(完整版)两倍角与半角公式与万能公式

两倍角公式、半角公式、万能公式 ①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα+=+

②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα-=+

③βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ αβ=令 二倍角公式：

①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

③α

αα2tan 1tan 22tan -=

两倍角公式中αααcos sin 22sin =是两个函数之积，可在2)cos (sin αα±中产生。 两倍角是“相对的”，应该广义地理解。

如ααααα2sin 2112cos 22sin 2cos 4cos 2222-=-=-= 2tan

12tan

2)tan(2βαβ

αβα+-+=+等等

见到平方就见到1+并项公式

sin 2

α=±cos

2α=±

tg 2

α=±ααcos 1cos 1+-=ααcos 1sin +=ααsin cos 1-. 半角公式中的正负号如何选取？依照左边

2α的函数值而定。 如果给你象限角，如I ∈α，2

α的终边在第几象限？公式前的±号如何选取？ 如果给你区间角，如()ππα4,3∈，2

α的终边在第几象限？公式前的±号如何选取？ 如果给你三角比值，如????0cos tan 0cos sin αααα，2

α的终边在第几象限？公式前的±号如何选取？

半角的正切公式中的后两个tg 2α=α

αcos 1sin +=ααsin cos 1- 前面没有正负号， 万能公式：（并非万能，仅是用2

tan α可将αsin 、αcos 、αtan 都表示出来的含义） sin α=2tan 12tan

22

αα+，

cos α=2tan 12tan 12

2

αα+-,

tan α=2

tan 12tan

22α

α-

题型一、求值问题

补充问题 已知91)2cos(=-β

α，3

2)2sin(=-βα，且24παπ<<，44πβπ<<- 求)cos(

βα+的值

解：考虑目标角和已知角的关系：（2β

α-）—（βα-2）=2βα+

再运用两倍角公式求值

题型二、化简问题

数学,半角公式

第4讲 倍角、半角公式 北京四中 苗金利 考纲导读 1． 会用两角和与差的正弦、余弦公式推导倍角、半角公式，了解它们的 内在联系。 2． 解决比较简单的应用问题，体会换元思想、方程思想的运用。 知识要点 复习和差角的三角函数公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 典型例题分析 例1、求证下列等式成立： （1）sin 22sin cos ααα=?； （2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-． （3）22tan tan 21tan ααα = -； （4）21cos sin 22 αα-=； （5）21cos cos 22 αα+=； （6）21cos tan 21cos ααα -=+； （7）sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； （8）sin sin )a A b A A ?++， 其中 cos ?=sin ?． 例2、求值： （2）已知3sin()1225π θ-=，求cos()6πθ-． （3）已知sin()4 m π α+=，求sin 2α． 例3、 已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间． 例4、当3[,]44 x ππ∈时，求下列函数的值域 （1）cos2sin y x x =+； （2）sin cos sin cos y x x x x =+-； （3）3sin 4cos y x x =+．

倍角公式和半角公式-拔高难度-讲义

倍角公式和半角公式 知识讲解 一、倍角公式 sin 22sin cos ααα=； 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 2 2tan tan 21tan α αα = - 3 sin 33sin 4sin ααα=-；3 cos34cos 3cos ααα=-；32 3tan tan tan 313tan αα αα -=- 二、半角公式 1cos sin 2 2α α-=± ；1cos cos 22αα +=±； 1cos 1cos sin tan 2 1cos sin 1cos α ααα ααα --=± == ++ 三、万能公式 2 2tan 2sin 1tan 2 α αα = +；22 1tan 2cos 1tan 2 ααα -= +；2 2tan 2tan 1tan 2 α αα =- 四、公式的推导 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=?-?=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得： 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα αααααα +=+= =-?-

sin 2tan 2 cos 2 αα α ===sin 2sin sin 1cos 22 2tan 2 sin cos 2sin cos 2 22 αα α α αα ααα-=== sin 2cos sin sin 22 2tan 2 1cos cos 2cos cos 2 22 αα α α αα ααα===+ 【说明】这里没有考虑 cos sin 2 2 α α ==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出 来单独讨论一下． 五、综合运用 1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用 1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 2 21cos 21cos 2cos ,sin 22 αα αα+-= = 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有： 1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452? ?=?-?=?-?= , ()()22 α ααββαββ=-+=+-=? ()()()()ππ 2()()44 ααβαβαββααα=++-=+--=+-- ()()222βαβαβαααβα? ?-=-+=-=-- ?? ? π π π π π π 244362 αααααα?????????? +-=++-=++-= ? ? ? ? ??????????? π3ππ2ππ5ππ443366αααααα????????????++-=++-=++-= ? ? ? ? ? ?????????????

