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高考数学试题分类汇编(导数)

2007年高考数学试题分类汇编（导数）

（福建理11文）

已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<，

（海南理10）

曲线12

e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）

Ａ．29

e 2

Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e

（海南文10）

曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）

Ａ．294e

Ｂ．2

Ｃ．2

Ｄ．2

（江苏9）

已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，

则(1)'(0)

f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3

（江西理9）

12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ）

Ａ．充分不必要条件

Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

（江西理5）

5．若π

x <<，则下列命题中正确的是（ D ）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >

Ｃ．2

24sin π

x x <

Ｄ．2

24sin π

x x >

（江西文8）

若π

02x <<

，则下列命题正确的是（ B ）Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3

sin π

x x >

（辽宁理12）

已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．

出现的是（） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值

（全国一文11）

曲线313y x x =+在点413??

???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）

Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23

（全国二文8）

已知曲线2

x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

（浙江理8）

设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）

高考数学试题分类汇编(导数)

(北京文9)

()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3

（广东文12）

函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．1,e ??

+∞????

（江苏13）

已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．32

（湖北文13）

已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1

y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．3

（湖南理13）

函数3()12f x x x =-在区间[33]-，

上的最小值是＿＿＿＿．16-

（浙江文15）

曲线32242y x x x =--+在点(13)-，

处的切线方程是＿＿＿＿．520x y +-=

（安徽理 18）

设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.

（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-

+>，，故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22

()10x F x x x x

-'=-=>，，列表如下：

(02)，

2 (2)+，∞

()F x ' -

0 +

()F x

极小值(2)F

故知()F x 在(02)，

内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．

（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>．

从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，

∞内单调增加．所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>．故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．

(安徽文 20)

设函数f （x ）=-cos 2x -4t sin 2

cos 2

x +4t 2+t 2-3t +4,x ∈R,其中t ≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).

(Ⅰ)求g (t )的表达式；

(Ⅱ)诗论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．解：（I ）我们有

232()cos 4sin cos 43422

x x

f x x t t t t =--++-+

222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+

23(sin )433x t t t =-+-+．

由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即

3()433g t t t =-+．

（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，．列表如下：

121?

?-- ??

?，

1221??- ???

， 12 112?? ???

， ()g t '

0 - 0

()g t

极大值12g ??

- ???

极小值12g ??

???

由此可见，()g t 在区间112??-- ???，和112?? ???，单调增加，在区间1122??

- ???，单调减小，极小值为

122g ??= ???，极大值为42g 1??

-= ???

．（北京理 19）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆

上，记2CD x =，梯形面积为S ．

（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．

解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．

点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥，

解得222(0)y r x x r =-<<

221

(22)22

S x r r x =

+- 222()x r r x =+- ，其定义域为{}0x x r <<．

（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，，则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得1

x r =．因为当02r x <<

时，()0f x '>；当2

x r <<时，()0f x '<，所以12f r ??

???

是()f x 的最大值．

因此，当1

x r =

时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ??= ???

．

即梯形面积S 的最大值为

332

r ． 4r

D A B O

（福建理 22）

已知函数()e x f x kx x =-∈R ，

（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1

(1)(2)()(e

2)()n n F F F n n +*>+∈N ．

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．

解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，

．（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．

于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．

①当(01]k ∈，

时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．

②当(1)k ∈+∞，

时，ln 0k >．

当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：

(0ln )k ，

ln k

(ln )k +∞，

()f x ' - 0

+ ()f x

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在[0)+∞，

上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，

．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，

12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，

1(1)()e 2n F F n +∴>+，

11(2)(1)e 2

()(1)e 2.

n n F F n F n F ++->+>+

由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故1

(1)(2)()(e

2)n n F F F n n +*>+∈N ，．

（福建文 20）

设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；

（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，

恒成立，求实数m 的取值范围．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，

∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-．

（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）．当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：

(01)，

(12)，

()g t ' + 0 - ()g t

递增

极大值

1m -

递减

()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．

()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，

即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．

(广东理、文 20)

已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．

解: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有零点, 所以 0a ≠ 令 ()248382440a a a a ?=++=++= 得 37

a -±= 当 37

a --=

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零

点在[]1,1-上;

当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则

()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-

1121010a a a a f f

??=++>??-<-

-≤?

