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高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题—

—珍藏版

高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。

在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。

这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。

为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

1.研究证明角平分

在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

2.研究证明四点共圆

在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。这个问题也是几何学中的基础问题之一。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。

3.研究证明角的倍数关系

在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

4.证明线与圆相切

在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。

5.证明垂直

在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用垂直的定义、垂直角等。

6.证明线段相等

在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段相等。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用线段相等的定义、相似三角形等。

7.证明线段为比例中项

在这一部分中，我们将研究如何证明一条线段是两个线段的比例中项。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用比例中项的定义、相似三角形等。

8.证明垂直

9.证明线段相等

10.证明角平分

11.证明垂直

12.证明线段相等

13.证明角相等

在这一部分中，我们将研究如何证明两个角相等。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

14.证明中点

在这一部分中，我们将研究如何证明一个点是一条线段的中点。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用中点的定义、相似三角形等。

15.证明线段的二次等式

在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段的平方和等于另一条线段的平方。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用勾股定理、相似三角形等。

16.证明角平分

17.证明中点

18.证明角相等

19.证明中点

20.证明线段相等

21.证明垂直

22.证明角相等

23.证明四点共圆

24.证明两圆相切

在这一部分中，我们将研究如何证明两个圆相切。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。

25.证明线段相等

在这一部分中，我们将

第一题：证明角平分

已知PE、PF是圆O的切线，A、B是圆O的直径点，PB 交圆O于另一点C，直线AF、BE交于D点。要证明：

∠PCD=∠PCE。

证明：首先由圆的性质可知，∠PCE=∠PEB，

∠PCD=∠PBC，因此只需证明∠PEB=∠PBC即可。

由于PA、PB是圆O的切线，因此∠PAB=∠PBA=90°，

又因为A、B是圆O的直径点，所以∠APB=180°，因此三角

形APB是直角三角形。

又因为PE、PF是圆O的切线，所以∠PBE=∠PBF=90°，因此四边形BPEF是矩形，所以∠PEB=∠PBF。

又因为PB交圆O于点C，所以∠PBC=∠PCB，因此我

们只需证明∠PBF=∠PCB即可。

由于AF、BE交于点D，所以∠FDE=∠BDE，又因为

DE是圆O的切线，所以∠BDE=∠PBC，因此∠FDE=∠PBC。

又因为CF⊥AB，所以∠FDE=∠DFC+∠EFC，代入上式

得到∠PBC=∠PBF+∠DFC+∠EFC，即∠PBF=∠PCB，证毕。

第二题：证明四点共圆

如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上异于A、B且

在AB同侧的两点，分别过C、D作圆O的切线，它们交于点E，线段AD与BC的交点为F，线段AB与EF的交点为M。

要证明：E、C、M、D四点共圆。

证明：首先由圆的性质可知，AB是圆O的直径，因此

∠ACB=90°，又因为C、D是圆O上异于A、B且在AB同侧

的两点，所以∠CED=∠CBD，因此四边形CDEB是一个梯形。

又因为CD是圆O的切线，所以∠CED=∠CBE，因此四

边形CDEB是一个等腰梯形。

又因为AD与BC相交于点F，所以线段EF是AB的中线，因此M是AB的中点。

又因为AB是圆O的直径，所以∠AMB=90°，又因为EF

是AB的中线，所以∠EMB=90°，因此四边形AEMB是一个

矩形，即AE=MB。

又因为C、D是圆O上的点，所以CE=DE，又因为

CDEB是一个等腰梯形，所以CE=BD，因此AE=MB=BD，

即四边形ABD是一个等腰三角形。

又因为∠ACB=90°，所以∠AFB=90°，因此四边形ABDF

是一个矩形，即AF=BD。

又因为AE=BD，所以AE=AF，因此四边形AEFD是一

个平行四边形，即EF∥AD。

又因为EF是AB的中线，所以EF⊥CD，又因为CD是

