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浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案

浙江大学20 10 -20 11 学年春夏学期

《数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）

课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场

考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟

诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

请注意：所有题目必须做在答题本上！

做在试卷纸上的一律无效！

请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！

考生姓名：学号：所属院系： _

一、计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )

1. 2

()(03)sin lim

.x y xy x

→，，求： 222

()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=?=，，，，

(122)

().f x y z gradf

，，设，，

23(122)

(122)

..27

.2727

{122}.27

f x x f

r x r r r x f

z gradf

??==-?=-=-

????=-

??=-

，，，，，，，，令，则：则：

同样，

，因此，，，

3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.

222()2320246.

321(321){686}.

343

x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---=== 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：

4. 222

1.(2).4C

x C y L x y ds +=+? 设曲线：的长度为计算： 222

(2)(44)44.=0.C

x y ds x y xy ds ds L xyds +=++==???? 其中：

02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)

(2).dS dxdy ∑

∑

????；

22224

x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑

+≤∑

+≤===

==-=-????

????

由于因此，

二、计算题：（每题8分，共56分）

1. 2

2()2()()()2

x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的

.n Fourier n

+∞

=∑

级数，并计算的和 22222

0022112

222

(1)()20.

522(1)()()cos (12).

2325(1)()2cos .()(*)

65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n n

n n n n n f x b x x a dx a nxdx n n f x nx x R n

x f n n π

πππππππππππ∞

=-+∞∞

===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+?=??∑∑∑ 由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12

22222

11111

22211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.

6511(*)2..

266n n n n n n n n n n n n n n n x n n

σσπσππππππ-+∞

+∞+∞+∞∞

=====+∞

=+∞+∞

==-==?=-====-=-+?=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：

2. 211(2)1

.44

n n n

n n x n n +∞

+∞

==-??∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222

112221111

211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)121

04.44(04).

(2)(2)()()4n n n n n n n n

n n n n

n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞

+∞+∞+∞

====∞-=-?-=?=<<<+?--====??-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1

222

.(11).

1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.

14(3)3ln .43n n n

n n

n t t x x S t t x x n x x n ∞

=+∞

==-≤<-??--=--=--=-- ???

?<<==?∑∑∑

其中：故，所以，其中：上式中令，可得，

2111112211

(2)lim lim 141(1)1

1.11.

(2)(2)[11).110444.(04)n n

n n n n n n n n n n n

n n n a x t n t t n a n n t t n n

t x x x n n ∞∞

+→∞→∞==∞

∞

==∞

+∞

==-===+-=-=----≤<<

【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，.

下面与上同

3. 22

()2.y z z

z f x y f x x x y

??=+???设，，且具有阶连续偏导，计算：，

12221112221222221112222232(1)

2.111(2)22221

4(2).

z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ?=-??????=+--+ ? ???????

=+---

4. 2222(){()|}.D

x y dxdy D x y x y x y +=+≤+??计算，其中，

22222200

221222

1cos 111()2

()()..1222()sin 213

cos sin ).

1()112

1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v π

θθθ

θθθπ+≤

?=+???-+-≤=?

??=+??=+++=?=+?????==+++? ?????=+??=++???，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：

，22220012

33cos sin 3

444

344

4113).

2281(cos sin )41313

)]sin 2sin 2.44

4228

u v u

u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu ππ

πθθπ

ππ

θπ

πθπθθθθ

ππθθπ+≤

-+=-??++=+?= ???==+?=+===?

?=?????

???

?方法三、

5. 222

{()|1}.z

e dxdydz x y z x y z Ω

Ω=++≤???

计算三重积分：，其中，，

(

)

22222

(0)

0cos 0cos 20

241(sin )

4sin cos 2422.

22z

x y z z z u x

u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe

dx ue du I e dz

dxdy e π

θπππ

ππππ++≤≥=+≤-===-==?---===???

???=?????由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()

120

cos 2

cos 2220

cos 20

(1)2.

2sin 4sin 44(1)2.

z dz I d d e

d d

e d e

d e d ππ

πρ?

ρ?πρ?

ρπθ?ρ?ρπρρ??

πρρπρρπ-====-=-=????????方法三、

6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：??++=S

zdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.

22222

2263

22262222222

(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S

S S

x y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dS

x y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++??=++==????

= ?????++++=≤=? ???????????球面在点，，处的切平面方程为：由于

，则：333

..2.

xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤

++≥

===??因此，等号在故，点为

2222

(1).30..2(2)xy yz zx

xy yz zx

xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy

a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++Ω

Ω=

++-

++??=+=++= ?

????

??? ++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、

构造222222223

min ()().20(1)20(2)20

(3)0(4)

02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λ

λλλλλλ=+++-=+=??=+=??

=+=??=++-=?>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当

因此，3

7. 22(0)cos (0)

xdy ydx x

C A y B x y ππ-=-+?

