概率论与数理统计练习册(内附答案)
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答
第一章 复习题
1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。 解：1）1n
i i A A ==
2）1
n
i i A =
3）11n
n i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 4）A B
2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 1
2
P ∴=
3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。 解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数
121
2()()
P A P A A A A =
当n 为奇数时：1111
11
1
2222()112n n n n n P A n n n n n ----+--=⋅+⋅=
-- 当n 为偶数时：11
22222()112(1)
n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=
---
4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。 解： 21
411
136
x S dx dy --==
⎰⎰ 13
13
6424
p ∴==
5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）
B －第二次比赛时拿到2只新球
1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅
2122344222225555950
C C C C C C C C =⨯+⨯=
6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产
的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；
（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。 解：i A －从第i 台机床加工的零件中取（i ＝1，2）
B －取一件合格品
1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅
21
0.970.980.97333
=⨯+⨯= 2）(
)()
11
1()|(|)0.741P A P B A P A B P B ⋅=
=-
7、已知某种产品的正品率是0.9，现使用一种检验方法，这种方法认正品为合格品的概率是0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求用这种方法检验为合格的一件产品确是正品的概率。
解：A －产品是合格品；B －产品被认为是合格品
()()()
0.9|0.98|0.05
P A P B A P B A ===
()()()
()()()()
||0.99
4||P A P B A P A B P A P B A P A P B A
=
=+
8、假设患肺癌的人中吸烟的占90％，不患肺癌的人中吸烟的占60％，假设患肺癌率为0.5％，求不吸烟的得肺癌的概率。 解：A －患上肺癌；B －吸烟者
()()()
0.005|0.9|0.6
P A P B A P B A ===
(
)()(
)()()()()
|0.0050.11
|0.0050.10.9950.4797||P A P B A
P A B P A P B A P A P B A ⨯=
==⨯+⨯+
9、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为0.4，现若干门炮同时射击，欲以99％的把握击中敌机，问至少要配置几门高射炮？ 解：由10.60.99n -≥解得10n ≥
10、一居民区间有6部户用电话，平均每小时每用户用6分钟，而且各用户是否用电话是相互独立的。求（1）刚好有2户用电话的概率；（2）至少有2户用电话的概率；（3）最多有2户用电话的概率。 解：A －用户使用电话
()61
6010
P A ==
1）()2
4
2
16191010P B C ⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2）()66
262
191010k k
k k P B C -=⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭∑
3）()62
360
191010k
k
k
k P B C -=⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭∑
第一章 自测题
1、 设在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立重复试验，则A 至少发生一次的概率是多少？事件A 至多发生一次的概率是多少？ 解：
()
()()
11
21111n
n
n p p p p np p -=--=-+-
2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一箱，再从这个箱子中取出一球，求这个球为白球的概率。若已知取出的一球为白球，此球属于第二个箱子的概率是多少？
解：i A －从第i 个箱子里取球；B －取到白球
()()()3
1
111315
53|353638120
i i i P B P A P A B ==⋅=⋅+⋅+⋅=
∑ ()()()
()
222|20
|53
P A P B A P A B P B ⋅=
= 3、设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次实验中出现的概率为多少？
解：()()319
1127P A --=
()1
3
P A ∴=
4、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解：i A －有i 件不合格品 ()()()
()()122
21111|4
P A A P A
P A A P A P A =
== 5、设工厂A 和工厂B 的次品率分别为1％和2％，现从由A 和B 的产品分别占60%he 40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是多少？
解：A －从A 厂中取；B －从B 厂中取；C －取到次品
()()()()(
)||0.60.01
0.4
0.020.14
0.14
P C P A P C A P B P C B =+
=⨯+⨯== ()()()()|3|7
p A P C
A P A C P C =
=
6、假设一批产品中一、二、三等品各占60％，30％，10％，从中任意取出一
件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是多少？
解：i A －取到i 等品（i ＝1，2，3） ()
(
)()
13133
0.62|0.9
3
P A A P A A P A =
==
7、设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求P （A ）。 解：由()()()()()()
P AB P A P B P AB P A P B ===
得到()()P A P B =
()()
()2
19
2
3
P A B P A P A ∴==
∴=
8、一射手对同一目标独立的进行4次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率。
解：设命中率为p ，则有()4
801181
p --=
23
p ∴=
9、设有来自三个地区的各10名，15名，和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。 （1）求先抽到的一份是女生表的概率；
（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。
解：i A －取第i 个地区；（i ＝1，2）；B －第i 份取到女生的报名表（i ＝1，2，3）
1）()()()3
11129
|90i i i P B P A P B A ==⋅=
∑ 2）()
()()
3
221
61|90
i i i P B P A P B A ==⋅=
∑ ()
()()
3
12121
|13717815202310931514325249
i i
i P B B P A P B B A ==⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∑
()
(
)()
12122
20|61
P B B P B B P B ∴=
=
10、设A 、B 、C 两两独立，证明A 、B 、C 相互独立的充要条件是A 与BC 独立。
证明：()()()()()()()()P A BC P ABC P A P B P C P A P BC ⇔⇔⇔
11、一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件不合格的概
率为1
1i P i =+，（i=1，2，3），以X 表示3个零件中合格品的个数，求P （X ＝2）.