圆O的切线，所以∠CED=∠CBE，因此∠CEM=∠CBM，即MC与MB在圆O上对应的弧相等。

同理可证MD与MA在圆O上对应的弧相等，因此E、C、M、D四点共圆，证毕。

第三题：证明角的倍数关系

如图，PE、PF是以AB为直径圆的切线，E、F是切点，PB交圆于C点，AF、BE交于D点，AB是直径。要证明：

∠DPE=2∠ACD。

证明：首先由圆的性质可知，∠APE=90°，∠BPE=90°，

因此∠APE+∠BPE=180°，即APBE是一个矩形，所以

AE=BP。

又因为PE、PF是以AB为直径圆的切线，所以

∠APE=∠ECD，∠BPE=∠DCF，因此

∠ECD+∠DCF=∠APE+∠BPE=180°，即四边形CDEF是一个

平行四边形，因此CD∥EF。

又因为AF、BE交于点D，所以∠AFD+∠BED=180°，

又因为APBE是一个矩形，所以∠AFD=∠APE=90°，因此

∠BED=90°-∠ACB。

又因为CD∥EF，所以∠ACD=∠ECD，∠BDC=∠DCF，因此∠BDE=∠ACD-∠DCF=∠ACD-∠BDC。

又因为AB是直径，所以∠ADB=90°，因此∠DAB=90°-

∠ACB，又因为AE=BP，所以∠AEB=∠BPA，因此

∠DAB=∠DPA，即三角形DAB与三角形DPA相似。

又因为∠BDE=∠ACD-∠BDC=∠ACD-∠ADB，所以

∠DPE=∠DPA-∠EPA=∠DAB-∠ECD=∠ACB+∠BED-

∠ECD=∠ACB+90°-∠ACB-∠ECD-∠BDC=90°-∠ECD-

∠BDC=2∠ACD，证毕。

第四题：证明线与圆相切

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AD切圆ABC，AD交BC延长线于D，E是A关于BC的对称点，AY⊥BE于Y，X

是AY中点，延长BX交圆ABC于J。要证明：BD切三角形AJD的外接圆。

证明：首先由圆的性质可知，AD是圆ABC的切线，所

以∠ADB=∠ACB，又因为∠A=90°，所以

∠ACB=∠ADB=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，

即AD=BD。

又因为E是A关于BC的对称点，所以∠ABE=∠EAC，

又因为AY⊥BE，所以∠ABY=90°-∠ABE=90°-∠EAC，又因

为∠EAC=∠ACB，所以∠ABY=45°，因此∠YAB=45°。

又因为X是AY的中点，所以

∠AXY=∠AYX=45°/2=22.5°，又因为∠AJB=2∠ACB=90°，

所以∠JAB=∠AJB/2=45°。

又因为∠JXB=∠JAB-∠YAB=45°-45°=0°，所以JX∥AB，因此JX与AD垂直，即∠JDA=90°，又因为AD=BD，所以

∠JDB=∠JBD=45°。

又因为∠JAB=∠JDB，所以三角形JAB与三角形JDB相似，因此∠JBD=∠JAE，又因为∠JBD=45°，所以∠JAE=45°，即∠JAC=∠JEC=45°。

又因为AD是圆ABC的切线，所以∠JAD=∠ACB，又因

为∠ACB=45°，所以∠JAD=45°，即∠JDC=∠JAD=45°。

又因为∠JDB=45°，所以∠AJD=∠JDB-∠JDA=45°-90°=-45°，即∠AJD=315°，又因为∠JAC=45°，所以∠JDC=45°，

因此∠AJC=∠AJD+∠JDC=270°，即三角形AJC是一条直线。

又因为∠JAC=45°，所以∠JBC=2∠JAC=90°，因此BD

是三角形AJD外接圆的切线，证毕。

第五题：证明垂直

已知四边形ABCD内接于以BD为直径的圆，设A'为A

关于BD的对称点，B'是B关于AC的对称点，直线AC交

DB'于Q，直线DB交CA'于P。要证明：PQ⊥AC。

证明：首先由圆的性质可知，四边形ABCD内接于以BD 为直径的圆，所以∠ABD=∠ACD=90°，因此∠A=∠C。

又因为A'是A关于BD的对称点，所以

∠A'BD=∠ABD=90°，又因为B'是B关于AC的对称点，所以∠B'AC=∠BAC=90°，因此四边形A'B'CD是一个矩形。

又因为AC交DB'于Q，所以∠QBD=∠QAC，又因为

∠A=∠C，所以∠QAC=∠QCD，因此∠QBD=∠QCD，即

BD是三角形QBC的角平分线。

同理可证，AC是三角形PAD的角平分线，因此

∠PAB=∠QBC，又因为∠A=∠C，所以∠PBA=∠QCB，因

此三角形PAB与三角形QBC相似。

又因为B'是B关于AC的对称点，所以

∠AB'C=∠ABC=∠A'BD=90°，因此四边形A'BD是一个矩形，又因为BD是以BD为直径的圆的切线，所以∠BDA'=∠BCA，因此∠A'BD=∠ABC，即∠A'BC=∠ABD=90°。

又因为∠A'BC=90°，所以A'C⊥BD，又因为∠A=∠C，

所以AC平分∠A'CB，因此AP=PC，同理可证，BQ=QC。

又因为PQ平分∠A'QB'，所以∠PQA'=\frac{1}{2}\angle

A'QB'，又因为A'B'CD是一个矩形，所以∠A'QB'=90°，因此

∠PQA'=45°。

又因为∠A'PD=∠A'CD=45°，所以∠PDA'=90°，因此

∠PDA'+∠PQA'=135°，即PQ⊥AC，证毕。

第六题：证明线段相等

已知：BC、BD是圆O的切线，C、D是切点，BJA是割线，A、J在圆O上，J离B较近，DE⊥AO于E，交AB于F，AC交DE于G。要证明：DF=FG。

证明：首先由圆的性质可知，BC、BD是圆O的

第十一题：证明垂直

在圆O中，连接PC，由切线定理可知，PC垂直于CD。

又因为PAB是圆O的割线，所以PA=PB，即△PAB为等腰

三角形，因此PE垂直于AB。由于PE与PC都垂直于CD，

所以AC垂直于CE。

第十二题：证明线段相等

连接PO，由于AO=OB，所以△APO和△BPO为等腰三

角形，因此PE=PF。又因为CD是以O为圆心AB为直径的半圆上的弦，所以∠BPC=90°，因此PO垂直于BC。由于OE和OF分别平行于PC和PO，所以OE和OF垂直于BC，即

