高数B第十一章练习题

第十一章练习题

一、填空题

1、设() ()b a gxd x A a b =

L 是xOy 平面内x 轴上从点(,1)a 到(,1)b 的一条线段，则(,)L

f x y ds =?

2、(,)(,)P x y dx Q x y dy +是某个函数全微分的充分必要条件是

3、若曲线积分22(2)L

x xy dx kx dy ++?与路径无关，则常数k = 4、高斯公式Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑

++=??

5、若曲线积分3[cos ()][sin ]x x L

e y y

f x dx x e y dy ++-?与路径无关，则函数()f x = 二、选择题

1、设L 为坐标轴与直线123

x y +=所围成的区域的边界（按顺时针方向），则曲线积分L

xdy ydx +=? （ ）

A.6

B.12

C.0

D.-6

2、设L 为不经过原点的任意曲线,为了使曲线积分22()L

x ay dx ydy x y +++? 与路径无关，则常数a = ( )

A. 2

B. 0

C. 1

D. 1-

三、计算题

1、求22()()L

x y dx x y dy -++?，其中L 求点(2,0)到点(1,1)和由点(1,1)到点(0,0)的直线段所组成。

2、求(sin )(cos 2)x x L

e y x y dx e y x dy --+-?，其中L 是从原点(0,0)经上半

圆y =到点(4,0)的圆弧。

3、求(cos 2)(sin 2)x x L

e y y dx e y dy --+-?，其中L

是上半圆y = 4、求

()x y z dxdy ∑++??，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧。 5、求zdxdy xdydz ydzdx ∑++??，其中∑为柱面221x

y +=被0,3z z ==所截下的第一卦

限内的部分(取前侧方向)。

6、求222()2y z dx yzdy x dz Γ-+-?，其中Γ是曲线23x t y t z t =??=??=?

