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概率练习册答案

班级学号姓名

（十七）随机事件及概率

1、投掷一粒骰子的试验，我们将＂出现偶数点＂称为（ D ）

A 、样本空间

B 、必然事件

C 、不可能事件

D 、随机事件

2、事件B A ,互为对立事件等价于（ D ）

A 、

B A ,互不相容 B 、B A ,相互独立

C 、Ω=+B A

D 、Φ=Ω=+AB B A 且

3、设B A ,为两个事件，则__

B A AB +＝（

C ）

A 、不可能事件

B 、必然事件

C 、A

D 、B A + 4、B A ,为两事件，若()4.0)(,2.0)(,8.0__===+B P A P B A P ，则（ B ）

A 、32.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛

B A P B 、2.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛B A P

C 、4.0)(=AB P

D 、48.0)(____=AB P 因为：2.08.01)(1)(1)(=-=+-=-=B A P B A P B A P

5、当__A 与__B 互不相容时，=+)(______

B A P （

C ）

A 、)(1A P -

B 、)()(1B P A P --

C 、0

D 、)()(____B P A P 因为：0)Φ()()(===+P B A P B A P

6、设有10个产品，其中3个次品，7个正品，现从中任取4个产品，则取到的4个产品都是正品的概率为（ C ） A 、107 B 、44107 C 、410

47C C D 、1074⨯ 7、设C B A ,,为三个事件，试用这三个事件表示下列事件：

（1）C B A ,,三个事件至少有一个发生；（2）A 不发生，B 与C 均发生；

（3）C B A ,,三个事件至少有2个发生；（4）C B A ,,三个事件中恰有一个发生；

（5）A 发生，B 与C 都不发生。

解：（1）A+B+C ；（2）BC A ；（3）AB+AC+BC ；（4）C B A C B A C B A ++；

（5）C B A 。

8、随机抽检三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”；B 表示“三件中至少有两件是废品”；C 表示“三件都是废品”。问A 、B 、C 、A ＋B 、A C 各表示什么事件？解：A 表示“三件都是正品”；

B 表示“三件中至少有两件是正品”；

C 表示“三件中至少有一件是正品”；

A ＋

B ＝A 表示“三件中至少有一件是废品”；

A C ＝C 表示“三件都是废品”。

9、从52张扑克牌中任意取出13张来，问有5张黑桃、3张红心、2张方块、3张草花的概率是多少？

解：设 A = “5张黑桃、3张红心、2张方块、3张草花”事件。则 P(A) =1352

313213313513C C C C C 10、已知某射手射击一次中靶6环、7环、8环、9环、10环的概率分别为0.19、0.18、0.17、0.16、0.15，该射手射击一次，求

（1）至少中8环的概率；

（2）至多中8环的概率。

解：用A 、B 、C 、D 、E 分别表示射手射击一次中靶6环、7环、8环、9环、10环事件，则A 、B 、C 、D 、E 互不相容。

（1）至少中8环的概率为：P （C ＋D ＋E ）＝P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.48；

（2）至多中8环的概率为：1－P(D+E)＝1－（P(D)+P(E)）＝0.69。

11、现有10个人分别佩戴从1号到10号的纪念章，从中任选3个人，记录其纪念章的号码。求（1）求最小号码是5的概率；（2）求最大号码是5的概率；（3）求中间号码是5的概率；（4）求正好有一个号码是5的概率；（5）求没有一个号码是5的概率。

解：（1）12131025=C C ；（2）20131024=C C ；（3）613101514=C C C ；（4）10

331029=C C ；（5）10

731039=C C

班级学号姓名

（十八）条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

1、设B A ,为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是（ A ）

A 、)()(A P

B A P =+ B 、)()(A P AB P =

C 、)()/(B P A B P =

D 、)()/(A P B A P =

2、随机事件B A ,满足8.0)/(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P +。解：)()()()(AB P B P A P B A P -+=+

7.08.05.06.05.0)/()()()(=⨯-+=-+=A B P A P B P A P

3、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求)(),/(),/(B A P A B P B A P +。

解：已知：154)(=

A P ，157)(=

B P ，101)(=AB P ，从而有： 143157101)()()/(=÷==B P AB P B A P 8

3154101)()()/(=÷==A P AB P A B P )()()()(AB P B P A P B A P -+=+30

19101157154=-+= 4、10个考签中有4个难签，3人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先、乙次、丙最后，证明3人抽到难签的概率相等。

解：用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙抽到难签，则有：52104)(==A P ，5

3106)(==⇒A P

))(()()(A A B P BS P B P +==)()()(A B P BA P A B BA P +=+=

)/()()/()(A B P A P A B P A P +=5

294539352=⋅+⋅=，53521)(=-=⇒B P )()())(()()(B C P CB P B B C P CS P C P +=+==

)/()/()()/()/()()

/()/()()/()/()()

()()()()))

((()))((())

(())((B A C P A B P A P B A C P A B P A P B A C P A B P A P AB C P A B P A P A B C P A B C P A CB P CBA P A A B C P A A B C P S B C P BS C P +++=+++=+++=+=

2849553839652839453829352=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 5、已知15.0)(,45.0)(,20.0)(===AB P B P A P ，求（1）)(),(),(B A P B A P B A P ；

（2）)(),(),(B A P B A P B A P +++；（3）)/(),/(),/(B A P A B P B A P 。解：（1）05.015.020.0)()()(=-=-=AB P A P B A P ，

30.015.045.0)()()(=-=-=AB P B P B A P ，

5.015.045.02.01)()()(1)(1)()(=+--=+--=+-=+=AB P B P A P B A P B A P B A P ；

（2）50.015.045.020.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P ，

95.030.045.080.0)()()()(=-+=-+=+B A P B P A P B A P ， 85.050.055.080.0)()()()(=-+=-+=+B A P B P A P B A P 。

（3）3145.015.0)()()/(===B P AB P B A P ，4

320.015.0)()()/(===A P AB P A B P 11

155.005.0)()()/(===B P B A P B A P 6、为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效率分别为0.92和0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求：

（1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率；

（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解：用A 、B 分别表示事件“报警系统A 、B 有效”，则有：

92.0)(=A P ，93.0)(=B P ，85.0)/(=A B P

068.085.008.0)/()()(=⨯==A B P A P B A P

862.0068.093.0)()()()(=-=-=-=A B P B P A B B P AB P

（1）988.0862.093.092.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P

（2）35

2907.0058.007.0862.092.0)(1)()()()()/(==-=--==B P AB P A P B P B A P B A P 7、在秋菜运输中，某汽车可能到甲、乙、丙三地去拉菜。设到此三处拉菜的概率分别为0.2，0.5，0.3，而在各处拉到一级菜的概率分别为0.1，0.3，0.7。求

