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【数学】2012新题分类汇编：函数与导数(高考真题+模拟新题)

函数与导数(高考真题+模拟新题)

课标文数13.B1[2011·安徽卷] 函数y ＝

6－x －x

的定义域是________．

课标文数13.B1[2011·安徽卷] 【答案】 (－3,2)

【解析】由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2

＋x －6<0，故－3

课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V →R 满足：

对任意向量a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，以及任意λ∈R ，均有f (λa ＋(1－λ)b )＝λf (a )＋(1－λ)f (b )．

则称映射f 具有性质P . 现给出如下映射：

①f 1：V →R ，f 1(m )＝x －y ，m ＝(x ，y )∈V ； ②f 2：V →R ，f 2(m )＝x 2＋y ，m ＝(x ，y )∈V ； ③f 3：V →R ，f 3(m )＝x ＋y ＋1，m ＝(x ，y )∈V .

其中，具有性质P 的映射的序号为________．(写出所有具有性质P 的映射的序号) 课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】 ①③ 【解析】设a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，则

λa ＋(1－λ)b ＝λ(x 1，y 1)＋(1－λ)(x 2，y 2)＝(λx 1＋(1－λ)x 2，λy 1＋(1－λ)y 2)， ①f 1(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2－[λy 1＋(1－λ)y 2] ＝λ(x 1－y 1)＋(1－λ)(x 2－y 2)＝λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )， ∴映射f 1具有性质P ；

②f 2(λa ＋(1－λ)b )＝[λx 1＋(1－λ)x 2]2＋[λy 1＋(1－λ)y 2]，

λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )＝λ(x 21 ＋y 1 ) ＋ (1－λ)(x 2

2 ＋ y 2 )， ∴f 2(λa ＋(1－λ)b )≠λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )， ∴ 映射f 2不具有性质P ；

③f 3(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2＋(λy 1＋(1－λ)y 2)＋1

＝λ(x 1＋y 1＋1)＋(1－λ)(x 2＋y 2＋1)＝λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )， ∴ 映射f 3具有性质P .

故具有性质P 的映射的序号为①③.

课标文数8.B1[2011·福建卷] 已知函数f (x )＝?

????

2x ，x >0，

x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的

值等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 课标文数8.B1[2011·福建卷] A 【解析】由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x >1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，

∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.

课标文数4.B1[2011·广东卷] 函数f (x )＝1

1－x

＋lg(1＋x )的定义域是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－1,1)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，＋∞)

课标文数4.B1[2011·广东卷] C 【解析】要使函数有意义，必须满足?

????

1－x ≠0，

1＋x >0，所以

所求定义域为{x |x >－1且x ≠1}，故选C.

课标文数16.B1[2011·湖南卷] 给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .

(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________； (2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________．课标文数16.B1[2011·湖南卷] (1)a (a 为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f 是正整数到正整数的映射，因为k ＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f 在n ＝1处的函数值为任意的a (a 为正整数)；

(2)因为2≤f (n )≤3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f 的个数等于16.

课标文数11.B1[2011·陕西卷] 设f (x )＝?

????

lg x ，x ＞0，

10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.

课标文数11.B1[2011·陕西卷] －2 【解析】因为f (x )＝?

????

lg x ，x >0，

10x ，x ≤0，－2<0，f (－2)＝

－2,10－2>0，f (10－2)＝lg10－2

＝－2.

大纲文数16.B1[2011·四川卷] 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：

①函数f (x )＝x 2

(x ∈R )是单函数；

②指数函数f (x )＝2x

(x ∈R )是单函数；

③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) 大纲文数16.B1[2011·四川卷] ②③④ 【解析】本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2,2∈A ，f (－2)＝f (2)，则①错误；对于②，当2x 1＝2x 2时，总有x 1＝x 2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f (x )在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．

课标理数1.B1[2011·浙江卷] 设函数f (x )＝?

????

－x ，x ≤0，

x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝( )

A ．－4或－2

B ．－4或2

C ．－2或4

D ．－2或2 课标理数1.B1[2011·浙江卷] B 【解析】当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；

当α＞0，f (α)＝α2

＝4，α＝2.