上由0t =到1t =的一段弧。

5、求xdydz ydzdx zdxdy ∑

++?? ，其中∑为介于0,3z z ==之间圆柱体229x y +=的表面的外侧。

6、计算曲线积分(sin )(cos 1)x x L

e y y dx e y dy -+-?，其中L 是从原点(,0)a 经上半圆22 (0)x y ax a +=>到点(0,0)的圆弧。

7、计算曲面积分222()()()y x dydz z y dzdx x z dxdy ∑

-+-+-??，其中∑为抛物面221z x y =--位于xOy 面的上方的部分(取上侧方向)。

四、证明题

1、设()f u 为连续可导的函数，证明对于平面上任意一条逐段光滑闭曲线L ，都有()()0L

f xy ydx xdy +=? 。

2、设()f u 为(,)-∞+∞内为连续函数，求证2221()[()1]y f xy x dx y f xy dy y y

++-在整个平面除去x 轴的区域G 内是某个函数的全微分。

（或者证当L 为上半平面分段光滑曲线时，2221()[()1]L

y f xy x dx y f xy dy y y ++-?与路径无关）

五、选做题*（程度较好的同学选做）

1、 3222(1)[(1)]AB x dx ydy

x y -+-+?，其中 AB 是沿椭圆22221x y a b

+=从(,0)A a 到(0,)B b 的一段弧，1a ≠。

2、设()x ?在(,)-∞+∞有连续导数且()1?π=。试确定()x ?，使得积分

[sin ()]()AB y I x x dx x dy x

??=-+?在右半平面与路径无关。并求当,A B 分别为(1,1),(,)ππ时的积分值。

3、计算曲面积分222222()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑

-+-+-??，其中∑为上半椭圆面222

222 1 (0)x y z z a b c

++=≥ (取上侧方向)。

多元函数积分学常见题型与方法

1、对称的应用与求积分（二重积分、三重积分、对孤长的曲线积分、对坐标的曲线积分、

对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分均有）；

2、交换积分顺序与计算累次积分

第一步：由累次积分的上、下限给出积分区域满足的不等式组；第二步：画出积分区域的草图；第三步：给出新的累次积分的上下限；

3、两种坐标系中累次积分的转换（二重积分：直角坐标系与极坐标系；三重积分：直角坐

标系与柱坐标系）；

4、重积分的计算

第一步：根据积分区域与被积函数选取适当的坐标系；第二步：选取适当的累次积分顺序；第三步：用适当的方法求解（如根据对称性先化简等）

5、曲线积分的计算：利用参数法求解；利用辅助线与格林公式求解；

6、曲面积分的计算：坐标法求解；辅助平面法与高斯公式求解；

7、几何应用：空间区域的体积：曲面的面积；

8、格林公式与高斯公式在计算多元函数积分中的应用：

①直接应用：在闭合曲线的第二型曲线积分，用格林公式化为在曲线内部分区域上的二重积分；对闭合曲面的曲面积分，用高斯公式化为闭合曲面所围区域的三重积分；

②对于非闭合曲线的第二型曲线积分，加辅助线化为闭合曲线，再利用格林公式进行运算；（对非闭合曲面的第二型曲面积分，也有加辅助面法与高斯公式）；

③无法直接使用格林公式的曲线积分，还可在其内部分添加辅助闭曲线，使其满足用格林公式的条件，再进行运算；（无法直接使用高斯公式亦然）；

9、平面上第二型曲线积分与路径无关的问题与原函数的求法

高等数学第一章练习题答案

第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →

5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+

高数第十一章习题

第十一章第一节曲线积分习题 一、填空题: 1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ,则Ｌ的质量Ｍ=_______________； 2、 ?L ds =_______________； 3、对________的曲线积分与曲线的方向无关； 4、 ? L ds y x f ),(=?'+'β α φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要求α ________β. 5、计算下列求弧长的曲线积分: 1、 ?+L y x ds e 2 2,其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、?Γ yzds x 2 ,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3、?+L ds y x )(2 2 ,其中Ｌ为曲线? ??-=+=)cos (sin ) sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ； 4、计算?L ds y ,其中Ｌ为双纽线 )0()()(2 22222>-=+a y x a y x . 三、设螺旋形弹簧一圈的方程为 t a x cos =,t a y sin =,kt z =,其中π20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ； 2、它的重心 . 答案一、1、?L ds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长； 4、<. 二、1、2)4 2(-+ a e a π ；2、9；3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a . 三、)43(3 22 22222k a k a a I z ππ++=；222 2436k a ak x π+=； 2222436k a ak y ππ+-=； 2 2222243) 2(3k a k a k z πππ++= . 第二节对坐标的曲线积分习题 一、填空题: 1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关； 2、设0),(),(≠+?dy y x Q dx y x P L ,则 =++??-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+?dy y x Q dx y x P L ),(),(?'+'β α φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应 于L 的____点； 4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________. 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、? L xydx ,其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； 2、?+--+L y x dy y x dx y x 22)()(,其中L 为圆周2 22a y x =+(按逆时针方向饶行)； 3、?Γ +-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4、 ?++ABCDA y x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ,)0,1(-C ,)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 . 三、设z 轴与重力的方向一致,求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、 沿抛物线2 x y =从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x 222 =+从点(0,0)到点(1,1). 答案 一、1、坐标； 2、-1； 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ?Γ ++ds R Q P )cos cos cos (γβα?Γ ++=. 二、1、;2 3a π - 2、π2-； 3、 2 1 ； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==.

