经典排列组合问题100题配超详细解析
1．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)
(69)n n n ---等于
A ．5569n
n A --
B ．15
55n A -
C ．1569n A -
D ．14
69n A -
【答案】C
【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)
(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数
为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-（55-n ）+1=15个数，因此选择C
2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 38种 D. 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B
3．n ∈N *
，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ ）
A ．80
100n A - B ．n
n A --20100 C ．81100n A -
D ．8120n A -
【答案】C
【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N *
，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于81
100n A -，选C
4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( )
A.56
B. 96
C. 36
D.360 【答案】B
【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么
其余的有A 3
5=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种
5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B
【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有
46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3560A =种，乙从事翻译工作的有3
560A =种，
若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240种．
6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B j （1≤i ≤4,1≤j ≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有
（ ）对“和睦线”.
A ．60
B ．62
C ．72 D.124 【答案】A
【解析】在∠AOB 的两边上分别取,(),i j A A i j <和,()p q B B p q <，可得四边形i j p q
A A
B B 中，恰有一对“和睦线”(i p AB 和)j q A B ，而在
OA 上取两点有25C 种方法，在OB 上取两点有2
4C 种方法，共有10660⨯=对“和睦线”.
7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 （ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．15 【答案】B
【解析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 42
=6（个）
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C 41
=4个，
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C 40
=1，
由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个
8．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）
A ． 6种
B ． 12种
C ． 30种
D ． 36种 【答案】C
【解析】分有一门不相同和二门不相同两种情况，所以共有2112
422430C C C C +=
9．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为( )．
A ．5个
B ．8个
C ．10个
D ．15个 【答案】D
【解析】由于从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，并且袋中红球有3个，设袋中共有球的个数为n,则
31
,5
n =所以15n =. 10．从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子，每个盒子放一球，则1号球不放1号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为
A． 10 B． 12 C． 14 D． 16
【答案】C
【解析】解：由题意知元素的限制条件比较多，要分类解决，
当选出的三个球是1、2、3或1、3、4时，以前一组为例，
1号球在2号盒子里，2号和3号只有一种方法，
1号球在3号盒子里，2号和3号各有两种结果，
选1、2、3时共有3种结果，
选1、3、4时也有3种结果，
当选到1、2、4或2、3、4时，各有C21A22=4种结果，
由分类和分步计数原理得到共有3+3+4+4=14种结果，
故选C．
11．．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种 D．144种
【答案】C
【解析】解：本题是一个分步计数问题，
∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，
∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果
∵程序B和C实施时必须相邻，
∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果.根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，
故选C．
12．由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有
A. 12个
B. 48个
C. 84个
D. 96个
【答案】C
【解析】解：因为先排雷1，2，3,4然后将其与的元素插入进去，则根据相同数字不能相邻的原则得到满足题意的6位数有84个。选C
13．若把英语单词“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（）A．119 B．59 C．120 D．60
【答案】B
【解析】解：∵五个字母进行全排列共有A55=120种结果，
字母中包含2个l，
∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，
在这60种结果里有一个是正确的，
∴可能出现的错误的种数是60-1=59，
故选B．
方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同14．用三种不同的颜色填涂如图33
色，则不同的填涂种数共有
.A6.B12.C24.D48
【答案】B
【解析】解：先填正中间的方格，由1
3C 中涂法，再添第二行第一个方格有2种涂法，再涂
第一行第一列有2种涂法，其它各行各列都已经确定，故共有涂法13C ×2×2=12种.
15．、A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边，（A ，B 可以不相邻）那么
不同的排法有（ ） A ．24种 B ．60种 C ．90种 D ．120种 【答案】B
【解析】解：根据题意，使用倍分法，
五人并排站成一排，有A 55
种情况，
而其中B 站在A 的左边与B 站在A 的右边是等可能的， 则其情况数目是相等的，
则B 站在A A 55
=60， 故选B ．
16．由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有 （ ） A ．10个 B ．14个 C ．16个 D ．18个 【答案】D
【解析】解：奇数的最后一位只能是3.5；以3结尾56相邻的数有3×2×2个（把5.6看成一个数，四位数变成三位数，除去3，有两位可以 在3个数中选：2.4.56，三选二有3×2种选择，而56排列不分先后又有两种选择．）以5结尾的数有3×2个（5结尾倒数第二位为6，还剩三个数可以选，三选二有3×2种选择．）一共有3×2×3个 没有重复的四位数中5 6相邻的奇数18个；故答案为D ．
17．6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ）
A 、288
B 、480
C 、600
D 、640 【答案】A
【解析】解：因为6个人排成一排，所有的情况为66A ,那么不相邻的方法为42
45A A =288，选
A
18．由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数为 A ．24 B ．28 C ． 32 D ． 36 【答案】D
【解析】如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A 32A 22
=24种，
如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×A 22A 22
=12种，共计12+24=36种.