解：i A －第i 个零件合格
()()()
12312312311
{2}24
P X P A A A P A A A P A A A ==++=
12、甲袋中有2个白球1个黑球，乙袋中有1个白球2个黑球，从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋任取1球放入甲袋，求甲袋中仍是2个白球1个黑球的概率。
解：A －从甲袋中取白球；B －从乙袋中取白球
()()()()()()()
||P AB A B P AB P A B P A P B A P A P B A ⋃=+=+
22137343412
=
⨯+⨯= 13、1架长机和2架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地非有无限电导航不可，而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且轰炸目标的概率均为0.3。在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一飞机被击落的概率为0.2，求目标被炸毁的概率。
解：A －长机到达目的地；i B －有i 台僚机到达目的地（i ＝0，1，2） C －目标被击毁
01201
2S A B A B A B A B
A B A B
=⋃⋃
⋃⋃⋃ 而()
|0i P C A B = （i ＝0，1，2） ()()()2
0|i i i P C P AB P C AB =∴=∑
()()()2
233
0.20.80.320.20.80.810.70.8
10.7
=⨯⨯
+⨯⨯⨯⨯-+⨯- 0.476
=
第二章 复习题
1、设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且密度函数相同，均为
1
cos ,0()22
0,
,x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 Y 表示1234,,,X X X X 中取值大于
3
π
的随机变量的个数，求()2P Y ≥。 解：311cos 3222i x P X dx πππ⎛
⎫≥== ⎪⎝
⎭⎰
Y ～14,2b ⎛⎫
⎪⎝⎭
()44
421121150.522k
k
k P Y -=⎛⎫
⎛⎫≥=-=-⨯ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
∑
2、向区间内随机投掷10个点，求区间（0.6，0.8）内至少有一个点的概率。 解：i X ～第i 个落点的坐标；Y ～落在指定区间的点的个数 i X ～U （0，1）；Y ～b （10，0.2） ()()()10
0.60.80.2
11010.8i P X P Y P Y <<=≥=-==-
3、设()~,,X μσσ2>0，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为0.5，求μ。 解：
()1640,4
440.5
440.5
40,4X X X P X P X P μμσσμμμσσσμμσ
∆=-<>--⎛⎫
>=>= ⎪⎝⎭
---⎛⎫⎛⎫
∴≤=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∴==
4、在电源电压不超过200伏、200～240伏、超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001、0.2，假设电源电压()2~220,25X ，求
1）、该元件损坏的概率； 2）、该电子元件损坏时，电源电压在220～240伏的概率
解：()200220420010.212255P X -⎛⎫⎛⎫≤=Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2402202002204200240210.576
25255P X --⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫
≤≤=Φ-Φ=Φ-= ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
()2402204
240110.212
255P X -⎛⎫⎛⎫≥=-Φ=-Φ=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1）A －元件被损坏
()10.2120.10.5760.0010.2120.20.642p P A ==⨯+⨯+⨯=
2）()()
()
2200240200240|0.009P X p P X A P A ≤≤=≤≤=
=
5、假设一长家生产的每台仪器以概率0.70可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定位不合格不能出厂。现该长生产了(2)n n ≥台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求 （1）全部能出厂的概率；
（2）其中恰有两件不能出厂的概率； （3）其中至少有两件不能出厂的概率。
解：A －产品为合格品；B －经调试后为合格品；C －产品可以出厂 X －可以出厂的产品数量
()()()()()()(
)|0.70.30.80.94
p P C P A B P A P AB P A P A P B A ==⋃=+=+=+⨯=
~(,0.94)X b n ∴
1）{}0.94n P X n ==
2）222{2}0.940.06n n P X n C -=-=⨯ 3）{2}1{}{1}P X n P X n P X n ≤-=-=-=-
1
10.9
40.940.06
n n n -=--⨯
6、某地抽样结果表明，考生的外语成绩X （百分制）近似服从正态分布2(72,)N σ，96分以上占考生总数的2.3％，求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率。
解：24{96}1{96}10.023P X P X σ⎛⎫
≥=-≤=-Φ= ⎪⎝⎭
12σ∴=
()12{6084}212110.682P X σ⎛⎫
<<=Φ-=Φ-= ⎪⎝⎭
7、设随机变量X 的概率密度为f(x)，求下列随机变量Y 的概率密度：
1）21
;2)||;3)Y Y X Y X X ===
解：1）()()111
{
}{}Y y
F y P y P X f x dx X y +∞=≤=≥=⎰ ()()2
11
0Y f y f y y y
⎛⎫∴=⋅≠ ⎪⎝⎭
当y ＝0时 ()1
{0}{0}0Y F y P P X X
=≤=≤= ()0Y f y ∴=
2）()(){}{}y
Y y
F y P X y P y X y f x dx -=≤=-≤≤=⎰
()()()()()()1Y f y f y f y f y f y
∴=---=+-
3）当0y >时 ()()2{}}Y
F y P X y y f
x d x
=≤=≤
()(
()())
Y f y f
f y f y f y
⎛⎫∴=-=-- ⎝
当y ＝0时 ()2{0}0Y F y P X =≤=
()0Y f y ∴=
8、假设随机变量X 在(1,2)上服从记＝均匀分布，试求随机变量2X Y e =的概率密度。