课标文数11.B1[2011·浙江卷] 设函数f (x )＝4

1－x

，若f (α)＝2，则实数α＝________.

课标文数11.B1[2011·浙江卷] －1 【解析】 ∵f (α)＝4

1－α

＝2，∴α＝－1.

大纲理数2.B2[2011·全国卷] 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( )

A ．y ＝x 24(x ∈R )

B ．y ＝x 2

4(x ≥0)

C ．y ＝4x 2(x ∈R )

D ．y ＝4x 2

(x ≥0)

大纲理数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】由y ＝2x 得x ＝y

，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数

的反函数为y ＝x

x ≥0)．故选B.

大纲文数2.B2[2011·全国卷] 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( )

A ．y ＝x 24(x ∈R )

B ．y ＝x 2

4(x ≥0)

C ．y ＝4x 2

(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x ≥0)

大纲文数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】由y ＝2x 得x ＝y 2

，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数

的反函数为y ＝x

x ≥0)．故选B.

大纲理数7.B2[2011·四川卷] 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝???

2x ＋1，则

f (x )的反函数的图象大致是( )

图1－2

大纲理数7.B2[2011·四川卷] A 【解析】当x >0时，由y ＝????12x

＋1可得其反函数为y ＝log 1

2(x －1)(1

课标理数8.B3[2011·北京卷] 设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,4)，D (t,4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )

A ．{9,10,11}

B ．{9,10,12}

C ．{9,11,12}

D ．{10,11,12}

课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝－x 2＋1

D ．y ＝2－|x | 课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，

但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝???

2|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故

选B.

课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝－x 2＋1

D ．y ＝2－|x |

课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3

是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，

但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝????12|x |

是偶函数，

但在()0，＋∞上是减函数．故

选B.

课标数学2.B3[2011·江苏卷] 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．

课标数学2.B3[2011·江苏卷] ???

?－1

2，＋∞

【解析】因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为???

?－12，＋∞.

课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，

∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab ＝18.

大纲理数5.B3[2011·重庆卷] 下列区间中，函数f (x )＝||ln (2－x )在其上为增函数的是( )

A ．(－∞，1] B.???

－1，43

C.????0，

32 D ．[1,2)

课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2

－x ，则f (1)＝________.

课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 【答案】－3

【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.

法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.

课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2

－x ，则f (1)＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] A 【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0

时，f (x ) ＝ 2x 2

－x ，

∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.

法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2

－x ，∴

f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2

＋x ，又f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12

－1＝－3，故选A.

大纲理数9.B4[2011·全国卷] 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ????－

52＝( )

A ．－12

B ．－14

C.14

D.12

大纲理数9.B4[2011·全国卷] A 【解析】因为函数的周期为2，所以f ????52＝f ????2＋12＝f ????

12＝12，又函数是奇函数，∴f ????－52＝－f

????52＝－12

，故选A.

大纲文数10.B4[2011·全国卷] 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ????－

52＝( )

A ．－12

B ．－14

C.14

D.12

大纲文数10.B4[2011·全国卷] A 【解析】因为函数的周期为2，所以f ????52＝f ????2＋12＝f ????1

2＝12，又函数是奇函数，所以f ????－52＝－f

????52＝－12

，故选A.

课标理数9.B4[2011·福建卷] 对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( ) A ．4和6 B ．3和1

C ．2和4

D ．1和2 课标理数9.B4[2011·福建卷] D 【解析】由已知，有f (1)＝a sin1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin1－b ＋c ，

∴ f (1)＋f (－1)＝2c ，

∵ c ∈Z ，∴ f (1)＋f (－1)为偶数，

而D 选项给出的两个数，一个是奇数，一个是偶数，两个数的和为奇数，故选D.

课标理数4.B4[2011·广东卷] 设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )

A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数

B ．f (x )－|g (x )|是奇函数

C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数

D ．|f (x )|－g (x )是奇函数课标理数4.B4[2011·广东卷] A 【解析】因为g (x )在R 上为奇函数，所以|g (x )|为偶函数，则f (x )＋|g (x )|一定为偶函数．

课标文数12.B4[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3

cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.