19．有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法是（ ）种 A ．36 B ．48 C ．72 D ．96 【答案】C
【解析】32
3472A A .
20．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
【答案】B
【解析】512
542960A A A =.
21．5人排成一排，其中甲必须在乙左边不同排法有（ ） A 、 60 B 、63 C 、 120 D 、124 【答案】A
【解析
22． 从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有（ ）
A ．240种
B ．280种
C ． 96种
D ．180种 【答案】D
【解析】解：由题意，从6名学生中选取4名学生参加数学，物理，化学，外语竞赛，共有5×4×3×6=360种; 运用间接法先求解甲、乙两名同学能参加生物竞赛的情况180，然后总数减去即为甲、乙两名同学不能参加生物竞赛则选派方案共有180种，选D 23．如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求 在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A.96
B. 84
C. 60
D. 48 【答案】B
【解析】解：分三类：种两种花有2
4A 种种法； 种三种花有234A 种种法； 种四种花有44A 种种法． 共有234A +24A +44A =84．
故选B
24．2位教师与5位学生排成一排，要求2位教师相邻但不排在两端，不同的排 法共有（ ）
A. 480种
B.720种
C. 960种
D.1440种 【答案】C
【解析】解：因为先将老师捆绑起来有2种，然后利用确定两端有A 52
种，然后进行全排列
共有A 44
，按照分步计数原理得到所有的排列方法共有960种
25．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T
作拼字游戏，若字母的排列是
随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率
（A
（B
（C
（D
【答案】B
【解析】解：因为从13空位中选取8个空位即可，那么所有的排列就是13
13A ,而恰好组成
“MATHEMATICIAN ”的情况有3222
3
222A A A A ，则利用古典概型概率可知为B 26．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人
不能相邻，则不同的排法共有
（A ）4种 （B ）6种 （C ）8种 （D ）12种 【答案】C
【解析】解：本题是一个分步计数问题，
首先将两个穿红衣服的人排列，有A22=2种结果，
再把两个穿黄色衣服的人排列在上面两个人形成的两个空中， 不能排在三个空的中间一个空中，避免两个穿红色衣服的人相邻， 共有2×2+2×2=8， 故选C
27．4名运动员报名参加3个项目的比赛，每人限报一项，不同的报名方法有
（A ）4
3种
（B ）3
4种
（C ）34A 种
（D ）3
4C 种
【答案】A
【解析】解：因为4名运动员报名参加3个项目的比赛，每人限报一项，则每个人有3中选择，因此共有4
3种，选A
28．将1，2，3填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字(右面是一种填法)，则不同的填写方法共有（ ）
（A ）48种 （B ）24种 （C ）12种 （D ）6种 【答案】C
【解析】解：填好第一行和第一列， 其他的行和列就确定，
∴33A 2
2A =12，
故选C
29．6个人排成一排，其中甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为（ ）
（A ）6
6A
（B ）333A （C ）3333A A （D ）4
433A A
【答案】D
【解析】解：∵6名同学排成一排，其中甲、乙、丙两人必须排在一起， ∴首先把甲和乙、丙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，
共有4
433A A
故选D
30．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球排成一列，要求1号球与2号球必须相邻，5号球与6号球不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A. 36
B. 142
C. 48
D. 144 【答案】D
【解析】解：根据题意，先将1号球与2号球，看作一个元素，考虑两者的顺序，有A 22
=2种情况，
再将1号球与2号球这个大元素与3号球、4号球进行全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，
最后在4个空位中任取2个，安排5号球与6号球，有A 42
=12种情况， 由分步计数原理可得，共有2×6×12=144种情况； 故选D ．
31．用0、1、2能组成没有重复数字的自然数个数是 （ ） A. 15 B. 11 C. 18 D. 27 【答案】B
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
∵用0、1、2能组成没有重复数字的自然数，当自然数是一位数时，共有3个， 当自然数是两位数是有2×2=4个， 当自然数是3位数时有2×2=4个，
∴根据分类计数原理知共有3+4+4=11个， 故选B ．
32．m （m+1)（m+2）﹒﹒﹒﹒（m+20）可表示为（ ）
A m A 2); A m
B 21); A m
C 220)+; A m
D 21
20)+
【答案】D 【
解析】
2120(20)(19)
(1)(20211)(20)(19)(1)m A m m m m m m m m +=++++-+=+++.