（1）求汽车拉到一级菜的概率；

（2）已知汽车拉到一级菜，求该车菜是乙地拉来的概率。

解：用A 、B 、C 分别表示汽车到甲、乙、丙地去拉菜的事件，用D 表示一级菜，则有：P(A)=0.2，P(B)=0.5，P(C)=0.3，P(D/A)=0.1，P(D/B)=0.3，P(D/C)=0.7。

（1）利用全概率公式：P(D)=P(AD+BD+CD)=P(AD)+P(BD)+P(CD) =P(A)P(D/A)+P(B)P(D/B)+P(C)P(D/C)

＝0.2×0.1＋0.5×0.3＋0.3×0.7＝0.38

（2）利用贝叶斯公式

3947.038

1538.03.05.0)()/()()()()/(≈=⨯===D P B D P B P D P BD P D B P

（十九）事件独立性

1、设8.0)/(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，则下列结论正确的是（ C ）

A 、事件

B A ,互不相容 B 、B A ⊂

C 、事件B A ,相互独立

D 、)()()(B P A P B A P +=+

2、已知3.0)(,4.0)(==B P A P

（1）当B A ,互不相容时，=+)(B A P 0.7 ，=)(AB P 0 。

（2）当B A ,相互独立时，=+)(B A P 0.58 ，=)(AB P 0.12 。

（3）当A B ⊂时，=+)(B A P 0.4 ，=)(AB P 0.3 。

3、棉花方格育苗，每格放两粒棉籽，棉籽的发芽率为0.90，求（1）两粒同时发芽的概率；（2）恰有一粒发芽的概率；（3）两粒都不发芽的概率。

解：用A 、B 分别表示第一粒、第二粒棉籽发芽事件，则A 与B 相互独立，且P(A)=0.90＝P(B)，从而有：

（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.9＝0.81；

（2）18.0)()()()()()(=+=+B P A P B P A P B A P B A P

（3）01.0)()()(==B P A P B A P

4、甲、乙两人向同一个目标射击，击中目标的概率分别为0.7、0.8。两人同时射击，并假定击中与否是独立的。求（1）两人都中靶的概率。（2）甲中乙不中的概率。（3）甲不中乙中的概率。（4）目标被击中的概率。

解：用A 、B 分别表示甲、乙射击击中目标事件，则A 、B 相互独立，且

P(A)=0.7，P(B)=0.8，从而有：

（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.56；

（2）14.02.07.0)()()(=⨯==B P A P B A P

（3）24.08.03.0)()()(=⨯==B P A P B A P

（4）P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.7＋0.8－0.7×0.8＝0.94

5、一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在一小时内，求（1）三台机床都不需要工人看管的概率；（2）三台机床中最多有一台需要工人看管的概率。

解：用A 、B 、C 分别表示第一、第二、第三台机床不需要工人照管的事件，则

A 、

B 、

C 相互独立，且P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.7。从而有：

(1) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.8×0.7＝0.504； 902

.03

.08.09.07.02.09.07.08.01.07.08.09.0)()()()()()()()()()()()()

()()()()

()2(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=+++=+++C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P C AB P C B A P BC A P ABC P C AB C B A BC A ABC P 。

6、三个人独立地破译一个密码，他们译出的概率分别为0.6，0.7，0.8，问此密码能译出的概率为多少？

解：用A 、B 、C 分别表示三人单独破译密码事件，则A 、B 、C 相互独立，且 P(A)=0.6，P(B)=0.7，P(C)=0.8，从而有：

)(1)(C B A P C B A P ++-=++)()()(1)(1C P B P A P C B A P -=-=

976.0024.012.03.04.01=-=⨯⨯-=

或P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.6＋0.7＋0.8－0.6×0.7－0.6×0.8－0.7×0.8＋0.6×0.7×0.8

=0.976

(二十)习题课（自测题）

一、选择题：（每小题3分，共15分）

1、设C B A ,,表示三事件，则__

____C B A 表示（ B ）

A 、C

B A ,,中有一个发生 B 、

C B A ,,都不发生

C 、C B A ,,中不多于一个发生

D 、C B A ,,中恰有两个发生

2、设事件C B A ,,互不相容，0)(,0)(>>B P A P 则（ C ）

A 、1)(=+

B A P B 、)()()(B P A P AB P =

C 、0)(=AB P

D 、0)(>AB P 3、B A ,为两事件，若()4.0)(,2.0)(,8.0__===+B P A P B A P ，则（ B ）

A 、32.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛

B A P B 、2.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛B A P

C 、4.0)(=AB P

D 、48.0)(____=AB P 4、当__A 与__B 互不相容时，=+)(______

B A P （

C ）

A 、)(1A P -

B 、)()(1B P A P --

C 、０

D 、)()(____B P A P

5、甲、乙、丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别为0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为（ A ）

A 、0.94

B 、0.92

C 、0.95

D 、0.90

二、填空题：（每小题3分，共15分）

1、“C B A ,,三个事件中至多发生两个”此事件可表示为 C B A ++

2、事件B A ,互不相容，且3.0)(,4.0)(==B P A P ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛____B A P 0.3 。

3、已知事件B A ,相互独立，且()b A P a B A P ==+)(,，则)(B P ＝

b a --1

4、将)()()(),(),(B P A P AB P B A P A P ++和从小到大用不等号联系为

)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤+≤≤

5、B A ,为两事件，如果0)(>A P ，且)()/(B P A B P =，则A 与B 相互独立

三、判断题：（每小题2分，共20分）

1、A 与Φ互不相容。（ √）

2、Ω与Φ对立。（ √ ）

3、若Ω=+B A ，则1)()(=+B P A P 。（ × ）

4、)(2)(A P A A P =+。（ × ）

5、若Φ=AB ，则Φ=__

B A 。（ × ）

6、B B A B A +=+__。（ √ ）

7、____B A B A +=。（ × ）

8、()A B A AB =⎪⎭⎫ ⎝⎛__。（ × ） 9、若B A ⊂，则AB A =。（ √ ）

10、若B A ⊂，则____B A ⊃。（ √ ）

四、计算题：（共50分）

1、一个口袋中有5个红球及2个白球。从这袋中任取一球，看过它的颜色后就放回袋中，然后，再从这袋中任取一球。求：

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；（3分）

（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率；（3分）

（3）两次取到的球为红、白各一的概率；（3分）

（4）第二次取到红球的概率。（3分）

解：用2,1,=i A i 表示第i 次取到红球，根据题意知：21,A A 相互独立，从而有：

（1）49

257575)()()(2121=⋅==A P A P A A P ；

（2）49

107275)()()(2121=⋅==A P A P A A P ；（3）)()()(21212121A A P A A P A A A A P +=+ )()()()(2121A P A P A P A P += 49

2075727275=⋅+⋅=；（4）)()()()(212121212A A P A A P A A A A P A P +=+=)()()()(2121A P A P A P A P += 7

575727575=⋅+⋅=； 2、一部小说，分上、中、下三册。今随机地并排放在书架上，问从左至右或从右至左恰好按上、中、下排列的概率为多少？（5分）

解：3

162==P 3、一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率。（5分）

解：用3,2,1,=i A i 表示第i 次取到合格品，则有： 10789989099910010)