课标文数12.B4[2011·广东卷] －9 【解析】由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3

cos a ＝10，

所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3

cos a ＋1＝－10＋1＝－9.

课标理数6.B4[2011·湖北卷] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x

＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )

A ．2 B.154 C.17

D ．a 2

课标理数6.B4[2011·湖北卷] B 【解析】因为函数f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以由

f (x )＋

g (x )＝a x －a －x ＋2①，得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x

＋2②， ①＋②，得g (x )＝2，①－②，得

f (x )＝a x －a －x .又

g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x ，所以f (2)＝15

课标文数3.B4[2011·湖北卷] 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )

A ．e x －e －x

B.12

(e x ＋e －x )

C.12(e －x －e x )

D.12(e x －e －x ) 课标文数3.B4[2011·湖北卷] D 【解析】因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f ()

－x ＋g ()－x ＝f (x )－g ()x ＝e －x .又因为f (x )＋g ()x ＝e x ，所以g ()x ＝e x －e

－x 2

课标文数12.B4[2011·湖南卷] 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.

课标文数12.B4[2011·湖南卷] 6 【解析】由g (x )＝f (x )＋9，得当x ＝－2时，有g (－2)＝f (－2)＋9?f (－2)＝－6.

因为f (x )为奇函数，所以有f (2)＝f (－2)＝6.

课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝－x 2＋1

但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝????12|x |

是偶函数，

但在()0，＋∞上是减函数．故

选B.

课标文数6.B4[2011·辽宁卷] 若函数f (x )＝x

(2x ＋1)(x －a )

为奇函数，则a ＝( )

A.12

B.23

C.3

D ．1 课标文数6.B4[2011·辽宁卷] A 【解析】法一：由已知得f (x )＝x

(2x ＋1)(x －a )

定义域关于

原点对称，由于该函数定义域为???

??x ??

x ≠－

12且x ≠a ，知a ＝1

2，故选A. 法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，

又f (x )＝x

2x 2＋(1－2a )x －a ，

则－x 2x 2－(1－2a )x －a ＝－x 2x 2＋(1－2a )x －a 在函数的定义域内恒成立，可得a ＝1

课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝－x 2＋1

D ．y ＝2－|x | 课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，

但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝????12|x |

是偶函数，

但在()0，＋∞上是减函数．故

选B.

课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]

时f (x )＝x 2

，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )

A ．10个

B ．9个

C ．8个

D ．1个课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．

图1－5

课标理数10.B4[2011·山东卷] 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2

时，f (x )＝x 3

－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 课标理数10.B4[2011·山东卷] B 【解析】当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以当0≤x <2时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，则f (x －2)＝(x －2)3－(x －2)，又周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 3＝2，x 4＝3；同理当4≤x ≤6时，f (x )与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，所以共有7个交点．

课标理数3.B4[2011·陕西卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )

图1－1

课标理数3.B4[2011·陕西卷] B 【解析】由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.

课标理数11.B4[2011·浙江卷] 若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.

课标理数11.B4[2011·浙江卷] 0 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 2－|x ＋a |＝(－x )2－|－x ＋a |?||x ＋a ＝||x －a ，∴a ＝0.

课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2

－x ，则f (1)＝________.

课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 【答案】－3

【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2

－x ，

∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2

＋(－1)＝－3.

法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2

－x ，∴

f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2

＋x ，又f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.

课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2

－x ，则f (1)＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] A 【解析】法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0

时，f (x ) ＝ 2x 2

－x ，

∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.

法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2

－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12

－1＝－3，故选A.

课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] 已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2

的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] A 【解析】由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，

则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2

)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2

＝2，

所以x 2

＋x －2＝±2，

当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；

当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故应选A.

课标理数12.B5[2011·陕西卷] 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整．数．根的充要条件是n ＝________.