33．用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ）
A.8个
B. 10个
C. 18个
D. 24个 【答案】A
【解析】解：因为先排末尾有2种，再排首位有2种，其余的进行全排列共有2中，则利用分布乘法奇数原理可知一共有8种，选A
34．某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同 的停放方法共有
（A）16种（B）18种（C）24种（D）32种
【答案】C
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，
A，
当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列3
3
A
当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列3
3
A，
当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列3
3
A，
当最右边三辆时，有车之间的一个排列3
3
A=24种结果，
总上可知共有不同的排列法4×3
3
故选C
35．6位好朋友在一次元旦聚会中进行礼品交换，任意两位朋友之间最多交换一次，进行交换的两位朋友互赠一份礼品，已知这6位好朋友之间共进行了13次互换，则收到4份礼品的同学人数为（）
A、1或4
B、2或4
C、2或3
D、1或3
【答案】B
【解析】解：因为6位好朋友在一次元旦聚会中进行礼品交换，任意两位朋友之间最多交换一次，进行交换的两位朋友互赠一份礼品，已知这6位好朋友之间共进行了13次互换，则收到4份礼品的同学人数为2或4，选B
36．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有
A．3种B．6种C．36种D．48种
【答案】A
【解析】.
37．有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同信息，则这排二极管能表示的信息种数共有（）种
A.10 B .48 C .60 D .80
【答案】D
【解析】解：先选出三个孔来：
1）若任意选择三个孔，则有C73=35种选法
2）若三个孔相邻，则有5种选法
3）若只有二个孔相邻，
相邻孔为1、2两孔时，第三孔可以选4、5、6、7，有4种选法
相邻孔为2、3两孔时，第三孔可以选5、6、7，有3种选法
相邻孔为3、4两孔时，第三孔可以选1、6、7，有3种选法
相邻孔为4、5两孔时，第三孔可以选1、2、7，有3种选法
相邻孔为5、6两孔时，第三孔可以选1、2、3，有3种选法
相邻孔为6、7两孔时，第三孔可以选1、2、3、4，有4种选法 即共有4+3+3+3+3+4=20种选法
∴选出三个不相邻的孔，有35-5-20=10种选法 对于已选定的三个孔，每个孔都有两种显示信号， 则这三个孔可显示的信号数为2×2×2=8种 ∴一共可以显示的信号数为8*10=80种 故选D 38．有5张音乐专辑,其中周杰伦的3张(相同), 郁可唯和曾轶可的各1张.从中选出3张送给3个同学(每人1张).不同送法的种数有( )
A. 120
B.60
C.25
D.13 【答案】D 【解析】解：因为5张音乐专辑,其中周杰伦的3张(相同), 郁可唯和曾轶可的各1张.从中选出3张送给3个同学(每人1张)，那么先确定法周杰伦的一张，分情况讨论得到共有
313323113++=A C A , 选D
39．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A ．72种
B ．96种
C ．108种
D ．120种 【答案】B
【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96种． 故选B ．
40．由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. 36 B. 24 C. 12 D.6 【答案】B
【解析】解：因为由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为，有顺序，所以是
排列，从4个数中选3个数的全排列即为所求，故为3
4
24=A ,选B 41．4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至
少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有 A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 【答案】C
【解析】22
228A =.
42．现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有（ ）
A.288种
B.144种
C.72种
D.36种
【答案】B
【解析】首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为3
4C ，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为24C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为33A ，即满足
题意的情况共有323443144C C A 种. 故选B
43．现用4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有（ ）
A.24种
B.30种
C.36种
D.48种
【答案】D
【解析】分两种情况：一种情况是用三种颜色有3343C A ；二种情况是用四种颜色有44A .所以
不同的着色方法共有48人
44．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）
A.50种
B.510种
C.10
5种 D.520种 【答案】C
【解析】每名乘客有10种选法.所以乘客下车的可能方式有10
5种
45．现有排成一排的7个座位，安排3名同学就座，如果要求剩余的4个座位连在一起，那么不同的坐法总数为（ ）
A. 16
B. 18
C. 24
D. 32 【答案】C
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ，当左边两辆，最右边一
辆时，有车之间的一个排列33A ，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ，
当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知共有不同的排列法4×33A =24种结果， 故选C
46．如图，在一花坛A ，B ，C ，D 四个区域种花，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为 （ ）
A 、60
B 、48
C 、84
D 、72 【答案】C
【解析】解：分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有234A 种种法；种四种花有4
4A 种种法．共有24A +234A +44A =84．故选C
47．有5种颜色可供使用，将一个五棱锥的各侧面涂色，五个侧面分别编有1，2，3，4，5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法数为 （ ） A ．420 B ．720 C ．1020 D ．1620 【答案】C
