和差公式二倍角公式及半角公式

三 角 函 数

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=。 2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα

=-。 3.半角公式：

22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+

sin 2α

=cos 2α=

sin 1cos tan 21cos sin α

αααα-===+ 4．辅助角公式

|

()sin cos sin a x b x x ?+=+，

sin cos ??==其中

5.积化和差公式：

()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2

1sin cos a ()()[]βαβαβ-++=

cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式：

sin sin 2sin cos 22αβ

αβ

αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ

αβ

αβ+--=

cos cos 2cos

cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题：

例1． 已知α∈(

2π,π)，sin α=53,则tan(4

πα+)的值.

，

例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值.

例2． 已知0cos cos 1

sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。

￥

例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=??? ??+πππ。

'

例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin

ππππ

π=-+。

例6． 若sinA=

55,sinB=10

10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.

`

例7．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C A +-cos2B=27,求角B 的度数.

:

例8． 求值：

140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-?+??+?

例9．)12sin 12(cos

ππ-(cos 12π＋sin 12π)的值。

例10．已知sin 2 2α＋sin 2α cos α－cos2α＝1，α∈(0，

2

π)，求sin α、tan α的值．

练习： 1．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )

A ．917

B ．

C ．

D ．317 2．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ）

！ A.23 B.22 C.2

1 3.=?+α

αααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D.

21 4.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2- 5. 求=11

5cos 114cos 113cos 112cos

11cos πππππ

（ ） A. 521 B. 42

1 C. 1 D. 0 6．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-

7．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

>

8．已知sin

cos 223

θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。

9．已知的值及求)cos()cos(31sin sin ,21cos cos y x y x ，y x y x +-=+=

+(13分)

10．已知,135)4sin(,40=-<

二倍角公式评课稿

评xxx老师上《二倍角的正弦、余弦、正切公式》一课 X X 中学x x x 2012年4月12日（星期四），我们备课组有幸听了xxx老师上的课——《二倍角公式》，我们深深地体会到新课程不仅要求教师的观念要更新，而且要求教师的角色要转变，同时新课程要求教师提高素质、更新观念、转变角色，必然也要求教师的教学行为产生相应的变化。xxx老师这节课的教学设计既符合数学的学科特点,也符合学生的心理和思维的发展特点，设计主题鲜明，思路清晰，课堂节奏把握较好，各环节紧扣，层层推进，在教法上，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。在学法上，以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展以及学生的学习体验，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。具体我认为有以下特点： 1、新课改的核心理念是：以学生发展为本。xxx老师这节课以复习引入——提出问题——探索尝试——启发引导——解决问题——练习巩固.的设计流程，去体现“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式。让学生在由和角公式探究出倍角公式的过程中感受一般化归为特殊的基本 数学思想方法，学生的印象是极其深刻的。

2、本节课的重要内容是二倍角公式的应用，故xxx老师设计了该公式的正用、逆用及变形应用，从而让学生在直接正用公式的基础上去发现数学规律，逐步掌握灵活运用的方法，这种引导是否成功是教学的关键所在，经当堂检测效果是非常好的。 3、教学过程中学是中心、会学是目的，本节课通过“探索特殊情形、发现数学规律、主动学习应用”的创新式学习方法，增强了学生的参与意识，使学生真正成为学习的主人，真正体会学习数学的成就感。 4、由于二倍角公式是和角公式的特殊形式，同时，二倍角公式又可以和后面的半角公式联系起来，所以二倍角公式的地位是显而易见的。其次，二倍角公式的应用也比较广泛，在三角函数式的计算、化简、求证及简单应用中都会涉及到。最后，二倍角公式的证明本身就是一种化归的数学思想。但是公式的推导本身相当简单，难点在于公式的应用。它对于学生的思维及能力是一个相当大的挑战。毕竟，公式本身就是符号的集合，抽象是其主要特征。当然也正因为其抽象性，才具有广泛的迁移性及应用。因此，xxx老师的练习设计从简到繁，由易到难，层层推进，全方位、多层次，既遵循了学生的认知规律，又尊重和关注了全体学生，使全班学生都能全面发展。 5、xxx老师在整个课堂教学过程中，始终将教师的指导教学和学生的自主学习有效地结合起来，非常圆满完成了本节内容的教学任务。并且，十分注重讲练结合，提示和点评都能够结合学生的实际情况进行。另外从学生的角度来说，通过二倍角公式的学习和应用，使