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题 一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则 ｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A

高数习题第十一章习题黄立宏第4版

习题11-2 1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0L P x y x =? ,其中(),P x y 在L 上 连续. 证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段， 则 L ：12x a b t b y t =?≤≤?=? ，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ??=?=?= ??? ??? 2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明： (,)d (,0)d b L a P x y x P x x =? ?, 其中(),P x y 在L 上连续. 证：L ：0x x a x b y =?≤≤?=? ，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d b L a P x y x P x x =?? 3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）2 2()d L x y x -?,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） d L xy x ? ，其中L 为圆周()2 22x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内 的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （3） d d L y x x y +?,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π 2的一段弧； （4） 22()d ()d L x y x x y y x y +--+?,其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5） 2d d d x x z y y z +-?Γ ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0 到π的一段弧； （6） 322 d 3d ()d x x zy y x y z ++-?Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线； （7） d d d x y y z -+?Γ,其中Γ 为有向闭折线ABCA ，这里A B C 、、依次为点

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限

9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε　 （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量

第十一章 无穷级数(习题及解答)

第十一章 无穷级数 §11.1 级数的概念、性质 一、单项选择题 1. 若级数 1 n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A ) 1q =； (B )1q =-； (C )1q <； (D )1q >． 答(D )． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞ =，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim ()0n n n u u +→∞ -=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D )若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞ =∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B )11 n n k u k S ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞ ==∑； (D )11 2 n n n u S v S ∞ == ∑ ． 答(D ). 4. 若级数1 n n u ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 1 1 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D )1 n ∞=∑ 收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B )2S a +； (C)12S a a +-； (D )21S a a +-．答(B). 6. 若级数∑∞ =1 n n a 发散，∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D ) ∑∞ =+1 2 2)(n n n b a 发散. 答(A).

高数各章综合测试题与复习资料

第十一章 无穷级数测试题 一、单项选择题 1、若幂级数 1 (1)n n n a x ∞ =+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定. 2、下列级数条件收敛的是( ). (A) 1(1);210 n n n n ∞ =-+∑ (B) 1 n n -∞ = (C) 1 1 1 (1) ();2 n n n ∞ -=-∑ (D) 1 1 (1)n n ∞ -=-∑ 3、若数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛于S ，则级数 ()121 n n n n a a a ∞ ++=++=∑( ) (A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a 为正常数，则级数 21sin n na n ∞ =??? ∑( ). (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2 (),01f x x x =<≤，而1 ()sin π,n n S x b n x x ∞ ==-∞<<+∞∑， 其中10 2 ()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==?L ，则1 ()2 S -等于( ) (A) 1;2- (B) 1 ;4 - (C) 1;4 (D) 12. 二、填空题 1、 设 14n n u ∞==∑，则1 11 ()22n n n u ∞ =-=∑( ) 2、 设 () 1 1 1n n n a x ∞ +=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数 () 1 1n n n na x ∞ =+∑的收敛区间为( ) 3、 设3 2,10 (),01x f x x x -

高等数学-习题答案-方明亮-第十一章

高等数学方明亮版第十一章答案 习 题 11-1 1．判断下列方程是几阶微分方程？ （1）2 3d tan 3sin 1d ??=++ ??? y y t t t t ； （2）(76)d ()d 0-++=x y x x y y ； （3）2()20''''-+=x y yy x ； （4）422()0'''''++=xy y x y ． 解 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有， （1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2'=xy y ，25=y x ； （2）0''+=y y ，3sin 4cos =-y x x ； （3）20'''-+=y y y ，2e =x y x ； （4）2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，ln()=y xy ． 解 （1）将10'=y x 代入所给微分方程的左边，得左边210=x ，而右边＝22(5)x 210=x =左边，所以25=y x 是2'=xy y 的解． （2）将3cos 4sin '=+y x x ，3sin 4cos ''=-+y x x 代入所给微分方程的左边，得左边(3sin 4cos )(3sin 4cos )0=-++-==x x x x 右边，所以3sin 4cos =-y x x 是所给微分方程0''+=y y 的解． （3）将2e =x y x ，22e e '=+x x y x x ，22e 4e e ''=++x x x y x x 代入所给微分方程的左边，得 左边222(2e 4e e )2(2e e )e 2e 0=++-++=≠x x x x x x x x x x x x （右边）， 所以2e =x y x 不是所给微分方程20'''-+=y y y 的解． （4）对ln()=y xy 的两边关于x 求导，得 1''=+y y x y ， 即 ''=+xyy y xy ． 再对x 求导，得 2()''''''''++=++yy x y xyy y y xy ， 即 2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ， 所以ln()=y xy 是所给微分方程2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y 的解．