二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案

二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案 课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式； (2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。 2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用。 3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展 的观点看问题。 二、教学重点、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学过程设计： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--．

倍角公式与半角公式习题

两角和与差的三角函数 1．若cos 4，且 5 2 ．（本小题满分12 分）（1）求的表达式；（2）设，，，求的值．3．在非等腰△ ABC中， 0, ，则tg 2 已知函数的最 小正周期为，且． a，b，c 分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4 ， C=2A． （Ⅰ）求cosA 及 b 的 值； Ⅱ)求cos( 3 2A）的值． 4．已知sin( 6 A ．1 ，则cos2（）的值是（）33 ．1 ．3 5．若cos 是第三象限的 角 1 ,则 1 tan 2= ( tan 2 A ． D ．-2 6．己知R,sin 3cosa 5 ，则tan 2a= 7．已知cos( ) 4 8．已知cos( ) 4 4 ,则sin2 5 4 ,则sin2 5 9．在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c且a b，已知cosC 2B 2 A sin Acos sin Bcos 22 (Ⅰ)求 a 和b的值；(Ⅱ)求cos(B C) 的值．2 1sin C ．2 10．已知函数f （x）2sin( 6）（0,x R）的最小正周期为 1）求的值； 2 2）若f （）2 3 (0, )，求cos2 的值. 8 11．已知函数f （x） 2 2sin xcosx 2sin x 1(x R) ． 1）求函数f （x）的最小正周期和单调递增区 间； 2）若在ABC中，角A，B ，C的对边分别为a，b，c， A 为锐角， 且f (A 2，求ABC面积S的最大值．3

12．已知函数 y log a （x 1） 3，（a 0且 a 1）的图象恒过点 P ，若角 的终边经 过点 P ，则 sin 2 sin2 的值等于 ________ 又是偶函数； 23． y 2sin 2 x 的值域是（ 13．已知 (0, ) ，且 sin cos 1 ，则 cos2 的值为（ ） 2 A ． 14．已知函数 f x Asin( x )(x R, A 0, 0,| | ） 的部分图象如图所 示． 1）试确定函数 f x 的解析式； （2） 若 f ( 2 15 ． 已知 sin( 16 ． 已知 sin( 17 ． 已知 18 ． 已知 19 ． 设 sin2 20 ． 设 f ( ) 21 ． ①存在 sin 0； 1 ，求 3 cos(2 3 ）的值． 45 ) 45 ) 2 10 2 10 2 ,0),cos( 2 ,0),cos( sin 2cos 3 sin 2(2 且0 且0 4 5 4 5 90 ， 90 ， ，则 tan2 ，则 tan2 则 cos2 则 cos2 ）,则 tan2 的值是 ) sin(2 2 2 2cos 2 ( ) (0, ) 使 sina cosa 2 的值为 的值为 cos( ) 3 ，求 f （3）的值。 1 ；②存在区间 （a,b ）使 y cos x 为减函数而 3 ③ y tanx 在其定义域内为增函数；④ y cos2x sin （ x ） 既有最大、最小值， 2 ⑤ y sin |2x | 最小正周期为 6 22 ．在△ ABC 中，若 sin （ A ）等腰三角形 （ C ）等腰或直角三角形 以上命题错误的为 A+B-C ) =sin (B ) (D ) A-B+C ），则△ ABC 必是（ ） 直角三角形 等腰直角三角形 A ．[ －2，2] B ．[0，2] ．[ － 2，0] D ． R 24 ． 已 知 sin 是 方 程 5x 2 7x 6 0 的 根 ， 且 是 第 三 象 限 角 ， 求 ) ( (

