高中数学竞赛 平面几何

高中数学竞赛平面几何

一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）

梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则

.1''''''=⋅⋅B

C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=⋅⋅B

C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=⋅⋅B

C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=⋅⋅B

C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BA

B CBB CB

C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC

D 为任意凸四边形，则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有

AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BC

BP -BP •PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。

九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。

蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）

欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2

1GH OG = 二、方法与例题

1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。

例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠

PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。

[证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以CQ AC QP AP =1

，

①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有

2

22sin sin ABP AP B AP AB ∠=∠，②Q BP BQ QP 202sin 20sin ∠=，③.70sin 30sin 00AC AB =④ 由②，③，④得221

1QP AP QP AP =。又因为P 1，P 2同在线段AQ 上，所以P 1，P 2重合，又BP 与CP 仅有一个交点，所以P 1，P 2即为P ，所以A ，P ，Q 共线。

2．面积法。

例2 见图16-1，◇ABCD 中，E ，F 分别是CD ，BC 上的点，且BE=DF ，BE 交DF 于P ，求证：AP 为∠BPD 的平分线。

[证明] 设A 点到BE ，DF 距离分别为h 1,h 2，则

,2

1,2121h DF S h BE S ADF ABE ⨯=⨯=

∆∆ 又因为21=∆ABE S S ◇ABCD =S ΔADF ，又BE=DF 。 所以h 1=h 2，所以PA 为∠BPD 的平分线。

3．几何变换。

例3 （蝴蝶定理）见图16-2，AB 是⊙O 的一条弦，M 为AB 中点，CD ，EF 为过M 的任意弦，CF ，DE 分别交AB 于P ，Q 。求证：PM=MQ 。

[证明] 由题设OM ⊥AB 。不妨设BD AF ≤。作D 关于直线OM 的对称点'D 。

连结F D DD M D PD ',',','，则.'.'D M Q P M D DM M D ∠=∠=要证PM=MQ ，只需证MDQ M PD ∠=∠'，又∠MDQ=∠PFM ，所以只需证F ，P ，M ，'D 共圆。

因为∠'PFD =1800-'MDD =1800-∠D MD '=1800

-∠'PMD 。（因为'DD ⊥OM 。AB//'DD ） 所以F ，P ，M ，'D 四点共圆。所以ΔM PD '≌ΔMDQ 。所以MP=MQ 。

例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。

[证明] 在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A ，B ，C ，D ，E ，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A 1，B 1，C 1，D 1，E 1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A 1，B 1，C 1，则ΔABC 与ΔA 1B 1C 1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。

4．三角法。

例5 设AD ，BE 与CF 为ΔABC 的内角平分线，D ，E ，F 在ΔABC 的边上，如果∠EDF=900，

求∠BAC 的所有可能的值。

[解] 见图16-3，记∠ADE=α，∠EDC=β， 由题设∠FDA=

2π-α，∠BDF=2

π-β， 由正弦定理：C DE CE A DE AE sin sin ,2sin sin ==βα，

得

2

sin sin sin sin A C CE AE ⋅=βα， 又由角平分线定理有BC AB EC AE =，又A BC C AB sin sin =，所以A C A C sin sin 2

sin sin sin sin =⋅βα， 化简得2cos 2sin sin A =αβ，同理2cos 2sin sin A ADF BDF =∠∠，即.2

cos 2cos cos A =αβ 所以α

βαβcos cos sin sin =，所以sin βcos α-cos βsin α=sin(β-α)=0. 又-π<β-α<π,所以β=α。所以212cos =A ，所以A=32π。 5．向量法。

例6 设P 是ΔABC 所在平面上的一点，G 是ΔABC 的重心，求证：PA+PB+PC>3PG.