/()/()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P

4、已知5

1)(,74)/(,31)/(===AB P A B P A B P ，求)(),(B P A P （8分）解：∵⇒=31)/(A B P 3

2)/(=A B P ∴3.0)/()()(==A B P AB P A P ； ∵⇒==7

4)/(7.0)(A B P A P 4.0747.0)/()()(=⨯==A B P A P B A P ∴6.04.02.0)()()()(=+=+=+=B A P AB P B A AB P B P

5、设一个仓库中有10箱同样规格的产品，已知其中有5箱是甲厂生产，其次品率为101；3箱是乙厂生产，其次品率为15

1；2箱是丙厂生产，其次品率为20

1。现从10箱中任取1箱，再从取得的箱子中任取一个产品。（1）求取到正品的概率；（4分）

（2）若抽到的产品是正品，求所抽到的箱子是甲厂生产的概率。（4分）

解：用A 、B 、C 分别表示产品是甲、乙、丙厂生产的，D 表示产品是正品，则

有：P(A)=0.5，P(D/A)=9/10；P(B)=0.3，P(D/B)=14/15；P(C)=0.2，P(D/C)=1/20。

（1）P(D)=P(AD+BD+CD)=P(A)P(D/A)+P(B)P(D/B)+P(C)P(D/C)

＝0.5×(9/10)+0.3×(14/15)+0.2×(19/20)＝0.45+0.28+0.19＝0.92；（2）P(A/D)=P(AD)/P(D)=[P(A)P(D/A)]/P(D)＝[0.5×(9/10)] /0.92＝45/92 6、甲乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮三次，求（1）两人进球数相等的概率；（6分）（2）甲比乙进球数多的概率。（6分）

解：用)3,2,1,0(=i A i ，)3,2,1,0(=i B i 分别表示甲、乙两人三次投篮中命中

)

3,2,1,0(=i i 球的事件，且

)

3,2,1,0(3.07.0)(33=⋅=-i C A P i i i

i ，

)3,2,1,0(2.08.0)(33=⋅=-i C B P i i i

i ，3210,,,A A A A 互不相容，3210,,,B B B B 互不相

容，)3,2,1,0,3,2,1,0(,==j i B A j i 相互独立，则有：（1）)(33221100B A B A B A B A P +++

)()()()(33221100B A P B A P B A P B A P +++=

)()()()()()()()(33221100B P A P B P A P B P A P B P A P +++=

()()()[][

]

)

8.0()7.0()]2.0()8.0(3[)]3.0()7.0(3[2.08.033.07.032.03.0⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=

＝0.000216+0.018144+0.169344+0.175616＝0.36362. （2）)(231303120201B A B A B A B A B A B A P +++++

)

()()()()()(231303120201B A P B A P B A P B A P B A P B A P +++++=

)

()()()()()()()()()()()(231303120201B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P +++++=

()()()[

]

[

])]

2.0()8.0(3[)7.0(])2.0()8.0(3[)7.0()2.0()

7.0()

2.0(8.03)]

3.0()7.0(3[)2.0(3.0)7.0(32.03.0)7.0(323233

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

=0.001512+0.003528+0.042336+0.002744+0.032928+0.131712

＝0.21476.

班级学号姓名

（二十一）离散型随机变量及其分布

1、以下选项中，可以作为离散型随机变量的分布列的是（ D ）

A 、2.05.02.04.04

321P ξ

B 、

313131314321p ξ C 、()()()()5734733732737

54321

D 、2

21p

2、若)(x F 是某随机变量的分布函数，则（ B ） A 、0

)(lim =+∞

>-x F x B 、

)(lim =+∞

>-x F x

C 、

)(lim =-∞

>-x F x D 、

)(lim =∞

>-x F x

3、抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有2枚正面向上的概率为（ D ） A 、0.5 B 、0.25 C 、0.125 D 、0.375

4、设随机变量ξ的分布列为3,2,1,6

)(==

=k k

k P ξ，求（1）分布函数；（2）)2();35.1();3();2();1(>≤≤≤>=ξξξξξP P P P P 解：当1<ξ时，0)(=ξF ；当21<≤ξ时，61)(=ξF ；

当32<≤ξ时，

)(=ξF ；当ξ≤3时，

)(=ξF 。即：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧≥<≤<≤<=3

132,212

1,6

1,0)(x x x x x F

)1(==ξP ；

)2(=>ξP ，1)3(=≤ξP ，

)35.1(=≤≤ξP ，6

)2(=>ξP

5、在一汽车通行道上，沿路有四盏红绿信号灯，设每盏灯各以0.5的概率允许或禁止汽车通行。求该汽车前进时沿路通过的红灯数ξ的分布。解：由已知可知ξ～B(n,p). ξ

ξ 0 1 2 3 4

i p 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16

6、设离散型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<<∞-=31

318.0106.0013.010

)(x x x x x x F ，（1）求ξ

的分布列；（2）求)3(),11(),21

2(<≤<-<<-ξξξP P P 。

解：（1）ξ的分布列为：

.02.03.03.03

101P

-ξ

（2）6

.0)2

2(=<<-ξP 5.0)11(=≤≤-ξP

8.0)3(=<ξP

7、某类灯泡使用时数超过1000小时的概率为0.2，现有3个这种类型的灯泡。求（1）在使用1000小时以后坏了的个数ξ的分布列及分布函数；（2）在使用1000小时以后，最多只坏一个的概率。

解：（1）ξ的分布列为：

2238.08.02.038.02.032.032

0⋅⋅⋅⋅P

104.0)1(=≤ξP

（2）⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3132488.021104.010008.000

)(x x x x x x F

班级学号姓名

（二十一）连续型随机变量及其概率密度

1、设)(x p 为随机变量ξ的密度函数，则有（ C ） A 、1)(0≤≤x p B 、)()(x p x P ==ξ C 、0)(≥x p D 、1)(0

=⎰

+∞dx x p

2、若ξ~()1,0N ，其密度函数为)(x ϕ，则)0(ϕ等于（ D ） A 、0 B 、

C 、1

D 、π

21 3、设ξ的密度函数为⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-<≤=其它

02121

0)(x x

x x

x p ，（1）绘出密度曲线；（2）求)3(),21(),10(<<<-<<ξξξP P P ；（3）求ξ的分布函数。

解：（1）略（2）5.0)()10(1

===

<<⎰⎰

xdx dx x p P ξ；

1)2(0)()21(2

=-++==<<-⎰⎰⎰⎰--dx x dx x dx dx x p P ξ

10)2(0)()3(3

03=+-++==<⎰⎰⎰⎰⎰

∞

-∞

-dx dx x dx x dx dx x p P ξ

（3）⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪

⎨⎧≥<≤-+-=-+<≤=<===⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-212

15.125.0)2(105.0000)(2

110

20x x x x dx x xdx x x xdx x dx dx F x

x x

x ξ 4

、

设

ξ～

()