三角函数的二倍角公式及应用

三角函数的二倍角公式及应用 一． 考点要求 1、 熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用； 2、 领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美 3、 公式应用的方法与技巧。 二、公式再现； 1、二倍角公式； sin2a= 2sinacosa 。 cos2a =22cos sin αα- = 22cos 1α-= 21sin α- tan2a= 22tan 1tan αα - 2、降幂公式；2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22α αα α-= += 三；闯关训练 A 、类型一 公式逆用 逆用公式，换个角度豁然开朗，逆过来看茅塞顿开，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现； 1、求下列各式的值 ()；??cos15sin151 ()8 s i n 8 c o s 22 2 π π - () ? -?5.22tan 15.22tan 32 ； ()15.22cos 242 -? B 、、类型二----公式正用 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感

知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的。 2、已知(),5 3 sin -=-απ求α2cos 的值。 3、已知?? ? ??∈-=ππ ααα,2 ,sin 2sin ，求αtan 的值。 C 、、类型三----化简 ()()()2 4441sin cos ;2cos sin a a θθ +-、 四．能力提升； 1， 已知,128,5 4 8 cos παπα <<-=求4 tan ,4 cos ,4 sin α αα的值 2、已知,2 4,1352sin π απα<<=求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。 3、化简 ()() 11 1sin cos cos 2;2; 1tan 1tan x x x θθ--+ 4.x x - 5. 求值：（1）0000sin13cos17cos13sin17+ （2）0 1tan 751tan 75+- （3）2 2 cos sin 8 8 π π - 6.已知a ，β都是锐角，cosa=17 ，cos ()αβ+=11 14 -，求cos β的值。 7、 已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=求tan2a 及tan 2β的值。 8、求值0000tan 70tan1070tan10- 9、.已知函数 2cos cos x x x +，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。 五；高考链接

倍角、半角、和差化积公式

倍角、半角、和差化积公式 一. 教学内容： 3.1 和角公式 3.2 倍角公式和半角公式 二. 教学目的 1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系； 2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。 三. 教学重点、难点 重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。 难点：能够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。 四. 知识分析 （一）两角和与差的余弦 1、两角差的余弦公式 推导方法1：向量法 把看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1，设的终边分别与单位圆交于点P l (，)，P2 (，)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑的情况。 图1 设向量 则。 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 于是，对于任意的，都有上述式子成立。 推导方法2：三角函数线法 设、都是锐角，如图2 ，角的终边与单位圆的交点为P l，∠POP1＝，则∠Pox＝。过点P作MN⊥x 轴于M，则OM即为的余弦线。在这里，我们想法用的三角函数线来表示OM。

图2 过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过P作PC⊥AB于C，则OA表示，AP表示，并且∠PAC＝∠P1Ox＝，于是 即 要说明此结果是否对任意角都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的，在此就不进行研究了。 2. 两角和的余弦公式 比较与，并且注意到与之间的联系： 则由两角差的余弦公式得： 即 3. 对公式的理解和记忆 （1）上述公式中的都是任意角。 （2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。 （3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧，如，等。 （二）两角和与差的正弦 1. 公式的导出 即 2. 公式的理解 （1）一样，对任意角均成立，是恒等式。 （2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。 如

二倍角公式专项练习

二倍角公式专项练习 一、选择题 1．(2011福建厦门模拟)已知tan α＝－43，则tan ????π4－α的值为( )． A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．17 2．(2011北京东城模拟)已知sin θ＝45 ，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )． A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D ．2425 3.已知α为第二象限角,3 3cos sin =+αα,则=α2cos （ ） A ．35 B ．95- C ．95 D ．35- 4.若sin θ－cos θ=－51,且π<θ<2π,则cos2θ等于（ ） A. 257 B.－257 C.±257 D.－25 12 5．已知向量a ＝????sin ????α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ? ???α＋4π3＝( )． A ．－34 B ．－14 C ．34 D ．14 6．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( )． A ．k π，(k ∈Z ) B ．k π＋π6，(k ∈Z ) C ．k π＋π3，(k ∈Z ) D ．－k π－π3 ，(k ∈Z ) 7．cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值等于（ ） A.26 B.23 C.4 5 D.1+43 8．(2010年大同模拟)函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4 )是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数 9.若1sin( )34πα-=,则cos(2)3πα+=（ ） A ．78- B ．14- C ．14 D ．78 10.已知2 10cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan （ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．3 4- 二、填空题 1. 已知cos ????π2＋θ＝45 ，则cos2θ＝________．－725 2. 设sin ????π4＋θ＝13 ，则sin2θ＝________．－79

三角函数半角公式

三角函数半角公式 复习重点:半角角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 复习难点:半角公式的应用 复习内容: 倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式: 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即: ，，这组公式叫做“万能”公式. 教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.

