＜c
故选：B．
29.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数型函数的图象与性质，由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围．
观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．
【解答】
解：如图所示，
图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b-1＜0，
且0＜a＜1，
∴0＜a＜1，且b＜0．
故选C．
30.【答案】C
【解析】【分析】
令x-1=0，求出x的值，从而求出对应的y的值，从而求出定点的坐标．本题考查了指数函数的性质，是一道基础题．
【解答】
解：令x-1=0，解得：x=1，
故x=1时，y=1，
故函数过（1，1），
故选C．
31.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数求单调区间的问题，复合函数求单调区间时，一般分离成两个简单函数根据同增异减的特性来判断．
将原函数分离成两个简单函数y=，z=x2-6x+5，根据同增异减性可得答案．
【解答】
解：令z=x2-6x+5是开口向上的二次函数，
则原函数可以写为：y=，t=x2-6x+5,
因为y=单调递减,
故原函数的单调递减区间为：[3，+∞）. 故选D．
32.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的定义，属于容易题.
函数（）是指数函数，所以必须满足
＋
且
，解出即可．
【解答】
解：∵函数（）是指数函数，∴
＋
且
，解得a=4．
故选C．
33.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．直接判断a，b的大小，然后求出结果．
【解答】
解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，
可知：c＞a＞b．
故选C．
34.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查对数式、指数式化简求值，属于基础题.
利用指数，对数的性质、运算法则求解．
【解答】
解：
=1+3×+lg100
=1+2+2
=5.
故答案为5.
35.【答案】7
【解析】解：∵2x+2-x=3，
x x x x
直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案．
本题考查了有理指数幂的化简求值，关键是完全平方式的应用，是基础题．
36.【答案】19
【解析】【分析】
本题考查有理指数幂的化简求值，考查计算能力，直接利用有理指数幂化简求值即可．【解答】
解：-（-）-2+-3-1+（-1）0
=-49+64-+1
=19．
故答案为19．
37.【答案】-6b
【解析】解：
=-6b
故答案为-6b．
本题考查了指数的运算法则，与单项式相乘除的法则相同，系数相乘除作系数，同底数幂相乘除，底不变，指数相加减，即可得出．
38.【答案】x=1或x=2
【解析】【分析】
求解关于2x的一元二次方程，然后进一步求解指数方程得答案．
本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了一元二次方程的解法，是基础题．
【解答】
解：由4x-6×2x+8=0，得
（2x-2）（2x-4）=0，
即2x=2或2x=4．
∴x=1或x=2．
故答案为：x=1或x=2．
39.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查了根式的化简，属于基础题.
根据根式的特点化简即可.
【解答】
解：由4＜x＜7，则式子=|x-4|+|x-7|=x-4+7-x=3，
故答案为3.
40.【答案】(?1,4)
【解析】【分析】
解不等式即可.
【解答】
解：原不等式可化为,
∵函数y=3x为R上的增函数，
∴ ,
解得
故答案为(?1,4).
41.【答案】（2，2）
【解析】【分析】
本题考查指数函数的图象过定点问题，属基础题，本题也可利用指数函数的图象变换求出．令x-2=0，则x=2，即为定点横坐标，代入函数式可得定点纵坐标．
【解答】
解：令x=2，得，
所以函数的图象恒过定点坐标是（2，2）．
故答案为（2，2）．
42.【答案】（0，3]
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的性质，复合函数的值域，利用换元法求函数的值域，属于基础题. 令t=x2-1，将求函数的值域的问题转化为求在[-1，+∞）上的值域问题，再利用函数的单调性求值域.
【解答】
解：令t=x2-1，t[-1，+∞），
即，t[-1，+∞），
函数在区间[-1，+∞）上是减函数，
故y≤=3 ，
故函数的值域是（0，3].
故答案为（0，3].
43.【答案】（0，2）
【解析】【分析】
本题考查函数的零点个数，函数的图象的应用，属于中档题.
利用分段函数画出函数的图象，然后判断m的范围即可.
【解答】
解：画出函数的图象如下：
由函数f （x ）=m 有3个不等实根， 即函数 与直线 有3个交点， 结合图象得：0＜m ＜2，即m （0，2）． 故答案为（0，2）.
