青岛理工大学概率论练习册答案
习题1-2
1. 选择题
(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.
(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.
解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).
(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.
解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C =, 本题应选(D).
2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:
(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；
(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n +=}.
3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生；
(2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生;
(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A
B C ; (3) ABC ABC ABC ;
(4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .
4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2
3A A ； (6)12A A .
解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.
习题1-3
1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).
(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+.
(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.
解 由文氏图易知本题应选(D).
(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).
(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C).
2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).
解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+=, 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-
3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B =, 求()P AB .
解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-知()0.3P AB =. 于是
()()()0.1.P AB P A P AB =-=
4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .
解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =. 5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最大值, 最大值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最小值, 最小值是多少？ 解 ()()()()P AB P A P B P A B =+-=1.3()P A B -.
(1) 如果A B B =, 即当A B ?时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最大值是
0.6 .
(2) 如果)(B A P =1，或者A
B S =时, ()P AB 有最小值是0.3 . 6. 已知1()()()4P A P B P
C ===,()0P AB =, 1
()()12
P AC P BC ==, 求A , B , C 全不
发生的概率.
解 因为ABC AB ?,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0. 由概率一般加法公式得
()()()()()()()()
7
.12
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是
5()()1()12
P ABC P A
B C P A B C ==-=
.
习题1-4
1. 选择题
在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件
是( )．
(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.
解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为
1
1
3225
C C C ?, 没有一等品的概率为
02
322
5
C C C ?, 将两者加起即为0.7. 答案为（
D ）.
2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.
解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545
3
50
C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12
545
3
50C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30
545
3
50
C C C . 3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：
(1) 两个球均为白球的概率；
(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率； (3）至少有一个黑球的概率.
解 从9个球中取出2个球的取法有2
9C 种，两个球都是白球的取法有2
4C 种，一黑一白的取法有11
54C C 种，由古典概率的公式知道
(1) 两球都是白球的概率是29
2
4C C ;
(2) 两球中一黑一白的概率是1154
2
9
C C C ; (3) 至少有一个黑球的概率是129
24
C C -.
4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于6
5
;(2) 两数之积小于
14;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于1
2
的概率. 解 设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0 (1) P {X +Y <65}=144 1172550.68125 -??=≈; (2) P {XY <14}=11 41 1111ln 40.64444dx x ?+=+≈?; (3) P {X +Y <65, XY <1 4 } =0.2680.932110.2680.9325 1616 1()()5545x dx dx x dx x ?+-++-???≈0.593. (4) 解 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|0 1 2 }. 参见图1- 1. 图1-1 第2题样本空间 故 111123222()14 A S P A S Ω-???===, 其中 S A , S Ω分别表示A 与Ω的面积. 习题1-5 1. 选择题 (1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( ) (A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =. 