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷（B ） 一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。

高数第一章综合测试题复习过程

第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

高数第十一章习题

第十一章 习题课 一、判断题（每题3分） 1.设区域Ω是一个单连通区域，函数()(),,,P x y Q x y 在Ω内具有一阶连续偏导，若在Ω内存在函数(),u x y ，使得 du Pdx Qdy =+，则曲线积分L Pdx Qdy +?在Ω内与路径无 关的. （ ） 2.设区域G 是一个单连通区域，函数()(),,,P x y Q x y 在G 内具有一阶连续偏导，则曲线积分L Pdx Qdy +?在G 内与路径无 关的充分必要条件是：在G 内存在函数(),u x y ，使得 du Pdx Qdy =+. （ ） 3.函数),(),,(y x Q y x P 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 dy y x Q dx L y x P ),(),(+?在G 内与路径无关? x y P ??=??Q 在 G 内恒成立 （ ) 4.设L 为xoy 平面内直线x a =上的一段，则(,)0L P x y dx =?. （ ） 5.设L 为圆周 221x y +=按逆时针转一周,则 0L xdy ydx +=? . ( )

6．若 c 为2 2 1x y +=正向一周，则22 0c xdx ydy x y +=+? . （ ） 7．设L 是任意一条光滑的闭曲线，则2 20L xydx x dy +=?. （ ） 8.若C 是以()()0,0,1,1O A 为端点的直线段，则曲线积分 ()0C y x dx -=?. （ ） 二、选择题（每题3分） 1. L 为圆周 22 1x y +=，计算对弧长的曲线积分22 x y L e ds +=?（ C ）. （A ）0 （B ）e π （C ）2e π （D ）3e π 2.设L 是抛物线2x y = 上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧， 则对弧长的曲线积分(,)L P x y ds =?（ C ） （A ）?4 02 ),(dx x x P ; （B ）?2 02 ),(dx x x P ; （C ）?+2 02 2 41),(dx x x x P ; （D ）?0 2 2 ),(dx x x P . 3. 设积分弧段L 为圆周22 9x y +=的上半圆，则曲线积分 22()L x y ds +=?（ C ）. （A ）3π （B ）6π （C ）27π （D ）54π

高等数学第七版课后练习题

高等数学第七版课后练 习题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

第一章、函数、极限与连续 1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件 5、求下列函数的定义域。 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2211(),()f x x f x x x +=+求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数哪些是非奇非偶函数。 12、判断下列函数的奇偶性。 13、求下列函数的周期。 14、下列函数能够复合成一个函数。 15、函数13ln sin y y x ==，由哪些较简单的函数复合而成。 16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。 17、下列函数的极限。 18、求下列函数的极限。 19、求下列函数的极限。 20、求下列极限。 21、求下列函数的极限。

《高数》下第十一章练习题

第十一章 曲线积分与曲面积分 习题 11-1 1.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。用对弧长的曲线积分分别表达： （1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I （2）这曲线弧的质心坐标x ,y 2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3 3.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22(x y )n L ds +?? ，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤ （2） (x y)ds L +?，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段 （3）x L ds ?? ，其中L 为由直线y=x 及抛物线2 y x =所围成的区域的整个边界 （4）L ?? ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界 （5）2221ds x y z Γ++?，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2 的这段弧 （6） 2x yzds Γ ?，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） （7） 2L y ds ? ，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤ （8）2 2(x )ds L y +?，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤ 4.求半径为ａ，中心角为2?的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心 5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度 222(x,y,z)x y z ρ=++．求： （１）它关于ｚ轴的转动惯量z I （２）它的质心。