44.【答案】0＜a ＜
【解析】解：①当0＜a ＜1时，作出函数y =|a x
-1|图象：
若直线y =2a 与函数y =|a x
-1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个
公共点
由图象可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜
．
②当a ＞1时，作出函数y =|a x
-1|图象：
若直线y =2a 与函数y =|a x
-1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点 由图象可知0＜2a ＜1， 此时无解．
综上：a 的取值范围是0＜a ＜
． 故答案为：0＜a ＜
先分：①0＜a ＜1和a ＞1时两种情况，作出函数y =|a x
-1|
图象，再由直线y =2a 与函数y =|a x
-1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．
本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法． 45.【答案】[3，+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的定义域问题，由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式． 【解答】
解：由2x -8≥0，得2x
≥8，则x ≥3，
∴函数y = 的定义域为[3，+∞)． 故答案为[3，+∞)．
【解析】【分析】
本题考查指数型函数的图象恒过定点问题，关键是掌握此类问题的求法，是基础题．由指数式的指数等于0求得x值，进一步求得y值，则答案可求．
【解答】
解：由x-2=0，得x=2，此时y=3．
∴函数y=a x-2+2（a＞0且a≠1）一定过定点（2，3）．
故答案为（2，3）．
47.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．
对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性列出方程组，解得答案．
【解答】
解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，
所以，
解得b=-1，=0不符合题意舍去；
当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，
所以，
解得b=-2，a=，
综上a+b=，
故答案为： .
48.【答案】（1）解：原式=-=2-32=-7.
（2）解：原式=-1-+
=-1-+=．
【解析】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．（1）利用对数的运算性质即可得出．
（2）利用指数的运算性质即可得出．
49.【答案】解：（1）+（0.008）-（0.25）×（）-4
=π-3+0.2-0.5×4
=π-3+0.2-2
=π-4.8．
（2）（×）6+（）-4（）-×80.25-（-2009）0
=4×27+（）-7-16-1
=100．
【解析】本题主要考查指数式化简求值，是基础题.
解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．
（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
50.【答案】解：（1）原式=-1+=-1+2=2．
（2）原式===-4．
（3）∵a，b，c为正实数，a x=b y=c z=k＞0，k≠1．
∴x=，y=，z=,
∵，∴==0，
∴abc=1.
【解析】（1）本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数幂的运算性质即可得出．
（2）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数的运算性质即可得出．
（3）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设
a x=
b y=
c z=k＞0，可得x=，y=，z=,再利用对数的运算性质即可得出．
51.【答案】解：（1）
=
=
=．
（2）∵10x=3，10y=4，
∴102x-y===．
【解析】本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．
（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
52.【答案】解：（1）原式=．+-1-23=+9-1-8=．
（2）原式===4．
【解析】（1）利用指数的运算性质即可得出．
（2）利用对数的运算性质即可得出．
53.【答案】解：（1）原式=.
（2）原式=.
【解析】（1）本题考查指数式化简求值，是基础题.利用有理数指数幂的性质及运算法则求解，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质及运算法则的合理运用.
（2）本题考查对数式和指数式的化简求值，是基础题.利用对数的运算性质化简即可.
54.【答案】解：（1）（）-（2-π）0-（）+，
原式=-1-+
=-1-+
=-+8
=8.
（2）由题意：0＜x＜1，
∴＜0
所以：（）2=x+x-1-2．
∵x+x-1=3,
∴（）2=1,
故得=-1.
【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
（1）利用指数幂的运算性质即可得出．
（2）由题意0＜x＜1，且x+x-1=3，判断x-x的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．
55.【答案】解（1）原式=
=-1-+100=．
（2）∵（）2=x+x-1+2=5，
∴=，
∴（x+x-1）2=x2+x-2+2=9，
∴x2+x-2=7，
∴=.
【解析】本题考查了幂的运算性质，属于基础题.