例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50° 解:(1) csc10°-sec10° (2) tan20°+cot20°-2sec50° 例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 解:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ的值. 解:∵, ∴, 即，

倍角公式和半角公式一

倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

倍角公式和半角公式一 目标认知： 学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用． 学习重点： 倍角公式及其变形． 学习难点： 倍半角公式变形及应用． 内容解析： 1．倍角公式 在和角公式中令=，即得二倍角公式： ； ； ． 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题． （2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与， 与等，也为 引出半角作准备． （3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式． （4）二倍角的正切公式成立的条件：． （5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）． （6）公式的逆用及变形：．

2．半角公式 由倍角公式变形得到： ；；； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式： ；；； 其中正负号由的象限确定． 借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在 于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） （1）积化和差： （2）和差化积： 本周典型例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴

∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求． 解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值： （1）；（2）； （3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°； 解析：（1）=； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）cos20°cos40°cos80° = 注意：关注（5）的结构特点．

《倍角公式和半角公式》教案1汇总

《倍角公式和半角公式》教案1 一、教学目标 1.知识目标 掌握公式的推导，明确的取值范围。 能运用二倍角公式求三角函数值。 2.能力目标 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。 通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 3.情感目标 通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。 二、教学重点、难点 重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形。 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。 三、教学方法 本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。 四、课时 1课时

五、教学过程 教学环 节 教学内容师生互动设计意图复 习引入复习两角和与 差的三角函数 公式 先让学生回忆两角和与 差的正弦、余弦、正切 公式的来龙去脉，并请 一个同学把这六个公式 写在黑板上 学生板演 教师点评这些公式：一 方面要从公式的推导上 去理解它，另一方面要 从公式的结构特点上去 记忆，还要注意公式的 正、用、逆用和变用。 今天，我们继续学习二 倍角的正弦、余弦和正 切公式 温旧知新，让 学生明确学习 的内容 公 式的推导探索研究 二倍角的 正弦、余弦 和正切公式 请学生想一想，在公式 中对 如何合理赋值，才 能出现 sin2,cos2,tan2 的表达式，并请同学把 对应的等式写在黑板上 1. 引导学生运用已 学过的两角和的三角 函数公式推得二倍角 公式，使学生理解二 倍角公式就是两角和 的三角函数公式的特 例，这样有助于公式 的记忆

高中数学必修四《二倍角的正弦、余弦、正切公式》优秀教学设计

二倍角的正弦、余弦、正切公式 【学习目标】: 1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、发现数学规律，激发学习兴趣，提高综合分析、应用数学的能力。 【学习重点与难点】: 重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导。 难点：二倍角公式的综合应用。 一、复习两角和的三角公式 二、二倍角公式的推导 利用公式 cos2α可变形为：1. ； 注： 2. 。 1.“二倍角” 是一种相对的数量关系。 如：２α是α的二倍角；α是 的二倍角。 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角 公式。 练习1: 练习2： 判断： 三、例题教学(公式正用) 思维小结： 公式正用技巧： 从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。 ()=+βαcos ()=+βαsin ()=+βαtan ？？，： ， ，：有什么发现你得到什么启示即到特殊的两个角相等由一般的问题αββα=+()？=+ααsin ()？=+ααcos ()？=+ααtan 1cos sin 22=+αα 2αcos__sin__24sin )1(=α__sin __cos 2 cos )2(22-=α_________(3)cos 213α=-22tan__(5)tan 31tan __α=-23cos 23sin 3sin )1(ααα=1sin 22cos )2(2-=αα232tan 3(3)tan 21tan 3ααα=-α的值.cos2α、tan2 .求α,135已知sinα例1.),2(ππ∈=sin2α、 (1) 本题求出cos α的值是关键,要注意象限定号； （2）在求tan2α时，直接用切化弦 也可先求出tan α＝sin αcos α，再求tan2α＝2tan α1－tan 2α 的值.