1,0N ，求)0(),0(),0(<=ΦξξP P ，

)5.1(),5.11(),1(>≤≤--<ξξξP P P 。

解：5.0)0(Φ=；0)0(==ξP ； 5.0)0()0(=Φ=<ξP ；

1587.08413.01)1(1)1()1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP

7745.01587.09332.0)1()5.1()5.11(=-=-Φ-Φ=<≤-ξP 0668.09332.01)5.1(1)5.1(=-=Φ-=>ξP

5、设ξ服从指数分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=-000

)(25.0x x e x p x λ，（1）求λ的

值；

（2）求)2();80();3(≥≤<<ξξξP P P

解：（1）25.044)(10

25.00

25.0=⇒=-===

∞

+-+∞

-+∞

∞

-⎰

⎰λλλλx

x e dx e dx x p

（2）75.03

25.003125.00)()3(--∞

-∞

--=+==

<⎰⎰⎰e dx e

dx dx x p P x

25.08

125.0)()80(---===≤<⎰⎰e dx e dx x p P x ξ

5.02

25.02

25.0)()2(-+∞

-+∞===

≥⎰⎰e dx e

dx x p P x

6、假设某科统考的成绩ξ近似地服从正态分布)10,70(2N 。已知第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少？解：8413.0)1(1)10

60(

1}60{1}60{=-Φ-=-Φ-=<-=≥X P X P 这说明成绩在60和60以上的考生（第100名），在全体考生中占84.13%，因此，考生总数大致为：100/0.8413＝119名，故前20名考生在全体考生中的比率大致为：20/119＝0.1681。设S 为第20名考生的成绩，它满足： 8319.0)10

(1681.0)1070(1}{=-Φ⇒=-Φ-=≥S S S X P ，查表得：

6.7996.010

=⇒≅-S S 7、某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名。假设报名者的考试成绩ξ~),(2σμN 。已知90分以上的有12人，60分以下的有83人。若从高分到底分录取，某人成绩为78分，问此人能否被录用？

解：要解决此问题，首先确定2,σμ，因为考试人数很多，可用频率近似概率。根据已知条件：

9772.0}90{1}90{0228.0526/12}90{≅>-=≤⇒≅=>X P X P X P 。

又因为9772.0)90(

}90{}90{=-Φ⇒-≤

-=≤σ

X P X P ，

反查标准正态表得：

-90＝2 ………①

同理： 1588.0526/83}60{≅=≤X P ，又因为0605.01588.0)60(

}60{

}60{<-⇒

<=-Φ⇒-≤

-=≤σ

X P X P

8412.01588.01)60

(

=-=-Φσ

μ 反查标准正态表得：160

=-σ

μ ………② 联立①，②解得：X ⇒==70,10μσ～)100,70(N 。

某人是否能被录取，关键看录取率。已知录取率为155/526≈0.2947，看某人是否录取解法有两种方法。

方法1：}10

781070{

1}78{1}78{-≤--=≤-=>X P X P X P 2119.07881.01)8.0(1=-=Φ-=

因为 0.2119<0.2947（录取率），所以此人能被录取。

方法2：看录取分数线，设被录取者最低分数为0x ，则 2947.0}{0=≥x X P （录取率）

7053.02947.01}{1}{00=-=≥-=≤x X P x X P

7053.01070}10701070{

}{000=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-Φ=-≤-=≤x x X P x X P 解得784.750<≈x 所以此人能被录取。

（二十五）数学期望和方差

1、设离散型随机变量ξ的分布律如表所示：

i x =ξ

5- 2 3 4 i p

4.0 3.0 1.0 2.0

求数学期望、方差和均方差。解：

3.02.041.033.02

4.05)(-=⨯+⨯+⨯+⨯-=ξE

.152.041.033.024.0)5()(2

=⨯+⨯+⨯+⨯-=ξE 21.1509.03.15)()()(22=-=-=ξξξE E D 9.3)(=ξD

2、设离散型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧≥<≤<≤<<∞-=2

218.0103.000)(x x x x x F

求（1）ξ的分布列；（2）()12+-ξE ，()43-ξD 。

解：（1）

i x =ξ

0 1 2 i p

0.3 0.5 0.2

（2）

9.02.025.013.00)(=⨯+⨯+⨯=ξE

3.12.025.013.00)(2222=⨯+⨯+⨯=ξE

49.081.03.1)()()(22=-=-=ξξξE E D

8.019.021)(2)12(-=+⨯-=+-=+-ξξE E 41.449.09)(3)43(2

=⨯==-ξξD D

3、已知()30E X =，()11,D X =13X

Y -=，求2(),(),()E X E Y D Y 。解：∵)

()()(2

2X E X E X D -=

∴

911)30(11)()()(2

=+=+=X E X D X E

329

303131)(3131)31()(-=⨯-=-=-=X E X E Y E

)()31()31()(2==-=X D X D Y D

4、设连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪

⎨⎧=10

)(2Ax x F 1100≥<≤

求（1）常数A ；（2）E ξξ和D 。解：（1）先求密度函数

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤<='=1010200

)()(x x Ax x x F x f 再根据1)(=⎰∞+∞

-dx x f 可得：

A dx Ax dx x f ===⎰⎰∞+∞

-1

2)(1

（2）3

2322)(1

==⋅==⎰⎰∞

+∞-x dx x x dx x xf E ξ 2

422)(10

==⋅==⎰⎰∞

+∞-x

dx x x dx x f x E ξ 18

9421)()()(2

=-=-=ξξξE E D

5、盒中有5个球，其中有3个白球，2个黑球。从中任取两个球，求白球数ξ的数学期望和方差。

解：先求白球数ξ的分布列

i x =ξ

0 1 2 i p

0.1 0.6 0.3

1.010

)0(25

C P ξ，

6.010

)1(2513

12===

=C C C P ξ 3.010

)1(25

=C C P ξ 2.13.026.011.00)(=⨯+⨯+⨯=ξE

8.13.026.011.00)(2222=⨯+⨯+⨯=ξE 36.02.18.1)()()(2

22=-=-=ξξξE E D

(二十六)大数定理与中心极限定理

1、在每次试验中, 事件A 发生的概率为0. 5，利用切比雪夫不等式求：在1000次试验中，事件A 出现的次数在400~600之间的概率？解：用

ξ表示在1000次试验中事件A 发生的次数，由题意知：

ξ～B(1000,0.5)。从而有：5005.01000)(=⨯=ξE ，

2505.05.01000)(=⨯⨯=ξD 。根据切比雪夫不等式有： 975

.010000

250

1}100500{}600400{=->≤-=≤≤ξξP P 。2、在次品率为20%的一大批产品中，任取300件，求取出的产品中次品数在40—60之间的概率。解：用