（1）根据幂的运算性质计算即可，
（2）根据幂的运算性质计算即可．
56.【答案】解：（1）（2a b）（-6a b）÷（-3a b）（a＞0，b＞0）=4
=4a．
（2）
=lg（lg2+lg5）+
=lg
=1．
【解析】本题考查指数、对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数式、对数式性质、运算法则的合理运用．
（1）利用指数式性质、运算法则求解．
（2）利用对数性质、运算法则求解．
57.【答案】解：
=4+3-1
=6．
= 24
= 24b．
【解析】本题考查指数性质、运算法则的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意指数性质、运算法则的合理运用．
利用指数性质、运算法则直接求解．
58.【答案】解：根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x2=4-（x-1）2≤4．
∴y=3u是u的增函数，
当x=1时，u max=f（1）=4，而u．
∴0＜3u≤34，即值域为（0，81]．
（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3u是u的增函数，
根据同增异减原则.即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）；
其证明如下：
任取x1，x2（-∞，1]且令x1＜x2,
则=÷===
∵x1＜x2，x1，x2（-∞，1]
∴x1-x2＜0，2-x1-x2＞0
(完整word版)指数函数题型归纳
指数函数及其性质应用 1.指数函数概念 叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 一般地，函数 2. 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针 方向看图象，逐渐减小.
指数函数题型训练 题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型 （1）21 51- ? ?? ?? 3 251?? ? ?? （2） 2.51.7 3 1.7 （3）0.8 14?? ? ?? 1.8 12?? ??? （4） 0.5 a ()0.6 0,1a a a >≠ 归纳： 2、“同指不同底”型 （1）5 6 311?? ? ?? 5 6 833?? ? ?? （2）9 2 4 归纳： 3、“不同底不同指”型 （1）0.3 1.7 3.1 0.9 （2） 2.5 1.7 30.7 （3）0.1 0.8 - 0.2 9 - （4）b a (01)a b a b <<< （5） 1 23-?? ? ?? 13 3 归纳： 综合类：（1）已知232()3 a =，132()3 b =，232 ()5c =则a 、b 、c 的大小关系为 （2）如果0m <，则2m a =，1 ()2 m b =，0.2m c =则a 、b 、c 的大小关系为 题型二 过定点问题 1、函数33x y a -=+恒过定点 2、函数()150,1x y a a a +=->≠图像必过定点，这个定点是 3、已知对不同的a 值，函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ，则P 点的坐标 是 归纳： 题型三 解指数函数不等式 1、2212 2≤?? ? ??-x 2、 8 21()33 x x --< 3、0.225x < 4、221(2)(2)x x a a a a -++>++
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y =
【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根．
指数函数经典例题(问题详细讲解)
指数函数 1．指数函数の定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____． 分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x の取值围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数の值域是[)01， ． 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1．下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，则函数的图象一定在（） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．已知，当其值域为时，的取值范围是（）A． B． C． D． 4．若，，下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 5．已知且，，则是（） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 6．函数（）的图象是（） 7．函数与的图象大致是( ). 8．当时，函数与的图象只可能是（） 9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 10．计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元 二、填空题 1．比较大小： （1）；（2） ______ 1；（3） ______ 2．若，则的取值范围为_________． 3．求函数的单调减区间为__________． 4．的反函数的定义域是__________． 5．函数的值域是__________ ． 6．已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7．当时, ,则的取值范围是__________. 8．时，的图象过定点________ ． 9．若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10．已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11．函数的最小值为____________. 12．函数的单调递增区间是____________. 13．已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14．若函数（且）在区间上的最大值是14，那么等于 _________． 三、解答题 1．按从小到大排列下列各数： ，，，，，，， 2．设有两个函数与，要使（1）；（2），求、的取值范围． 3．已知 ,试比较的大小. 4．若函数是奇函数，求的值． 5．已知，求函数的值域． 6．解方程： 指数函数练习题 指数与指数函数练习题 姓名 学号 （一）指数 1、化简［ 3 2 ) 5(-］ 4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将 3 2 2-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2 12- B ．3 12- C ．2 1 2-- D ． 6 52- 3. 3 334)2 1 ()21()2()2(---+-+----的值 （ ） A 4 3 7 B 8 C －24 D －8 4(a, b 为正数)的结果是_________． 5、 3 2 1 41()6437 ---+-=__________． 6、 ) 3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 （二）指数函数 一． 选择题： 1. 函数x y 24-=的定义域为 （ ） A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 2. 下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是 （ ） A ||x y = B 2 y x = C 3x y = D x y 5.0= 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分 裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） 511 .A 个 512 .B 个 1023 .C 个 1024 .D 个 ax x f =)(x a x g =)(的图 增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（ ） n a A +1(.