解得5a ≥或35

a --<

因此a 的取值范围是 1a > 或 35

a --≤ ;

（海南理 21）

设函数2()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2

．解：（Ⅰ）1

()2f x x x a

++，依题意有(1)0f '-=，故32

a =

．从而2231(21)(1)

()3322

x x x x f x x x ++++'==++．

()f x 的定义域为32??

-+ ???，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；

当1

12x -<<-时，()0f x '<；

当1

x >-时，()0f x '>．

从而，()f x 分别在区间31122????---+ ? ?????，，，∞单调增加，在区间112?

?-- ???，单调减少．

（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221

()x ax f x x a

++'=+．

方程22210x ax ++=的判别式248a ?=-．

（ⅰ）若0?<，即22a -<<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0?=，则2a -或2a =-．

若2a =，(2)x ∈-+，∞，2

(21)()2x f x x -'=

+．当2

2x =-时，()0f x '=，当22222x ????∈---+ ? ? ? ?????

，，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．

若2a =-，(2)x ∈+，∞，2

(21)()02

x f x x -'=

>-，()f x 也无极值．（ⅲ）若0?>，即2a >或2a <-，则22210x a x ++=有两个不同的实根

2122a a x ---=

，222

a a x -+-=．当2a <-时，12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当2a >时，1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．

综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为(2)+，∞．

()f x 的极值之和为

2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22

f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．

（海南文 19）

设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）求()f x 在区间3144??

-????，的最大值和最小值．

解：()f x 的定义域为32??

-+ ???

，∞．

（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323

x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．当312x -

<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1

x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312??-- ???，，12??-+ ???，∞单调增加，在区间112??-- ??

?，单调减少．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??

-????

，的最小值为

11ln 224f ??

-=+ ???

．

又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ????

??--

=+--=+=- ? ? ???

??0<．

所以()f x 在区间3144??

-????

，的最大值为

7ln 416

2f ??=+ ???．

（湖北理 20）

已知定义在正实数集上的函数2

1()22

f x x ax =

+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．

()2f x x a '=+∵，23()a g x x

'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．

即22

0002

00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??，，由200

32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）．即有2222215

23ln 3ln 22

b a a a a a a a =

+-=-．令225

()3ln (0)2

h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是

当(13ln )0t t ->，即1

0t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13

t e >时，()0h t '<．

故()h t 在1

0e ?? ???，为增函数，在13e ??+ ???

，

∞为减函数，于是()h t 在(0)+，

∞的最大值为12

h e e ??= ???．（Ⅱ）设2

21()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->，则()F x '23()(3)

2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，

∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，

∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．

（湖北文 19）

设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与

的大小．并说明理由．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．

解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，

则由题意可得01012

(1)0(0)0a g g ?>??-?<

>??，，，

，011322322a a a a ?>??-<+?，，，或，0322a ?<<-．故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．

（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -== ，令2()2h a a =．

当0a >时，()h a 单调增加，∴当0322a <<-时，

20()(322)2(322)2(17122)

h a h <<-=

-=- 11

216

17122=<+ ，即1(0)(1)(0)16f f f -< ．

解法2：（I ）同解法1．

（II ） 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I ）知0322a <<-， 41122170a -<-<∴2．又4210a +>，

于是 22111

2(321)(421)(421)0161616

a a a a -

=-=-+<，即212016a -

<，故1

(0)(1)(0)16

f f f -<．解法3：（I ）方程()0f x x -=?2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得

121x x a +=-，12x x a =，于是12121212

1200010(1)(1)0(1)(1)0

x x x x x x x x x x ?>??+>??