[证明] 因为

+++=+++++=++3，又G 为ΔABC 重心，所以.0=++

（事实上设AG 交BC 于E ，则+==2，所以0=++） 所以3=++，所以.||3||||||||=++≥++ 又因为,,不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG 。

6．解析法。

例7 H 是ΔABC 的垂心，P 是任意一点，HL ⊥PA ，交PA 于L ，交BC 于X ，HM ⊥PB ，交PB 于M ，交CA 于Y ，HN ⊥PC 交PC 于N ，交AB 于Z ，求证：X ，Y ，Z 三点共线。

[解] 以H 为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x 轴和y 轴，建立直角坐标系，用(x k ,y k )表示点k 对应的坐标，则直线PA 的斜率为

A P A P x x y y --，直线HL 斜率为P A A P y y x x --，直线HL 的方程为x(x P -x A )+y(y P -y A )=0.

又直线HA 的斜率为A A x y ，所以直线BC 的斜率为A

A y x -，直线BC 的方程为xx A +yy A =x A x

B +y A y B ,②又点

C 在直线BC 上，所以x C x A +y C y A =x A x B +y A y B .

同理可得x B x C +y B y C =x A x B +y A y B =x A x C +y A y C .

又因为X 是BC 与HL 的交点，所以点X 坐标满足①式和②式，所以点X 坐标满足xx P +yy P =x A x B +y A y B .④同理点Y 坐标满足xx P +yy P =x B x C +y B y C .⑤点Z 坐标满足xx P +yy P =x C x A +y C y A . 由③知④，⑤，⑥表示同一直线方程，故X ，Y ，Z 三点共线。

7．四点共圆。

例8 见图16-5，直线l 与⊙O 相离，P 为l 上任意一点，PA ，PB 为圆的两条切线，A ，B 为切点，求证：直线AB 过定点。

[证明] 过O 作OC ⊥l 于C ，连结OA ，OB ，BC ，OP ，设OP 交AB 于M ，则OP ⊥AB ，又因为OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OC ⊥PC 。

所以A ，B ，C 都在以OP 为直径的圆上，即O ，A ，P ，C ，B 五点共圆。

AB 与OC 是此圆两条相交弦，设交点为Q ，

又因为OP ⊥AB ，OC ⊥CP ，

所以P ，M ，Q ，C 四点共圆，所以OM •OP=OQ •OC 。

由射影定理OA 2=OM •OP ，所以OA 2

=OQ •OC ，所以OQ=OC OA 2

（定值）。 所以Q 为定点，即直线AB 过定点。

三、习题精选

1．⊙O 1和⊙O 2分别是ΔABC 的边AB ，AC 上的旁切圆，⊙O 1与CB ，CA 的延长线切于E ，G ，⊙O 2与BC ，BA 的延长线切于F ，H ，直线EG 与FH 交于点P ，求证：PA ⊥BC 。

2．设⊙O 的外切四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，求证：E ，O ，F 三点共线。

3．已知两小圆⊙O 1与⊙O 2相外切且都与大圆⊙O 相内切，AB 是⊙O 1与⊙O 2的一条外公切线，A ，B 在⊙O 上，CD 是⊙O 1与⊙O 2的内公切线，⊙O 1与⊙O 2相切于点P ，且P ，C 在直线AB 的同一侧，求证：P 是ΔABC 的内心。

4．ΔABC 内有两点M ，N ，使得∠MAB=∠NAC 且∠MBA=∠NBC ，求证：

.1=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅CB

CA CN CM BA BC BN BM AC AB AN AM 5．ΔABC 中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 相交于点H ，直线ED 和AB 相交于点M ，直线FD 和AC 相交于点N ，求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN 。

6．设点I ，H 分别是锐角ΔABC 的内心和垂心，点B 1，C 1分别是边AC ，AB 的中点，已知射线B 1I 交边AB 于点B 2(B 2≠B)，射线C 1I 交AC 的延长线于点C 2，B 2C 2与BC 相交于点K ，A 1为ΔBHC 的外心。试证：A ，I ，A 1三点共线的充要条件是ΔBKB 2和ΔCKC 2的面积相等。

7．已知点A 1，B 1，C 1，点A 2，B 2，C 2，分别在直线l 1,l 2上 ，B 2C 1交B 1C 2于点M ，C 1A 2交A 1C 2于点N ，B 1A 2交B 2A 1于L 。求证：M ，N ，L 三点共线。