表示在300件产品中的次品数，由题意知：

～

)2.0,300(B 。

概率统计练习册习题解答

苏州科技学院概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组 2013 年12 月

习题1-1 样本空间与随机事件 1选择题（1）设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（D）（A）AB IJ AC U BC（B）A U B U C（C ）AB CU A B C UA BC （D ） AUBUC （2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件系统的寿命超过t”可表示为（D） A ;T1T2T3k B ITT2T3 t? C :min 汀,T2,T3? t? D ;max：T1，T2,T3i >t? 2?用集合的形式表示下列随机试验的样本空间「与随机事件A:对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示射击次数不超过5次”。解：Q = {l,2,3,，}； A = {1,2,3,4,}。 3?设某工人连续生产了4个零件，A i表示他生产的第i

个零件是正品（i=123,4 ），试用A表示下列各事件：（1 ）只有一个是次品； (2)至多有三个不是次品；卜- A- A3 一A4 习题1-2 随机事件的概率及计算 1填空题 (1)已知 A B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，贝P(A)二—0.6，P(AB)二二0 ，P(AB)二0.4。 P(A B) (2)设事件A与B互不相容，P(A) =0.4, P(B) = 0.3，则P(AB)= 0.3 ，P(AU B)= 0.6 。 2 ?选择题 (1)如果P(AB) =0，则(C ) (A) A与B互不相容(B) A 与B互不相容 (C) P(A_B)二P(A) (D) P(A_B) =P(A) _P(B) (2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是 (C ) (A) P(AB) = P(A) P(B) (B) P(AB) =0 且P(A B) =1

概率统计练习册习题解答

苏州科技学院《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组 2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件 1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）（A ）AB AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C （2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ） A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{} 123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。解：{ } ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。 3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2习题1-2 随机事件的概率及计算 1．填空题

（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则 )(A P )(AB P =)(B A P 0 ， )(B A P （2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则() P AB ()P A B 0.6 2．选择题（1）如果()0P AB =，则（ C ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容 (C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且（C ） Ω=∅=B A AB 且（D ）∅=AB 3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率；（3）5 只中至多有一只坏的概率。 4．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解：（1）设A =“他们的生日都不相同”，则365 ()365 r r P P A =；（2）设B =“至少有两个人的生日在同一个月”，则 21222321 4121141241212 4 41()1296C C P C C C P C P B +++==；或 4124 41 ()1()11296 P P B P B =-=-=. 习题1-3 条件概率 1．选择题：

概率统计练习册答案

概率统计练习册答案第一章参考答案: （一）一、填空：1.出现点数恰好是5；2.0.3；3.0.6；4.1，0.75.二、选择： 1.d 2.a 3.b 4.d三、计算 abc（2）abc（3）ab？交流电？bc（4）a？BC (5)abc?abc?abc(6)a?b?c2．（1）a?b,0.6 （2） a？B零点三（3）p(ab)=0.4，p(a?b)=0.9，p(b?a)=0.3，p(ab)=0.1 （二）一、填空：1.二、计算：1. a3212。，3.a？b55126081511341（2）。(3). 315903193.；； 81616n？1k？114.1? （）nn2。（1）. 24c6?12?a115.(1). 126(2).1? 12? 11? 10? 9? 8.七 126c62?114(3). 126(4).1? 1612116(5).6 12 （三）一、填空：1.02.0.93.二、计算：1. a（a？1）？b（b？1）24。 (a?b)(a?b?1)31455）1492.0.37（或 3.（1）.0.85（2）.0.941 4. (1) . 0.192（或（四）

一、选择：1 d2。b3。补体第四成份。B二。计算：1（1）2。 239）（2）.0.391（或）120232(2)113143.0.458三．证明。（略）第二章参考答案： (一) 我填空 ?ke??1mmn?m,k?0,1,?.1.;2.0.95;https://www.wendangku.net/doc/fe19270646.html,p(1?p);4.p?x?k??k!3二. k6？kc4c161。（1） p？十、KK0,1,2,3,4; 6c20kk6？k4,5,6。（2） p？十、Kc6（0.2）0.8，k？0,1,2,3，2. P十、K0.45? 55万？1，k？1,2,?;? P十、2k？？K1.十一点三一 3. 4.（1）c（0.1）0.9？0.0729; (2) 2523xpk1234561136936736536336136?ck?03k50.1k0.95?k?0.99954;(3)0.40951 1.315.（1）e；（2） tmax？液氮。 321(二) 我填空（1）.1,0,f(x2)?f(x1);（2）.二.选择1.c;2.b3.c;三．1． 3,0,1; （3）.1? K34xpk 30.140.35 零点六 ?1?,1?x?e,2.a?1;ln2;1;f(x)??x ? 另外0，0，x？0 x2,0？十、1.23.k=1；f（x）？？2x？？？2倍？1,1? 十、 2.2.1，x？2.素描 (三) ? 1.5e？5x，x？0 1? 十、2 I.1。（1） f（x）？？3（2）f（x）？？ 0,其他??其他?0, 21? X2（3）正态分布；2，（4）? （x） ?？E十、

概率统计练习册习题解答(定)

习题1-1 样本空间与随机事件 1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）（A ）AB AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C （2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ） A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{} 123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。解：{},18543 ，，，＝Ω ；{} 18,,12,11 ＝A 。（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。解：{ } ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。。 3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件：（1） A ，B ，C 都发生：解： ABC ；（2） A ，B ，C （3） A 发生，B 与C （4） A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ?? （5） A ， B ， C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；

概率论与数理统计练习册及答案

概率论与数理统计练习册及答案第一章概率论的基本概念一、选择题 1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（）A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面} 2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生 3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（）. A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(A-B)=P(A)－P(B) C.)()(B A P B A P -= D.P(A+B)=P(A)+P(B) 4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A － B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0 C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A)+P(A )=1 5.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（）. A ．0)(≥A B P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A) 6.若φ≠AB ,则( ). A. A,B 为对立事件 B.B A = C.φ=B A D.P(A-B)≤P(A) 7.若,B A ?则下面答案错误的是( ). A. ()B P A P ≤)(

B. ()0A -B P ≥ C.B 未发生A 可能发生 D.B 发生A 可能不发生8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若 C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤++ + D.∑==≤n i i n i i A P A P 1 1 )(}{ 9.(1,2, ,)i A i n =为一列随机事件,且12 ()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是( ). A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===n i i n i i A P A P 1 1)()( B.若诸i A 相互独立,则11 ( )1(1())n n i i i i P A P A ===--∑∏ C.若诸i A 相互独立,则1 1 ( )()n n