解 由条件概率定义可知选(D). (2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ). (A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥. (B) 若()1P B A =, 则()0P AB =. (C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件. 解 由条件概率的定义知选（B ）． 2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2} +P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4} = 41×(0+21+31+41)=48 13. 3. 口袋中有b 个黑球、r 个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a 个. 设B i ={第i 次取到黑球}, 求1234()P B B B B . 解 用乘法公式得到 )|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P = .32a r b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+= 注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样. 4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率. 解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”. i B 为互斥的完备事件组. 于是 没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =??=, 恰有一发击中目标概率为 1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =??+??+??=, 恰有两发击中目标概率为 2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =??+??+??=, 恰有三发击中目标概率为 3()0.40.50.70.14P B =??=. 又已知 0 123 (|)0,(|)0.2,(| ) 0.6,(|)1 P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3 0()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.i i i P A P B P A B ===?+?+?=∑ 5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球. (1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率. 解 (1)以A 表示“取得球是白球”，i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )= 13, i =1,2,3, 123115 (|),(|),(|)528 P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知 P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++= 120 53 . (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )= 222()()(|)20 ()()53 P AH P H P A H P A P A == 6. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查. (1) 求这件产品是次品的概率; (2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？ 解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且 122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =. (1) 由全概率公式可得 112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++ 0.40.040.380.030.220.05 0.0384. =?+?+?=. (2) 由贝叶斯公式可得 111(|)()0.40.045 (|)()0.038412P A B P B P B A P A ?=== , 222(|)()0.380.0319 (|)()0.038464P A B P B P B A P A ?=== , 333(|)()0.220.0555 (|)()0.0384192P A B P B P B A P A ?=== . 习题1-6 1. 选择题 (1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ). (A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立. (C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B). (2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ). (A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥. 解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D). (3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0 (A) (|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =. (C) A 与B 一定互斥. (D) ()()()()()P A B P A P B P A P B =+-. 解 因事件A 与B 独立, 故A B 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C). 2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明 P (B |A )=)(A B P 是事件A 与B 独立的充分必要条件. 证 由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在. 充分性. 因事件A 与B 独立, 知事件A 与B 也独立, 因此 ()(),()()P B A P B P B A P B ==, 从而 ()()P B A P B A =. 必要性. 已知()()P B A P B A =, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到 ()()()()() 1() () P AB P AB P B P AB P A P A P A -= = -, 移项得 []()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=- 化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独立. 3. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件： ,ABC =?1()()()2 P A P B P C ==< , 且9()16 P A B C = , 求()P A . 解 根据一般加法公式有 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+. 由题设可知 A , B 和C 两两相互独立, ,ABC =? 1()()()2 P A P B P C ==< , 因此有 2 ()()()[()],()() 0,P A B P A C P B C P A P A B C P ====?= 从而 29 ()3()3[()]16 P A B C P A P A =-= , 于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1 ()4 P A =. 4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p (0 解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有 一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为 12 23(1)C p p -. 