高等数学下册 第十一章 综合练习题答案

第十一章自测题参考答案 一、填空题： 1.()?Γ ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量 2. ()??∑ ++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量 3. ????? ? ????-??D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()?? 10 1 ,dy y x f dx ， ()??-1 10,dy y x f dx ， 0 9. () ?-L ds x x y x P 22, 二、选择题： 1.C 2.C 3.A 4.A 5.D 三、计算题： 1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以? L ds x 2 = ? L ds y 2=?L ds z 2， 故? L ds x 2 = () ?++ds z y x 2 2231=3223 223131a a a ds a L ππ=?=?. 2.解 原式= ()[](){}?+---π 20sin cos 1cos 12dt t t t () ? +=π20 2 sin sin dt t t =π 20 2sin 2121?? ? ??-t t =π 3.解 记222:y x a z S --= ，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+ 原式= () dxdy y z x z y x a y x D 2 2 2 221??? ? ????+??? ????+--+ +?? =() ??--? --+ +D dxdy y x a y x a y x a 2 2 2 2221 注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知 ?? --D dxdy y x a x 2 2 2 =?? --D dxdy y x a y 2 22=0，所以 原式=??D dxdy a =2 a a π?=3 a π. 4.解 利用高斯公式 原式=()???Ω ++dxdydz z y x 2 其中Ω为S 所围成的空间区域。由Ω关于坐标平面的对称性知

高等数学上册第一章测试试卷

理科A 班第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷

高等数学I(专科类)第1阶段测试题

江南大学现代远程教育 第一阶段测试卷 考试科目:《高等数学》高起专 第一章至第二章（总分100分） 时间：90分钟 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y =的定义域是 ( A ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 设12f x x = +（）， 则(())f f x = ( D ) (a) 522x x ++ (b) 25x + (c) 2x + (d) 252x x ++ 3. 10 lim(19)x x x →- C (a) e (b) 9 (c) 9e - (d) ∞ 4. 2 20lim sin(4) x x x → D (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14 5. 在 0x → 时, 1cos x - 是关于 x 的 ( C ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量 二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设(5)3f x x =-, 则 ()f x =___ 35x -________. 7. 函数() f x = 的定义域是___-1

10. 设34,0,()5,0,12tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=__1_____. 11. 24lim(1)x x x +→∞-=_____. 12. 32332lim 325x x x x x x →∞+--+= 3 1 . 三.解答题(满分52分) 13. 求 47lim()48 x x x x →∞-- . 14. 求 02lim sin 3x x → . 15. 求 32sin lim 254cos x x x x x →∞+-+-. 16. 求 2lim x →- 17. 求 123lim 24 n n n +→∞-+ .

高等数学(上)第一章练习题

高等数学（上）第一章练习题 一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6． 已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7． 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________.

高等数学下册第十一章习题答案详解

高等数学下册第十一章习题答案详解 1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0L P x y x =? ,其中(),P x y 在L 上 连续. 证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段， 则 L ：12x a b t b y t =?≤≤?=? ，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ??=?=?= ??? ??? 2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明： (,)d (,0)d b L a P x y x P x x =? ?, 其中(),P x y 在L 上连续. 证：L ：0x x a x b y =?≤≤?=? ，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d b L a P x y x P x x =?? 3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）2 2()d L x y x -?,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） d L xy x ? ，其中L 为圆周()2 22x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内 的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （3） d d L y x x y +?,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π 2 的一段弧； （4） 22()d ()d L x y x x y y x y +--+?,其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5） 2d d d x x z y y z +-?Γ ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0 到π的一段弧； （6） 322 d 3d ()d x x zy y x y z ++-?Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线； （7） d d d x y y z -+?Γ,其中Γ 为有向闭折线ABCA ，这里A B C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)， ，；

(完整word版)专升本高数第一章练习题(带答案)

第一部分： 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域() , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则()2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界，B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤，故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A. 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C