计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从 (2).B D ππ-点沿直线到点，

22222222222222222222

22224.

44(4)4(0).

44441

0arc 42C C DA L DA L

y x P y x Q

P Q x y x y y x y x DA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--?-??====++?+??+=>----=--++++=---=-+?????? 方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：222

242

21122332222222221

tan

221

7.8

(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdy

A A A A A A A D L y x P y x Q

P Q C L

x y x y y x y x P Q π

δπδ

ππδπδπππππππ-+≤+

?=----?-?====++?+???

方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222

22202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248

C L AA A A A A A

D xdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x ππππππππ

ππ

ππππππππππππππππππππ

π--------==+++++--=+++

++++--=+++=???????

???有一阶连续连导数，因此，7.4

ππππ+++=

三、证明题：（每题9分，共18分）

1. 2

10cos ()()1

n n n nx

u x D f x n +∞

∞

===+∑∑

叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数

2222

00220222

00cos 11cos (1)(02)1111

cos (02)(02)1

cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx

x n n n n nx

n N n nx

f x n nx n nx n

g x n n

n ππππ∞∞

==+∞

=∞

∞

==?∈≤++++?∈+=+'

??==- ?+++??∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，

在，内也连续.

记，由于1

00221cos()cos 122

0()[2]sin .sin 2sin

sin sin [2](02)11.

cos sin (02)()(0211n

k n n x

n x kx x n nx n nx

Dirichlet n n

nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞

∞

==+-?>

++??

∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数.

2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220

(0)0sin ()2()cos 1..x dy

f x f x f x x dx ==+++=满足，且并计算

的值 22222222222()sin()2cos 1()

(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ?=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；

，；在上连续.

根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222220

)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos().0.

22cos()x x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy y y x y dx

=++=?+++===''+++-=-+'==++在两边同时对求导，且当时，则：因此，故，

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分） 1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、下列广义积分中，收敛的积分是（） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（）

数学分析(2)期末试题

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二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为． 65

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1 / 3 2006年浙江大学427数学分析考研真题浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（427）考生注意： 1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。一、（20分) ()i 证明：数列 1111ln (1,2,3,)23n x n n n =++++-=收敛； ()ii 计算：1111lim()1232n n n n n →∞ +++++++. 二、（15分) 设()f x 是闭区间 [],a b 上的连续函数，对任一点(),x a b ∈，存在趋于零的数列，使得 2()()2()lim 0k k k k f x r f x r f x r →∞++--=. 证明：函数()f x 为一线性函数. 三、（15分) 设()h x 是 (),-∞+∞上的无处可导的连续函数，试以此构造连续函数()f x ，在 (),-∞+∞上仅在两点可导，并且说明理由.

2 / 3 四、（15分) 设22222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=?. ()i 求(,)f x y x ??以及(,)f x y y ??； ()ii 问(,),(,)f f x y x y x y ????在原点是否连续?(,)f x y 在原点是否可微?试说明理由. 五、（20分) 设()f x 在()0,+∞的任何闭子区间[],αβ上黎曼可积，且0()f x dx +∞ ?收敛，证明：对于常数 1a >，成立 000lim ()()xy y a f x dx f x dx ++∞+∞-→=??. 六、（15分) 计算曲面积分 32222()S xdydz ydzdx zdxdy I ax by cz ++=++?? 其中 {}2222(,,)S x y z x y z r =++=，常数0,0,0,0a b c r >>>>. 七、（15分) 设V 为单位球： 2221x y z ++≤，又设,,a b c 为不全为零的常数，计算： cos()V I ax by cz dxdydz =++???. 八、（20分) 设函数21()12f x x x =--，证明级数 ()0!(0)n n n f ∞=∑收敛. 九、（15分) 设()f x 在)0,+∞??上可微，(0)0f =.若有常数0A >，使得对任意 ) 0,x ∈+∞??，有

运城学院数学分析期末试题2-14

运城学院应用数学系 2011—2012学年第二学期期末考试数学分析2试题（A ）适用范围：数学与应用数学专业1101\1102班命题人：常敏慧、王文娟审核人：一、判断题（每题2分，共20分） 1、实轴上的任一有界点集至少有一个聚点. ( ) 2、开区间集合1,11,2,1n n ????=?? ?+???? 构成了开区间()0,1的一个无限开覆盖. ( ) 3、初等函数的原函数仍是初等函数. ( ) 4、积分和与达布和都与分割有关. ( ) 5、黎曼函数在[]0,1上可积. ( ) 6、若f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积. ( ) 7、瑕积分 ()b a f x dx ?收敛，则()2b a f x dx ?也收敛. ( ) 8、设n u ∑为收敛的正项级数，则lim 0n n u →∞=. ( ) 9、若函数项级数()n u x ∑在[],a b 上内闭一致收敛，且每一项()n u x 都连续，则()()b b n n a a u x dx u x dx =∑∑?? . ( ) 10、幂级数101n n n a x n ∞+=+∑与幂级数11 n n n na x ∞-=∑有相同的收敛半径. ( ) 二、填空题（每题2分，共20分） 1、设闭区间列[]{},n n a b 满足(i) ，(ii)()lim 0n n n b a →∞-=，则称[]{} ,n n a b 为闭区间套.