8．ΔABC 中，∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC 的内接三角形（三个顶点分别在三条边上

的三角形）的最长边的最小值。

9．ΔABC 的垂心为H ，外心为O ，外接圆半径为R ，顶点A ，B ，C 关于对边BC ，CA ，AB 的对称点分别为',','C B A ，求证：',','C B A 三点共线的充要条件是OH=2R 。

高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)

第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D.连结DA. 在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC,∠DPB ＝∠C. 由BP ＝CQ,可知△DBP ≌△AQC.有DP ＝AC,∠BDP ＝∠QAC. 于是,DA ∥BP,∠BAP ＝∠BDP.则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP.所以AB ＝AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE.求证：∠EBA ＝∠ADE. 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P,连PE. 由AB CD,易知△PBA ≌△ECD.有PA ＝ED,PB ＝EC. 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE,∠APE ＝∠ADE.由∠BAF ＝∠BCE,可知 ∠BAF ＝∠BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE.所以,∠EBA ＝∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的 垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ. 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G,连PG. 由BD 平行∠ABC,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN. 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC. 由CE 平分∠BCA,知GP 平分∠FGA.有PK ＝PM.于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ. 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK,就有PM ＋PN ＝PQ.证法非常简捷. 3 、为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. ∥＝A D B P Q C 图1 P E D G A B F C 图2 A N E B Q K G C D M F P 图3

高中数学竞赛题之平面几何

第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利 用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE . 有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE . 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ . 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷. 3 为了线段比的转化 ∥＝ A D B P Q C 图1P E D G A B F C 图2 A N E B Q K G C D M F P 图3

高中数学竞赛基础平面几何知识点总结

高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连

线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 （2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题— —珍藏版 高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。 在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。 这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。 为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。 1.研究证明角平分 在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。 2.研究证明四点共圆 在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。这个问题也是几何学中的基础问题之一。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。 3.研究证明角的倍数关系

在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。 4.证明线与圆相切 在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。 5.证明垂直 在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用垂直的定义、垂直角等。 6.证明线段相等

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中数学联赛难度几何题100道 第一题：学习证明角平分 (4) 第二题：学习证明四点共圆 (5) 第三题：学习证明角的倍数关系 (6) 第四题：证明线与圆相切 (7) 第五题：证明垂直 (8) 第六题：证明线段相等 (9) 第七题：证明线段为比例中项 (10) 第八题：证明垂直 (11) 第九题：证明线段相等 (12) 第十题：证明角平分 (13) 第十一题：证明垂直 (14) 第十二题：证明线段相等 (15) 第十三题：证明角相等 (16) 第十四题：证明中点 (17) 第十五题：证明线段的二次等式 (18) 第十六题：证明角平分 (19) 第十七题：证明中点 (20) 第十八题：证明角相等 (21) 第十九题：证明中点 (22) 第二十题：证明线段相等 (23) 第二十一题：证明垂直 (24) 第二十二题：证明角相等 (25) 第二十三题：证明四点共圆 (26) 第二十四题：证明两圆相切 (27) 第二十五题：证明线段相等 (28) 第二十六题：证明四条线段相等 (29) 第二十七题：证明线段比例等式 (30) 第二十八题：证明角的倍数关系 (31) 第二十九题：证明三线共点 (32) 第三十题：证明平行 (33) 第三十一题：证明线段相等 (34) 第三十二题：证明四点共圆 (35) 第三十三题：证明三角形相似 (36) 第三十四题：证明角相等 (37) 第三十五题：证明内心 (38) 第三十六题：证明角平分 (39) 第三十七题：证明垂直 (40) 第三十八题：证明面积等式 (41) 第三十九题：证明角平分 (42) 第四十题：证明角相等 (43)