二倍角公式的应用,推导万能公式

课题十：二倍角公式的应用，推导万能公式 教学第一环节：衔接阶段 回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。 了解家长的反馈意见 通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪 了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据 教学第二个环节：教学内容 一、解答本章开头的问题： 令AOB = , 则AB = a cos OA = a sin ∴S 矩形ABCD = a cos ×2a sin = a 2sin2 ≤a 2 当且仅当 sin2 = 1， 即2 = 90， = 45时, 等号成立。 此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2 2 二、半角公式：在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的 例一、求证：α +α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1在 α-=α2sin 212cos 中，以代2，2 α代 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2在 1cos 22cos 2-α=α 中，以代2，2 α代 即得： 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3以上结果相除得：α +α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1左边是平方形式，只要知道2 α角终边所在象限，就可以开平方。 2公式的“本质”是用角的余弦表示2 α角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4 还有一个有用的公式：α α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证） 三、万能公式 B C a A O D

二倍角公式说课稿

《二倍角的正弦、余弦、正切》说课稿 张彩霞 各位老师， 大家上午好！今天我说课的题目是全日制普通高级中学 教科书（必修）数学第一册（下）第四章三角函数第七节《二倍角的正 弦、余弦、正切 》的第一课时。我将从以下几个方面来说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习 了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，是三角 函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。 2、教学目标： （1）知识目标：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。能够熟 练地正用，逆用以及变形。 （2）能力目标：通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的引入、理解， 以及研究二倍角的正切公式的存在条件和师生之间的互相活动来提高 学生化归、分析、概括、猜想等数学能力。 （3）情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交 流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。培养学生勇于 探索、勇于创新的精神。

3．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 以及二倍角的余 弦公式的两种变形及应用。 4．教学难点：是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、 诱导公式、和（差）角公式的综合运用。 二、说教学方法 根据本节课的教学内容 ,教学任务以及所面临的教学对象 .我所采用的 教学方法如下; 1.从一般到特殊的化归思想方法. 2.练习巩固法 3.分析法 三、说学法 1．由一般到特殊，再由特殊到一般的化归方法 2．观察分析法 3．练习巩固法 四、说教学设计： 一堂课成败的关键，主要是看教学设计的条理性与清晰性和逻辑性，我 将从以下几个环节来进行设计。

二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案

二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案 课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式； (2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。 2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用。 3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展 的观点看问题。 二、教学重点、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学过程设计： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--．

高中数学北师大版高一必修4试题 3.3.1二倍角公式及其应用

1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 解析：f (x )＝12sin 2x ∈ [－12，12 ]． 答案：B 2．已知sin ????π2＋α＝13 ，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79 B.79 C.29 D ．－23 解析：∵sin(π2＋α)＝13，∴cos α＝13 . 则cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α ＝1－29＝79. 答案：B 3．已知等腰三角形底角的余弦值为23 ，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459 D ．－259 解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝23 ，0<α<π， ∴sin α＝53 . ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459 . 答案：A 4．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59 ，则sin 2θ等于( ) A.223 B ．－223 C.23 D ．－23 解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2 (sin θcos θ)2＝59 ， ∴(sin θcos θ)2＝29 . ∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ>0，∴sin θcos θ＝23 .

∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223 . 答案：A 5．已知α为第二象限角，sin α＝35 ，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35 ， ∴cos α＝－45.∴tan α＝－34 ， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2＝－321－916 ＝－247. 答案：－247 6．已知0<α<π2，sin α＝45，则sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α ＝________. 解析：∵0<α<π2，sin α＝45 ， ∴cos α＝35 . ∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1 ＝(45)2＋2×45×353×925 －1＝20. 答案：20 7．已知sin α＝cos 2α，α∈(0，π2 )，求sin 2α的值． 解：∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12 . 又∵α∈(0，π2)，∴sin α＝12，α＝π6. ∴cos α＝32.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32 . 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C 2 ＋cos 2A 的值． 解：sin 2 B ＋ C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12＋12×13＋2×(13)2－1＝－19.