【解析】解：在五个侧面上顺时针或逆时针编号．
分1号面、3号面同色和1号面、3号面不同色两种情况：
1、3同色，1和3有5种选择，
2、4各有4种、5有3种，共有5⨯4⨯4⨯3=240种； 1、3不同色，1有5种选择，2有4种，3有3种，
再分4与1同，则5有4种，4不与1同，4有3种，5有3种，共有5⨯4⨯3⨯（4+3⨯3）=780种；根据分类加法原理得共有240+780=1020种． 故选C
48．五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有（ ） A ．20种 B ．24种 C ．40种 D ．56种 【答案】C
【解析】丙可排在第三，四，五位置，排法共有22224
2232440A A A A A ++=种
49．2011年3月17日上午，日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站3号机组的燃料池进行了4次注水，如果直升飞机有A ，B ，C ，D 四架供选，飞行员有甲、乙、丙、丁四人供选，且一架直升飞机只安排一名飞行员，则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的不同方法数为
A ．18
B ．36
C ．72
D ．108 【答案】C
【解析】解：因为共有4名驾驶员和4架飞机，那么要是满足两名飞行员驾驶两架直升飞机
为222442C C A 种，因选C
50．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（ ）个 A ．35 B.32 C. 210 D.207 【答案】B
【解析】解：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是：C 73
=35 在一条直线上的三点有3个符合题意的三角形有35-3=32个故答案为B
51．设m ∈N *
，且m ＜25，则(25－m )(26－m )…(30－m )等于（ ）
A ．6
25m A -
B ．2530m
m A --
C ．6
30m A - D ．5
30m A -
【答案】C
【解析】解：因为设m ∈N *
，且m ＜25，则(25－m )(26－m )…(30－m )，则表示的连续自然数
的积，因此表示首项为30-m ，共有6项，则表示6
30m A -,选C
52． 来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 A ．48种 B ．64种 C ．72种 D ．96种 【答案】A
【解析】解：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．
三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排， 不同的安排方案总数有2223
2223A A A A =2×2×2×6=48种．
故选A
53． 安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同的安排方法总数为
A ．60种
B ．72种
C ． 80种
D ．120种 【答案】B
【解析】解：分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有4
4A 种排法 （2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有113
333A A A 种排法 ∴根据分类计数原理共有44A +113
333A A A =78，
∴故共有78种不同排法， 故答案为选B
54．有6名同学去参加4个运动项目，要求甲，乙两名同学不能参加同一个项目.每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案是（ ） A ．1560 B ．1382 C ．1310 D ．1320 【答案】D
【解析】解：根据题意先对甲，乙两名同学能参加同一个项目，的情况确定出来，然后利用所求的情况减去不符合题意的即为所求。而利用分组分配的思想可知共有1320种方法。 55．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（ ） A 120 B 240 C 280 D 60 【答案】A 【解析】略
【答案】（B ）
【解析】领会题意，4人中恰有2人选课程甲，选法有24C 种，余下2人在课程乙、丙中随选，选法有112212
2C C C +种，所以不同选法共有24C 112212(2)24C C C +=（种）。故选（B ） 57．一圆形餐桌依次有A 、B 、C 、D 、E 、F 共有6个座位.现让3个大人和3 个小孩入座进
餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总 数为（ ）
（A ）6 （B ）12 （C ）144 （D ）72 【答案】D 【解析】略 58．．将6个名额全部分配给3所学校，每校至少一个名额且各校名额各不相同，则分配方法的种数为（ ）
A. 21
B. 36
C. 6
D. 216 【答案】C 【解析】略
59．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
A .16种
B .18种
C .37种
D .48种 【答案】 【解析】略
60．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是（ ） A ．60 B ．62 C ．66 D ．68 【答案】A 【解析】略 61．在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
1
212
1
1112
1212
121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n
m n m n m m
n n
m m n n m m n n m +++++
+
+
++
【答案】C
【解析】解法一：第一类办法： 从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )
中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2
n 个；第二类办法:从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；
第三类办法： 从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角
形，有C 1m C 1n 个 由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形.
解法二: 从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，
三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个. 所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个.
62．某公司的员工开展义务献血活动，在体检合格的人中，O 型血的有10人，A 型血的有5人，B 型血的有8人，AB 型血的有3人，从四种血型的人中各选1人去献血，则不同的选法种数为（ ）
A ．1200
B ．600
C ．300
D ．120 【答案】A
【解析】【思路分析】：12001
31
81
51
10=⋅⋅⋅=C C C C n ，故选A. 【命题分析】：考查排列、组合的计算.