OE=OF。

第十三题：证明角相等

由于DE//BC，所以∠BDF=∠CBE，∠CED=∠BCF。又

因为B、D、F、E在同一圆周上，C、E、F、B在同一圆周上，所以∠BDF=∠BEF，∠CEF=∠CFB。因此，∠BEF=∠CFB，即∠BAF=∠CAG。

第十四题：证明中点

连接AC和BD，由于AB是两个圆的交点，所以

∠OAB=∠PBA，∠OBA=∠PAB。又因为BO、PA和CD是

共线的，所以∠OAC=∠PDC，∠PBD=∠OBC。因此，

△OAC和△PDC相似，△PBD和△OBC相似。由相似三角形的性质可知，AC/DC=PA/PD=AB/CD，所以AD=2DC。由于

DE是AB的中垂线，所以DE平分AB，即AF=FB=DE/2，因

此F是DE的中点。

第十五题：证明线段的二次等式

连接AG和EF，由于AE和BF是两个圆的交点，所以

△ACD和△BDC为相似三角形，CD/CA=CB/CD，即

CD²=CA×CB。又因为△AGF和△EDG为相似三角形，所以

AG/ED=GF/DG，即AG²=ED×GF。由于EF垂直于AG，所以AG²=EG²+EF²，因此EG²+EF²=ED×GF=CD²=CA×CB，即

AG²=EG²+AC×AD。

第十六题：证明角平分

连接CG和OF，由于△ABC内接于圆O，所以

∠OAB=∠OCB，∠OBA=∠OCA。又因为AD是BC的中线，所以D是BC的中点，因此BD=DC。由于∠EAB=∠EDF，

所以△EAF和△EDF为相似三角形，EF/AF=DF/EF，即

EF²=AF×DF。又因为△OEF和△OCB为相似三角形，所以

EF/OB=OF/OC，即EF²=OB×OF。因此，AF×DF=OB×OF，即AF/OF=OB/DF。由于∠CGF=∠OAF，所以△CGF和△OAF

为相似三角形，因此CG/OF=AF/OA，即CG=OF×AF/OA。同理，由于∠GCF=∠OBF，所以△GCF和△OBF为相似三角形，因此CG/OB=BF/OB，即CG=BF。因此，OF×AF/OA=BF，即OF×AF=OA×BF，即EF²=OF×OC，因此∠OFC=∠EAF。又因

为△OFC和△OGC为相似三角形，所以∠OGC=∠FGC，即

∠AGC=∠FGC。

第十七题：证明中点

连接EI和FG，由于△ABC内切于圆I，所以ID=DC，

IE=EA。又因为△IFE和△IDE为相似三角形，所以

IF/ID=IE/ID，即IF=IE，即IF=EA。由于△FAB和△FDC为

相似三角形，所以FA/FD=FB/FC，即FA/FB=FD/FC，因此

FE平分角BFC，即FE垂直于BC。由于FE和IF分别垂直于BC和DE，所以FE=IF，即FE是IF的中点，因此E是FG的

中点。

第十八题：证明角相等

连接EC、ED、AH和FG，由于AE和BF是两个圆的交点，所以△AEC和△BDC为相似三角形，EC/DC=AC/BC，即EC=AC×DC/BC。同理，△BFD和△AED为相似三角形，