5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求： (1) 甲、乙两人同时命中目标的概率； (2) 恰有一人命中目标的概率； (3) 目标被命中的概率. 解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是 (1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==?= (2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=?+?= (3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-= 总 习 题 一 1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ). (A)A B 与C . (B)AC 与C . (C) A B -与C . (D) AB 与C . 解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确.. 2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率. 解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为95519 10099396?=?. (1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为 95559519 .10099198 ?+?=? 3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有2 1 的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产 4 1 . 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率. 解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A ={取到的产品是次品}, B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =?(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)= 21, P (B 2) =4 1 , P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=100 4 , 由全概率公式得 P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3) = 100 441100241100221?+?+?=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？ 解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到 ()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=?+?=. 由贝叶斯公式可得 ()0.750.9 (|)0.9() 0.75 ()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ?= = ==. 5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？ 解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知 21 ()0.02,()0.01,(),()33 P R D P R D P D P D ====. 由贝叶斯公式知 ()()()196 ()()197 ()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D = == +. 习题2-2 1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0 1,, 0,A X A =?? ? 发生不发生. 写出随机变量X 的分布律. 解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者 X 0 1 P 1-p p 2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为 c c c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠ 13571,24816c c c c +++= 所以3716 c = . 所求概率为 P {X <1| X 0≠}=258167852121 }0{}1{= ++=≠-=c c c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥5 1}9 =, 求{P Y ≥1}. 解 注意p{x=k}=k k n k n C p q -,由题设5{9 P X =≥21}1{0}1,P X q =-==- 故2 13 q p =-=. 从而 {P Y ≥3219 1}1{0}1().327 P Y =-==-= 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为19 27 , 求每次试验成功的概率. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19 ，那么一次都没有成功的概率是 278. 即278)1(3 =-p , 故 p =3 1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律. 解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3， 4，5，在5个数中取3个共有103 5=C 种取法. {X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =101 ; {X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=10 3 3523=C C ; {X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=5 3 3524=C C . X 的分布律是 X 3 4 5 P 110 310 35 习题2-3 1. 设X 的分布律为 X -1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2}, P {-2≤X <1}. 解 (1) F (x )=0, 1, 0.15,10, 0.35,01,1, 1. x x x x <-??- ? (2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15; (3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为 F (x ) = A +B arctan x -∞ 试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率. 解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知 ()0112 ,.2()1 2A B A B A B πππ? +-=???==? ?+=?? 于是 11 ()arctan ,.2F x x x π =+-∞<<+∞ (2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤ 1111 (arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242 ππππ=+?---= 3. 设随机变量X 的分布函数为 F (x )=0, 0, 01,21,1, ,x x x x < 求P {X ≤-1}, P {0.3 解 P {X 1}(1)0F -=-=≤, P {0.3 P {0 5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 1 1 {1},{1}84 P X P X =-= == ; 在事件 {11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p . 