第II卷（非选择题）
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二、填空题（题型注释）
63．A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，且B在A的左边，那么不同的排法共有种
【答案】24
【解析】解：根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；
将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，
即A44=24，
则符合条件的排法有1×24=24种；
故选D．
64．有A、B、C、D、E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位同学去问成绩，教师对A说：“你没能得第一名”．又对B说：“你得了第三名”．从这个问题分析，这五人的名次排列共有________种可能（用数字作答）．
【答案】18
【解析】解：由题意知比赛决出了第一到第五的名次，A不是第一名有A44种．
A不是第一名，B不是第三名有A33种．
∴符合要求的有A44- A3318种．
故答案为：18
65
【答案】40
【解析】解：因为123
4444122440
++=++=
A A A
66．某停车场有一排编号为1到8的八个停车空位，现有2辆货车与2辆客车同时停入，每个车位最多停一辆车，若同类车要停放在相邻的停车位上，共有种停车方案．
【答案】120
【解析】解：因为某停车场有一排编号为1到8的八个停车空位，现有2辆货车与2辆客车同时停入，每个车位最多停一辆车，若同类车要停放在相邻的停车位上，先捆绑起来，然后整体排列可知共有120
67．正五边形ABCDE，一个质点从正五边形的一个顶点出发沿着一条边移动到另一个顶点叫“移动一次”，则这个质点从A点开始，移动10次，又回到A点的移动方法共有种。【答案】254
【解析】解：因为正五边形ABCDE，一个质点从正五边形的一个顶点出发沿着一条边移动到另一个顶点叫“移动一次”，则这个质点从A点开始，移动10次，又回到A点的移动方法254次。可以运用分步来完成。
68．将正整数从1开始连续不间断的写成一行，第2012个数码是．
【答案】0
【解析】解：因为将正整数从1开始连续不间断的写成一行，第2012个数码是0
69．六个人排成一排，丙在甲乙两个人中间（不一定相邻）的排法有_________________种. 【答案】80
【解析】解：先排列甲和乙，有2种，然后并考虑在中间的情况，分类讨论得到结论。 70．七名学生站成一排，其中甲不站在两端且乙不站在中间的排法共有 种.(用数字作答)
【答案】3120
【解析】解：根据题意，要求甲不站两端，则甲有5个位置可选；
分两种情况讨论：①若甲在中间，则乙有6种站法，其余的5人有A55种不同的站法，在此情况下有6×A55=720种站法；
②若甲不在中间，有4中不同的站法，则乙有5种站法，其余的5人有A55种不同的站法，在此情况下有4×5×A55=2400种站法；
由分类计数原理，可得共有2400+720=3120种； 故答案为：3120．
71．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加。若甲参加，但不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种。 【答案】96
【解析】解：因为特殊元素优先安排先排甲有3种，那么其余的从剩下的4个人中选3名，
进行全排列得到34A ,另一种情况就是没有甲4
4A ，分类讨论相加得到结论为96.
72．若4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻的站法有_______种.（用数字作答） 【答案】2880；
【解析】解：因为从3名教师选两名，捆绑起来，然后作为一个整体与其余的进行全排列可
知为26
36A A 2880
73．将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 种 【答案】12
【解析】解：由题意，可按分步原理计数，
第一步，第一行第一个位置可从a ，b ，c 三字母中任意选一个，有三种选法， 第二步，第一行第二个位置可从余下两字母中选一个，有二种选法
第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的字母同，故其有两种填法 第四步，第二行第二们位置，由于不能第第一行第二个字母同也不能第二行第一个字母同故它只能有一种填法
第五步，第二行第一个字母不能与第一行与第二行的第一个字母同，故其只有一种填法， 第六步，此时只余下一个字母，故第三行第二列只有一种填法 由分步原理知，总的排列方法有3×2×2×1×1×1=12种
74．若某同学把英语单词“school ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有 种（以数字作答）. 【答案】359
【解析】解：因为某同学把英语单词“school ”的字母顺序写错了，所有的 排列情况有4
6A ,
那么正确的只有一种，这样可知为4
6A -1=359
75．用0,1,2,3这四个数字能组成 个没有重复数字的四位数 【答案】18
【解析】没有重复数字的四位数共有33318A =.
76． 为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为()N ∈≥n n n ,3等份种植红、黄、蓝三色不同的花. 要求相邻两部分种植不同颜色的花. 如图①，圆环分成的3等份分别为1a ，2a ，3a ，有6种不同的种植方法.
（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 1a ，2a ，3a ，4a ，有 种不同的种植方法；
（2）如图③，圆环分成的()N ∈≥n n n ,3等份分别为1a ，2a ，3a ，,n a , 有 种
不同的种植方法. 【答案】18，
【解析】（1）由于相邻颜色不同，所以从相对的两份颜色必须相同，因此有13
3318C A =种
不同的种植方法.