课标理数12.B5[2011·陕西卷] 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n 得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3,4，故当n ＝3,4时方程有整数根．

课标文数14.B5[2011·陕西卷] 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整．数．根的充要条件是n ＝________.

课标文数14.B5[2011·陕西卷] 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n ＝0得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3,4，当n ＝3,4时方程有整数根．

课标理数8.B5[2011·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝?

????

a ，a －

b ≤1，

b ，a －b >1.设函

数f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2

)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c

的取值范围是( )

A ．(－∞，－2]∪???

?－1，3

B ．(－∞，－2]∪???

－1，－34 C.??－1，14∪????1

，＋∞ D.????－1，－34∪????1

，＋∞ 课标理数8.B5[2011·天津卷] B 【解析】 f (x )＝???

x 2－2，x 2－2－()x －x 2

≤1，x －x 2，x 2

－2－(

)x －x 2>1 ＝???

x 2

－2，－1≤x ≤32

，x －x 2

，x <－1，或x >3

，

则f ()x 的图象如图1－4.

图1－4 ∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，

由图象知c ≤－2，或－1

课标文数8.B5[2011·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“?”；a ?b ＝?

????

a ，a －

b ≤1，

b ，a －b >1.设函

数f (x )＝(x 2－2)?(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取

值范围是( )

A ．(－1,1]∪(2，＋∞)

B ．(－2，－1]∪(1,2]

C ．(－∞，－2)∪(1,2]

D ．[－2，－1]

课标文数8.B5[2011·天津卷] B 【解析】 f (x )＝?

???

x 2－2，x 2－2－(x －1)≤1x －1，x 2

－2－(x －1)>1 ＝?

???

x 2

－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1，或x >2 则f (x )的图象如图，

∵函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，

∴函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2

图1－3

课标理数3.B6[2011·山东卷] 若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π

的值为( )

A ．0 B.3

C ．1 D. 3

课标理数3.B6[2011·山东卷] D 【解析】因为点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，所以9＝3a ，所以a ＝2，

即tan a π6＝tan 2π6＝tan π

3＝3，故选D.

课标文数3.B6[2011·山东卷] 若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π

的值为( )

A ．0 B.3

C ．1 D. 3

课标文数3.B6[2011·山东卷] D 【解析】因为点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，所以9＝3a ，所以a ＝2，

即tan a π6＝tan 2π6＝tan π

3＝3，故选D.

课标数学12.B6[2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x

(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．

课标数学12.B6[2011·江苏卷] 12???

e ＋1e

【解析】设P (x 0，y 0)，则直线l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．

令x ＝0，则y ＝－x 0e x 0＋e x 0，与l 垂直的直线l ′的方程为y －e x 0＝－1

e x 0

(x －x 0)，

令x ＝0得，y ＝x 0e x 0＋e x 0，所以t ＝－x 0e x 0＋2e x 0＋

x 0

e x 0

令y ＝－x e x ＋2e x ＋x

e x 2y ′＝－e x (x －1)＋(x －1)e

，令y ′＝0得x ＝1，

当x ∈(0,1)时，y ′>0，当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0，故当x ＝1时该函数的最大值为12?

e ＋1e .

课标理数7.B6，B7[2011·天津卷] 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝????

15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b

课标理数7.B6，B7[2011·天津卷] C 【解析】令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 310

同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，

图1－3

又∵y ＝5x

为单调递增函数， ∴a >c >b .

课标文数5.B7[2011·安徽卷] 若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )

A.????1a ，b B ．(10a,1－b )

C.???

?10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b ) 课标文数5.B7[2011·安徽卷] D 【解析】由点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，得b ＝lg a .当x ＝a 2时，y ＝lg a 2

＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图像上．

课标文数3.B7[2011·北京卷] 如果log 12x ＜log 1

y ＜0，那么( )

A ．y ＜x ＜1

B ．x ＜y ＜1

C ．1＜x ＜y

D ．1＜y ＜x

课标文数3.B7[2011·北京卷] D 【解析】因为log 12x

1，所以x >y >1，故选

课标文数15.B7[2011·湖北卷] 里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

课标文数15.B7[2011·湖北卷] 6 10000 【解析】由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝()lg A 1－lg A 0－()lg A 2－lg A 0＝9－5＝4.所以A

1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．

课标理数3.B7[2011·江西卷] 若f (x )＝1

log 1

(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )

A.????－12，0

B.????－12，0

C.????－

12，＋∞ D ．(0，＋∞)

课标理数3.B7[2011·江西卷] A 【解析】根据题意得log 1

(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解

得x ∈????－120.故选A.