解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时, 1 (1)8 F -= ; 当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以 11 5{11}(1)(1){1}1.848 P X F F P X -<<=---==- - = 易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为 {1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--, 取x =1得到 1=k (1+1), 所以k = 12 . 因此 {1P X -<≤|11}1 2 x X x -<<= +. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<< {11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5 1 55.82 16 x x ++= ? = 对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而 0,1,57(), 11,161, 1. x x F x x x <-+=-< 7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-= 习题2-4 1. 选择题 (1) 设2, [0,], ()0, [0,].x x c f x x c ∈=???? 如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函 数. (A) 13. (B) 12. (C) 1. (D) 3 2 . 解 由概率密度函数的性质 ()d 1f x x +∞-∞ =? 可得0 2d 1c x x =?, 于是1=c , 故本题应选 (C ). (2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ). (A) 1. (B) 0. (C) 1 2 . (D) -1. 解 因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即 2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). (A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=???其它. (B) 1 ,2, ()20,x f x <=?????其它. (C) 22 ()21e ,0, ()20, 0.≥x x f x x μσπσ--= ? (D) e ,0,()0,0.≥x x f x x -= 解 由概率密度函数的性质 ()1f x dx +∞-∞ =? 可知本题应选(D). (4) 设随机变量2~(,4)X N μ, 2~(,5)Y N μ, 1 {X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ). (A) 对任意的实数12,P P μ=. (B) 对任意的实数1 2,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数1 2,P P μ>. 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有 1 2(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A). (5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ). (A) 0 ()1d ()∫a F a x f x -=- . (B) 0 1 ()d 2 ()∫ a F a x f x -=- . (C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-. 解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布2 22(,)N μσ,且 12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ). (A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2. 解 对μ1＝μ2时, 答案是(A). (7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足 {}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ). (A) 2 u α . (B) 2 1α - u . (C) 1-2 u α. (D) α-1u . 解 答案是(C). 2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1 {2}4 P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ? 解 因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为 1e ,0, ()0, 0.≤x x F x x λ-->=?? ? 由题意可知 221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4 k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-. 于是 ln 2 k λ = . 3. 设随机变量X 有概率密度 34,01, ()0, x x f x <<=?? ?其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ? 解 由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是30 4d 0. 5a x x =? , 因此41 2 a =. 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为 20,0,()01,1,1, , ≤≤x F x x x x <=>????? 求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<. 解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=, 可得 2,01, ()0, 其它.x x f x < ? (2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=. 5. 设随机变量X 的概率密度为 f (x )＝ 2,01,0,x x ?? ? ≤≤ 其它, 求P {X ≤ 1 2 }与P {1 4X ＜≤2}. 解 {P X ≤1 220 1 1 1 2d 22 40 }x x x = ==? ; 1 {4P X <≤1 214 1 15 2}2d 1164 x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数 , 01,(),12,0,x x f x A x x <=- ??? ≤≤其它. 求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ). 解 (1) 由概率密度的性质可得 12 2 2 1 1 2 1 111d ()d [] 12 2 x x A x x x Ax x A =+-= +- =-??, 于是 2A =； (2) 由公式()()d x F x f x x -∞ = ? 可得 当x ≤0时, ()0F x =; 当0x <≤1时, 201()d 2 x F x x x x == ?; 当1x <≤2时, 210 1 ()d (2)d 212 x x F x x x x x x =+-=- -? ?; 当x >2时, ()1F x =. 所以 22 0,0, 1()221, 2. 1,02 1,12x F x x x x x x x =->??? ≤≤, ≤, 7. 