（2）由图①可知不同的种植方法有3
22-和图②的结果是4
22+,因而可归纳出:3
22(1)
n
n --⋅-(3n ≥且)n N ∈
77．由数字0，1，2，3，4，5组成六位数，其中奇数和偶数相间的不同排法为______种. 【答案】60 【解析】：由题意知本题是一个分类计数问题， 当首位为奇数时，则计数位上都是奇数才能满足题意，这样三个位奇数在三个奇数位置排列，
三个偶数在三个偶数位置排列共有33
3
3A A =36种结果， 当首位是偶数时，三个奇数在偶数位置排列，三个偶数有两个利用排在首位，共有2×23
3A
=24种结果，
∴根据分类计数原理可以得到共有36+24=60种结果，
①
②
③
……
78．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为____________． 【答案】576种
【解析】解：因为6人站成一排，所有的情况为66A ,而甲、乙、丙3个人能都站在一起43
43A A ，
利用间接法得到66A -4343A A =576
79．从装有n+1个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0,,)m n m n N <≤∈， 共有
种取法，在这
种取法中，可以分为两类：一类是取出的m 个球全部为白球，
另一类是取出的m 个球中有1个黑球，共有0
1101111m m m
n n n C C C C C C -+∙+∙=∙种取法，
即有等式：1
1m
m m
n n
n C C C -++=成立.试根据上述思想可得
用组合数表
示)
【答案】420C
【解析】在C n m +C k 1•C n m-1+C k 2•C n m-2+…+C k k •C n m-k
中，
从第一项到最后一项分别表示：从装有n 个白球，k 个黑球的袋子里， 取出m 个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k 球中取出m 个球的不同取法数C n+k m
,本小题0
413223140
5
15515515515515C C C C C C C C C C ∙+∙+∙+∙+∙意思是从装有20
（其中15白，5个黑）个球的口袋中取出4个球，共有的取法数为4
20C .
80．
【答案】49 【解析】略
81． =______
【答案】
【解析】略 82．某班要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,，则不同选派方案种数为________ 【答案】14 【解析】略
83．四位数中,恰有2个数位上的数字重复的四位数个数是___________（用数字作答） 【答案】3888 【解析】略
84．有五角硬币3枚，五元币6张，百元币4张，共可组成_____种不同的币值 【答案】139； 【解析】分三类：
第一类，用同一面值的币组成币值，若用五角币可组成3种不同的币值，若用五元币可组成6种不同的币值，若用百元币可组成4种不同的币值，故用同一面值的币共可组成3+6+4=13种不同的币值；
第二类，用两种面值的币组成币值，若用五角币、五元币可组成3×6＝18种不同的币值，若用五元币、百元币可组成6×4＝24种不同的币值，若用百元币、五角币可组成4×3＝12种不同的币值，故用两种面值的币共可组成18+24+12=54种不同的币值； 第三类，用三种面值的币组成币值，共可组成3×6×4＝72种不同的币值； 由分类计数原理可知，一共可组成13+54+72=139种不同的币值．
85．某校要从高三的六个班中选出8名同学参加市中学生英语口语演讲，每班至少选1人，则这8个名 额的分配方案共有______________。 【答案】21
【解析】每班先安排一个学生，剩下两个学生安排在一个班或两个班，共2
6621C +=种。
86．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第55个数为 . 【答案】76542
【解析】【思路分析】：4在首位，有1个；5在首位，有455C =个；6在首位，有4
615
C =个；7
在首位，有4735C =个.所以第55个数是76542.
【命题分析】：考察排列组合与分类讨论
三、解答题（题型注释）
87．（本题12分，）有6名同学站成一排，求： （1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法： （2）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法．（均须先列式再用数字作答）
【答案】（1）A 41A 55=480种；（2）A 33A 43
=144种．
【解析】站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果．
（1）甲不站排头也不站排尾，甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置使五个元素全排列，根据分步计数原理得到结果．
（2）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三
个人，有A 33种结果，再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A 43
，根据分步计数原理得到结果． 解：
（1）∵甲不站排头也不站排尾，∴甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置
使五个元素全排列，根据分步计数原理知共有A 41A 55
=480种；
（2）∵甲、乙、丙不相邻，∴可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外
的三个人，有A 33种结果，再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A 43
，根据分步
计数原理知共有A 33A 43
=144种．
88．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男、女生分别排在一起； （4）男女相间；
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
【答案】（1）241920种排法．（2）10080种排法．（3）245
2455760A A A ⋅⋅=种 （4）2880种 （5）369660480C A ⋅=种．
【解析】本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路
（1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有
6种，剩下的8个元素全排列有A 88
种，根据分步计数原理得到结果． （2）先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果．
（3）把男生和女生分别看成一个元素，两个元素进行排列，男生和女生内部还有一个全排列，
（4）先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A 55
种方法，根据分步计数原理得到结果．
（5）9人共有A 99种排法，其中甲、乙、丙三人有A 33种排法，因而在A 99种排法中每A 33
种对应一种符合条件的排法，类似于平均分组．
89．现有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将这五个球放入5个盒子内.