三角函数的二倍角公式及应用

三角函数的二倍角公式及应用 一． 考点要求 1、 熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用； 2、 领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美 3、 公式应用的方法与技巧。 二、公式再现； 1、二倍角公式； sin2a= 2sinacosa 。 cos2a =22cos sin αα- = 22cos 1α-= 21sin α- tan2a= 22tan 1tan αα - 2、降幂公式；2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22α αα α-= += 三；闯关训练 A 、类型一 公式逆用 逆用公式，换个角度豁然开朗，逆过来看茅塞顿开，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现； 1、求下列各式的值 ()；??cos15sin151 ()8 s i n 8 c o s 22 2 π π - () ? -?5.22tan 15.22tan 32 ； ()15.22cos 242 -? B 、、类型二----公式正用 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感

知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的。 2、已知(),5 3 sin -=-απ求α2cos 的值。 3、已知?? ? ??∈-=ππ ααα,2 ,sin 2sin ，求αtan 的值。 C 、、类型三----化简 ()()()2 4441sin cos ;2cos sin a a θθ +-、 四．能力提升； 1， 已知,128,5 4 8 cos παπα <<-=求4 tan ,4 cos ,4 sin α αα的值 2、已知,2 4,1352sin π απα<<=求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。 3、化简 ()() 11 1sin cos cos 2;2; 1tan 1tan x x x θθ--+ 4.x x - 5. 求值：（1）0000sin13cos17cos13sin17+ （2）0 1tan 751tan 75+- （3）2 2 cos sin 8 8 π π - 6.已知a ，β都是锐角，cosa=17 ，cos ()αβ+=11 14 -，求cos β的值。 7、 已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=求tan2a 及tan 2β的值。 8、求值0000tan 70tan1070tan10- 9、.已知函数 2cos cos x x x +，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。 五；高考链接

二倍角公式教案课程

二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S(α+β)C(α+β)T(α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学方法： 讨论式教学＋练习 五、教学过程 1 复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容：sin（α+β）= cos（α+β）= tan（α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学 习二倍角的相关公式。 2 公式推导 在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课 本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟） （1）提问： sin2α=sin（α+α）= sinαcosα+cosαsinα= 2sinαcosα cos2α=cos（α+α）= cosαcosα－sinαsinα= cos2α－sin2α tan2α= tan（α+α）= αα －αα =α －α 整理得: sin2α=2sinαcosα cos2α= cos2α-sin2α tan2α= α －α （2）提问：对于cos2α= cos2α－ sin2α，还有没有其他的形式？ 利用公式sin2α+ cos2α=1变形可得： cos2α= cos2α－sin2α=cos2α－（1－cos2α）=2cos2α－1 cos2α= cos2α－sin2α=（1－sin2α）－sin2α=1－2sin2α因此：cos2α = cos2α－sin2α =2cos2α－1 =1－2sin2α

二倍角公式专项练习

二倍角公式专项练习 一、选择题 1．(2011福建厦门模拟)已知tan α＝－43，则tan ????π4－α的值为( )． A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．17 2．(2011北京东城模拟)已知sin θ＝45 ，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )． A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D ．2425 3.已知α为第二象限角,3 3cos sin =+αα,则=α2cos （ ） A ．35 B ．95- C ．95 D ．35- 4.若sin θ－cos θ=－51,且π<θ<2π,则cos2θ等于（ ） A. 257 B.－257 C.±257 D.－25 12 5．已知向量a ＝????sin ????α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ? ???α＋4π3＝( )． A ．－34 B ．－14 C ．34 D ．14 6．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( )． A ．k π，(k ∈Z ) B ．k π＋π6，(k ∈Z ) C ．k π＋π3，(k ∈Z ) D ．－k π－π3 ，(k ∈Z ) 7．cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值等于（ ） A.26 B.23 C.4 5 D.1+43 8．(2010年大同模拟)函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4 )是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数 9.若1sin( )34πα-=,则cos(2)3πα+=（ ） A ．78- B ．14- C ．14 D ．78 10.已知2 10cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan （ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．3 4- 二、填空题 1. 已知cos ????π2＋θ＝45 ，则cos2θ＝________．－725 2. 设sin ????π4＋θ＝13 ，则sin2θ＝________．－79