设随机变量X 的概率密度为 1 (1),02,()4 0,x x f x ????? +<<=其它, 对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 根据概率密度与分布函数的关系式 {P a X <≤}()()()d b a b F b F a f x x =-=?, 可得 2 1 1 5 {1}(1)d 48 P X x x >=+= ? . 所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为 223333535175()()()888256 C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程2 4420x Xx ++=有实根的概率. 解 随机变量X 的概率密度为 1 05,()50, ,x f x <=?????≤其它, 若方程有实根, 则 21632X -≥0, 于是2 X ≥2. 故方程有实根的概率为 P {2 X ≥2}=21{2}P X -< 1{22}P X =--<< 20 1 1d 5 x =-? 2 15 =- . 9. 设随机变量)2,3(~2 N X . (1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤ , {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满足{} 0.9P X d >≥, 问d 至多为多少？ 解 (1) 由P {a }()()22222 a X b b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到 P {2 {||2}P X >={2}P X >+{2}P X <- =123( )2 Φ--+23( )2Φ--=0.6977, }3{>X P =133 {3}1( )1(0)2 P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 . (2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以 {}0.5P X c =≤ 由(0)Φ=0推得 3 0,2 c -=于是c =3. (3) {}0.9≥P X d > 即13( )0.92d Φ--≥, 也就是 3()0.9(1.282)2 d ΦΦ-- =≥, 因分布函数是一个不减函数, 故 (3) 1.282,2 d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤. 10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <. 解 因为() ~2,X N σ2 ,所以~(0,1)X Z N μ σ -= . 由条件{04}0.3P X <<=可知 0224222 0.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ ---=<<=<<=--, 于是22()10.3Φσ-=, 从而2 ()0.65Φσ =. 所以 {{}2020}P P X X σσ==--<<22 ()1()0.35ΦΦσσ -=-=. 习题2-5 1. 选择题 (1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ). (A) 11()33 F y -. (B) (31)F y +. (C) 3()1F y +. (D) 1 1 33 ()F y -. 解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). (2) 设()~01,X N ,令2Y X =--, 则~Y ( ). (A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N . 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C). 2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解 若随机变量2 ~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即 2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,2μσ==, 所以Z ~(5,8)N . 概率密度为 ()f z = 2 (5)16 1e ,4x x π -- -∞<<+∞. 3. 已知随机变量X 的分布律为 X -1 0 1 3 7 P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25 (1) 求Y ＝2－X 的分布律； (2) 求Y ＝3＋X 2分布律. 解 (1) 2－X -5 -1 1 2 3 P 0.25 0.13 0.2 0.05 0.37 (2) 3＋X 2 3 4 12 52 P 0.05 0.57 0.13 0.25 4. 已知随机变量X 的概率密度为 ()X f x ＝1 142ln 2 0x x < ???， ， ， 其它， 且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度. 解 先求Y 的分布函数)(y F Y : )(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y - 1{2}P X y =-<-=1-2()d y X f x x --∞ ? . 于是可得Y 的概率密度为 ()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -? <- ??? 即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-? ? =??? 5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2 Y X =的概率密度. 解 由题意可知随机变量X 的概率密度为 ()0,. 1 ,22,4其它X f x x =?-< 因为对于0 (){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P y =-≤X ≤y }()()X X F y F y =--. 于是随机变量2 Y X =的概率密度函数为 ()Y f y 11() () 22X X f y f y y y =+-10 4. 4,y y = << 即 ()1 ,04,40,.其它f y y y =?< ??? 总习题二 1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率. 解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B . (1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=233 58.02.0C . (2) 至多有3件次品的概率是 k k k k C -=∑53 5 8.02.0. 2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？ 解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,0.1), P {X =k }=k k k C -559.01.0,k =0,1, (5) (1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.0322 5=C ; (2) 所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--; (3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954; (4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为 e ,0,()00, ≥，x k x f x x θθ -= 且已知1{1}2 P X >= , 求常数k , θ. 解 由概率密度的性质可知0 e d 1x k x θ θ - +∞=? 得到k =1. 由已知条件 1 1 1 e d 2 x x θθ- +∞ = ? , 得1 ln 2θ= . 4. 某产品的某一质量指标2 ~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最大是多少? 解 由{120P ≤X ≤}200 120160 160 200160 {}X P σ σ σ ---=≤ ≤ =40 40 40 ( )(1( ))2( )1ΦΦΦσ σ σ --=-≥0.8, 得到40 ( )Φσ ≥0.9, 查表得 40 σ ≥1.29, 由此可得允许σ最大值为31.20. 