二倍角公式

求三角函数最小正周期的五种方法 一、定义法:直接利用周期函数的定义求出周期。 例1.求函数y m x =-cos()56 π （m ≠0）的最小正周期。 解：因为y m x =-cos( )56 π =-+=+-cos( )cos[()] m x m x m 5625106π πππ 所以函数y m x =-cos( )56π（m ≠0）的最小正周期T m =10π || 例2.求函数y x a =cot 的最小正周期。 解：因为y x a x a a x a ==+=+cot cot()cot[()]ππ1 所以函数y x a =cot 的最小正周期为T a =||π。 二、公式法:利用下列公式求解三角函数的最小正周期。 1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T = 2π ω|| 。2. y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T = π ω|| 。3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T = π ω|| 。4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T = π ω|| ……….例4.求函数y n m x =-cot()3π的最小正周期。 解：因为T n m = =-πωωπ ||||而，所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为

T n m m n = -=ππ|| ||。 三、转化法:对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型， 再用公式法求解。 例5.求函数y x x =+sin cos 66的最小正周期。 解：因为y x x =+sin cos 66 =+-+(sin cos )(sin sin cos cos )224224x x x x x x =+-=-=--=+(sin cos )sin cos sin cos cos 222222313 4 213414238458 x x x x x x x · 所以函数y x x =+sin cos 66的最小正周期为T = =22 πωπ ||。 例6.求函数f x x x x ()sin cos cos =+422 ·的最小正周期。 解：因为f x x x x ()sin cos cos =+422 · =++=++2221521 sin cos sin()x x x φ 其中sin cos φφ= =1525 ，，所以函数f x x x x ()sin cos cos =+422 ·的最小正周期为T = =2π ωπ|| 。 四、最小公倍数法:由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最

三角函数中万能公式总结

两角和与差的三角函数 三角函数基本公式总结 1 .和、差角公式 sin （.二 I ） = sin ： cos - 二 cos ： sin ; cos （.二 l ） = cos ： cos 『■一 sin ： sin ; tg （ ：「）=1rg ：tg[ 2.二倍角公式 sin2： = 2sin ： cos ： cos 2： =cos 2 ： - sin :--2cos 2 ： -1 = 1 - 2sin 2 ：； 2tg : tg2 "1『 3.降幕公式 sin ： cos ： =^sin2： 2 sin 2 : 1 -cos2： 2 1 cos 2： cos : 4.半角公式 1 -cos- a sin — = 2 . 2 a cos —-二 2 1 cos ： 丄 a 丄 ‘1 — cosa tg -- y 2 sin -■ 1 - cos- 1 cos ： 1 COS -： ： sin 二 5.万能公式 CL si …玉 1-tg 2 cos ：= tg ： 2 a 1-tg 2 6.积化和差公式 1 sin ： cos ［sin （二 b ■■-'） sin 「--）］ 2 cos ： cos ： =1 ［cosp I '） cos （= ' 「'）］ ； 2 cos ： sin : sin ： sin - 1 -［sin （二 1 '-J - sin （：——：）］; 2 「［［COS （二 I '）「COS （工 ’「'）］. 2

7.和差化积公式 ? a + P a - P o a + P a - P sin t "si n - -2sin ----- cos ----- ; sin： - si n - - 2cos -- sin一 2 2 2 2 A ot + P a - P R a + P . a - P cos土11cos - - 2cos -- cos ----- : cos： -cos - - -2sin ---- sin ----- 2 2 2 2 倍角、半角的三角函数 二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即 9 7 2 2 sin 2a = 2sin a cos cos = cos a - sin a = 2 cos cs -1 = 1 - 2siri a, tan 2a = 由此可继续导出三倍角公式?观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键?二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定 倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式?推导过程中 a 11 —cos a a I l-l-cos c a 11 —cos a sin —= 土」------------ ,cos ——-土J--------- ”tan ——二±J ------ 2 V 2 2^2 2 Vl + coscE 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个 原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于2所在 ◎ 1 - coga sin 门 tan —= ------- = ------- 的象限.而半角的正切可用a的正弦、余弦表示，即：- -」丄 1 -2 tan a 1 - tan，a 可得到一组降次公式，即二二 j a1 斗cos oe CO￡ —= --------- 2 2进一步得到半角 公式:

(完整版)两倍角与半角公式与万能公式.doc

两倍角公式、半角公式、万能公式 ① sin( ) sin cos cos sin ; ② cos( ) cos cos sin sin ; ③ tan( ) tan tan 令1 tan tan 二倍角公式： ① sin 2 2sin cos ； ② cos2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2sin 2 ； ③ tan 2 2 tan 1 tan 2 两倍角公式中 sin 2 2 sin cos 是两个函数之积，可在(sincos ) 2 中产生。两倍角是“相对的” ，应该广义地理解。 如 cos4 cos2 2 sin 2 2 2 cos2 2 1 1 2 sin 2 2 tan( ) 2tan 2 等等tan 2 1 2 升次公式： sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 ； 2 2 见到平方就降次，降次角加倍 降次公式： 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 sin 2 2 见到 1 cos 、 1 cos 就升次，升次角减半并项公式 : 1 sin 2 = (sin cos ) 2 半角公式： sin =±1 cos , 2 2 cos =±1 cos , 2 2 1

tg =± 1 cos = sin = 1 cos . 2 1 cos 1 cos sin 半角公式中的正负号如何选取？依照左边的函数值而定。 2 如果给你象限角，如I ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你区间角，如 3 ,4 ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你三角比值，如sin cos 0 的终边在第几象限？公式前的号如何选取？tan cos ， 0 2 半角的正切公式中的后两个tg = sin =1 cos 前面没有正负号， 2 1 cos sin 万能公式：（并非万能，仅是用tan 可将 sin 、 cos 、 tan 都表示出来的含义） 2 sin α = 2 tan 2 ， 1 tan2 2 1 tan 2 cos α = 2 , 1 tan2 2 2 tan tan α = 2 1 tan2 2 题型一、求值问题 补充问题 已知 cos( ) 1 ， sin( ) 2 ，且 4 2 ， 4 2 9 2 3 4 求 cos( ) 的值 解：考虑目标角和已知角的关系：（）—（）= 22 2 再运用两倍角公式求值 题型二、化简问题 2

二倍角公式教案

二倍角公式教案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

二 倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学方法： 讨论式教学＋练习 五、教学过程 1 复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学习二倍角的相关公式。 2 公式推导 在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟） （1）提问： sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= tanα+ tanα1－tanαtanα =2tanα1－tan 2α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= 2tanα1－tan 2α （2）提问：对于cos2α= cos 2α－ sin 2α，还有没有其他的形式？ 利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α

倍角公式和半角公式推导过程

这篇文章小编给大家分享三角函数倍角公式和半角公式以及倍角公式和半角公式的推导过程，一起看看具体内容。 三角函数半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 三角函数倍角公式 Sin2A=2SinA·CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=2tanA/1-tanA^2 二倍角公式推导过程 sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1 =1-2(sinA)^2 tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-(tanA)^2] 半角公式推导过程 已知公式 sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α① 半角正弦公式

由等式①，整理得：sin2α=1-cosα/2 将α/2带入α，整理得：sin2α/2=1-cosα/2 开方，得sinα/2=±√((1-cosα)/2) 半角余弦公式 由等式①，整理得：cos2α+1=2cos2α 将α/2带入，整理得：cos2α/2=cosα+1/2 开方，得cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) 半角正切公式 tan(α/2)=[sin(α/2)]/[cos(α/2)]=±√((1-cosα)/((1+cosα))

二倍角公式公开课教案

二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学过程 1、复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 2、新科探究 探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？ sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= α α － α α = α － α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= α － α 注意：要使tan2α= α － α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π ， 且α≠ π+ π ﹜ 学以致用 提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法 探究二、cos2α的变形式 利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α 1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=

和差公式二倍角公式及半角公式

三 角 函 数 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3.半角公式： 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ sin 2α =cos 2α= sin 1cos tan 21cos sin α αααα-===+ 4．辅助角公式 | ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 5.积化和差公式： ()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2 1sin cos a ()()[]βαβαβ-++= cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβ αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--=

cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题： 例1． 已知α∈( 2π,π)，sin α=53,则tan(4 πα+)的值. ， 例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值. 例2． 已知0cos cos 1 sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。 ￥ 例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=??? ??+πππ。 ' 例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin ππππ π=-+。

倍角公式和半角公式

第三章 第六节 倍角公式和半角公式 一、选择题 1．定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sin π6cos π6 ＝ ( ) A ．－12＋34 B ．－12－34 C ．1＋34 D ．1－34 2．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值是 ( ) A ．－145 B ．－75 C ．－2 D.45 3．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2 )等于 ( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25 4.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α) 等于 ( ) A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α D ．cos α 5．当0