解：()~1,2X U ，()1
120
x f x <<⎧=⎨
⎩其它
()2{}{}X
F y P
Y y p e y =≤=≤
当20y e <<时 ()21
{}{}{ln }02X F y P Y y p e y P X y =≤=≤=≤=
当24e y e ≤<时()21
{}{}{ln }2
X F y P Y y p e y P X y =≤=≤=≤
1ln 21
1
1ln 12
y dx y ==-⎰
当4y e ≥时 ()21{}{}{l n }1
2X
F y P Y y p e y P X y =≤=≤=≤= ∴()24120e y e y
f y ⎧≤<⎪
=⎨⎪⎩
其它
9、假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明21X Y e -=+在区间(1,2),内服从均匀分布。
解：()2200
x
X e x f x -⎧>=⎨
⎩其它
,
()()()211l n (1)2x
F y P Y y
P e y p X y
-⎛⎫
=≤=+
≤
=≥--
⎪⎝⎭
()11ln 12X F y ⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
()()()()()
ln 1121121121
ln 1ln 1220y X e y y f y f y y -⎧'⋅<<⎪⎛⎫⎛⎫-∴=-----=⎨ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪
⎩
＝其它
即证
10、设随机变量X 的概率密度为(
)[1,8]0,x f x ∈=⎩
其他，求随机变量()
Y F X =的分布函数。
解：()2
1330
111
183
18
x x F x x dx x x x --∞<⎧⎪⎪
==-≤≤⎨⎪>⎪⎩
⎰
()()()()()
30010111
Y y F y P F x y P X y y
y y <⎧
⎪⎪
=≤=≤+=≤≤⎨⎪
>⎪⎩
第三章 复习题
一、
设Y 服从参数为λ的指数分布，令
10k Y k X Y k >⎧=⎨≤⎩
1,2k =
求1）()12,X X 的联合分布； 2）1X 在21X =下的条件分布。
解：()00
0y Y e y f y y λλ-⎧>=⎨≤⎩
1)、()()1
120
0,011y P X X P Y e dy e λλλ--===≤==-⎰
()120,10P X X ===
()()2
2121
1,012y P X X P Y e dy e e λλλλ---===<≤==-⎰
()()2122
1,12y P X X P Y e dy e λλλ+∞
--===>==⎰
2)、()()()
1211220,10|101P x X p P x X P X ======
==
()()()
1221221,11|111P x X p P x X P X ======
==
二． 设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ的泊松分布，每位乘客中途下车
的概率为p （0 解：1）、()()|1n m m m n P Y m X n C p p -===-（0≤m ≤n ） 2）、()! n e PX n n λ λ-== ()()()() ,|1! n n m m m n e P X n Y m P Y m X n P X n C p p n λ λ--∴=====⋅==- 三、设随机变量X ，Y 的联合分布是正方形(){},|13,13G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，试求U X Y =-的概率密度。 解：(){},|13,13G x y x y =≤≤≤≤ ()()1,,4 x y G f x y ⎧∈⎪ =⎨⎪⎩其它 ()()()() () 2||00||1 2 1,4202 4x y u u F u P X Y u u f x y dxdy u u -≤⎧ ⎪≤⎪⎪ =-≤=≥⎨⎪⎪=--<<⎪⎩⎰⎰ ∴()()1 20220u u f u ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它 四、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为p （0 定义10X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩ 为偶数 为奇数， 1）求Z 的分布率； 2）求X 与Z 的联合分布率； 3）p 为何值时，X 与Z 相互独立。 解：()()11P X P Y p ====；()()001P X P Y p ====- 1）()()()()2 211,10,01P Z P X Y P X Y p p ====+===+- ()()()2 201121P Z p p p p ==---=- 2）()()()0,00,11P X Z P X Y p p ======- ()()()2 0,10,01P X Z P X Y p ======- ()()()1,01,01P X Z P X Y p p ======- ()()21,11,1P X Z P X Y p ====== 3）由相互独立的定义得：()()()0,00P X P X P Z ==== 所以()()()1121p p p p p -⋅=-⋅- 解得12 p = 五、设(),X Y 的联合密度为 ()1 01,02 ,20x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 求X 与Y 中至少有一个小于1/2的概率。 解：1 22 00111222P X dx dy ⎛⎫<== ⎪⎝ ⎭⎰⎰ 1 1200111224P Y dx dy ⎛ ⎫<== ⎪⎝ ⎭⎰⎰ 11 22001111,2228P X Y dx dy ⎛ ⎫<<== ⎪⎝ ⎭⎰⎰ 1111111115,2222222488P X Y P X P X P X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎫<<=<+<-<<=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ ⎭或六、一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千 小时），已知X,Y 的联合分布函数为 ()()0.50.50.510,0,0x y x y e e e x y F x y -+--⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩ 其它 1）问X 、Y 是否独立？ 2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率。 