5. 设随机变量X 的概率密度为 φ(x ) = A e -|x |, -∞ 试求: (1) 常数A ; (2) P {0 解 (1) 由于 || ()d e d 1,x x x A x ?+∞ +∞ --∞ -∞ ==? ?即0 2e d 1x A x +∞ -=?故2A = 1, 得到A =1 2 . 所以 φ(x ) = 12 e -|x |. (2) P {0 1 1 1 1 1e e d (e )0.316.022 2 x x x ----=-= ≈? (3) 因为|| 1()e d ,2x x F x x --∞= ? 得到 当x <0时, 11()e d e ,22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222 x x x x F x x x ---∞=+=-?? 所以X 的分布函数为 1,0,2 ()11,0.2 x x x F x x -? 习题3-1 1. 已知随机变量X 1和X 2的概率分布分别为 X 1 -1 0 1 P 1 4 1 2 1 4 X 2 0 1 P 1 2 1 2 而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形如 X 2 X 1 0 1 p i · -1 P 11 0 14 0 P 21 P 22 12 1 P 31 14 p ·j 12 12 1 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 X 2 X 1 0 1 p i · -1 14 0 14 0 0 1 2 2 1 1 1 4 0 14 p ·j 12 1 2 1 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为 4322 i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C === = ,111 322 6{1,1}35 35 P X Y C C C === = , 121322 6{1,2}35 35 P X Y C C C ====,202 322 3{2,0}35 35 P X Y C C C ====, 211322 12 {2,1}35 35P X Y C C C === = ,220322 3 {2,2}35 35 P X Y C C C === = , 3013222 {3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222 {3,1}3535P X Y C C C ====, {0,0} {0,1}{1,0}{3,P X Y P X Y P X Y P X Y ============ . 分布律的表格形式为 0 1 2 3 0 0 0 335 235 1 0 635 1235 235 2 1 35 635 335 3. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为 (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< ? 其它 求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤. 解 (1) 由 (,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞ -∞ =?? , 得 24 2 422 2 2 04 2 11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=????????? , 所以 1 8 k = . (2) 3120 1,3 1{1,3}d (6)d 8 (,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<= =--?? ?? 1 3 220 1 1(6)d 82y x x y =--???????321113()d 828y y =-=?. (3) 1.51.5 { 1.5} d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞ -∞ -∞ -∞ <==? ?? 4 1.52 1d (6)d 8 y x y x --=?? 1.5 4 22 01 1(6)d 82y x x y = --? ???? ?? 421633 ()d 882y y =-? 2732 =. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)?的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此 X Y {P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈ (,)d d G f x y x y = ?? 442 1d (6)d 8 x y x y x -=--?? 44 220 11(6)d 82x y x x y -=--? ?????? 4 221 1 [(6)(4)(4)]d 82y y y y = ----? 42211 [2(4)(4)]d 82y y y =-+-? 4 2 3 211 (4)(4)86y y =----? ?????23 = . 图3-8 第4题积分区域 4. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2(,),1,01, 0, f x y kxy x y x =?? ?≤≤≤≤其它. 试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解 由211 14 01(,)d d d (1)d 26 x k k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞ -∞ == == -?? ???,解得6=k . 因而 211 240 1 {(,)}d 6d 3()d 4 x x P X Y G x xy y x x x x ∈= =-= ? ??. 5. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为 4.8(2),01,0, (,)0, .y x x y x f x y -=?? ?≤≤≤≤其它 求关于X 和Y 边缘概率密度. 解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有 24.8(2)d ,01, ()(,)d 0, 2.4(2),01,0, x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞ -<<==-<<=??????? ??? 其它.其它. 概率统计-习题及答案-(1) 习题一 1.1写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件A表示：平均得分在80分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件A表示：第一颗掷得5点； 设事件B表示：三颗骰子点数之和不超过8点。（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A表示：取出的三个球中最小的号码为1。 （4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件A表示：至多只要投50次。 （5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一 张。 （1）写出该随机试验的样本点和样本空间； （2）设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ （a）AB；(b) B A+；(c) B；(d) B A-； (e) BC；(f) C B+。 1.3 设A、B、C是样本空间的事件，把下列事件用A、B、C表示出来： （1）A发生；（2）A不发生，但B、C至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生；（4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生；（6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 1.4 设}10,,3,2,1{ Ω，}5,3,2{=A，}7,5,3{=B，}7,4,3,1{=C，求 = 练习一 一、1．