排列组合例题
排列组合例题
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法？
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有？种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
练习题：
1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
2 .100
x y z w
+++=求这个方程组的自然数解的组数
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（）
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有？
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的
编号与盒子的编号相同,有多少投法
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有种
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？
( )
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（5
4
3
2
1,,,,
i ）的不同
坐法有多少种？
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .
54
32
1
排列组合答案
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有1
3
C
然后排首位共有1
4
C
最后排其它位置共有3
4
A
由分步计数原理得113
434288
C C A=
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对
相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522
522
480
A A A
=种不同的排法
枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5
5
A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空
位共有种4
6
A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54
56
A A种
且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几
个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73
73
/
A A
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7
A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4
7
A
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5
10
C
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步
计数原理共有6
7种不同的排法
练习题：
2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么
不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8
7
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人4
4
A并从此位置把圆形展成直线其余7人
共有（8-1）！种排法即7！
A B C D E A
E
H
G
F
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有2
4
A种,再排后4个位置上的特殊元素
丙有1
4
A种,其余的5人在5个位置上任意排列有5A种,则共有215
445
A A A种
前 排
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不
左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素
的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为n
m种
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆
形排列共有
1
m
n
A
n
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2
5C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有24
54C A
有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
22A 种排法，再排小集团内部共有22
22A A 种排法，由分步计数原理
共有
222
222A A A 种排法
.
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
254
254A A A
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
255
255A A A 种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可
把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有6
9C 种分法。
一
班二班三班四班六班七班
练习题：
2． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 4
9C 2 .100x y z w +
++=求这个方程组的自然数解的组数 3
103C
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个
数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有12
3555C C C +。再淘汰和小于10
的偶数共9种，符合条件的取法共有1
2
355
59C C C +-
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得2
2
2
642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,
第
三
步
取
EF
该
分
法
记
为
(AB,CD,EF),
则
222
642
C C C 中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分
法,故共有2
2
2
3
642
3/C C C A 种分法。
练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（5
4
4
21384
2/C C C A ）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______（2
2
2
24262/
90C C A A =）
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方
法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112
534C C C 种,只会唱
的5人中只有2人选上唱歌人员有22
55C C 种，由分类计数原理共有 2
2
1122233
53455C C C C C C C ++种。
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉
两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有3
十五.实际操作穷举策略
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1
1m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出
它的反面,再从整体中淘汰.
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的
组数)避免重复计数。 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有2
5C 种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5
号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2
52C 种
号盒 5号盒
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种
5
4
3
2
1
十六
. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×
3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
所有的偶因数为：1
2345
5
5555C C C C C ++++
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共4
8
1258C -=,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174⨯=对异面直线
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法
有111321C C C 种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有33
55C C 选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有3
3
1
1
1
55
321C C C C C 选法。
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？(3
7
35C =)
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
解:297221
122334455=++++=A A A A A N
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
10=N
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（54321,,,,i =）的不同坐法有多少种？44=N 二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有
多少种不同的取法
解:
二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .
分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75
种.
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
排列组合例题
排列组合例题 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法？ 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 练习题： １.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有？种 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 练习题： 1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 2 .100 x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 十一.正难则反总体淘汰策略 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？ 练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