FD/ED=BD/AD，即FD=BD×ED/AD。因此，EC/FD=AC/BD，即EC/FC=AC/BC，FD/FB=BD/AC，即FD/ED=BD/AD。由于

∠FEC=∠FDC，所以△FEC和△FDC为相似三角形，因此

FE/DC=FC/FD，即FE/EC=FC/FB。同理，由于

∠GED=∠GAB，所以△GED和△GAB为相似三角形，因此GE/BD=GA/BA，即GE/FD=GA/FB。因此，FE/EC=GE/FD，

即FE×FD=EC×GE，即EA×FD=EC×GA，即EA/FB=EC/FC。

由于∠FCH=∠GDA，所以△FCH和△GDA为相似三角形，

因此∠FCH=∠GDH。

第十九题：证明中点

连接IG、GF和AO，由于O是三角形ABC的外心，所

以∠OAI=∠OBI，∠OBI=∠OCI。又因为

∠A/2+∠B+∠C/2=180°，所以∠OAI+∠OBI+∠OCI=180°，

因此∠OAI+∠OCI=∠A/2+∠B+∠C/2=180°。因此，IG是

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读阅读时必须考虑的几个问题： 1．步步皆要考虑“知其然之其所以然”。 2.解此题的关键步骤是什么？如何想到，是否应该想到这样的方法、这样的思路？ 3.画图线条的如何取舍？ 4.本题有什么特点？解法是否接触过？ 5.分析思考各类定理的运用时机，运用条件。注意：思考过久（不超过15分钟为宜）不知其然，思考过久（不超过10分钟为宜）不知所以然，跳过！强调一下，不超过不是指一题不超过15分钟，是指从某一步推到另一步不超过的时间。例1（美国37届）设M 、N 、P 分别是非等腰锐角△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，AB 、AC 的中垂线分别与AM 交于点D 、E ，直线BD 、CE 交于点F ，且点Ｆ在△ＡＢＣ的内部。证明：Ａ、Ｎ、Ｆ、Ｐ四点共圆。证明：如图1，设△ＡＢＣ的外心为Ｏ。则∠ＡＰＯ＝∠ＡＮＯ＝900。于是Ａ、Ｐ、Ｎ在以ＡＯ为直径的圆上。因此，只要证明∠ＡＦＯ＝900。不妨设ＡＢ＞ＡＣ。由ＰＤ是ＡＢ的中垂线知，ＡＤ＝ＢＤ。同理，ＡＥ＝ＣＥ。设α＝∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＤ， CAE ACE β∠=∠＝。则BAC αβ+=∠。在△ＡＢＭ和△ＡＣＭ中，由正弦定理得 sin sin BM AB BMA α= ∠，sin sin CM AC CMA β=∠。由于si n ∠BMA=sin ∠CMA ，因此 sin sin BM AB CM AC βα= 。又因为ＢＭ＝ＣＭ，所以，sin sin AC AB αβ=。如图2，在△ＡＢＦ和△ＡＣＦ中，由正弦定理得 ,sin sin sin sin AF AB AF AC AFB AFC αβ==∠∠。于是，s i n s i n s i n s i n A C A F B A B A F C αβ∠=∠。从而，sin sin AFB AFC ∠=∠。因为2,2ADF DEC αβ∠=∠=，所以180221802EFD BAC αβ∠=--=-∠。因此，∠ＢＦＣ＝2∠ＢＡＣ＝∠ＢＯＣ。于是，Ｂ、Ｏ、Ｆ、Ｃ四点共圆。图1 C C 图2

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题— —珍藏版高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。 1.研究证明角平分在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。 2.研究证明四点共圆在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。这个问题也是几何学中的基础问题之一。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。 3.研究证明角的倍数关系

在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。 4.证明线与圆相切在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。 5.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用垂直的定义、垂直角等。 6.证明线段相等

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高中数学联赛难度几何题100道第一题：学习证明角平分 (4) 第二题：学习证明四点共圆 (5) 第三题：学习证明角的倍数关系 (6) 第四题：证明线与圆相切 (7) 第五题：证明垂直 (8) 第六题：证明线段相等 (9) 第七题：证明线段为比例中项 (10) 第八题：证明垂直 (11) 第九题：证明线段相等 (12) 第十题：证明角平分 (13) 第十一题：证明垂直 (14) 第十二题：证明线段相等 (15) 第十三题：证明角相等 (16) 第十四题：证明中点 (17) 第十五题：证明线段的二次等式 (18) 第十六题：证明角平分 (19) 第十七题：证明中点 (20) 第十八题：证明角相等 (21) 第十九题：证明中点 (22) 第二十题：证明线段相等 (23) 第二十一题：证明垂直 (24) 第二十二题：证明角相等 (25) 第二十三题：证明四点共圆 (26) 第二十四题：证明两圆相切 (27) 第二十五题：证明线段相等 (28) 第二十六题：证明四条线段相等 (29) 第二十七题：证明线段比例等式 (30) 第二十八题：证明角的倍数关系 (31) 第二十九题：证明三线共点 (32) 第三十题：证明平行 (33) 第三十一题：证明线段相等 (34) 第三十二题：证明四点共圆 (35) 第三十三题：证明三角形相似 (36) 第三十四题：证明角相等 (37) 第三十五题：证明内心 (38) 第三十六题：证明角平分 (39) 第三十七题：证明垂直 (40) 第三十八题：证明面积等式 (41) 第三十九题：证明角平分 (42) 第四十题：证明角相等 (43)

第四十二题：证明中点 (45) 第四十三题：证明角相等 (46) 第四十四题：证明垂直 (47) 第四十五题：证明角相等 (48) 第四十六题：证明垂直 (49) 第四十七题：证明四点共圆 (50) 第四十八题：证明四点共圆 (51) 第四十九题：证明四点共圆 (52) 第五十题：证明角平分 (53) 第五十一题：证明线段相等 (54) 第五十二题：证明两圆外切 (55) 第五十三题：证明垂直 (56) 第五十四题：证明垂直 (57) 第五十五题：证明垂直 (58) 第五十六题：证明垂直 (59) 第五十七题：证中点 (60) 第五十八题：证明角相等 (61) 第五十九题：证明角相等 (62) 第六十题：证明四点共圆 (63) 第六十一题：证明四点共圆 (64) 第六十二题：证明四点共圆 (65) 第六十三题：证明角相等 (66) 第六十四题：证明角的倍数关系 (67) 第六十五题：证明中点 (68) 第六十六题：伪旁切圆 (69) 第六十七题：证明垂直 (70) 第六十八题：证明平行 (71) 第六十九题：证明圆心在某线上 (72) 第七十题：证明三线共点 (73) 第七十一题：证明垂直 (74) 第七十二题：证明垂直 (75) 第七十三题：证明中点 (76) 第七十四题：证明垂直 (77) 第七十五题：证明垂直 (78) 第七十六题：证明三线共点 (79) 第七十七题：证明平行 (80) 第七十八题：证明平行 (81) 第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (82) 第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (83) 第八十一题：证明角平分 (84) 第八十二题：证明角相等 (85) 第八十三题：证明三点共线 (86) 第八十四题：证明四圆共点 (87)