BCD 2. ABC 3. CD 4. BD 5. D 二.1. 8 8365 365 A 2. 41/90 3. 0.4 0.6 4. 25/42 三、已知：P (A )=0.45，P ( B )=0.35，P ( C )=0.3，P (AB )=0.1，P (AC )=0.08， P (BC )=0.05，P (ABC )=0.03 (1)3.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P AC P AB P A P C B A P A P C B A P Y (2)07.0)()()(=-=ABC P AB P C AB P (3)3.0)(=C B A P 23.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AB P B P C A B P B P C B A P Y 2.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AC P C P B A C P C P C B A P Y 得73.0)()()(=++=C B A P C B A P C B A P P (4)14.0)()()()(=-+-+-==ABC BC P ABC AC P ABC AB P BC A C B A C AB P P Y Y (5)P (A ∪B ∪C )=0.73+0.14+0.03=0.9 (6)1.09.01)(=-=C B A P 四、令x 、y 为所取两数，则Ω={(x ,y )|0 一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制 —南昌大学考试试卷答案—【适用时间：20 13 ～20 14 学年第一学期课程编号：课程名称： J5510N0008 试卷类型：[ A ]卷】试卷编号：概率论与数理统计（II）教 30 教师填写栏试卷说明： 1、本试卷共 6 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。开课学院：适用班级：理学院48 学时考试形式：考试时间：闭卷 120 分钟题号题分得分一 24 二 24 三 40 四12 五六七八九十总分累分人 100 签名考生姓名：考生学号：所属班级：考试日期： 1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试），违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名：第 1 页共 4 页考生填写栏所属学院：所属专业：考生须知考生承诺 得分一、填空题：（每空 4 分，共 24 分）评阅人 1. 0.375 2. 2/3 3. 18 4. k Cn （ n 6. 0.967 得分二、单项选择题：（每题 4 分，共 24 分） 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 得分三、计算题：（每题 10 分，共 40 分） 1. 解：设事件 A={取到的数能被 2 整除}，事件 B={取到的数能被 3 整除}，则有 P 评阅人评阅人所求概率为 解： 2 2 有 f(x,y=fX(xfY(y，故 X 与 Y 独立第 2 页共 4 页 3. 解：设表示第 k 个学生来参加会议的家长数，则 X k (k 的分布律为 Xk Pk 0 0.05 1 0.8 2 0.15 易知 而，根据同分布中心极限定理随机变量近似服从标准正态分布， 400 0.19 因此 第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2） 4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x 习题3-1 1. 而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1 和X 2不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1 {0,2}35 35P X Y C C C === = ,111 322 6 {1,1}3535 P X Y C C C === = , 1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223 {2,0}3535P X Y C C C ====, 21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,220 3223 {2,2}3535P X Y C C C ====, 3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级 人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y) 0 第一章参考答案: （一） 一、选择：1.D 2. A 3.B 4.D 二、填空：1. 出现点数恰好是5； 2. 0.3； 3. 0.6； 4. 1，0.75； 5． (1) ABC （2）ABC (3) AB AC BC ?? (4) A B C ?? (5) ABC ABC ABC ?? (6) A B C ?? 三、计算 （1）,0.6A B ? （2）,0.3A B ?=Ω （3）()=0.4P AB ，()=0.9P A B ?，()=0.3P B A -，()=0.1P AB （二） 一、填空：1.a a b + 2. 32,55 3. 11260 4. 815 5. 16 二、计算： 1. （1）.4190 (2). 13 (3). 13 15 2. 11 ln 242+ 3. 391 81616 ；；（见教材第12页） 4. 111 1()k N N N --- 5. (1). 6121110987 112?????- (2). 2466 1112C ? (3). 61112- (4). 6 61112 （三） 一、填空：1. 0 2.0.9 3. 23 4. (1)(1)()(1) a a b b a b a b -+-++- 二、计算： 1. 1 4 2. （1）. 0.85 （2）. 0.941 3. 0.37（或 55149 ） 4. （1）. 0.192 （或23120） （2）. 0.391（或923 ） 5. （1）. 2990 （2）. 20 61 （四） 一、选择：1.D 2. B 3.C 4.B 二、计算： 1.(1) 2 3 (2) 11 2. 14 3. （1）. 4 0.9 （2）. 4 10.1- （3）4 3 0.90.40.9+? 三．证明。（略） 第二章参考答案: (一) 一. 填空 1. 31; 2. 0.95; 3. m n m m n p p C --)1(; 4. {}.,1,0,! == =-k k e k X P k λλ 二. 1.(1){};4,3,2,1,0,6 20 616 4===-k C C C k X P k k (2) {}.6,5,43,2,1,0,8.0)2.0(66，===-k C k X P k k k 2. {};,2,1,55.045.01 =?==-k k X P k {}.31 11 21 = =∑∞ =k k X P 3. 一、填空题(每题4分, 共20分) 1.某工厂每天分3个班生产，事件A i 表示第i 班超额完成生产任务(i =1,2,3)，则事件“恰好有两个班超额完成生产任务”可以表示为_____ 2.已知P (X =k )=! 1k C k λ- (k =1,2, )，其中>0，则C =________ 3.每次试验的成功率为P (0 0，P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B )，则( )成立 (A)P (A 1A 2)=0 (B)P (A 1∪A 2)=P (A 1)+P (A 2) (C)P (A 1B ∪ A 2 B )=P (A 1B )+P (A 2B ) 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； 概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章概率论的基本概念 § 1 .1随机试验及随机事件 1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T 出现的情形.