<<??-+->??-->?，

，，

，

01322322a a a a ?>?

<->+?，

，

或0322a ?<<-．故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．

（II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得

12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--

11221112216x x x x +-+-????

<= ? ?????

，故1(0)(1)(0)16f f f -<．

（湖南理 19）

如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<< ），且2

sin 5

θ=

，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为

万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，

3(km)OA =．

（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；

（II ）对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．

（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．

解：（I ）如图，PH α⊥，HB α?，PB AB ⊥，由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，

1sin PH PB θ

==．

设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则

2221PD x PB x =+=+[12]∈，

．记总造价为1()f x 万元，

Ｏ

H P

E D

据题设有2211111

()(1)(3)224

f x PD AD AO a x x a =++

+=-++ 2

1433416x a a ????

=-++ ? ?????

当14x =

，即1

(km)4

BD =时，总造价1()f x 最小．（II ）设(km)AE y =，5

y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有

222131()13224f y PD y y a ??

??=++++-- ??????

?2433216y y a a ??=+-+ ???．

则()22123y f y a y ??' ?=- ?+??，由2()0f y '=，得1y =．

当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数；

当514y ??∈ ???，时，2()0f y '>，2()f y 在514??

???

，内是增函数．

故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为67

a 万元．（III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．

事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之

间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，123

02x y +≤≤，总造

价为S 万元，则221111113224x y S x y a ?

?=-++-+ ???．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x --≥，

2113322y y +-

≥，当且仅当11

4x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=

，1(km)AE =，S 取得最小值67

a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价．

解法二：同解法一得

221111113224x y S x y a ?

?=-++-+ ??

(

)(

)

22111111143

334416

x a y y y y a a ?

???=-++-+

+++ ??????

221111143

23(3)(3)416y y y y a a ?+-++?+≥ 67

a =．当且仅当114x =且2211113(3)(3)y y y y +-++，即111

x y ==，同时成立时，S 取得最小值67

a ，以上同解法一．

（湖南文 21）

已知函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；

（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．

解：（I ）因为函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)

-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是

2044a b <-≤，20416a b <-≤，

且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a =++--，

因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，

所以21

()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则

1x =不是()g x 的极值点．

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =++-++++，且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．

所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--．解法二：同解法一得21

()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--

2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．

当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．

设233()1222a a h x x x ???

?=++-+ ? ??

???，则

当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

h =?++=，所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =--．（辽宁理 22）

已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1

()()2

g x f x =．（I ）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]

a b ，上是减函数；（III ）证明：3

()2

f x ≥．

（辽宁文 22）

已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有

(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤．

（I ）求函数()f x 的解析式；

（II ）若对任意的[266]m ∈-，

，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围．（全国一理20）设函数()e e x x f x -=-．

（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；

（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2e e 2x -x x x -+= ≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则

()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，

（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，

故()g x 在(0)+，∞

上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．

（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为214

ln 2a a x +-=，

此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．

所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．

（全国一文 20）

设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，

，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=??++=?，．

解得3a =-，4b =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．

所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，

因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，

，．

（全国二理 22）

已知函数3()f x x x =-．

（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；

（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：

()()()y f t f t x t '-=-，

即 23(31)2y t x t =--．

（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使

23(31)2b t a t =--．

于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程

32230t at a b -++=

有三个相异的实数根．

记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=-

6()t t a =-．

当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：

(0)-∞，

0 (0)a ，

a ()a +∞，

()g t ' +

0 -

0 +

()g t

极大值

a b +

极小值

()b f a -

由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；

当0a b +=时，解方程()0g t =得302

t t ==

，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2

t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实

数根．

综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，

则0()0.

a b b f a +>??-

（全国二文 22）

已知函数321

()(2)13

f x ax bx b x =-+-+

在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；

（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

解：求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-．

（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．

所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．

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