奥林匹克数学竞赛试题几何部分MathematicsOlympictest-AipsAsia

奥数（一）一、填空题： 3．一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个． 5.图中空白部分占正方形面积的______分之______. 6．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为______． 7．将11至17这七个数字，填入图中的○内，使每条线上的三个数的和相等． 8．甲、乙、丙三人，平均体重60千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重3千克，则乙的体重为______千克． 9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是______．10．现有七枚硬币均正面（有面值的面）朝上排成一列，若每次翻动其中的六枚，能否经过若干次的翻动，使七枚硬币的反面朝上______（填能或不能）．二、解答题： 1．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？ 2．数一数图中共有三角形多少个？ 3．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数．奥数（二）一、填空题： 1．用简便方法计算： 2．某工厂，三月比二月产量高20％，二月比一月产量高20％，则三月比一月高___％．3．算式：（121+122+…+170）-（41+42+…+98）的结果是______（填奇数或偶数）．4．两个桶里共盛水40斤，若把第一桶里的水倒7斤到第2个桶里，两个桶里的水就一样多，则第一桶有______斤水． 5．20名乒乓球运动员参加单打比赛，两两配对进行淘汰赛，要决出冠军，一共要比赛______场．

2022年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

2022年全国高中数学联赛几何专题（平面几何解析几何）数学竞赛中的平面几何一、引言 1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，中学几何的拓展．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一． 2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．

初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．高中竞赛大纲:几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．二、基本内容全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．定义1点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2如果对点集A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A称为是凸的．定义3设M1,M2,,Mn是多边形，如果MM1M2Mn并且当ij时，Mi与Mj 没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形M1,M2,,Mn．定义4如果凸边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M．定理1两点之间直线距离最短．推论三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

数学奥赛平面几何

《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理： 1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是 1=⋅⋅EA CE FC BF DB AD 。 2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是 1=⋅⋅EA CE FC BF DB AD 。 3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅

4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。 5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅222 6、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '⋅''⋅='''∆∆ 7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则 C A B A AC AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆

举例说明： 1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。（IMO23,1982） 2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。（1983，全国高中数学联赛试题）

高中竞赛平面几何题

高中数学比赛平面几何证明方法选讲第一题：证明角均分6 第二题：证明四点共圆7 第三题：证明角的倍数关系8 第四题：证明线与圆相切9 第五题：证明垂直.10 第六题：证明线段相等11 第七题：证明线段为比率中项12 第八题：证明垂直.13 第九题：证明线段相等14 第十题：证明角均分15 第十一题：证明垂直16 第十二题：证明线段相等17 第十三题：证明角相等18 第十四题：证明中点19 第十五题：证明线段的二次等式20 第十六题：证明角均分21 第十七题：证明中点22 第十八题：证明角相等23 第十九题：证明中点24 第二十题：证明线段相等25 第二十一题：证明垂直26

第二十三题：证明四点共圆28 第二十四题：证明两圆相切29 第二十五题：证明线段相等30 第二十六题：证明四条线段相等31 第二十七题：证明线段比率等式32 第二十八题：证明角的倍数关系33 第二十九题：证明三线共点34 第三十题：证明平行35 第三十一题：证明线段相等36 第三十二题：证明四点共圆37 第三十三题：证明三角形相像38 第三十四题：证明角相等39 第三十五题：证明心里40 第三十六题：证明角均分41 第三十七题：证明垂直42 第三十八题：证明面积等式43 第三十九题：证明角均分44 第四十题：证明角相等45 第四十一题：证明中点46 第四十二题：证明中点47 第四十三题：证明角相等48

第四十五题：证明角相等50 第四十六题：证明垂直51 第四十七题：证明四点共圆52 第四十八题：证明四点共圆53 第四十九题：证明四点共圆54 第五十题：证明角均分55 第五十一题：证明线段相等56 第五十二题：证明两圆外切57 第五十三题：证明垂直58 第五十四题：证明垂直59 第五十五题：证明垂直60 第五十六题：证明垂直61 第五十七题：证中点62 第五十八题：证明角相等63 第五十九题：证明角相等64 第六十题：证明四点共圆65 第六十一题：证明四点共圆66 第六十二题：证明四点共圆67 第六十三题：证明角相等68 第六十四题：证明角的倍数关系69 第六十五题：证明中点70