课标文数3.B7[2011·江西卷] 若f ()x ＝1

log 1

()2x ＋1，则f ()x 的定义域为( )

A.????－12，0

B.????－12，＋∞

C.????－12，0∪()0，＋∞

D.???

?－12，2 课标文数3.B7[2011·江西卷] C 【解析】方法一：根据题意得?

???

2x ＋1>0，2x ＋1≠1，

解得x ∈???

?－12，0∪(0，＋∞)．故选C. 方法二：取特值法，取x ＝0，则可排除B 、D ；取x ＝1，则排除A.故选C.

课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]

时f (x )＝x 2

，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )

A ．10个

B ．9个

C ．8个

D ．1个课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】由题意做出函数图像如图，由

图像知共有10个交点．

图1－5

课标理数7.B6，B7[2011·天津卷] 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝????

15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b

课标理数7.B6，B7[2011·天津卷] C 【解析】令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 310

同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，

图1－3

又∵y ＝5x

为单调递增函数， ∴a >c >b .

课标文数5.B7[2011·天津卷] 已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b 课标文数 5.B7[2011·天津卷] B 【解析】 ∵a ＝log 23.6>log 22＝1.又∵y ＝log 4x ，x ∈(0，＋∞)为单调递增函数，

∴log 43.2

∴3a

＋9b

＝3a

＋32b

≥23a

·32b

＝23a ＋2b

≥23

22ab

＝18.

大纲文数6.B7[2011·重庆卷] 设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 34

，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a

B ．c

C ．b

D ．b

大纲文数6.B7[2011·重庆卷] B 【解析】 a ＝log

1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 33

，则由log 343log 33

＜log 32，得c ＜b ＜a .故选B.

课标文数10.B8[2011·安徽卷] 函数f (x )＝ax n (1－x )2在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则n 可能是( )

图1－2

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 课标文数10.B8[2011·安徽卷] A 【解析】由函数图像可知a >0.当n ＝1时，f (x )＝ax (1－

x )2＝a (x 3－2x 2

＋x )，f ′(x )＝a (3x －1)(x －1)，所以函数的极大值点为x ＝13

<0.5，故A 可能；

当n ＝2时，函数f (x )＝ax 2(1－x )2＝a (x 2－2x 3＋x 4)，f ′(x )＝a (2x －6x 2＋4x 3

)＝ 2ax (2x －1)(x

－1)，函数的极大值点为x ＝1

2，故B 错误；

当n ＝3时，f (x )＝ax 3(1－x )2＝a (x 5－2x 4＋x 3)，f ′(x )＝ax 2(5x 2－8x ＋3)＝ax 2

(5x －3)(x －1)，

函数的极大值点为x ＝3

>0.5，故C 错误；

当n ＝4时，f (x )＝ax 4(1－x )2＝a (x 6－2x 5＋x 4)，f ′(x )＝a (6x 5－10x 4＋4x 3)＝2ax 3(3x －2)(x －

1)，函数的极大值点为x ＝2

>0.5，故D 错误．

课标理数10.B8[2011·安徽卷] 函数f (x )＝ax m (1－x )n

在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则m ，n 的值可能是( )

图1－2

A ．m ＝1，n ＝1

B ．m ＝1，n ＝2

C ．m ＝2，n ＝1

D ．m ＝3，n ＝1 课标理数10.B8[2011·安徽卷] B 【解析】由图可知a ＞0.当m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1

－x )的图像关于直线x ＝1

对称，所以A 不可能；

当m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )， f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (3x －1)(x －1)，

所以f (x )的极大值点应为x ＝1

3＜0.5，由图可知B 可能．

当m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2

(1－x )＝a (x 2－x 3)，

f ′(x )＝a (2x －3x 2

)＝－ax (3x －2)，

所以f (x )的极大值点为x ＝2

＞0.5，所以C 不可能；

当m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)， f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝－ax 2(4x －3)，

所以f (x )的极大值点为x ＝3

＞0.5，所以D 不可能，故选B.