倍的认识-评课稿

首先，感谢老师为我们精心准备的精彩课堂，让我们听课的每一位老师受益匪浅！下面谈谈我学习这节课后的感受： 一、首先这是一节“有知识”的课，这其实是最基本的要求。知识不是讲的越多就越好，要讲的精准、精炼、精彩。少则得，多则惑。怎样把握好这个度，取决于你对规律的把握和对学生的了解，知道学生的困惑在哪。听完黄丹老师《倍的认识》这节课可以看出课前她有认真钻研教材，能认真领会教材编排意图，运用好教材确定重难点。《倍的认识》选自于数学教材三上第五单元。原来这一内容是二年级的，但因为二年级只认识了乘法，所以只能从乘法的角度去理解倍的含义。这样就知识本身来是不够完整的。因此，2011版的数学教材将其安排在了三年级上册，这时学生已经认识了乘法，也认识了除法，教学时可以从两方面来理解与应用，学生可以学得更好，理解得更透彻。“倍的认识”是这一单元的起始课，目的在于认识倍，知道倍的含义，“倍”在小学数学里是一个重要概念，本节课是学生第一次接触“整数倍”的概念。也是学生后续学习小数倍、分数（表示率）、百分数、比的内容的基础，也可以看成是对“整数倍”的拓展。但是，对于低年级学生来说，倍的含义比较难理解。与学生在一年级就已掌握的“比大小”相比，倍虽然也反映两个数量之间的比较关系，但它反映的是两个数之间的比率关系，因而较之“比大小”更抽象一些。这一概念知识的生长点是乘法的意义，有关倍数的三类应用题（求一个数是另一个数的几倍，求一个数的几倍是多少；已知一个数的几倍是多少，求这个数），分数、百分数的应用题，这些都与“倍”的概念有很密切的联系，所以“倍”的概念建立至关重要。是三年级数学教学重点、难点之一，它的概念也是比较抽象的。 为了更好建立倍的概念，黄老师没有给“倍”直接下定义，而是通过大量的感性材料和通过学生的观察思考，动手操作、比较，从而得出两数之间的数量关系，体验、明白“把什么当作标准量（1份），有几个这样的1份，就是这样的几倍”，从而逐步建构“倍”这一概念，整节课黄老师非常重视学生对“倍”的意义理解，多角度、循序渐进建立倍的概念，精心组织学生的学习活动。在让学生分清三种萝卜及名称后，通过组织学生认真看、动手摆、积极说，使学生的脑海里产生初步的表象，再引导学生通过小组的合作探究，找出知识的共同特征，从而初步形成了倍的概念。整节课对知识的传授非常流畅，重点突出、难点突破。 二、这是一节“有方法”的课 知识的重要性大家都知道，如何让学生愉快的学知识，这就得有方法，黄老师的这节课设计巧妙，很有方法，课前游戏环节轻松愉悦，巧妙渗透本课关键“标准量”,探究新知