平面几何100题及答案(前80题)

第一题、如图，F为。0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。" 证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3 证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC = ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。于是知 ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。又PA= PF,故CD 平分Z A DF。3

第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。上两点，且在AB同侧，。。在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。“ 证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。。 K

第三题、如图，AB为。。直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。“ 证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、 F、G四点共圆。所以“ ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = — =—,即得ZCEF = 2ZAGFo， 2 2 第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。〈第三十九届现0预选题）“

2015年第56届国际数学奥林匹克竞赛(IMO 2015)选讲《平面几何》【第4题】

2015年第56届国际奥林匹克数学竞赛（2015年7月10-11日，泰国清迈）试题选讲

【分析】AO 是O e 的弦FG 的中垂线，要证明X 在AO 上，只要证明XF XG =或者XFG XGF ∠=∠。（下面只是证明本题最关键的步骤，略去了大量的文字阐述和引用的常用中间结论，这在正式竞赛中是不允许的。所以，同学们如果要自己动手做一做、练一练，一定要把过程写详细、写清楚!) 【证一】∵AFX AFK FKB FAB FDB FCB DFC ∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠， AGX AGL CLG CAG CEG CBG EBG ∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠， 180180FNG NFG NGF DFG BGF ∠=-∠-∠=-∠-∠o o 180180CEG BCF CEM ECM EMC FMG =-∠-∠=-∠-∠=∠=∠o o ∴F N M G ，，，四点共圆，可得NFM NGM DFC EGB ∠=∠⇒∠=∠， ∴AFX AGX ∠=∠。而AF AG AFG AGF =∠=∠，，则XFG XGF ∠=∠。这样，A X ，两点都在弦FG 的中垂线上。而弦FG 的中垂线必过圆心O ，可知A X O ，，三点共线。

，，，四点共圆】（详细过程请同学们完成）【证二】【另证F N M G Array o o FNG BND NBD NDB GBC FDB 180180 ∠=∠=-∠-∠=-∠-∠ o（，，，四点共圆） 180GFC FDB F D E G =-∠-∠ o o 180180 GFM FGE GFM FGM =-∠-∠=-∠-∠ =∠。 FMG 【注释】本题的关键在于剖析命题者的意图，因此强烈建议同学们完成下面7 一定能提高你竞赛题的解题能力，大有裨益！（后面附有准确图形）

高中数学平面几何真题(解析版)

高中数学专题12平面几何真题汇编与预赛典型例题 1．设等边△ABC的内切圆半径为2、圆心为I.若点P满足PI＝1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为_________. 【答案】【解析】如图所示，由PI＝1，知点P在单位圆上. 设∠BAP＝α.在上取一点，使得α取到最大值，此时，点应落在∠IAC内，且其为的切点. 由于，故，，① 其中，. 由，知. 于是，. 故② 据式①、②知当P与重合时，的最大值为. 2．如图，△ABC为锐角三角形，AB

⊥AB. 求证：若BN=EM，则DF⊥FG.(答题时请将图画在答卷纸上) 【答案】证明见解析【解析】由条件知，DE为△ABC外接圆的直径，DE⊥BC于M，AE⊥AD. 记I为△ABC的内心，则I在AE上，IF⊥AB. 由NB⊥AB可知： ∠NBE=∠ABE-∠ABN=(180°-∠ADE)-90°=90°-∠ADE=∠MEI.① 又根据内心的性质，有: ∠EBI=∠EBC+∠CBI=∠EAC+∠ABI=∠EAB+∠ABI=∠EIB，从而BE=EI. 结合BN=EM及①知，. 于是∠EMI=∠BNE=90°+∠BFE=180°-∠EFI，故E，F，I，M四点共圆. 进而可知∠AFM=90°+∠IFM=90°+∠IEM=∠AGM，从而A，F，G，M四点共圆。再由∠DAG=∠DMG=90°知，A，G，M，D四点共圆，所以A，F，G，M，D五点共圆. 从而∠DFG=∠DAG=90°，即DF⊥FG. 3．如图,在△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心。以AB为半径作,以IB为半径作,过点B、I的圆

高中数学竞赛几何专题(1)从调和点列到Apollonius圆到极线

2012暑期专题——几何（1）从交比到调和点列到Apollonius 圆到极线极点 2010年10月17日结束的2010年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐角三角形 ABC 的外心为 O ，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则ABDC 四点共圆．图 1 本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius 圆、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、溯本求源，揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明。知识介绍定义 1 线束和点列的交比：如图2，共点于O 的四条直线被任意直线所截的有向线段比/AC BC AD BD 称为线束OA 、OC 、OB 、OD 或点列ACBD 的交比。[1] 定理1 线束的交比与所截直线无关。图 2 证明：本文用[ABC]表示ABC 面积，则