概率论与数理统计练习册参考答案

概率论与数理统计练习册参考答案第1章概率论的基本概念基础练习 1.1 1、C 2、C 3、D 4、A B C ++ 5、13 {|02} 42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<

概率练习册答案

班级学号姓名（十七）随机事件及概率 1、投掷一粒骰子的试验，我们将＂出现偶数点＂称为（ D ） A 、样本空间 B 、必然事件 C 、不可能事件 D 、随机事件 2、事件B A ,互为对立事件等价于（ D ） A 、 B A ,互不相容 B 、B A ,相互独立 C 、Ω=+B A D 、Φ=Ω=+AB B A 且 3、设B A ,为两个事件，则__ B A AB +＝（ C ） A 、不可能事件 B 、必然事件 C 、A D 、B A + 4、B A ,为两事件，若()4.0)(,2.0)(,8.0__===+B P A P B A P ，则（ B ） A 、32.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛ B A P B 、2.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛B A P C 、4.0)(=AB P D 、48.0)(____=AB P 因为：2.08.01)(1)(1)(=-=+-=-=B A P B A P B A P 5、当__A 与__B 互不相容时，=+)(______ B A P （ C ） A 、)(1A P - B 、)()(1B P A P -- C 、0 D 、)()(____B P A P 因为：0)Φ()()(===+P B A P B A P 6、设有10个产品，其中3个次品，7个正品，现从中任取4个产品，则取到的4个产品都是正品的概率为（ C ） A 、107 B 、44107 C 、410 47C C D 、1074⨯ 7、设C B A ,,为三个事件，试用这三个事件表示下列事件：（1）C B A ,,三个事件至少有一个发生；（2）A 不发生，B 与C 均发生；（3）C B A ,,三个事件至少有2个发生；（4）C B A ,,三个事件中恰有一个发生；（5）A 发生，B 与C 都不发生。

概率论与数理统计练习册(内附答案)

概率论与数理统计练习册复习题和自测题解答第一章复习题 1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是次品；（2）至少有一个零件是次品；（3）仅仅只有一个零件是次品；（4）至少有两个零件是次品。解：1）1n i i A A == 2）1 n i i A = 3）11n n i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣ ⎦ 4）A B 2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 1 2 P ∴= 3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数 121 2()() P A P A A A A = 当n 为奇数时：1111 11 1 2222()112n n n n n P A n n n n n ----+--=⋅+⋅= -- 当n 为偶数时：11 22222()112(1) n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅= ---

4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。解： 21 411 136 x S dx dy --== ⎰⎰ 13 13 6424 p ∴== 5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2） B －第二次比赛时拿到2只新球 1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅ 2122344222225555950 C C C C C C C C =⨯+⨯= 6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起（1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。解：i A －从第i 台机床加工的零件中取（i ＝1，2） B －取一件合格品 1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅ 21 0.970.980.97333 =⨯+⨯= 2）( )() 11 1()|(|)0.741P A P B A P A B P B ⋅= =- 7、已知某种产品的正品率是0.9，现使用一种检验方法，这种方法认正品为合格品的概率是0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求用这种方法检验为合格的一件产品确是正品的概率。解：A －产品是合格品；B －产品被认为是合格品 ()()() 0.9|0.98|0.05 P A P B A P B A ===

概率论与数理统计练习册答案

概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题 4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容. 5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=. 6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于 1 1 1 1 1 ()1()1()1()1(1())n n n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏ 9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为() ()() N A P A N = Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365 !()365365r r r r C r P P A ?= =，故365 ()1365 r r

P P A =-. 12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤. 13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知 2()()()1() ()()1()() ()(1())()(1()()()) 1 ()(1()) ()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+= =-?-+--+=-?-+--+=2(())()()() P B P AB P A P B -?= 故A 与B 独立. . 16.答案：（B ）解：所求的概率为 ()1() 1()()()()()()() 11111100444161638 P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱” 1.2.3i =，则由全概率公式知 112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120 P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.

概率练习及答案

第一章事件与概率 1、对一个五人学习小组考虑生日问题：〔1〕求五个人的生日都在星期日的概率；〔2〕求五个人的生日都不在星期日的概率；〔3〕求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】〔1〕设A 1={五个人的生日都在星期日}，根本领件总数为75，有利事件仅1个，故 P 〔A 1〕= 517=〔17 〕5 〔2〕设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P 〔A 2〕=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P 〔A 3〕=1P (A 1)=1( 17 )5 2、一架升降机开场时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率：〔1〕 A =“某指定的一层有两位乘客离开〞；〔2〕 B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开〞；〔3〕 C =“恰有两位乘客在同一层离开〞；〔4〕 D =“至少有两位乘客在同一层离开〞. 【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种. 〔1〕 2466 C 9 ()10P A = 〔2〕 6个人在十层中任意六层离开，故 610 6P ()10 P B = 〔3〕由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有2 6C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余 8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果； ③4个人都不在同一层离开，有4 9P 种可能结果，故 12131146 10694899()C C (C C C C P )/10P C =++ 〔4〕 D=B .故 6 10 6P ()1()110 P D P B =-=-

初中概率练习题及答案

初中概率练习题及答案初中概率练习题及答案概率是数学中的一个重要概念，它描述了某个事件发生的可能性。在初中数学中，概率是一个重要的章节，涉及到了一系列的概念和计算方法。下面，我们将介绍一些常见的初中概率练习题，并提供相应的答案。 1. 一个骰子有6个面，分别标有1、2、3、4、5、6。如果将骰子掷一次，求出现奇数的概率是多少？答案：骰子的总面数为6，其中奇数的面有3个，即1、3、5。所以，出现奇数的概率为3/6=1/2。 2. 一副扑克牌共有52张牌，其中红桃有13张。如果从中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌共有52张，其中红桃有13张。所以，抽到红桃的概率为 13/52=1/4。 3. 有一个装有8个红球和4个蓝球的盒子，从中随机抽取一球，求抽到红球的概率是多少？答案：盒子中共有8个红球和4个蓝球，所以一共有12个球。抽到红球的概率为8/12=2/3。 4. 有一个装有5个红球、3个蓝球和2个绿球的盒子，从中连续抽取两个球，求第一个球是红球，第二个球是蓝球的概率是多少？答案：第一个球是红球的概率为5/10=1/2。在第一个球是红球的情况下，第二个球是蓝球的概率为3/9=1/3。所以，第一个球是红球，第二个球是蓝球的概率为(1/2)×(1/3)=1/6。