课标理数13.B8[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝?????

2x ，x ≥2，

(x －1)3，x ＜2.

若关于x 的方程f (x )＝k 有

两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标理数13.B8[2011·北京卷] (0,1) 【解析】函数f (x )的图象如图1－5所示：

图1－5

由上图可知0

课标文数13.B8[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝?????

2x ，x ≥2，

(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有

两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．

课标文数13.B8[2011·北京卷] (0,1) 【解析】函数f (x )的图象如图1－3所示：

图1－3

由上图可知0

课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]

时f (x )＝x 2

，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )

A ．10个

B ．9个

C ．8个

D ．1个课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．

图1－5

右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－3

<0，所以x ＝2π应在函数的

减区间上，所以选C.

课标文数10.B8[2011·山东卷] 函数y ＝x

－2sin x 的图象大致是( )

图1－2

课标文数10.B8[2011·山东卷] C 【解析】由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排

除A ；又f ′(x )＝1

－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x 轴右边

接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－3

＜0，所以x ＝2π应在函数的减

区间上，所以选C.

课标文数4.B8[2011·陕西卷] 函数y ＝x 1

的图象是( )

图1－1

课标文数4.B8[2011·陕西卷] B 【解析】因为y ＝x 1

，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，

则只剩B ，C.因为y ＝x α

中α＝13

，图象靠近x 轴，故答案为B.

课标数学8.B8[2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2

的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．课标数学8.B8[2011·江苏卷] 4 【解析】设直线为y ＝kx (k >0)，?????

y ＝kx ，y ＝2

?x 2＝2

，y 2＝k 2x 2＝2k ，

所以PQ ＝2OP ＝x 2＋y 2＝22

＋2k ≥224＝4.

大纲文数 4.B8[2011·四川卷] 函数y ＝????12x

＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )

图1－1

大纲文数 4.B8[2011·四川卷] A 【解析】由y ＝????12x ＋1可得其反函数为y ＝log 1

(x －

1)(x >1)，根据图象可判断选择答案A.另外对于本题可采用特殊点排除法．

课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14

x 2

，实

数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2

－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．

(1)过点A ???

p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|

；

(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2

－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，

切点分别为E ???

?p 1，14p 21

，E ′????p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ?|p 1|>|p 2|?φ(a ，b )＝|p 1|

；

(3)设D ＝?

????(x ，y )??

y ≤x －1，y ≥14(x ＋1)2

－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记

为φmin )和最大值(记为φmax )．

课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －1

4p 20

?Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋(p －p 0)2

当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||

p 02

当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|

(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14

p 2

求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标????

p 1＋p 22，p 1p 24.

由于a 2

－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ?|p 1|>|p 2|. (?)设M (a ，b )∈X .

当p 1>0时，0

|p 1|>|p 2|；

当p 1<0时，p 1

?2p 1

|p 1|>|p 2|.

(?)设|p 1|>|p 2|，则????p 2p 1<1?－1

p 1<1?0

当p 1>0时，0

p 1

<0，

注意到M (a ，b )在l 1上，故M (a ，b )∈X .

②次证：M (a ，b )∈X ?φ(a ，b )＝|p 1|

(?)已知M (a ，b )∈X ，利用(1)有φ(a ，b )＝|p 1|

(?)设φ(a ，b )＝|p 1|

，断言必有|p 1|>|p 2|.

若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①

M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|

，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .

综上，M (a ，b )∈X ?|p 1|>|p 2|?φ(a ，b )＝|p 1|

(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－5

的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2,1)．而y ＝x －1是L 的切点为

Q 2(2,1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)?Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.