解：1）()()0.5lim ,1x X y F x F x y e -→∞ ==- ()()0.5lim ,1y Y x F y F x y e -→∞ ==- 由()()(),X Y F x F y F x y ⋅=得两者相互独立 2）()2 10,0,4 0x y e x y f x y +-⎧≥≥⎪=⎨⎪⎩ 其它 ()20.10.11100,1004x y P X Y dx e dy + ∞ ∞ -≥≥=⎰⎰ 0.120.10.1 12x e dx e +∞ --=-=⎰ 七、已知随机变量1X 和2X 的概率分布为 1101~11 1424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 201~1122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 而且()1201P X X ==，求 1）()12,X X 的联合分布率； 2）问12,X X 是否对立？ 解：1）()1201P X X == ，()()12121,11,10P X X P X X ∴====-== ()()()11212111,01,14 P X P X X P X X =-==-=+=-== ()1211,04 P X X ∴=== （类似可以得到其它的概率分布） 2) ()()()12121 000,04 P X P X P X X =⋅==≠== 所以12,X X 不相互独立 八、设随机变量1234,,,X X X X 相互对立，且具有相同的分布率：()00.6i P X ==， ()10.4,1,2,3,4i P X i ===，求行列式123 4 X X X X X = 的概率分布。 解：1423X X X X X =- ()()( )()2 2 3 10.40.62 .40.60.1344 P X ==⨯+⨯⨯= ()10.1344 P X =-= ()()()011110.13440.13440.7312P X P X P X ==-=-=-=--= 九、设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从几何分布：()11,2,i P X i q p i -=== ， ()()11,2,,1,01j P Y j q p j q p p -====-<< ，求()max ,Z X Y =的分布率。 解：()()()(),,,P Z k P X k Y k P X k Y k P X k Y k ==<=+=<+== 111111 1111k k i k i k k k i i q p q p q p q p q p q p --------==⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∑∑ () 1221 21 121k k k q p q p q q --- -=+- ()112k k k pq q q --=-- 十、设二维随机变量(),X Y 在矩形区域(){},|02,01G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度()f s 。 解：()()()F s P S s P XY s =≤=≤ 1 120001102220s x s dy dx dx dy s ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩ ⎰⎰⎰⎰其它 ()1 l n 2l n 02 2 0s s s ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩ 其它 ()()1110220s f s F s s ⎧⎛⎫ -<<⎪ ⎪'==⎝⎭ ⎨⎪⎩ 其它 第三章 自测题 三、计算题 1、传送15个信号，每个信号在传递过程中失真的概率为0.06，每个信号是否失真相互独立，试求 1）恰有一个信号失真的概率； 2）至少有两个信号失真的概率。 解：记X 为15个信号中传递失真的个数，则X ～B （15，0.06） 1）()()()14 14 1 15 10.060.94150.060.94P X C ==⨯=⨯⨯ 2）、()()()()( ) 1 51 4210110.9 4150.060.94PX PX PX ≥=-=-==--⨯⨯ 2、某种型号晶体管的寿命X 的概率密度为 ()21000 10000 x f x x ⎧>⎪ =⎨⎪⎩其它 一台设备中装有此种晶体管3个，求在使用最初1500小时内 1）没有晶体管损坏的概率； 2）至少有一个晶体管损坏的概率P （假设晶体管损坏与否相互独立）。 解：()2150010002 15003 P X dx x +∞>== ⎰ 记X 为没有损坏的晶体管的个数，X ～b(3,2 3 ) 1)()3 3 283327P X C ⎛⎫ === ⎪⎝⎭ 2)()()819 21312727 p P X P X =≤=-==-= 3、测量误差X 服从2(7.5,10)N ,必须要测量多少次才能使至少有一次误差不超过10m 的概率大于0.9 解：()()107.51010P X -⎛⎫ <=Φ=Φ0.25 ⎪⎝⎭ 设测量次数为n ，由题意有()()0 110.9n n C --Φ0.25> ()() ln 0.1 ln 1n ∴> -Φ0.25 4、一信息同时经过三条信道独立的自A 传输到B ，假定这三条信道的传输时间 123,,X X X 都是随机变量，其概率密度分别为()()()123,,f t f t f t ，求信息最先到达 B 的时间的概率密度 解：记{}123min ,,Z X X X =， ()()()()()33 1 1 111i i i i F z P Z z P X z F z ===≤=-∏>=-∏- ()()()()()()()()()()()123213312z z z z z z f z F z f z f x dx f x dx f z f x dx f x dx f z f x dx f x dx +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ '∴==++⎰ ⎰ ⎰⎰ ⎰ ⎰ 5、将n 个球随机的放入标有1，2…n 的n 个盒子中去，每个盒子撞球的个数不限，设有球的盒子的最大标号为X ，求X 的分布率 解：样本空间的样本点个数：n n 事件所含的样本点个数：()1n n k k --，即n 个球放到k 个盒子中的样本点个 数除掉n 个球放到k-1个盒子中的样本点个数。 ()() 1n n n k k P X k n --∴== 6、已知随机变量X 的分布函数()X F x 单调连续，求()Y F X =的概率密度 解：()()()()()()()11P Y y P F X y P X F y F F y y --≤=≤=≤== ()1Y f y ∴= 7、随机变量X 与Y 相互独立，其中X 的概率分布为1 2~0.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，而Y 的概率 密度为()f y ，求随机变量U ＝X+Y 的概率密度()g μ 解：()()P U P X Y μμ≤=+≤ ()()()()()() 11220.30.7Y Y P X P Y P X P Y F F μμμμ==≤-+=≤-=-1+-2 ()()() 0.310.72g f g μμμ∴=-+- 第四章 复习题 1、设X 的密度函数为( )2 2 2x f x - =，不作积分计算出DX 解：由( )2 2 2x f x - = ()~0,2 2 X N DX ∴∴= 2、独立的抛n 次硬币，用Y 表示正面出现的次数，X 表示反面出现的次数，求X 与Y 的相关系数 解：1 XY X Y n ρ+=∴=- 3、在长为a 的线段上任意取两点12,M M 长度的数学期望。 