5. 有一个装有4个红球和6个蓝球的盒子A，另一个装有5个红球和5个蓝球的盒子B。现在随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机抽取一球，求抽到红球的概率是多少？答案：选择盒子A的概率为1/2，选择盒子B的概率也为1/2。在选择盒子A 的情况下，抽到红球的概率为4/10=2/5。在选择盒子B的情况下，抽到红球的概率为5/10=1/2。所以，抽到红球的概率为(1/2)×(2/5)+(1/2)×(1/2)=9/20。通过以上的练习题，我们可以看到，在计算概率时，需要先确定事件的总数和有利结果的数量，然后将有利结果的数量除以总数，得到概率值。同时，我们还可以通过概率的加法和乘法原理来计算复杂事件的概率。初中概率是一个基础而重要的数学概念，掌握好概率的计算方法对于解决实际问题和进一步学习高中数学都有很大的帮助。希望以上的练习题和答案能够帮助同学们更好地理解和应用概率知识。

初三概率练习题及答案

初三概率练习题及答案概率是数学中一个重要的分支，它研究随机事件的发生概率。在初三数学学习中，概率也是一个重要的知识点。为了帮助同学们更好地掌握概率知识，我将提供一些初三概率练习题及答案。练习题1：某班级学生早餐的习惯如下：80%的学生吃面包，60%的学生喝牛奶，40%的学生既吃面包又喝牛奶。现在从该班级中随机选取一位学生，请回答以下问题： a) 这位学生早餐吃面包的概率是多少？ b) 这位学生早餐喝牛奶的概率是多少？ c) 这位学生早餐既吃面包又喝牛奶的概率是多少？解答： a) 这位学生早餐吃面包的概率为80%。 b) 这位学生早餐喝牛奶的概率为60%。 c) 这位学生早餐既吃面包又喝牛奶的概率为40%。练习题2：一副扑克牌共有52张牌，其中红桃有13张，黑桃有13张，方块有13张，梅花有13张。现从扑克牌中随机抽取一张，请回答以下问题：

a) 抽到红桃的概率是多少？ b) 抽到黑桃或者方块的概率是多少？解答： a) 抽到红桃的概率为13/52，即1/4。 b) 抽到黑桃或者方块的概率为26/52，即1/2。练习题3：某箱子中有5个红球和3个蓝球，现从中随机抽取两个球，请回答以下问题： a) 抽到两个红球的概率是多少？ b) 抽到一个红球和一个蓝球的概率是多少？ c) 抽到两个蓝球的概率是多少？解答： a) 抽到两个红球的概率为(5/8) * (4/7) = 20/56，即5/14。 b) 抽到一个红球和一个蓝球的概率为(5/8) * (3/7) + (3/8) * (5/7) = 30/56，即15/28。 c) 抽到两个蓝球的概率为(3/8) * (2/7) = 6/56，即3/28。练习题4：

概率统计练习册答案

第一章概率论的基本概念一、选择题 1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（） A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面} 2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生 3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（）. A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(A-B)=P(A)－P(B) C.)()(B A P B A P -= D.P(A+B)=P(A)+P(B) 4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0 C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A)+P(A )=1 5.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（）. A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A) 6.若φ≠AB ,则( ). A. A,B 为对立事件 B.B A = C.φ=B A D.P(A-B)≤P(A) 7.若,B A ⊂则下面答案错误的是( ).

A. ()B P A P ≤)( B. ()0A -B P ≥ C.B 未发生A 可能发生 D.B 发生A 可能不发生 8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若 C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++L L D.∑==≤n i i n i i A P A P 1 1 )(}{Y 9.(1,2,,)i A i n =L 为一列随机事件,且12()0n P A A A >L ,则下列叙述中错误的是( ). A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===n i i n i i A P A P 1 1)()( B.若诸i A 相互独立,则11 ()1(1())n n i i i i P A P A ===--∑∏ C.若诸i A 相互独立,则1 1 ()()n n i i i i P A P A ===∏U D.)|()|()|()()(1231211 -=Λ=n n n i i A A P A A P A A P A P A P X 10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是 ( ). A.2 1 B. b a +1 C. b a a + D. b a b + 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则( ) A.先抽者有更大可能抽到第一排座票 B.后抽者更可能获得第一排座票 C.各人抽签结果与抽签顺序无关

概率练习题(含答案)

概率练习题〔含答案〕 1 解答题有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用〔x，y〕表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：〔1〕试验的根本领件；〔2〕事件“出现点数之和大于3〞；〔3〕事件“出现点数相等〞. 答案〔1〕这个试验的根本领件为：〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔2，4〕，〔3，1〕，〔3，2〕，〔3，3〕，〔3，4〕，〔4，1〕，〔4，2〕，〔4，3〕，〔4，4〕〔2〕事件“出现点数之和大于3〞包含以下13个根本领件：〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔2，4〕，〔3，1〕，〔3，2〕，〔3，3〕，〔3，4〕，〔4，1〕，〔4，2〕，〔4，3〕，〔4，4〕〔3〕事件“出现点数相等〞包含以下4个根本领件：〔1，1〕，〔2，2〕，〔3，3〕，〔4，4〕 2 单项选择题 “概率〞的英文单词是“Probability〞，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，那么取到字母“b〞的概率是 1. A. 2. B. 3. C. 4. D. 1

答案 C 解析分析：先数出单词的所有字母数，再让字母“b〞的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．解答：“Probability〞中共11个字母，其中共2个“b〞，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b〞的可能性有两种，故其概率是；应选C．点评：此题考察概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=． 3 解答题一只口袋内装有大小一样的5只球，其中3只白球，2只黑球.现从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次.问：〔1〕取出的两只球都是白球的概率是多少？〔2〕取出的两只球至少有一个白球的概率是多少？答案〔1〕取出的两只球都是白球的概率为3/10；〔2〕以取出的两只球中至少有一个白球的概率为9/10。解析此题主要考察了等可能事件的概率，以及对立事件和古典概型的概率等有关知识，属于中档题〔1〕分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，然后例举出一切可能的结果组成的根本领件，然后例举出取出的两只球都是白球的根本领件，然后根据古典概型的概率公式进展求解即可；〔2〕“取出的两只球中至少有一个白球的事件〞的对立事件是“取出的两只球均为黑球〞，例举出取出的两只球均为黑球的根本领件，求出其概率，最后用1去减之，即可求出所求．解：：〔1〕分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号．从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次，其一切可能的结果组成的根本领件〔第一次摸到1号，第二次摸到2号球用〔1，2〕表示〕空间为： Ω={〔1，2〕，〔2，1〕，〔1，3〕，〔3，1〕，〔1，4〕，〔4，1〕，〔1，5〕，〔5，1〕，〔2，3〕，〔3，2〕，〔2，4〕，〔4，2〕，〔2，5〕，〔5，2〕，〔3，4〕，〔4，3〕，〔3，5〕，〔5，3〕，〔4，5〕，〔5，4〕}，共有20个根本领件，且上述20个根本领件发生的可能性一样．