第四十二题：证明中点 (45) 第四十三题：证明角相等 (46) 第四十四题：证明垂直 (47) 第四十五题：证明角相等 (48) 第四十六题：证明垂直 (49) 第四十七题：证明四点共圆 (50) 第四十八题：证明四点共圆 (51) 第四十九题：证明四点共圆 (52) 第五十题：证明角平分 (53) 第五十一题：证明线段相等 (54) 第五十二题：证明两圆外切 (55) 第五十三题：证明垂直 (56) 第五十四题：证明垂直 (57) 第五十五题：证明垂直 (58) 第五十六题：证明垂直 (59) 第五十七题：证中点 (60) 第五十八题：证明角相等 (61) 第五十九题：证明角相等 (62) 第六十题：证明四点共圆 (63) 第六十一题：证明四点共圆 (64) 第六十二题：证明四点共圆 (65) 第六十三题：证明角相等 (66) 第六十四题：证明角的倍数关系 (67) 第六十五题：证明中点 (68) 第六十六题：伪旁切圆 (69) 第六十七题：证明垂直 (70) 第六十八题：证明平行 (71) 第六十九题：证明圆心在某线上 (72) 第七十题：证明三线共点 (73) 第七十一题：证明垂直 (74) 第七十二题：证明垂直 (75) 第七十三题：证明中点 (76) 第七十四题：证明垂直 (77) 第七十五题：证明垂直 (78) 第七十六题：证明三线共点 (79) 第七十七题：证明平行 (80) 第七十八题：证明平行 (81) 第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (82) 第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (83) 第八十一题：证明角平分 (84) 第八十二题：证明角相等 (85) 第八十三题：证明三点共线 (86) 第八十四题：证明四圆共点 (87)

高中数学竞赛平面几何定理

平面几何基础知识（基本定理、基本性质） 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-?⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 与其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ． 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边． 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到

高中数学竞赛基础平面几何知识点总结

1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则

该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点，且满足则AD 是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE

高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)

第一讲 注意添加平行线证题（一） 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D.连结DA. 在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC,∠DPB ＝∠C. 由BP ＝CQ,可知△DBP ≌△AQC.有DP ＝AC,∠BDP ＝∠QAC. 于是,DA ∥BP,∠BAP ＝∠BDP.则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP.所以AB ＝AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE.求证：∠EBA ＝∠ADE. 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P,连PE. 由ABCD,易知△PBA ≌△ECD.有PA ＝ED,PB ＝EC. 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE,∠APE ＝∠ADE.由∠BAF ＝∠BCE,可知 ∠BAF ＝∠BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE.所以,∠EBA ＝∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ. 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G,连PG. ∥＝ A D B P Q C 图1 P E D G A B F C 图2A N E B Q K G C D M F P 图3

高中数学竞赛 平面几何

高中数学竞赛平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=⋅⋅B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=⋅⋅B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=⋅⋅B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=⋅⋅B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BC BP -BP •PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以CQ AC QP AP =1 ，

高中数学竞赛——平面几何

中学数学竞赛——平面几何 (叶中豪) 学问要点 几何变换及相像理论 位似及其应用 复数与几何 （1） 复数的意义及运算 （2） 复数与复平面上的点一一对应 （3） 复数与向量 （4） 定比分点 （5） 重心和加权重心，三角形的特别点 （6） 面积 （7） 90°旋转与正方形 （8） 相像与复数乘法的几何说明 （9） 三次单位根与正三角形 例题和习题 1．（Sylvester ）已知P 是△ABC 所在平面上任一点。求证：3PA PB PC PG ++=，其中G 是△ ABC 的重心。 2．（Lami 定理）已知P 是△ABC 所在平面上任一点，P 点对于△ABC 的重心坐标为123::μμμ。 求证：1230PA PB PC μμμ++=。 3．（Gergonne ）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间的两 组中点所构成的三角形的重心重合。 4．（von Aubel ）以随意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线相互垂直。 5．以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD ＝∠ ACE ＝90°。求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。 6．已知△ABC ，在给定线段MN 的同侧作三个彼此相像的三角形，使得 △A ′ MN ∽△NB ′M ∽△MN C ′∽△ABC 。求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 。 7．（1）如图，在已知△ABC 的四周作三个相像三角形：△DBC ∽△ECA ∽△FAB 。求证：AFDE 是平行四边形。