当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2

－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝

p ＋p 2－4q 2

＝p ＋4－2p 2≤p ≤2)，在(0,2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p 0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，

h ????32＝5

4，

∴h (p )＝φ(p ，q )在[0,2]上取得最大值h max ＝5

?(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－5

－4q

p ＋p 2－4???

＝p ＋4－2p 2≤h max ＝54

，

φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4(p －1)2＝p ＋(p －2)2

2＝p ＋2－p

＝1，

故φmin ＝1，φmax ＝5

课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝1

x 2，实

数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2

－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．

(1)过点A ????

p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，

有φ(p ，q )＝|p 0|

；

(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，

切点分别为E ????p 1，14p 21，E ′???

?p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ?|p 1|>|p 2|?φ(a ，b )＝|p 1|

；

(3)设D ＝?

????(x ，y )??

y ≤x －1，y ≥14(x ＋1)2

－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记

为φmin )和最大值(记为φmax )．

课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －1

4p 20

?Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋(p －p 0)2

当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||

p 02

当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|

(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14

p 2

求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标?

?p 1＋p 22，p 1p 24.

由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ?|p 1|>|p 2|. (?)设M (a ，b )∈X .

当p 1>0时，0

|p 1|>|p 2|；

当p 1<0时，p 1

?2p 1

|p 1|>|p 2|.

(?)设|p 1|>|p 2|，则????p 2p 1<1?－1

2p 1<1?0

当p 1>0时，0

p 1

<0，

注意到M (a ，b )在l 1上，故M (a ，b )∈X .

②次证：M (a ，b )∈X ?φ(a ，b )＝|p 1|

(?)已知M (a ，b )∈X ，利用(1)有φ(a ，b )＝|p 1|

(?)设φ(a ，b )＝|p 1|

，断言必有|p 1|>|p 2|.

若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①

M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|

，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .

综上，M (a ，b )∈X ?|p 1|>|p 2|?φ(a ，b )＝|p 1|

(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2

－54

的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2,1)．而y ＝x －1是L 的切点为

Q 2(2,1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)?Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.

当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2

－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝

p ＋p 2－4q 2

＝p ＋4－2p 2≤p ≤2)，在(0,2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p

0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，

h ????32＝5

4，

∴h (p )＝φ(p ，q )在[0,2]上取得最大值h max ＝5

?(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－5

≤q ≤p －1，

故φ(p ，q )＝p ＋p 2

－4q

2≤

p ＋p 2－4???

?14(p ＋1)2

－

542

＝p ＋4－2p 2≤h max ＝54

，

φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4(p －1)2＝p ＋(p －2)22＝p ＋2－p

＝1，

故φmin＝1，φmax＝5 4 .

课标文数21.H10，B9[2011·广东卷]

在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO＝∠AOP.

(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

(2)已知T(1，－1)．设H是E上动点，求|HO|＋|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；

(3)过点T(1，－1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．求直线l1的斜率k的取值范围．

课标文数21.H10，B9[2011·广东卷] 【解答】(1)如图1－2(1)．设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q.

∵∠MPQ＝∠AOP，∴MP⊥l，且|MO|＝|MP|.

因此，x2＋y2＝|x＋2|，即

y2＝4(x＋1)(x≥－1)．①

图1－3

E1：y2＝4(x＋1)(x≥－1)；

E2：y＝0，x<－1.

当H ∈E 1时，过T 作垂直于l 的直线，垂足为T ′，交E 1于D ????－

34，－1.再过H 作垂直

于l 的直线，交l 于H ′.

因此，|HO |＝|HH ′|(抛物线的性质)．

∴|HO |＋|HT |＝|HH ′|＋|HT |≥|TT ′|＝3(该等号仅当H ′与T ′重合(或H 与D 重合)时取得)．

当H ∈E 2时，则|HO |＋|HT |>|BO |＋|BT |＝1＋5>3.

综合可得，|HO |＋|HT |的最小值为3，且此时点H 的坐标为????－34，－1.