％13 ) n a B +1(.％12 ) n a C +1(.％11 ) n D -1(9 10 . ％12 ) 二． 填空题： 1、已知)(x f 是指数函数，且25 5 )23(=-f ，则=)3(f 2、 已知指数函数图像经过点P(1,3)-，则(2)f = 3、 比较大小12 2- 1 3 2- ， 0.32()3 0.22 ()3 ， 0.31.8 1 4、 3 1 1 2 13,32,2-?? ? ??的大小顺序有小到大依 次 为 _________ 。 5、 设10<x x x x a a 成立的x 的集合是 6、 函数 y = 7、 函数 y = 8、若函数1 41 )(++=x a x f 是奇函数，则a =_________ 三、解答题： 本节知识点 1、 （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.） 0的任何次方根都是0 2 3、 分数指数幂 4、 有理指数幂运算性质 ① (0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈ ② ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 5、 指数函数的概念 一般的，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 6、指数函数x y a =在底数 及这两种情况下的图象和性质： 指数与指数函数试题归纳精编 （一）指数 1、化简［32)5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．212- B ．312- C ．212 -- D ．6 52- 3、化简 4 216132332)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是（ ） A ．a b B ．ab C ．b a D ．a 2b 4、化简1111132168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、11321122--??- ??? B 、1 13212--??- ??? C 、13212-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)71(027 .0143231+-+-----=__________． 6、32 11321 3 2 )(----÷a b b a b a b a =__________． 7、21203271037(2)0.1(2)392748 π-++-+—=__________。 8、)31()3)((65 6131212132b a b a b a ÷-=__________。 9 、41 60.2503 21648200549-+---）（）（） =__________。 10、若32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值。 11、已知1 1 22a a -+=3，求（1）1a a -+； （2）22a a -+； （二）指数函数 题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域 1、 含指数函数的复合函数的定义域 （1） 由于指数函数()1,0≠>=a a a y x 且的定义域是R ，所以函数()x f a y =的定义域与()x f 的定义域相同. （2） 对于函数()()1,0≠>=a a a f y x 且的定义域，关键是找出x a t =的值域哪些部分()t f y =的定义域中. 2、 含指数函数的复合函数的值域 （1） 在求形如()x f a y =()1,0≠>a a 且的函数值域时，先求得()x f 的值域（即()x f t =中t 的范围），再根据t a y =的单调性列出指数不等式，得出t a 的范围，即()x f a y =的值域. （2） 在求形如()x a f y =()1,0≠>a a 且的函数值域时，易知0>x a （或根据()x a f y =对x 限定的更加具 体的范围列指数不等式，得出x a 的具体范围），然后再()+∞∈,0t 上，求()t f y =的值域即可. 本节知识点 1、 (一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.) ◆ 55n n n ?=??=-??正数的次方根是正数当是奇数时，负数的次方根是负数 ◆ 20,n a n n ?>????正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根 ◆ 0的任何次方根都是0 2 ◆ n a =当 ◆ ,0,0a a n a a a ≥?==?-≤?当 3、 分数指数幂 ◆ **0,,,1)1(0,,,1)m n m n m n a a m n N n a a a m n N n a -?=>∈>???=>∈>??? 正分数指数幂的意义且当为正数时，负分数指数幂的意义且 ◆ 0 0???0的正分数指数幂等于当a 为时，0的负分数指数幂无意义 4、 有理指数幂运算性质 ① (0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 5、 指数函数的概念 一般的，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域是R ． 6、指数函数x y a =在底数及这两种情况下的图象和性质: 1a > 01a << 图 象 性 质 (１）定义域: R （2)值域： (0)+∞， （３）过点 ,即0x =时1y = (4）单调递增 (4) 指数与指数函数试题归纳精编 (一）指数 1、化简[32)5(-]4 3的结果为 ( ) Ａ.5 B ．5 Ｃ．-5? D.－5 ２、将322-化为分数指数幂的形式为( ) A.212- B ．312- Ｃ.212 -- D ．6 52- 3、化简 4 216132332)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是( ) A ．a b ??? Ｂ.ａb ? Ｃ．b a D ．a 2b 4、化简1111132168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????,结果是（ ） Ａ、11321122--??- ??? Ｂ、1 13212--??- ??? Ｃ、13212-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1(027.0143 231 +-+-----=__＿_______. 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25) x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2 (25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14 x > ．∴x 的取值范围是1 4 ?? + ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2 16 0x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令2 6x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2 061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 指数函数 【知识点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?， 1 2x y =，31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x ==???时，在实数范围 内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2, 3, (), ()2 3 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可 指数函数习题大全（1） 新泰一中 闫辉 一,填空题 1有下列四个命题：其中正确的个数是（ ） ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2 ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．