[][]//[][]AC BC AOC BOC AOD BOD AD BD = sin sin /sin sin sin sin /sin sin CO AOC CO COB DO AOD DO BOD AOC COB AOD BOD ∠∠= ∠∠∠∠=∠∠ 从而可知线束交比与所截直线无关。定义2 调和线束与调和点列：交比为-1，即AC BC AD BD =-的线束称为调和线束，点列称为调和点列。显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。定理2 调和点列常见形式：（O 为CD 中点）（1）、211D C A A B A =+ （2）、2* O C O B O A = (3)、 AC*AD=AB*AO (4)、 AB*OD=AC*BD 证明：由基本关系式变形即得，从略。定理3 一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行（由定义即得，证略）定义3 完全四边形：如图3，凸四边形ABCD 各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF ，AC 、BD 、EF 称为其对角线（一般的四条直线即交成完全四边形）[2]。定理4 完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH 、BGDI 、EHFI 分别构成调和点列。图 3 分析：只需证EHFI 为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到。证法一：面积法[][][][] HE IF AEC BDF HF IE AFC BDE ⋅= [][][][][][][][]AEC ACD BDF BEF ACD AFC BEF BDE = 1EC AD DC AF CD AF EC AD =⋅⋅=，即HE IE HF IF =。

高中数学联赛真题分类平面解析几何C辑(原卷版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题17平面解析几何C 辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC 为等腰直角三角形.求△ABC 的面积的最小值. 2．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F 1,F 2为两个焦点.若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求tan∠ABF 1⋅tan∠ABF 2的值. 3．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F .求圆Ω的半径. 4．【2019高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值. 5．【2018高中数学联赛B 卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 与C 、D 分别是椭圆Γ: x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0)的左、右顶点与上、下顶点.设P ，Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ ∥AP ，M 是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R . 证明:线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形. 6．【2017高中数学联赛B 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:y 2=4x ，曲线C 2:(x −4)2+y 2=8.经过C 1上一点P 作一条倾斜角为45°的直线l ，与C 2交于两个不同的点Q 、R ，求|PQ|⋅|PR|的取值范围. 7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆 x 22 +y 2=1的左、右焦点.设不经过焦点F 1的直线l 与椭圆交于两个不同的点A ，B ，焦点F 1到直线l 的距离为d .如果直线AF 1，l ，BF 1的斜

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9平面几何(50题竞赛真题强化训练)原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题 1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）. 2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________． 3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______． 4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________. 6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，△BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________. 7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22 221x y a b +=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______． 8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____. 9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒，P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且 ,BPA DPC AQB DQC ∠=∠∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ =_________． 10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC 中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ . 二、解答题 11．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足60A ∠=︒，E 、F 分别为AB AC 、延长线上

2022年全国高中数学联赛(CMO预赛)平面几何专题冲刺复习试题

2022年全国高中数学联赛（CMO 预赛）平面几何专题冲刺复习讲义 P00.圆基础 01. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，AM 是高，P 在△ABM 内部，Q 在 AM 上，且满足∠PBQ= ∠ACP 。求证：∠BPQ+∠APC=180° B 02. 如图，四边形 ABCD 是梯形，AB//CD, AB

03. 如图，凸四边形 ABCD 内接于圆Ω，AD, BC 的延长线交于 P ，Q 是 BP 延长线上一点，且 BP=PQ ，R, S 使得 CAQR, DBCS 均是平行四边形。求证：C, Q, R, S 四点共圆 B R 04. 如图，在等腰△ABC 中，CA=CB ，D 在 AC 的延长线上，且满足 AC>CD ，∠BCD 的角平分线交 BD 于 N ，M 是 BD 的中点，过 M 关于⊙(AMD)的切线交 BC 于 P 。求证：A, P, M, N 四点共圆

P B L C K 05. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，M 是 BC 的中点，CD 是 AB 边上的高，E 在 CD 延长线上，且满足 BE=MB ，P 在⊙(ABM)上，且满足 PB=PE ，P, M 在 BE 同侧。求证：∠EMP=90° A 06. 如图，在△ABC 内部有一点 P ，且满足∠ABP=∠ACP=45°-A/4，AL 是∠BAC 的角平分线，PL 再次交⊙(BPC)于 K 。求证：∠AKB=∠AKC A P E D B M C

高中联赛难度几何100题及其解答(修订版)

高中联赛难度几何 100 题及其解答解答人：文武光华数学工作室田开斌第一题、如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于 A 、B ，PCD 为⊙O 一条割线，CO 交⊙O 于另一点 E ，AC 、EB 交于点 F ，证明：CD 平分∠ADF。 F 证明方法一：如图，延长 ED 交 CA 于 K ，根据条件知四边形 CADB 为调和四边形，故 ED 、EC 、EA 、EB 构成一组调和线束，进而知 K 、C 、A 、F 构成一组调和点列。而 KD⊥CD，故 CD 平分∠ADF 。 P F 证明方法二：如图，连结 OA 、OB 、AB 、BC ，因为∠AFB = ∠ACE − ∠BEC = ∠AOE−∠BOC = 180°−∠AOC−∠BOC = ∠APC ，且PA = PB ，故点 P 为△ABF 的外心。于是知 2 2 2 ∠PFA = ∠PAC = ∠PDA ，所以 P 、A 、D 、F 四点共圆。又PA = PF ，故 CD 平分∠ADF。