解：设()() 1212,,||||M M X Y M M X Y ==- ( )2 10,0,0 x a y b f x y a ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 2001|| ||3 x a y b a E X Y x y dxdy a ≤≤≤≤∴-=-⋅=⎰⎰ 4、将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一 只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求EX 。 解：10i i i X i i ⎧=⎨⎩ 第只球放在第只盒子中 第只球没有放在第只盒子中 1 n i i X X ==∑ 表示所有配对的个数 ()()11101i i P X P X n n ====- 1 i EX n ∴= 1 1 1n i i EX EX n n =∴==⨯ =∑ 5、设X 为随机变量，C 是常数，证明()2 DX E X c <-，对于C EX ≠。 解：()()()() 2 2 2222E X c DX E X cX c EX EX --=-+-- ()()22 20EX cEX EX c =-=-> ()2 DX E X c ∴<- 6、设(),X Y 有密度函数()1,01 ,0y x x f x y ⎧<<<⎪=⎨⎪⎩其它 ，求(),E X E Y X Y ，，cov 。 解：记(){},|||,0D x y y x x =<<<+∞ ()1 02 ,3 x x D E X x f x y d x d y x d x d y -∴== =⎰⎰⎰⎰ (),0D EX yf x y dxdy ∴==⎰⎰ (),0D EXY xyf x y dxdy ∴==⎰⎰ (),0Cov X Y EXY EX EY ∴=-⋅= 7、自动生产线在调整正常情况下生产出废品的概率为p ，在出现一个废品后 立即进行调整，求在第一次调整后第二次调整前所生产的平均产品数。 解：设第一次调整后与第二次调整前生产的产品数为X ， 则：()() 1 1k P X k p p -==- () () ( ) ()1 00 01111 k k k k k k EX k p p p p p p p ∞ ∞ ∞-==='' ⎛⎫ ∴=-=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎝⎭= ∑∑∑ 8、已知(),X Y 协方差矩阵为1114⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，求12X Y ξ=-与22X Y ξ=-的相关系数。 解：()1,4,,1DX DY Cov X Y === ()()12,2,2Cov Cov X Y X Y ξξ∴=-- ()()1244,13D D X Y D X D Y C o v X Y ξ∴=- =+- = () ()2244,4 D D X Y D X D Y C o v X Y ξ∴=-=+-= 第一章 概 率论的基本概念 一、选择题 1．将一枚硬币连抛两次,则此随机试验的样本空间为 A ．{正,正,反,反,一正一反} B.{反,正,正,反,正,正,反,反} C ．{一次正面,两次正面,没有正面} D.{先得正面,先得反面} 2.设A,B 为任意两个事件,则事件AUB Ω-AB 表示 A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生 3．设A,B 为随机事件,则下列各式中正确的是 . A.PAB=PAPB B.PA-B=PA －PB C.)()(B A P B A P -= D.PA+B=PA+PB 4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是 . A.PA －B=PA －PAB B.PAB=PBPA|B,其中PB>0 C.PA+B=PA+PB D.PA+P A =1 5.若φ≠AB ,则下列各式中错误的是 . A ．0)(≥A B P B.1)(≤AB P C.PA+B=PA+PB D.PA-B ≤PA 6.若φ≠AB ,则 . A. A,B 为对立事件 B.B A = C.φ=B A D.PA-B ≤PA 7.若,B A ⊂则下面答案错误的是 . A. ()B P A P ≤)( B. ()0A -B P ≥ C.B 未发生A 可能发生 D.B 发生A 可能不发生 8.下列关于概率的不等式,不正确的是 . A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若 C.12 12(){}n n P A A A P A A A ≤++ + D.∑==≤n i i n i i A P A P 1 1 )(}{ 9.(1,2,,)i A i n =为一列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的 是 . A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===n i i n i i A P A P 1 1)()( B.若诸i A 相互独立,则11 ()1(1())n n i i i i P A P A ===--∑∏ C.若诸i A 相互独立,则1 1 ( )()n n i i i i P A P A ===∏ D.)|()|()|()()(1231211 -=Λ=n n n i i A A P A A P A A P A P A P 10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是 . A.2 1 B. b a +1 C. b a a + D. b a b + 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则 A.先抽者有更大可能抽到第一排座票 B.后抽者更可能获得第一排座票 C.各人抽签结果与抽签顺序无关 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A 2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A 365 B 364 C 363 D 36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 A )(1)( B P A P -= B )()()(B P A P AB P = C 1)(=+B A P D 1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为⎩ ⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EX A 21 B1 C2 D 4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是 A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 01)(2 x x x x x F C +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 D +∞<<∞-+ =x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度 )(y f Y 为 A )2(2y f X - B )2(y f X - C )2 (21y f X -- D )2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 6 1818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 8 3 C 4 1 D 3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则 =-)2(Y XY E A3 B6 C10 D12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是 A X 与Y 相互独立 B X 与Y 不相关 C 0),cov(=Y X D DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ 概率论与数理统计 第一部份 习题 第一章 概率论基本概念 一、填空题 1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。 2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。 4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。 5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。 6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。 8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。 10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。 11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。 12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。 13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。 14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。 15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。 16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。 17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。 第一章 随机事件及其概率 练习： 1. 判断正误 （1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。（B ） （2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。（B ） （3）事件的对立与互不相容是等价的。（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。（B ） （5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。 （B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别， {()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P {}1 =3 两个女孩。 （B ） （8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。（B ） （9）n 个事件若满足,,()()() i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互 独立。（B ） （10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A ） 2. 选择题 （1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则© A. A 与B 互斥 B. AB 是不可能事件 C. AB 未必是不可能事件 D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” （4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设 (),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B) A. ()a c c + B . 1a c +- C. a b c +- D. (1)b c - （6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B) A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 《概率与数理统计》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有 习题 【说明】：本课程《概率与数理统计》（编号为01008）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、计算题1 1.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。 (1) A出现，B、C不出现； (2) A、B都出现，而C不出现； (3) 所有三个事件都出现； (4) 三个事件中至少一个出现； (5) 三个事件中至少两个出现。 2.在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。试用样本点表示下列事件： （1）AB；（2）A+B；（3）B；（4）A-B；（5）BC 3.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果； （2）对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数； （3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。 4.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生； （2）A，B，C都发生； （3）A，B，C中不多于一个发生。 5.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。