样本空间是：S= ____________ ； (2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数样本空间是：S= _______________________； 2.(1)丢一颗骰子.A:出现奇数点，则 A_______ ; B: 数点大于2,贝U B= (2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，贝y A=______________ ； B:两次出现同一面，贝I」= ________ ; C : 至少有一次出现正面，则C= . § 1 .2随机事件的运算 1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表 示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A 与B都发生,而C不发生表示为：_____ 」 (3)A与B都不发生，而C发生表示 为： ___ J4)A 、B、C中最多二个发生表示为：. (5)A、B、C中至少二个发生表示 为： _______ * (6)A. B. C中不多于一个发生表 示为： _______ ? 贝［| 2* T§iS^{xiO 《概率论与数理统计》作业集及答案 概率论与数理统计（复旦第三版） 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示 1．设随机变量X 的概率分布为 X －3 0 1 5 0.1 0.2 0.3 0.4 k p 试求EX 。 答案与提示：2EX =。 2．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 0.1 k P p 0.4 0.2 求：（1）常数p ；（2）数学期望EX ；（3）方差。 DX 答案与提示：（1）由归一性，3.0=p ； （2）； 1.7EX =（3） 0.81DX = 3．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 0.3 0.5 k p p 求：（1）数学期望；（2）方差。 2)1(?X E 2)1(?X D 答案与提示：由归一性，2.0=p ； （1）； 2(1)0.E X ?=8 （2） 2(1)0.16D X ?=4．已知连续型随机变量X 的概率分布为 ???<<=其它,08 0,8/1)(x x f 求X 的数学期望。 答案与提示：4EX = 5．设随机变量X 服从拉普拉斯分布，其分布密度为 α β α /21)(??= x e x f ，0>α（+∞<<∞?x ）。 求X 的数学期望。 答案与提示：该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式。 EX β=。 6．设随机变量X 的概率密度为 ?? ? ??≤，可见A 仪器的测量误差要比B 仪器的测量误差大，故B 仪器要优良些。 10．设X 的概率分布为 ???≤>=?0 ,00 ,)(x x e x f x 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 一、选择题： 1．设X 的概率密度为201 ()0x x f x < 三、计算题： 1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求：（1）X 的分布律；（2）求X 的数学期望().E X 2．设随机变量X 的密度函数为0 ()0 x e x f x x -?≥=? 概率论与数理统计（复旦第三版） 习题三 答案 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：0，1. 222??222 ??2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：0，1，2. 24 7C 3 C 35= 2 4 7C 2C 35= 22 4 7C C 6C 35=1122 4 7C C 12C 35=12 4 7C 2C 35 = 2 4 7C 1C 35 = 2122 4 7C C 6C 35 =224 7C 3 C 35 = 3.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为 ππsin sin ,0,0(,)220,x y x y F x y ? ≤≤≤≤ ?=??? 其它 求二维随机变量(,)X Y 在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).=--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量(,)X Y 的分布密度 (34)e ,0,0 (,)0,x y A x y f x y -+?>>=? ? 其他 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量(,)X Y 的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞ +∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y x u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< (34)380102 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499.x y x y P X Y x y -+--<≤<≤=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24 (,)0,k x y x y f x y --<<< 《概率论与数理统计》习题及答案 第 三 章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1 1()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个 数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ??= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136 23423423424 = ??+??+??= ， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424 = ??+???+??=， 南昌大学2008?2009学年复习题 试卷编号：_______ ()卷课程编号：_____________ 课程名称：概率论 ______________ 考试形式： _______________ 适用班级：_____________ 姓名： ______________ 学号：_________ 班级：_____________ 考生注意事项：1、本试卷共4页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 -、填空题(每题4分，共20分) 1.设事件A，B仅发生一个的概率为0.3,且P(A) ? P(B) =0.5，则A,B至少有一 个不发生的概率为___________ . 2 2.设X服从泊松分布，若EX =6，则卩以")= ________________ . X2x, 0 ：： x ： 1, 心)=J 甘它' 一 3.设随机变量X的概率密度为?0,其它,现对X进行四次独立重 复观察，用丫表示观察值不大于0.5的次数，则EY2= _____________________________. P(A^1 4，P(B) =1 2 4.设A、B是两个随机事件，且 (1) ________________________________ 当A、B 互不相容时，P(AB)二 ________________________________________ ,P(A J B)二 ________ . (2) ___________________________________ 当A、B 互相独立时，P(A J B)二_________________________________________ ，P(A_B)= __________ 1丄1 F (x)= 一十—arcta n x. 5.已知随机变量X的分布函数为2「：贝S概率统计-习题及答案-(1)
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19概率论(复旦三版)习题五答案
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