F 第二题、如图，AB 为⊙O直径，C、D 为⊙O上两点，且在 AB 同侧，⊙O在C、D 两处的切线交于点 E，BC、AD 交于点 F，EF 交AB 于M，证明：E、C、M、D 四点共圆。 B 证明：如图，延长 AC、BD 交于点 K，则BC⊥AK，AD⊥BK，从而知 F 为△KAB 的垂心。又在圆内接六边形 CCADDB 中使用帕斯卡定理，知 K、E、F 三点共线，从而KM⊥AB于M。于是知∠CMF = ∠CAF = ∠CDE，所以 E、C、M、D 四点共圆。 B

第三题、如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上两点，且在 AB 同侧，⊙O 在 C 、D 两处的切线交于点 E ，BC 、AD 交于点 F ，EB 交⊙O 于点 G ，证明：∠CEF = 2∠AGF 。 B 证明：如图，根据条件知∠CFD = A B + C D = (180°−A C )+(180°−B D ) = ∠CAB + ∠DBA = 2 2 ∠ECF + ∠EDF ，且EC = ED ，故点 E 为△CFD 外心。于是知∠EFC = ∠ECF = ∠CAB = ∠CGE ，故 E 、C 、F 、G 四点共圆。所以 ∠CGF = ∠CEF = 2(90° − ∠ECF) = 2(90° − ∠CAB) = 2∠ABC = 2∠AGC 所以∠AGF = ∠CGF = ∠CEF ，即得∠CEF = 2∠AGF 。 2 2 B 第四题、如图，AB 为⊙O 直径，P 为 AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于 C ，点 C 关于 AB 的对称点为点 D ，CE⊥AD 于 E ，F 为 CE 中点，AF 交⊙O 于 K ，求证：AP 为△PCK 外接圆的切线。（第三十九届 IMO 预选题）证明：如图，连接 PD ，根据圆的对称性知，点 D 在⊙O 上，且 PD 切⊙O 于 D 。连接 CD 交 AB 于 T ，则 CT⊥AB，且 T 为 CD 中点。连结 TF 、TK 。

2011年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

数学竞赛中的平面几何一、引言 1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，中学几何的拓展．这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO （1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一． 2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．高中竞赛大纲: 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．二、基本内容全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．定义1 点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2 如果对点集A 中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A 称为是凸的．定义3 设n M M M ,,,21 是多边形，如果12n M M M M = 并且当j i ≠时，i M 与j M 没有公共的内点，则称多边形M 剖分为多边形12,,,n M M M ．定义4 如果凸边形N 的所有顶点都在凸多边形M 的边上，则称多边形N 内接于多边性M ．定理1 两点之间直线距离最短．推论三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．定理2 三角形的内角之等于 180．凸n 边形（3≥n ）的n 个内角和等于(2)180n - ；外角和为 180（每一个顶点处只计算一个外角）．

2021年高中数学竞赛平面几何问题的解答及其它 (1)

平面几何问题的解答及其它 1. 在△OAB 与△OCD 中, OA = OB , OC = OD . 直线AB 与CD 交于点P , ⊙(PBC )与⊙(PDA )的外接圆交于P 、Q 两点. 求证: OQ ⊥PQ . A B C D P O Q 这是第26届IMO 的一道几何题的推广. 第26届IMO 的那道几何题的条件是A 、B 、C 、D 四点共圆, 且O 为圆心. 思路1 欲证明OQ ⊥PQ , 可考虑证明点O 在过点Q 且垂直于PQ 的直线上. 证法1 如图1所示, 过点Q 作PQ 的垂线分别交△P AD 与△PBC 的外接圆交于I 、J 两点, 则AI ⊥P A , BJ ⊥P A , 所以AI ∥BJ , 因而AB 的垂直平分线过IJ 的中点; 同理, CD 的垂直平分线也过IJ 的中点. 显然, O 是AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线的交点, 因此, O 为IJ 的中点. 故OQ ⊥PQ . 思路2 如果有割线过相交两圆的一个交点, 则我们可以以两圆的另一个交点为中心作位似旋转变换, 使其中一个圆变为另一个圆, 此时, 割线与两圆的另一交点即为两个对应点. 沿着这条思路走下去, 可能使问题得到解决. 证法2 如图2所示, 以Q 为位似中心作位似旋转变换, 使圆PDA →圆PBC , 则A →B , D →C , 于是, 以Q 为位似中心作位似旋转变换, 使A →D , 则 B →C . 再设AB 、CD 的中点分别为M 、N , 则M →N , 因而P 、Q 、M 、N 四点共圆, 但⊙(PMN )显然以OP 为直径, 这说明点Q 在以OP 为直径的圆上, 故OQ ⊥PQ . A B C D P O Q N M 1 J M N Q O P D C B A 思路3 设M 、N 分别为AB 、CD 的中点, 则从证法1可以看出, 只要证明了P 、Q 、N 、M 四点共圆, 问题便得到解决. 1.三弦定理及其逆定理