高中数学必修四《二倍角的正弦、余弦、正切公式》优秀教学设计

二倍角的正弦、余弦、正切公式 【学习目标】: 1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、发现数学规律，激发学习兴趣，提高综合分析、应用数学的能力。 【学习重点与难点】: 重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导。 难点：二倍角公式的综合应用。 一、复习两角和的三角公式 二、二倍角公式的推导 利用公式 cos2α可变形为：1. ； 注： 2. 。 1.“二倍角” 是一种相对的数量关系。 如：２α是α的二倍角；α是 的二倍角。 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角 公式。 练习1: 练习2： 判断： 三、例题教学(公式正用) 思维小结： 公式正用技巧： 从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。 ()=+βαcos ()=+βαsin ()=+βαtan ？？，： ， ，：有什么发现你得到什么启示即到特殊的两个角相等由一般的问题αββα=+()？=+ααsin ()？=+ααcos ()？=+ααtan 1cos sin 22=+αα 2αcos__sin__24sin )1(=α__sin __cos 2 cos )2(22-=α_________(3)cos 213α=-22tan__(5)tan 31tan __α=-23cos 23sin 3sin )1(ααα=1sin 22cos )2(2-=αα232tan 3(3)tan 21tan 3ααα=-α的值.cos2α、tan2 .求α,135已知sinα例1.),2(ππ∈=sin2α、 (1) 本题求出cos α的值是关键,要注意象限定号； （2）在求tan2α时，直接用切化弦 也可先求出tan α＝sin αcos α，再求tan2α＝2tan α1－tan 2α 的值.

二倍角公式

求三角函数最小正周期的五种方法 一、定义法:直接利用周期函数的定义求出周期。 例1.求函数y m x =-cos()56 π （m ≠0）的最小正周期。 解：因为y m x =-cos( )56 π =-+=+-cos( )cos[()] m x m x m 5625106π πππ 所以函数y m x =-cos( )56π（m ≠0）的最小正周期T m =10π || 例2.求函数y x a =cot 的最小正周期。 解：因为y x a x a a x a ==+=+cot cot()cot[()]ππ1 所以函数y x a =cot 的最小正周期为T a =||π。 二、公式法:利用下列公式求解三角函数的最小正周期。 1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T = 2π ω|| 。2. y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T = π ω|| 。3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T = π ω|| 。4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T = π ω|| ……….例4.求函数y n m x =-cot()3π的最小正周期。 解：因为T n m = =-πωωπ ||||而，所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为

T n m m n = -=ππ|| ||。 三、转化法:对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型， 再用公式法求解。 例5.求函数y x x =+sin cos 66的最小正周期。 解：因为y x x =+sin cos 66 =+-+(sin cos )(sin sin cos cos )224224x x x x x x =+-=-=--=+(sin cos )sin cos sin cos cos 222222313 4 213414238458 x x x x x x x · 所以函数y x x =+sin cos 66的最小正周期为T = =22 πωπ ||。 例6.求函数f x x x x ()sin cos cos =+422 ·的最小正周期。 解：因为f x x x x ()sin cos cos =+422 · =++=++2221521 sin cos sin()x x x φ 其中sin cos φφ= =1525 ，，所以函数f x x x x ()sin cos cos =+422 ·的最小正周期为T = =2π ωπ|| 。 四、最小公倍数法:由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最

二倍角公式的应用推导万能公式

教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式 目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。 过程： 一、解答本章开头的问题：（课本 P3） 令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ ∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2 当且仅当 sin2θ = 1， 即2θ = 90?，θ = 45?时, 等号成立。 此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2 2 二、半角公式 在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的 例一、求证：α +α -= αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1?在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2 α 代α 即得： 2s i n 21c o s 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2?在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2 α 代α 即得： 12 c o s 2c o s 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+= α 3?以上结果相除得：α +α -=αcos 1cos 12tan 2 注意：1?左边是平方形式，只要知道2 α 角终边所在象限，就可以开平方。 2?公式的“本质”是用α角的余弦表示2 α 角的正弦、余弦、正切 3?上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） 4?还有一个有用的公式：α α -= α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证） B C a θ A O D

三、万能公式 例二、求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2 222α -α =αα+α-=αα+α= α 证：1?2tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21 sin sin 2 22α+α=α+ααα= α=α 2?2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1 cos cos 2 2 2222α+α-=α+αα-α= α=α 3?2 tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2 22α-α=α-ααα= α α=α 注意：1?上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆） 2?这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切 即：)2(tan α f 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁 3?上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 例三、已知 5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ +θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。 解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ +θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴53tan 1 tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式57 2 122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32 22222=+??++-=θ+θ?+θ+θ-= 四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主） 五、作业：《精编》P73 16 补充： 1．已知sin α + sin β = 1，cos α + cos β = 0，试求cos2α + cos2β的值。(1)