E B （2）如图，在四边形ABCD 四周作四个相像三角形：△EAB ∽△FCB ∽△GCD ∽△HAD 。求证：EFGH 是平行四边形。 G 8．在△ABC 的外围作三个相像三角形：△DCB ∽△EAC ∽△FBA 。求证：△DEF 的重心是定点。 9．若在四边形ABCD 内存在一点P ，使得△PAB 、△PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角三角形。 求证：必存在另一点Q ，使得△QBC 、△QDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 10．（上海市中学竞赛）设△ABC 是锐角三角形。在△ABC 外分别作等腰直角三角形： △ BCD 、△ABE 、△CAF ，这三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CFA 是直角。 又在四边形BCFE 形外作等腰直角三角形△EFG ，∠EFG 是直角。求证：（1）GA AD ；（2）∠GAD ＝135°。 11．（第17届IMO ）已知随意△ABC ，在其外部作△ABR 、△BCP 、△CAQ ，使得 ∠PBC ＝∠CAQ ＝45°， ∠BCP ＝∠QCA ＝30°， ∠RBA ＝∠RAB ＝15°。 求证：（1）∠QRP ＝90°；（2）QR ＝RP 。 12．在复平面上，△ABC 是正三角形的充要条件： （1）2 0A B C ωω++=或2 0A B C ωω++=； （2）2 2 2A B C BC CA AB ++=++； （3） 111 0A B B C C A ++=---。 13．（拿破仑定理）（1）在随意三角形四周同时向外或向内作正三角形，则三个正三角形的中心仍 构成正三角形；（2）外、内两正三角形的面积差等于原三角形的面积。 14．（1941年匈牙利数学竞赛题）六边形ABCDEF 内接于一圆，它的边AB ，CD ，EF 等于圆的半 径。求证：六边形ABCDEF 的其它三边的中点是正三角形的顶点。

个人精心整理高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲

1、数学竞赛考纲 二试 1、平面几何 根本要求：驾驭高中数学竞赛大纲所确定的全部内容。 补充要求：面积与面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点间隔之与最小的点--费马点。到三角形三顶点间隔的平方与最小的点--重心。三角形内到三边间隔之积最大的点--重心。 几何不等式。 简洁的等周问题。理解下述定理： 在周长肯定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。 在周长肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积肯定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的根底上另外要求的内容： 周期函数与周期，带肯定值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简洁的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求n次迭代，简洁的函数方程。 n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简洁的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简洁的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的根本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 截面，会作截面、外表绽开图。 4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。

高中数学竞赛平面几何定理

平面几何基础知识〔基本定理、基本性质 1． 勾股定理〔毕达哥拉斯定理〔广义勾股定理<1>锐角对边的平方,等于其他两边之平方 和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． <2>钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理〔欧几里得定理 3． 中线定理〔巴布斯定理设△ABC 的边BC 的中点为P ,则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成 比例．如△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则AC AB DC BD =；〔外角平分线定理． 角平分线长：2cos 2)(2 A c b bc a p bcp c b t a +=-+=〔其中p 为周长一半． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===,〔其中R 为三角形外接圆半径． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ,则有 AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ． 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半．〔圆外角如何转化？ 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12． 圆幂定理：〔相交弦定理：垂径定理：切割线定理〔割线定理：切线长定理： 13． 布拉美古塔〔Brahmagupta 定理：在圆内接四边形ABCD 中,AC ⊥BD ,自对角线的交 点P 向一边作垂线,其延长线必平分对边． 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO =d ,⊙O 的半径为r ,则d 2－r 2就是 点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ,则PA ·PB = |d 2－r 2|．"到两圆 等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此