(1)若只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
(2)若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）若每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
【答案】解：（1）12004
525=A C （种） 。。。。。。。2分 （2）119155=-A （种） 。
。。。。。。4分 （3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全相同的放法：1种 第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种 第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种
第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：2022
5=C 种
∴ 满足条件的放法数为： 1+10+20=31（种） 。。。。。。。8分 【解析】本试题主要是考查了组合数的运用。
排列组合问题经典题型(含解析)
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法 （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果 （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、38A D、 3 C 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法 2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况 3、4个同学参加3项不同的比赛 （1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果 （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果 4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少又他们争夺这4项比
排列组合经典题型及解析
排列组合经典题型及解析 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为5 5A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种， 选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. ` 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 5 51602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选 1人承担丙项任务，不同的选法共有211 10872520C C C =种， … 选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、 4441284 C C C 种 B 、444 1284 3C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、4441284 33C C C A 种 答案：A . 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种 解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有3 3A 种，故共有234336C A =种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 ，
经典排列组合问题100题配超详细解析
1．n N ∈且55n <,那么乘积(55)(56)(69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 55n A - C ．15 69n A - D ．14 69n A - 【答案】C 【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数 为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-〔55-n 〕+1=15个数，因此选择C 2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么不同的分配方案共有〔 〕 A. 24种 B. 36种 C. 38种 D. 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B 3．n ∈N * ，那么〔20-n 〕(21-n)……(100-n)等于〔 〕 A ．80 100n A - B ．n n A --20100 C ．81 100n A - D ．81 20n A - 【答案】C 【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N * ，那么〔20-n 〕(21-n)……(100-n)等于81 100n A -，选 C 4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( ) A.56 B. 96 C. 36 D.360 【答案】B 【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么 其余的有A 3 5=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种 5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，假设其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，那么选派方案共有 〔 〕 A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B 【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有 46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3 560A =种，乙从事翻译工作的有3560A =种，假设其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，那么选派方案共有 360-60-60=240种． 6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段
高中数学 排列组合真题(解析版)
高中数学 专题14 排列组合真题汇编 1．将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为. 【答案】498 【解析】所有首位非0的8位数：6!-5！ 2、0相邻的不同8位数：. 1、9相邻的不同8位数：. 2、0与1、9均相邻的不同8位数： 故所求的8位数个数为：. 2．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______(用数字作答). 【答案】15000 【解析】 由题意知满足条件的方案有两种情形： 1.有一个项目有3人参加，共有种方案； 2.有两个项目各有2人参加，共有种方案. 故所求的方案数为. 故答案为：15000 3．将3333的方格表中毎个格染三种颜色之一,使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边".试求分隔边条数的最小值。 【答案】56 【解析】 记分隔边的条数为L。首先,将方格表按图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边。
此时,共有56条分隔边，即L=56。 其次证明:L≥56。 将方格表的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为。行中方格出现的颜色数记为,列中方格出现的颜色个数记为。三种颜色分别记为，对于一种颜色为含有色方格的行数与列数之和。 定义 类似地定义. 所以 由于染色的格有个,设含有色方格的行有a个、列有b个,则色的方格一定在这a行和b 列的交叉方格中。 从而, 所以① 由于在行中有种颜色的方格，于是,至少有条分隔边。 类似地,在列中,至少有条分隔边。 则② ③ 下面分两种情形讨论。 1.有一行或一列所有方格同色。 不妨设有一行均为色则方格表的33列中均含有色的方格，又色方格有363个，故至少有11行含有色
排列组合的主要题型及解答方法
一、相邻问题捆绑法 例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法;甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。 评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 二、相离问题插空法 例2 要排一有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法?(只要求写出式子，不必计算) 解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种;这6个歌唱节目的空隙与两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。 评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙与两端位置，故称插空法。 三、定序问题缩倍法 例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________(用数字作答)。 解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10(种)。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。 四、标号排位问题分步法 例4 同室4人各写一贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一别人送来的贺年卡，则四贺年卡的分配方式有( )种 A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种 解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。 评注：把元素排在指定的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。 五、有序分配问题逐分法 例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承当，乙、丙各需由1人承当，从10人中选派4人承当这三项任务，不同的选法共有( )种 A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040 解：先从10人中选出2人承当甲项任务，再从剩下8人中选1人承当乙项任务，最后从剩下7人中选1人承当丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有=2520种，应选C。 评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。 六、多元问题分类法 例6 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A 的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种D、120种
西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()() ⋃=+-⋂ n A B n A n B n A B 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
排列组合题目精选(附答案)