二倍角公式教案

二倍角公式教案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

二 倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学方法： 讨论式教学＋练习 五、教学过程 1 复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学习二倍角的相关公式。 2 公式推导 在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟） （1）提问： sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= tanα+ tanα1－tanαtanα =2tanα1－tan 2α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= 2tanα1－tan 2α （2）提问：对于cos2α= cos 2α－ sin 2α，还有没有其他的形式？ 利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α

《倍的认识》评课稿

《倍的认识》评课稿 本节课是学生接触“倍”的概念的第一节课，目的是要求学生初步建立倍的概念，理解倍的概念，初步建立“求一个数的几倍是多少”的计算思路。吴老师在本课的设计以及执教上，有以下几个特点： 一、创设情境，激发学生学习兴趣。 在课的开始，根据学生的年龄特点，提供了多种素材让孩子圈一圈、说一说、从而引出课题“倍的认识”。这样既激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性又分散了本课的难点。再通过学生活动，摆圆片既让学生主动去设定一份数，还思考怎么摆能令人一目了然看出倍数关系，这就让学生时刻不忘一份数这个标准量，对倍概念的建立强化巩固了，也使新知识（倍）和旧知识（几个几）的联系更加地紧密，使学生的学习状态自然地从旧知识的巩固转移到新知识的学习中去。 二、引导学生主动探索，给予学生创新的时间和空间 教师转变观念，转换角色，把自己置于学生学习活动的组织者、引导者和合作者的地位，调动学生已有的经验去积极地思考，让他们通过自己的观察和比较去主动探索，尽量给学生多一点思考的时间，多一点自主活动的空间，多一点表现自己的机会，多一点探索成功的喜悦。在练习的设计中，教师请学生摆3倍关系，当学生汇报摆的结果时，引导学生说明为什么这样摆。通过学生动手操作，动口表述，使学生对“倍”的概念以及“一个数的几倍”有了深入的理解。 三、注重学生学习的主体地位。 学生是学习的主人，整个数学活动吴老师以学生为主体，教师只是引导者、合作者。本节课的教学，很好地体现了学生的主体地位，学生在学习的过程中，既能独立自主地学习数学知识，又能合理地引导学生进行合作探究。在初步形成“倍”的概念时，让学生学、说、圈，使学生的脑海里产生初步的表象，再引导学生通过小组的合作探究，找出知识的共同特征，从而初步形成了“倍”的概念。

二倍角公式的两个特殊变式及应用

高考数学复习点拨：二倍角公式的两个 特殊变式及应用 二倍角公式的两个特殊变式及应用 浙江周宇美 一、变式 变式1：sin2＝sin2(＋)－cos2(＋) ＝2sin2(＋)－1 ＝1－2cos2(＋)． 变式2：cos2＝2sin(＋) cos(＋)＝2sin(＋) sin(－)． 以上两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为(＋)．其实证明只需运用诱导公式再结合倍角公式即可解决．由sin2＝－cos(2＋)＝－cos2(＋)，及cos2＝ sin2(＋)，再用倍角公式即可． 二、应用 变式1、2主要用于题中含有2与±问题的转化． 例1 已知cos(＋)＝，求． 分析：本题只需将sin2及sin(－)，运用变式及诱导公式转化成cos(＋)形式即可解决问题． 解：∵cos(＋)＝，由变式1，得 sin2＝1－2cos2(＋)＝． sin(－)＝cos(＋)＝．