排列组合典型例题
典型例题一之宇文皓月创作 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余 下的九个数字中任选3 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个 ∴没有重复数字的四位偶数有 典型例题二 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种分歧的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种分歧的排法？ （3）如果两端都不克不及排女生，可有多少种分歧的排法？ （4）如果两端不克不及都排女生，可有多少种分歧的排法？ 解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元
歧的排法． （2）（插空法）要包管女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生拔出这六个位置中，只要包管每个位置至多拔出一个女生，就能包管任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一 中选出三个来让三个女生拔出都方法，因此共有 （3）解法1：（位置分析法）因为两端不克不及排女生， 所以两端只能挑选5个男生中的2 （4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位 6位都 解法2：3个女生和5 种数．
因此共有36000662388=⋅-A A A 种分歧的排法． 典型例题三 例 3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 解：（1）先排歌唱节目有55A 种，歌唱节目之间以及两端共有 6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任 两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200. （2）先排舞蹈节目有44A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端 共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞 蹈节目间隔排列的排法有：44A 55A ＝2880种方法。 典型例题四 例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后 一节不排数学，那么共有多少种分歧的排课程表 的方法． 分析与解法1：6六门课总的排法是66A ，其中不符合要求的 可分为：体育排在第一书有55A 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最 后一节有55A 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包含体育排 在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有 44A 种排 法，因此符合条件的排法应是：
排列组合的21种例题---答案版
高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A =种， 答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列 数的一半，即5 5 1602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务， 第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有211 10872520C C C =种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有
排列组合例题
排列组合例题 【例1】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？ 分析如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有A99种方案。而问题中9个人要分成两排，可以看成9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题． 解：由全排列公式，共有A99==9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880种不同的排法． 【例2】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？ 分析由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4． 解：由全排列公式，共有A44=24种不同的站法． 【例3】 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ A．240 B．320 C．450 D．480 正确答案【B】 解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A66=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A33=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A66 ×A33 =320（种）。 【例4】 6名同学坐成一排,其中甲,乙必须坐在一起的不同坐法是________种.(答案:240) A44×A51×2=240 【例5】 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（） （A）280种（B）240种（C）180种（D）96种 正确答案：【B】 解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C41=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A53=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C41×A53=240种，所以选B。 【例6】 从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？ A．240 B．310 C．720 D．1080 正确答案【B】 解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C114-C64-C54=310。
排列组合典型例题
典型例题一之马矢奏春创作 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下 的九个数字中任选3 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字 ∴没有重复数字的四位偶数有 典型例题二 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种分歧的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种分歧的排法？ （3）如果两端都不克不及排女生，可有多少种分歧的排法？ （4）如果两端不克不及都排女生，可有多少种分歧的排法？ 解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素， 法．
（2）（插空法）要包管女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生拔出这六个位置中，只要包管每个位置至多拔出一个女生，就能包 法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三 （3）解法1：（位置分析法）因为两端不克不及排女生，所 以两端只能挑选5个男生中的2 中的任意一种排法，其余六位都有排法，所以共有 （4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排 6 歧的排法，这样可有种分歧排法．因此共有 解法2：3个女生和5 数． 典型例题三
例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 解：（1）先排歌唱节目有55A 种，歌唱节目之间以及两端共有6 个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个 舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200. （2）先排舞蹈节目有44A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共 有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节 目间隔排列的排法有：44A 55A ＝2880种方法。 典型例题四 例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后 一节不排数学，那么共有多少种分歧的排课程表 的方法． 分析与解法1：6六门课总的排法是66A ，其中不符合要求的可 分为：体育排在第一书有55A 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一 节有55A 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包含体育排在第一 书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有44A 种排法，因此符 合条件的排法应是： 5042445566=+-A A A （种）． 典型例题五 例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1
排列组合典型例题
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 9A 个； 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 229617925042 8181439=+=??+A A A A 个． 典型例题二 例2 三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有6 6A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=?A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=?A A 种不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有 144006625=?A A 种不同的排法． （4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有7715A A ?种不同的排法；如果首位排女生，有1 3A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同的排法，这样可有661513A A A ??种不同排法．因此共有360006615137715=??+?A A A A A 种不同的排法． 解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法66 23A A ?
排列组合的21种例题