概率练习册含答案

一、判断题（本大题共 5 题，每题 2 分，共 10 分） 1.设A 为任一随机事件，则P(A)=1－P(A ) ( √ ) 2.设随机事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立 ( √ ) 3.设X ，Y 为随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y) ( × ) 4.设随机变量X 与Y 的相关系数ρXY =0，则X 与Y 相互独立 ( × ) 5.设X 1，X 2，…X n 是总体X 的样本则X = 1 ∑=n i i X 1 是总体期望μ无偏估计 ( √ ) 二、填空题（本大题共5题，每题 3 分，共15 分） 1. 设P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.05,则P(A ︱B)=0.1； P(B ︱A)=0.25 2. 设X ～N(30, 5)，则 D(2X+3)= 20 3. 设X ～P(λ)，E （X ）=2，则λ= 2 4. 设总体X ～N(0,1), X 1，X 2，…,X 10是X 的样本,则统计量2 χ= ∑=10 1 2i i X ～2 (10)χ 5.设X 1，X 2，…X n 是总体X 的样本，则总体方差σ 2 的矩估计是() 2 21 1n i i B X X n ==-∑ 三、单项选择题（本大题共 5分，每题3 分，共 15 分） 1．设A ，B 为随机事件，则B A =（ B ） A ． A B ； B 。 A B ； C 。 AB ； D 。 A ∪B ； 2．函数f(x)=1 ,0, a x b b a ì＃ï í-ï î其它是（ C ）的分布密度函数 A. 指数分布； B. 二项分布； C.均匀分布； D. 普阿松分布； 3．在n 次独立重复试验中，P(A)= p, P(A )=q, 则事件A 发生k 次的概率是（ C ） A. p k ； B .p k q n －k ； C. C n k p k q n －k ； D. q k p n －k ； 4. 设X 1,X 2,X 3是总体X ～N(μ,σ2)的样本,μ未知,σ2已知, 则下列( D)不是统计量 A. X ； B. X 12 +X 22 +X 32 ； C. X 1X 2X 3+σ ； D. μ+ X 1/X 2； 5. 若假设检验0H 为原假设,则下列说法正确的是( B ) A.0H 为真时接收0H 是犯取伪错误； B. 0H 为真时拒绝0H 是犯弃真错误； C.0H 为假时接收0H 是犯弃真错误； D. 0H 为假时拒绝0H 是犯取伪错误四、计算题（本大题共 4 题，每题 10分，共 40 分） 1.设两台车床生产相同的零件，第一台的生产能力是第二台的2倍，且第一台的优质品率为

概率练习题含答案

第一章随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。（B ）（2）事件的对立与互不相容是等价的。（B ）（3）若()0,P A = 则A =∅。（B ）（4） ()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。（B ）（5）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ）（ 6 ）考察有两个孩子的家庭孩子的性别， {()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩， }一个女孩)，则P {}1 =3 两个女孩。（B ）（7）若 P(A)P(B)≤，则⊂A B 。（B ）（8）n 个事件若满足,,()()() i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。（B ）（9）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则C A. A 与B 互斥 B. AB 是不可能事件 C. AB 未必是不可能事件 D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C ) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” （4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A ) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设 (),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B )

概率练习册章答案

一、判断题： 1．A –B=A –AB =B A （ √ ） 2．(A –B)∪(B –A)=(A ∪B)–AB （ √ ） 3．若A 与B 互斥，则与也互斥；（ × ） 4．若A 与B 对立，则A 与B 互斥。反之亦然；（ × ） 5．若A ∪B=Ω，则A 与B 构成完备事件组。（ × ）二、填空题： 1．设A 、B 为某随机试验的两个事件，则A ∪B 可以看作是三个互不相容事件、、之和的事件。答案：AB B A B A ,, 2．将一枚硬币掷两次，观察两次出现正、反面的情况，则其样本空间Ω所含的样本点总数为个，具体的样本点构成为Ω={}。答案：4，正正、正反、反正、反反 3．设某人像一把子射击三次，用A i 表示“第i 次射击击中靶子”（i=1，2，3）。使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为；（3）“至少有两次击中靶子”可表示为；（4）“三次全部击中靶子”可表示为；（5）“三次均未击中靶子”可表示为；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为；答案：(1) ∪∪; (2)321321321A A A A A A A A A ; (3)323121A A A A A A ; (4)321A A A ; (5)321A A A (6)321A A A 4．一批产品有合格品也有废品，现从中又放回的依次抽取（即每次抽去一件观察后放回）三件产品，以A i 表示“第i 次抽到废品”的事件（i=1，2，3）。试用文字语言描述下列事件：（1）表示；（2）∪∪表示；（3）表示；（4）（∪）∩表示；（5）(∪)∩表示；答案：（1）三次均抽到废品；（2）至少有一次抽到废品；（3）只在第三次才抽到废品；（4）前两次至少抽到一件废品且第三次抽到废品；（5）前两次至少抽到一件正品且第三次抽到废品。 5．设事件A,B,C 满足ABC ≠ф将下列事件分解为互斥事件和的形式： A ∪ B ∪ C 可表示为； A-BC 可表示为； ∪C B 可表示为；答案：5．（1）ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A or C B A B A A ；（2）C AB B A or C B A C A ；（3）C B A C A 习题1-2随机事件的概率一、判断题：（1）若ABC=ф,则P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C) ( × ) （2）B A ⊂，则)()(B P A P ≥ ( √ ) （3）若AB=ф,则 )()(1)(B P A P B A P --= (√ ) 二、计算与求解题： 1.已知P(A)=0.5，3.0)(=B A P ，求).(),(),(B A P AB P B A P 解：,3.0)()()(=-=AB P B P B A P . 2.0)(1)(,5.0)()(0,8.0 3.05.0)()()()(=-==≤≤=+=-+=B A P B A P A P AB P AB P B P A P B A P 2．设事件A,B,C 两两互不相容，且知P(A)=P(B)=0.2，P(C)=0.4，求P[(A ∪C)-B] 解：)()(])[(AC AB P C A P B C A P ⋃-=- 6 .04.02.0)()()()()(=+=+--+=ABC P AC P AB P C P A P ).(),(),(,2 1 )(,41)(,31)(B A P B A P B A P B A P B P A P 求=== 解： 6 512143)]()([)()() (.)()()(2 1)(1)()(12 112141311)()()(1) (1)()(=+= --+=-+==-=== +--=+--=-==AB P A P B P A P B A P B P A P B A P B A P B A P B A P B A P B P A P AB P AB P B A P

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概率统计练习册习题解答

概率统计练习册习题解答

概率统计练习册答案

概率统计练习册习题解答(定)

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概率论与数理统计练习册 参考答案

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概率论与数理统计练习册(内附答案)

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