第十讲高中数学竞赛考点平面几何

第十讲 高中数学竞赛考点平面几何 一．竞赛说明 考情解读 平面几何是数学的重要分支，是培养学生严密推理能力的重要载体，历来丰富，完美的内容和形式吸引着人们的注意力。平面几何问题结构优美，构思精巧，解法灵活，在各种级别，各种类型的数学竞赛中始终占据着重要地位。2006年修订的《高中数学竞赛大纲（修订版）》把平面几何列为必考内容。全国高中数学联赛加试的四道题中一般有一道平面几何题，中国数学奥林匹克（CMO ），国际数学奥林匹克（IMO ）每年的试题中一般也有1-2道平面几何题。可以这么说，在数学竞赛中，平面几何内容占据了非常显著，举足轻重的位置。 二．竞赛目标 考点解析 竞赛中的平面几何试题通常以直线，三角形，四边形，圆等基本图形为载体，试题复杂多变，题型多样，出现得较多的有证明题，计算题，轨迹题，作图题等。实际上，计算题，轨迹题，作图题都离不开严格的几何推理和证明，所以证明题是平面几何题的核心，几何证明一般可分为三大类， 第一类，位置型问题，如证明两直线平行，两线垂直，点共线，线共点，点共圆，圆共点，线与圆相切或相交，或证明某点是特殊点，某图形是特殊图形等。 第二类，等式型问题，如证明角相等，线段相等，图形的面积相等，或证明某些关系成立，等等 第三类，不等式型问题，如证明某些几何量如线段长，角，面积的大小关系或某些复杂的几何不等式等 目标一 基础知识 平面几何中涉及的基础知识主要有：直线的平行与垂直；三角形的相似与全等；三角形中的正弦定理与余弦定理；圆的基本性质（包含与圆有关的圆周角和弦切角，圆幂定理）等等。 边和角是几何图形的最基本元素，平面几何中的一个基础内容就是边角的互换，把不熟悉的边和角转化为熟悉的边和角。 下面我以平面几何中一个常见且运用很广泛的角平分线定理来谈一下处理处理这类问题的基本思路与方法。 例1.（内角平分线定理）在△ABC 中，AD 是∠BAC 的内角平分线，求证： CD BD AC AB =. 【法一】 作DE //AB 交AC 于E ， 则∠CAD=∠BAD=∠EDA ， 所以AE =DE . 故AC AB CE DE CE AE CD BD ===.

高中数学竞赛平面几何定理

平面几何根底知识〔根本定理、根本性质〕 1． 勾股定理〔毕达哥拉斯定理〕〔广义勾股定理〕(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边 和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理〔欧几里得定理〕 3． 中线定理〔巴布斯定理〕设△ABC 的边BC 的中点为P ，那么有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 22222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分 ∠BAC ，那么AC AB DC BD =；〔外角平分线定理〕． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= 〔其中p 为周长一半〕． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，〔其中R 为三角形外接圆半径〕． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，那么有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝ BC ·DC ·BD ． 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．〔圆外角如何转化？〕 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12． 圆幂定理：〔相交弦定理：垂径定理：切割线定理〔割线定理〕：切线长定理：〕 13． 布拉美古塔〔Brahmagupta 〕定理：在圆接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线 必平分对边． 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，那么d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，那么PA ·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线〞这个结论．这条直线称为两圆的“根轴〞．三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心〞．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密〔Ptolemy 〕定理：圆接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命 题成立) ．〔广义托勒密定理〕AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ． 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角 形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一角都小于120°时，在三角形必存在一点，它对三条边所的角都是120°，该点到三顶点距离和到达最小，称为“费马点〞，当三角形有一角

高中数学竞赛平面几何定理

平面几何基础知识〔基本定理、基本性质〕 1． 勾股定理〔毕达哥拉斯定理〕〔广义勾股定理〕(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平 方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理〔欧几里得定理〕 3． 中线定理〔巴布斯定理〕设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成 比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；〔外角平分线定理〕． 角平分线长：2cos 2)(2 A c b bc a p bcp c b t a +=-+=〔其中p 为周长一半〕． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，〔其中R 为三角形外接圆半径〕． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有 AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ． 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．〔圆外角如何转化？〕 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12． 圆幂定理：〔相交弦定理：垂径定理：切割线定理〔割线定理〕：切线长定理：〕 13． 布拉美古塔〔Brahmagupta 〕定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角 线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边． 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－ r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到