高考数学复习 解排列组合应用题的 21 种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不 易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用 题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 . 1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排 列. 例 1. A, B,C, D , E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的 排法种数有 A 、60种 B 、48 种 C 、36种 D 、24种 2. 相离问题插空排 :元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 . 例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600 种 C 、4820种 D 、4800种 3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数 的方法. 例 3. A, B,C, D , E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）那 么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60 种 C 、90种 D 、120种 4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步 再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 . 例 4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9 种 C 、11种 D 、23种 5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 . 例 5. （ 1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025 种 C 、2520种 D 、5040种 （2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分 配方案有 6. 全员分配问题分组法 : 例 6.（1）4名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送 方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96 种 7. 名额分配问题隔板法 : 例 7.10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方 案？ A 、 C 12C 8C 4 种 B 3C 142C 84C 44种 C 、 C 142C 84A 33种 D C 142C 84C 44 A 33
排列组合典型例题大全
排列组合典型例题大全 【例1】5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数 (1) 甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种． (2) 甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种． (3) 甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定 相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种． (4) 甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种． (5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种． (6) 女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种． (7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有种。 (8) 甲乙之间有且只有4人的排法有种． 【例2】从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛 （1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法 【例3】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人外出比赛，分别求出下列情形有多少种选派方法？（以数字作答） （1）男3名，女2名； （2）队长至少有1人参加； （3）至少1名女运动员； （4）既要有队长，又要有女运动员． 【例4】10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果. （1）4只鞋子没有成双的； （2）4只鞋子恰成两双； （3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双. 【例5】某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？ 【例6】有6本不同的书. （1）分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法？ （2）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？ （3）分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，一人得3本，有多少种分法？ （4）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？ （5）平均分成三堆，有多少种分法？ （6）分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？ （7）分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？ 【例7】有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒子内. (1)共有多少种放法？ (2)四个盒都不空的放法有多少种？
排列组合典型例题(带详细答案)
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 学校专业 1 1 2 2 1 2 3 1 2 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------⋅n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？
排列组合的21种例题
高考数学复习 解排列组合题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 2.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、 120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A 、4 441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283 C C A 种 D 、444128433C C C A 种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种 （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 例个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建
排列组合例题详解
排列组合例题详解 1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？ 分析：从5个元素中取3个的排列：P（5、3）=5×4×3=60 2、从数字0、1、2、 3、 4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？ 分析：个位数字是0：P（5、4）=120；个位数字是5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除0在首位的排列）合计120＋96=216 另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。 3、用2、 4、 5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？ 分析：由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始，易知第19个是7245，第20个7254。 4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等于12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第24个这样的四位数是多少？ 分析：首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11，共有P（3、3）=6个；⑵2＋4＋5=11，共有P（3、3）=6个； 首位是2：剩下3个数的和是10有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有P（3、3）=6个；⑵1＋4＋5=10，共有P（3、3）=6个；以上正好24个，最大的易知是2631。 5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023、2341等，求全体这样的四位数之和。 分析：这样的四位数共有P（4、1）×P（4、3）=96个 1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）
排列组合的主要题型及解答方法
一、相邻问题捆绑法 例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法;甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。 评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 二、相离问题插空法 例2 要排一有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法?(只要求写出式子，不必计算) 解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种;这6个歌唱节目的空隙与两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。 评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙与两端位置，故称插空法。 三、定序问题缩倍法 例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________(用数字作答)。 解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10(种)。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。 四、标号排位问题分步法 例4 同室4人各写一贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一别人送来的贺年卡，则四贺年卡的分配方式有( )种 A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种 解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。 评注：把元素排在指定的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。 五、有序分配问题逐分法 例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承当，乙、丙各需由1人承当，从10人中选派4人承当这三项任务，不同的选法共有( )种 A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040 解：先从10人中选出2人承当甲项任务，再从剩下8人中选1人承当乙项任务，最后从剩下7人中选1人承当丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有=2520种，应选C。 评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。 六、多元问题分类法 例6 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )
排列组合典型例题
典型例题 一、两个原理的理解与应用 例1.把4封信投到3个邮筒，共有多少种方法？ 例2.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（） （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 解：首先把1填入方格，符合条件的填法有3种，其次把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有3种不同方法，最后填余下的两个数字，只有1种填法，根据乘法原理，共有3×3×1=9种填法，故选（B）。 二、排列组合问题的类型及解答策略 排列组合问题是高考必考内容，通常都是以选择题或填空题出现在高考的试卷中，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，备考有效的方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 1、相邻问题捆绑法 例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种。 A、720 B、360 C、240 D、120 评述：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 2、不相邻问题插空法 例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法（只要求写出式子，不必计算）？ 评述：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素将它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。
3、定序问题缩倍法 例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法的种数是（） （A）24 （B）60 （C）90 （D）120 解：（B）。 说明：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法注解比较方便快捷。 4、标号排位问题分步法 例4 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（） （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 解：首先把1填入方格，符合条件的填法有3种，其次把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有3种不同方法，最后填余下的两个数字，只有1种填法，根据乘法原理，共有3×3×1=9种填法，故选（B）。 说明：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题，求解这类问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。 5、有序分配问题逐分法 例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（） （A）1260种（B）2025种 （C）2520种（D）5040种 解：（C）。 说明；有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。 6、多元问题分类法
排列组合典型例题总结
例1. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求下面不同的排队方案的方法种数。 （1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻； （10）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （11）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （12）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变； （13）排成前后两排，前排3人，后排4人。 【组合问题】 例2. 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长。现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选； （2）两队长都当选； （3）至少有一名队长当选； （4）至多有两名女生当选； （5）既要有队长、又要有女生当选。 【分组分配问题】 例3．按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？ （1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （2）平均分成三份，每份2本； （3）分成三份，一份4本，另两份每份2本； （4）甲、乙、丙三人一人得一本，一人得两本，一人得三本； （5）平均分给甲、乙、丙三人，每人得2本； （6）甲、乙、丙三人中一人得4本，另两人每人得一本； （7）甲得1本，乙得2本，丙得3本； （8）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
例4. 6个工厂组建一公司，共需要10名工人，每厂至少一人，至多3人，那么这10名工人在6个工厂分布情形有多少种？ 变式.……每厂至少一人，……？ 【练习】 1.（1）6名运动员分配到四所学校去作体育表演，每校至少一人，有多少种分 配方法？ （2）分别从四所学校，选拔6名运动员，每校至少一人，有多少种不同选法？ 2. 若6本书放到四个不同的盒子中，每个盒子至少一本，有多少种不同的放法？ 3. 某中学要把9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每所小学至少得两台，不同送法的种数为_______.（用数字作答） 4. 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种.（用数字作答） 5. 高中二年级8个班，组织一个12人年级学生分会，每班至少一人，名额分配有________种. （用数字作答） 6. 5项不同的工程，由三个工程队全部包下来，每队至少承包一项工程，则不同的承包方案有________种. （用数字作答） 7.（10湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（） A. 152 B. 126 C. 90 D. 54
排列组合题集(含详细答案)
排列组合题集 一、解决排列、组合问题常用方法：两个原理、优限法、排除法、捆绑法（视一法）、插空法、隔板法、 等可能法、固定模型、树图法等，但最基础的是“两个原理”. 二、排列、组合问题大体分以下几个类型 类型一：排队问题 例1：7人站成一排，求满足下列条件的不同站法： （1）甲不站排头，乙不站排尾____________________（2）甲、乙两人不站两端________________________ （3）甲、乙两人相邻____________________________（4）甲、乙两人不相邻________________________ （5）甲、乙之间隔着2人______________________（6）甲在乙的左边____________________________ （7）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变________________ （8）若7人中有4男生，3女生，男、女生相间隔排列________ （9）7人站成前后两排，前排3人，后排4人的站法____________ （10）甲站中间______ _____（11）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法____________ （12）若7人身高各不相同，则按照从高到低的站法________________ （13）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法________ （14）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法_____ 类型二：分组与分配问题 例2：将6本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有： （1）平均分成3堆，每堆2本______________________（2）分给甲、乙、丙3人，每人2本________________ （3）分成3堆，每堆本数分别是1，2，3，____________（4）分给甲1本，乙2本，丙3本________ __ （5）分给3人，1人1本，1人2本，1人3本________________ （6）分给甲、乙、丙3人，每人至少1本____________________ （7）若将6本不同书放到5个不同盒子里，有________种不同放法 （8）若将6本不同书放到5个不同盒子里，每个盒子至少1本，则有_____种不同放法。 （9）若将6本不同书放到6个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法_____。 （10）若将6本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本____________ （11）若将6本编号为1，2，3，4，5，6的不同的书放到编号为1，2，3，4，5，6的6个不同盒子中，要求有3本书的编号与盒子不一致的放法______________ （12）将6名优秀指标分到4个不同的班中去，每班至少1名，则分法种数_______ 从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如2本书平均分成2份，仅有一种分法，而7 本书按2，2，3来分有 22 342 72 2 C C C A ⋅ ⋅种分法。 类型三：数字问题 例3：现有0，1，2，3，4，5共6个数字 （1）可组成数字可重复的5位数有_____ _个（2）可组成无重复数字的5位数_____ _个（3）可组成无重复数字的5位偶数的个数_ 个（4）可组成能被5整除的无重复数字的五位数____个（5）在（3）中所有的偶数中，从小到大，第100个数是____________个 （6）用1，2，3，4组成无重复数字的四位数，所有这些四位数的数字和是__ __，所有这些四位数的和是_____ ___ （7）由0，1，2，3，4，5六个数构成四位数中个位数与百位数之差的绝对值为4的有____ _个（8）在由数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数有____个。（9）若从1到100这100个自然数中，任取20个数，要求这20个数两两不相邻的选法__ __种。（10）1800的正约数的个数为___ _个 类型四：几何问题 例4（1）从正方体的6个面中任选取3个面，其中有2个面不相邻的选法种数是___ _ （2）从正方体的8个顶点中，任取两点相连，可形成__ __对异面直线。 （3）从正方体的8个顶点中任取3点连成一个三角形，其中直角三角形有__ __个。 （4）从三棱柱中，任取两个顶点连成一条直线，其中异面直线有__ __对。
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、 3 C 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？ 2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？ 3、4个同学参加3项不同的比赛 （1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？ 4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？ 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？ 6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同