∴ 原式＝． 例2 已知sin(＋x)sin(－x)＝，x∈(，)，求sin4x的值． 分析：本题只需求cos2x即可，又由变式2并结合题意即可 解决． 解：由变式2，得 cos2x＝2sin(＋x)sin(－x)＝，又2x∈(，2)， ∴ sin2x＝－＝－． ∴ sin4x＝2sin2xcos2x＝－． 例3 已知x∈(－，)，且sin2x＝2sin(x－)，求x的值． 分析：将角2x与x－统一即可，又运用变式1即可达到目的．解：由变式1，原方程可化为 1－2cos2(x＋)＝－cos(x＋)． 解得cos(x＋)＝1或cos(x＋)＝－． 又x∈(－，)， ∴x＋＝0或x＋＝， ∴ x＝－或x＝－．

《二倍角的三角函数》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《§3二倍角的三角函数》教学设计 教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。 【知识与能力目标】 1、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 【过程与方法目标】 通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。 【情感态度价值观目标】 通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。 【教学重点】 二倍角公式的推导。 【教学难点】 能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入。 回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -

二、探究新知。 将上述公式里的β换成α，结果是什么？ 二倍角公式： 对于 2C α 能否有其它表示形式？ 公式中的角是否为任意角？ 注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。 三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1 ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -

《最小公倍数》评课稿

在开放、互动中促进学生全面发展 ——评《最小公倍数》一课 各位领导、各位老师： 早上好！刚才我们听了我校的李艳老师执教的《最小公倍数》一课，我看到了一个充满活力的课堂，一个能促进学生全面发展的课堂。下面，我以一个参与研究者的角度，结合我校“动态生成性的教学模式”，从“教学模式谈教材的解读、教学环节谈策略的实施两个方面谈谈研究的思考和听课后的感受。有不当之处，请批评指正！ 首先，结合教学模式谈教材的解读 1、构建知识间的联系，尊重学生的已有经验。 《最小公倍数》是一节概念教学课，是在学生已经学习了“因数和倍数的意义”、“质数和合数”“分解质因数”及“最大公因数”等内容的基础上进行教学的，学生已有找公因数的经验，所以本节课在找“既是2的倍数又是3的倍数”时，学生就很自然地利用找公因数的方法。它既是对前面知识的综合运用，同时又是学生学习“通分”必不可少的知识基础。因而是本单元的教学重点。 只有充分关注和利用学生的已有经验，找准他们的最近发展区，才难较好地了解学生的认知起点，从而挖掘学生身上的课程资源，并紧紧抓住学生的生成资源，以开放的态度对待教学，我们认为这是本课顺利开展的基础。 2、建立知识与生活的联系，引领学生主动构建概念 五年级学生具有一定的生活经验和较为丰富知识背景，“最小公倍数”这一课，与学生的生活实际看似无多大联系，教材选择具有现实性和趣味性的活动素材，将学生置身于生活实际中，并在实际中操作，由浅入深地促使学生在探索与交流中建立公倍数与最小公倍数的概念。 3、与生活、学科紧密联系，树立全方面育人理念。 教材提供的生活素材，让学生感受到数学与生活的密切联系，数学给生活带来的美，及数学在生活中的价值，从而激发学生美好的数学情怀和学习数学的兴趣。另外，在探究过程中不仅煅炼了学生的动手能力，而且培养了学生的合作交流的的意识。所以我们认为教材的用意是让学生在获取数学知识的同时，又让学生的情感态度，动手操作等多方面的能力得到发展。 本课的教学，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的作用。鉴于此，依据课标，我们将本课的教学目标定为：

高中总复习之二倍角公式

【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα=-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2 k παπ≠ +及 ()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是32α的二 倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：2 cos 2 sin 2sin α α α=；1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形 要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 (),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之 间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)； 3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】 类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式： （1）4sin cos 2 2 α α ；（2）2 2 sin cos 8 8 π π -；（3） 2tan 37.51tan 37.5? -? ． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式． 【答案】（1）2sin α（2）22-（3）23 2 + 【解析】 （1）4sin cos 22sin cos 2sin 2 2 2 2 α α α α α=?=． （2）2 2 222sin cos cos sin cos 8 88842π π πππ? ?-=--=-=- ??? （3） 22tan 37.512sin 37.5123tan 751tan 37.521tan 37.522 ??+=?=?=-?-?． 【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二 倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路． 举一反三：