捆绑法、插空法、隔板法、分类法、集合法、枚举法、圆排列、可重复排列 1、,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有( ） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2、七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3、将数字1，2,3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ) A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 4、将四封信投入5个信箱，共有多少种方法? 5、12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） 6、6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ) A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 7、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 8、7人排成一排照相,若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？
9、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案? 10、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案？ 11、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（） A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 12、从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数,使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ 13、从1，2,3，…，100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序）有多少种？ 14、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种 15、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要选出4人进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 16、以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ） A、70种 B、64种 C、58种 D、52种 17、四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（） A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
排列组合题目精选（解析版）
排列组合题目精选（解析版） 排列组合题目精选(解析版) 1. A ,B ,C ,D ,E 五人并排站成一排，如果A ,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法种数有 A . 60种 B . 48种 C . 36种 D . 24种解析：选D 。A 、B 相邻且顺序一定，可把A 、B 捆绑看成一个整体与其他三人全排列，一共有24A 44=种方法。 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A . 1440种 B . 3600种 C . 4820种 D . 4800种 解析：选B 。7个人全排列，有77A 种方法，其中甲乙相邻时，甲乙交换位置，有22A 种方法， 再与其他5人全排列，有6622A A 种方法。则甲乙不相邻的排法种数为3600A A A 662277=-。 3. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A . 6种 B . 9种 C . 11种 D . 23种 解析：选B 。先填数字1，有3种方法。填数字2，有两种情况。 ①填入方格1，有1种方法，剩下的3和4只有1种方法；②不填入1，有1种方法，剩下两个数字可以全排列。有 22A 种方法。故由计数原理，一共有9)A 1(322=+种填法。 4. 将四封信投入5个信箱，共有多少种方法？解析：分以下4种情况：（1）只投1个，有15C 种方法； （2）投2个，有25A 种投信方法。分两种情况： ①分为1+3式，有14C 种分法； ②分为2+2式，有2
2 24A C 种方法；（3）投3个，有2 21 2 24A C C 种分法，35A 种投法；（4）投4个，有4 5A 种投法。 由计数原理，一共有625A A A C C )A C C (A C 45352 2 1 2 24222414 25 1 5 =++++种投信方法。 5. 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有种。 解析：填34650。12名同学平均分成3组，有3 348 412A C C 种，再分配到3个路口，有33A 种。故不同的分配方案有34650A A C C 333 3 48 412=种。 6. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A . 36种 B . 120种 C . 720种 D . 1440种 解析：选C 。相当于把6个元素全排列，一共有720A 66=种排法。
数学四年级 第21讲 排列组合(教师版+学生版,含详细解析)
第21讲 排列组合 内容概述 了解排列、组合公式的来由及含义，掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用． 典型问题 兴趣篇 1. 计算：24(1)A 410(2)A 3336(3)3A A ⨯+ 【答案】(1)12 (2)5040 (3)138 【解析】根据排列公式 )1()1(+-⨯-⨯=n m m m A n m 计算 2433 41036(1)4312(2)109875040(3)3138A A A A =⨯==⨯⨯⨯=⨯+= 2．费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不同的排列方法? 【答案】24 【解析】这种排列是有序的2412344 4=⨯⨯⨯=A 3．体育课上，老师从10名男生中挑出4人站成一排，—共有多少种不同的排列方法? 【答案】5040 【解析】先从10人中选出4人，再让4人全排列5040210244 4410=⨯=⨯A C 4．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8个空座位，他们一共有多少种不同的坐法? 【答案】1680 【解析】先让4人选座位，再让4人全排列168024704 448=⨯=⨯A C 5．用1至7这7个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个? 【答案】（1）210；（2）第61人 【解析】第一个位置有7中选择第二个位置有6个选择第三个位置有5个选择 个 是第个，开头的有个，百位是开头的有百位是61312302301)2(210)1(151617=⨯⨯A A A 6.计算：2 5(1)C 47(2)C 3366(2)A C ⨯ 【答案】（1）10 （2）35 （3）2400 【解析】根据组合公式
高中数学_排列组合100题(附解答)
高中数学_排列组合100题 一、填充题 1. (1)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒ (2)设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____________﹒ 2. (1)8 22x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭展开式中10x 项的系数为____________﹒ (2)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭展开式中3x 项的系数为____________﹒ (3)53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为____________﹒ 3. (1)()8 2x y z +-展开式中332x y z 项的系数为____________﹒ (2)()532x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为____________﹒ 4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒ 5. {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有____________个﹒ 6. 从2000到3000的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒ 7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒ 8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有____________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒（注意：外套可穿也可不穿﹒） 9. 已知数列n a 定义为11 32n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =____________﹒ 10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有____________个﹒ 11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数： (1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒ (2)每对夫妇相对而坐____________﹒ 12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有____________种﹒ 13. 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有____________种不同走法﹒ 14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒ 10 13⎛⎫
史上最全的难题排列组合大全
史上最全的排列组合难题大总结 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3 C 然后排首位共有1 4 C 最后排其它位置共有3 4 A 由分步计数原理得 113 434 288 C C A= · 多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522 480 A A A=种不同的 排法 ; 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20 三.不相邻问题插空策略 、 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5 5 A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素 中间包含首尾两个空位共有种4 6 A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56 A A 种 新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用 总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73 / A A & (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7 A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7 A种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗 （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法 443