(3)由图1－3知，直线l 1的斜率k 不可能为零．设l 1：y ＋1＝k (x －1)(k ≠0)．

故x ＝1k y ＋1)＋1，代入E 1的方程得：y 2

－4k y －????4k

8＝0. 因判别式Δ＝16k

2＋4????4k ＋8

＝????4k ＋22＋28>0，所以l 1与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点．又由E 2和l 1的方程可知，若l 1与E 2有交点，

则此交点的坐标为????k ＋1k ，0，且k ＋1k <－1.即当－12

????k ＋1k ，0，

从而l 1与E 有三个不同的交点．

因此，直线l 1斜率k 的取值范围是????

－∞，－12∪(0，＋∞)．

课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；

(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *

，都有a n ≤M .

课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．

解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12－12，则φ′(x )＝6x ＋14x －3

当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ????33<0，则φ(x )在???

?33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋

∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.

所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；

当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．

综上所述，h (x )有且只有两个零点．

解法二：由h (x )＝x ????x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2

－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32

当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．

综上所述，h (x )有且只有两个零点．

(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 3

0＝x 0＋x 0. (i)当a

而a 32＝a 1＋a 1

0，因此a 2

函数与导数历年高考真题

函数与导数高考真题 1．2log 510＋log 50.25＝ A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 2．2 2 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 3．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ） 132 （Ｄ）213 75．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（） A ．2- B ．1 C ．4 D ．10 6．设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a ab a 211 1lim （） A ．0 B ． 41 C ．21 D ．1 7．已知函数y =13x x -++的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为 (A)14 (B)12 (C)22 (D)32 8．已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 9．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3] m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（） A ．158(,)33 B ．15(,7)3 C ．48(,)33 D ．4(,7)3 10．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与 ()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ． (0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ． (,0)-∞

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编函数与导数一．选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 A B C D

C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤）（B ）2(1)y x =-（04x ≤≤）（C ）21y x =-（13x ≤≤）（D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x +为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以, 因此，因为，所以，，从而，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ．二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+-

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题精心校对版 △注意事项： 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共22小题，共0分） 1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由． 2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1()e x x f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围；（Ⅱ）证明：120x x +>. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)）已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------●

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编函数与导数一．选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ．

C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤）（B ）2(1)y x =-（04x ≤≤）（C ）21y x =-（13x ≤≤）（D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，

高考真题导数第一问分类汇总

切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++，()ln g x x =-．当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a 、b 的值； 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 5已知函数f(x)＝e x －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. 求a 的值及函数f(x)的极值； 6设函数，曲线在点处的切线方程为， 7已知函数．求曲线在点处的切线方程； 8设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．求a ，b ，c ，d 的值； ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f

单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．求)(x f 的解析式及单调区间； 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性； 4 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2．求)(x f 的单调区间； 5已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； 6设，已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．求的单调区间； 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x

(完整版)函数与导数专题(含高考试题)

函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

考点一：导数几何意义：角度一求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′? ?? ?? π4，f ′(x )是f (x ) 的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0 C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0 解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝ f ′? ?? ??π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 角度二求切点坐标 2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1，－1) C ．(1,3) D ．(1,0) 解析：选C 由题意知y ′＝3 x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．角度三求参数的值 3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7 2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )

(完整word版)北京高考导数大题分类.doc

导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤： ① 确定定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时，若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，显然 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单调区间。

高考导数大题30道(2020年整理).doc

导数大题 1 ．已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 ．已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 ．设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 ．已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =?

()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 ．已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 ．已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10．已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数?

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在的解，附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条件12】“对任意 B．必要而不充分条件，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（）．既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选所述，“ 对任意B．，

【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意；当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝，令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0，， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在处取得极小值，要使 f ( x ) 有唯一的零点，需，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意；当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0，，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在处取得极小值，要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当时，不等式恒成立，则实数 a 的取值范围是（）

高考真题汇编(函数与导数)

函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D.

近五年高考试题分类汇编-导数部分(附答案解析)

2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x

13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .

2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编

导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，

高考文科数学专题复习导数训练题(汇编)

高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）

2015高考复习专题五函数与导数含近年高考试题

2015专题五：函数与导数在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->

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