因数和倍数评课稿

徐萍五年级《因数和倍数》评课稿 《因数和倍数》评课稿 《因数和倍数》这一堂课在各个版本中的内容和学习目标都存在着差异。今天听了《因数和倍数》的不同上法，结合自己先前对教材的认识与设计，现在比较着来谈谈听完课后的一些感想。 首先我说说这两堂课教学内容上的差异。第一堂课安排的教学内容有三部分。第一部分是认识因数和倍数，指导学生正确描述因数和倍数。其次安排的教学内容是找一个数的因数和倍数。第三部分是了解因数和倍数以及一个数的最大因数和最小倍数的特性。第二堂课先建立了整除的概念，理清除尽和整除之间的关系，然后在整除的基础上认识因数和倍数，最后让学生学会描述因数和倍数。（即4句话：谁能被谁整除，谁能整除谁，谁是谁的倍数，谁是谁的约数。）接着我来说说自己的想法。 第一堂课的上法比较严谨，通过教师的传授和学生的练习，相信大多数学生都能认识因数和倍数并能正确描述，同时也会找一个数的因数和倍数，能根据因数和倍数的特性解决问题。完成了本课的技能目标。在课中，教师让学生说得很充分，并有针对性的进行了练习，使学生扎实地掌握了知识，为后续的学习打下了结实的基础。在这一课的导入中，教师用乘算式，让学生先说一说各部分的名称，然后对7×3=21给出描述性的语句“我们说7是21的因数，3也是21的因数；21是7的倍数，21也是3的倍数。”这个导入，除了在乘法里出现了因数这个词和本课内容有关联外，其他关系并不大，用这样的练习作为切入点，它的用处并没有体现。 其次，教师对学生提醒：“我们说的因数和倍数一般指的是整数，不包括0”，在这里，我觉得教师给出的定义一定要准确“我们说的因数和倍数都是指“0”以外的自然数。”说到这个0是否除外的问题，人教论坛上还有争议，因此对这个问题暂不考虑。在判断是否能说倍数和因数的练习题中，对于加和减题是否能说倍数和因数的判断，我觉得没有存在的必要。在这里教师设计的题“判断8÷4=2，4和2是8的因数，8是4和2的倍数这句话的对错”很有价值，让学生感悟到不管是根据乘法还是除法算式都可以找到因数和倍数。 第三，在找36的因数中，教师对找的方法进行了指导，要一对一对有序地找。在这里教师可以继续提问学生“找到什么时候停？”让学生自然得出：找到两个因数非常接近时就不用再找了。这样一来对学生又是一个知识层面上的提高。 第四，在最后的巩固练习中，有一题讲到一个数的最大因数和最小倍数的和是20，问学生这个数是多少。这题是学生对因数和倍数特性的反馈，在这题完成后，我想到了一个练习题“一个数最小的倍数是18，找出这个数的其他因数”，这样整合特性和找一个数的因数这两个知识点。还有一题在数轴上面标出3的倍数，在数轴下面标出4的倍数，这里出现共同的点，这样的话能否对公倍数适当地提点一下呢？让学生留点疑问结束课堂教学，为后一课的学习埋下伏笔。 第二堂课的开始教师比较开放，让学生想一个除法算式，然后把这些出发算式归类，分类出除不尽和除尽，在除尽里再分出整除。这里充分发挥了学生的主体作用，教学的素材来源于学生自己，提高了学生的学习积极性。在对除尽的区分中，教师让学生用语言来描述除尽，我觉得对学生来说只要会辨别就行了，不需要要准确的语言去定义概念。教师给出的整除的概念不够严密，既然没有向学生说明整除所说的数都不包括0，那么在定义给出时，应向学生说明除0以外的自然数。篇二：因数与倍数评课稿 听《因数与倍数》有感 陈卫红 开学初，有幸听到同组黄老师的一节《因数与倍数》，感受颇深，特别是黄老师能够在教学中站在学生的角度提出问题，并给予学生足够的空间进行探索，只是在适当的机会给予指