8 3a =；②2a =a =；④3 a =.其中不一定正确的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 40 (4)a -有意义，则实数a 的取值围是（ ） A ．2a ≥ B ．24a ≤<或4a > C ．2a ≠ D ．4a ≠ 5=a 的取值围是（ ） A ．12a ≥ B ．12a ≤ C ．11 22 a -≤≤ D ．R 6、12 16 -的值为（ ） A ．4 B ． 14 C ．2 D ．1 2 7、下列式子正确的是( ) A ．123 6 (1)(1)-=- B 3 5 2=- C 25 a =- D ．12 0- = 8化为分数指数幂的形式为（ ） A ．12 2- B ．12 2 - - C ．13 2- D ．56 2- 9. 函数y = ） A 、(,0]-∞ B 、(,1]-∞ C 、[0,)+∞ D 、[1,)+∞ 10.01,1a b <<<-，则函数()x f x a b =+的图象不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 11. 设1 37 x = ，则（ ） A 、21x -<<- B 、32x -<<- C 、10x -<< D 、01x << 12、若 13()273 x <<，则（ ） A 、13x -<< B 、1x <-或3x > C 、31x -<<- D 、13x << 二,填空题 1、已知0a >_________________. 2、计算或化简：（1）2 3 8()27 -=___________ （2）12113342(2)(3)x y x y --=_________________； 3、已知38,35a b ==，则23 3a b -=________________； 4、若4 16,x =且x R ∈，则x =_________________. 5、求下列各式的值： （1=____________； （2=_________ 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜ b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212 3 13 5 25 8 38 9 49 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． - --- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 【例4】解 比较大小与＞且≠，＞． 当＜＜，∵＞， ＞， a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 1 11 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () ∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n a a a n n n n n n n n n n n n 1111 1111 1 1() () ()--+--+-1a 1n 101 【例5】作出下列函数的图像： 经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2 .∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2. 1．给出下列结论： ②n a n＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)； ④若2x＝16,3y＝1 27，则x＋y＝7. 其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．②④答案 B 解析 ∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝1 27，∴y＝－3. ∴x＋y＝4＋(－3)＝1，故④错． 2．函数y＝16－4x的值域是() A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 答案 C 3．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是() A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域是(0，＋∞) C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．以上都不对 答案 C 解析f(x)＝(1 3) x－1， ∵(13)x >0，∴f (x )>－1. 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 答案 D 解析 y 1＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5， ∵y ＝2x 在定义域内为增函数，∴y 1>y 3>y 2. 5．函数f (x )＝a x －b 的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．00，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞) D ．R 答案 B 8．函数f (x )＝3·4x －2x 在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( ) A ．－112 B ．0 指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一．指数幂与根式的互化： 题组一：根式化为分数指数幂 （1）化简=________．(2) 计算=________． (3)若a＜0，则=________． (4)的值为（） 题组二：运用分数指数幂进行化简： （1）下列各式中错误的是（） 1. A. B. C. D. 2.化简（）×（-）÷（）的结果（） A. 6a B. C. D. 3.（1）计算：（2）化简：． (3)（×）6+（）-4（）-×80.25-（-2009）0． 题组三：指数式的条件求值问题： 1.已知，求下列各式的值(写出过程)： （1） (2) (3)= 2.（1）已知，求的值．（2）已知2x+2-x=3，则 4x+4-x= ______ ． 题组四：利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是： ；； 2.已知，则a，b，c三者的大小关系是 A. B. C. D. 3.已知，b=，c=，则（） A. B. C. D. 题组五：指数函数过定点问题; 1．函数f（x）=2-a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（） A. B. C. D. 2.函数y=a x-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点______ ． 3.函数y(a＞0，a≠1）的图象经过定点为______ 4.题组六：指数函数解方程（或不等式）; 1.设集合A={x|-1＜x＜2}，{x|＜（）x＜1}，则A∩B=（） A. B. C. D. 2.（1）不等式的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______ (3)求不等式a2x-7＞a4x-1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围 3.方程4x-6×2x+8=0的解是______ ． 题组七：指数函数有关图像问题; 1.函数其中且的图象一定不经过( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（） A. , B. , C. , D. ,《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
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