试用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）至少有一人命中目标 （2）恰有一人命中目标 （3）恰有二人命中目标 （4）最多有一人命中目标 （5）三人均命中目标 6. 袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。 7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是 0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。 8. 某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，…，9 中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。 9. 同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出 现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。 10. 一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第 一次为次品，第二次为正品的概率。 11. 设连续型随机变量X 的分布函数为 ?? ?? ?≤>+=- 00)(2 2 x x Be A x F x 求（1）系数A 及B ；（2）X 的概率密度()f x ；（3）X 的取值落在（1，2）内的概率。 12. 假设X 是连续随机变量，其密度函数为 2 ,02 ()0,cx x f x ?< 概率论与数理统计课后习题集及解答 第一章 随机事件和概率 一. 填空题 1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解. )(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=- =)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.07 2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______. 解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B 51 1)()()()()|(2 10 2 621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-< <为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率 与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4 π 的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则 121)),((2==∈a k D Y X P π, k 为比例系数. 所以22a k π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4 π 的区域} π ππ121)2141(2)),((222 11+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______. 解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1 《概率论与数理统 计》 同步练习册 学号＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿ 专业＿＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿＿ 广东省电子技术学校继续教育部 二O一O年四月 练习一 一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示 3．设X～B 概率论与数理统计 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,k P X k A k ===??? 则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则 a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21 455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩ ⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答 第一章 复习题 1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。 解：1）1n i i A A == 2）1 n i i A = 3）11n n i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣ ⎦ 4）A B 2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。 解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 1 2 P ∴= 3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。 解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数 121 2()() P A P A A A A = 当n 为奇数时：1111 11 1 2222()112n n n n n P A n n n n n ----+--=⋅+⋅= -- 当n 为偶数时：11 22222()112(1) n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅= --- 4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。 解： 21 411 136 x S dx dy --== ⎰⎰ 13 13 6424 p ∴== 5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。 解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2） B －第二次比赛时拿到2只新球 1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅ 2122344222225555950 C C C C C C C C =⨯+⨯= 6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产 的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率； （2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。 解：i A －从第i 台机床加工的零件中取（i ＝1，2） B －取一件合格品 1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅ 21 0.970.980.97333 =⨯+⨯= 2）( )() 11 1()|(|)0.741P A P B A P A B P B ⋅= =- 7、已知某种产品的正品率是0.9，现使用一种检验方法，这种方法认正品为合格品的概率是0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求用这种方法检验为合格的一件产品确是正品的概率。 解：A －产品是合格品；B －产品被认为是合格品 ()()() 0.9|0.98|0.05 P A P B A P B A === 练习题 1、设随机变量)6.0,10(b ~X ，则2 2 [()][(X)] D X E = ； 2、假设随机变量*的分布未知，但2 ,EX DX μσ==,则*落在区间(2,2) μσμσ-+的概率必不小于_________ 3、设ˆˆ(,......)12 X X X n θ θ=是未知参数θ的一个估计量，满足条件_________ 则称ˆθ θ是的无偏估计。 4. 设*,Y 为随机变量，且D (*+Y )=7, D(*)=4, D(Y)=1，则相关系数XY ρ= 5. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且(1,2, ,)=i X i n 都服从区间[0，1]上的均匀分布， 则当n 充分大时，∑== n i i n n X Y 1 1 近似服从〔写出具体分布与参数〕 6．设(,)X Y 服从区域2 2 2 :G x y R +≤上的均匀分布，其概率密度为： 222 (,)0 C x y R f x y ⎧+≤=⎨ ⎩其它 ，则C=〔 〕； (A) 2 R π ； (B) 2 1R π； (C) R π2； (D) R π21 。 7．设 ,......12X X X n 为相互独立的随机变量，且2 (,())E X D X i i μσ ==〔1,2......i n =〕，11 n X X i i n ∑= =，则DX =〔 〕 (A) 2 n σ (B) 2 n σ (C) n σ (D) 22n σ 8．设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验，A 发生了*次则正确的选项是：〔 〕 (A) ()()2 1p p X E -= ； (B) ()E X np = ； (C) (1)DX np p =- ； (D) 2 DX p p =-。 9．设随机变量X 和Y 不相关，则以下结论中正确的选项是〔 〕 A ． X 与Y 独立； B. ()D X Y DX DY -=+； 概率论与数理统计练习册答案 第一章概率论的基本概念 一、选择题 4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容. 5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=. 6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于 1 1 1 1 1 ()1()1()1()1(1())n n n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏ 9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为() ()() N A P A N = Ω. 10.答案：（A ） 解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结 论可知365365 !()365365r r r r C r P P A ?= =，故365 ()1365 r r P P A =-. 12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”， 说明AB C ?， 故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤. 13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知 2()()()1() ()()1()() ()(1())()(1()()()) 1 ()(1()) ()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+= =-?-+--+=-?-+--+=2(())()()() P B P AB P A P B -?= 故A 与B 独立. . 16.答案：（B ）解：所求的概率为 ()1() 1()()()()()()() 11111100444161638 P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ） 解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱” 1.2.3i =，则由全概率公式知 112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120 P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=. 概率论与数理统计-学习指导与练习册习题答案 习题一 一． 填空题 1．ABC 2、50⋅ 3、20⋅ 4、60⋅ 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、3 2 1 A A A B 、3 2 1A A A ⋃⋃ C 、3 21321321A A A A A A A A A ⋃⋃ D 、 3 21321321321A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃ 2．解 ) ()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃=8 5 812141=-+ 8 3)()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(= -=AB P AB P 2 1)()()])([(= -⋃=⋃AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为 5314 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ =85 5．解：（1）n N n A P !)(= （2） n n N N n C B P ! )(= 、 （3）n m n m n N N C C P --= )1()( 习题二 一． 填空题 1．0．8 2、50⋅ 3、32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1， 2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +) /()(33A B P A P + =83.065.05 185.0529.052=⨯+⨯+⨯《概率与数理统计》练习册及答案
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