2、()()21f x dx f x '=??+??? . 3、()20ln 1x d t dt dx +=? . 4、光滑曲线:C ()()[],,,x x t y y t t αβ==∈的弧长为 . 5、直线上任一点的曲率为 . 6、无穷积分 1sin p x dx x +∞?当时条件收敛. 7、级数11p n n ∞=∑当收敛. 8、幂级数()()1321n n n n x n ∞=+-+∑的收敛半径R = . 9、设函数项级数()n u x ∑定义在数集D 上，n M ∑为收敛的正项级数，若对一切x D ∈，有，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛. 10、设幂级数n n x a ∑在0=x 某邻域上的和函数为()x f ，则n a 与()()0n f 之间的关系是 . 三、求解下列各题（每题5分，共30分） 1、243dx x x ++? . 2、4tan xdx ?. 3 、1 2dx x . 4、112lim p p p p n n n +→∞++ (p 为正整数). 5、讨论无穷积分111x dx x α-+∞ +?的收敛性.

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1 北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf

数学分析3期末测试卷

2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三）一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是（） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是（） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是（） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是（） . A B C D 1 ．2　．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是（） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是（） A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数（） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于（） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（）绝对收敛，则p 的取值范围是； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题 1分，共10 题号一二三四五总分复核人分值 20 20 10 32 18 100 得分评卷人得分得分得分

2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】

2001年浙江大学436数学分析考研真题浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（436）一、（30分) ()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-； ()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-； ()iii 设101(ln )1x f x x x <≤?'=?>?，且(0)0f =，求()f x . 二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中 2sin 7x y y ye e x x =-+-. 三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ??+=??. 四、（20分) ()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-??，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧.

五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域 [][]0,10,1?上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之； ()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之. 六、（15分) 设()f x 是在 []1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ??-≤≤?=?-≤≤?? . 证明：11lim ()()(0)2n n n f x x dx f ?-→∞=?.

浙江大学数学分析考研试题

浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题考试科目：数学分析科目代号：427 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ 111(20)1...log ,log 23111lim(...)122n n x n e n n n n →∞=++++-+++++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；(2)计算2 (15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的，证明:为线性函数. (15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。 22222221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),(,)(2),(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f f x y x y ?++≠?+=??+=? ????????四、分二元函数求是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。 0 000 (15)()[,]()1 lim ()()xy y f x a b f x dx a a f x dx f x dx ∞ ∞ ∞-→+>=???五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明： 2222223/21 (15),0,0,0.()x y z xdydz ydzdx zdxdy a b c ax by cz ++=++>>>++??六、分计算 222(15):1cos().V V x y z I ax by cz dxdydz ++==++???七、分计算在单位球上的积分 2()01!(20)(),12(0)n n n f x x x f ∞==--∑八、分设函数证明级数收敛。 (15)()(0)0,'()(),[0,)()0.f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16

数学分析1-期末考试试卷(A卷)

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ，则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是，第二类间断点是。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（）。（A ）若n x 发散，则n y 必发散。（B ）若n x 无界，则n y 必无界。（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。（D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（）。（A ） 1。（B ）不存在。（C ） 0。（D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（）。（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（）。（A ）() )(x f e f e x x ----。（B ）() )(x f e f e x x +---。（C ） () )(x f e f e x x --- 。（D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（）。（A ）)3(,1πf a =是极小值。（B ）)3 (,1π f a =是极大值。（C ）)3(,2πf a =是极小值。（D ）)3 (,2π f a =是极大值。三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

一、判断题（每小题2分，共20分） 1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（） 4. xy y x f =),(在原点不可微．（） 5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（） 6. dy y x xy y ) 1(sin 2 1 +? +∞ 在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度 T 不能用}{max 1i n i σ?≤≤来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy +=，则其全微分=dz ． 2.设 3 2),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度= )(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线 22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则?=+L ydx xdy ． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于． 5.曲面2732 22=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限 xy y x y x )(lim 22) 0,0(),(+→． 2．设),(y x z z =是由方程z e z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设 ]1,0[]1,0[?=A ，求??++=A y x ydxdy I 2 322)1( . 4．计算抛物线) 0()(2 >=+a ax y x 与x 轴所围的面积.

数学分析2期末考试题库完整

数学分析2期末试题库《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分） 1、牛顿-莱不尼兹公式 2、 ∑∞ =1 n n a 收敛的cauchy 收敛原理 3、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分） 1、4 20 2 sin lim x dt t x x ? → 2、求由曲线2 x y =和2 y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。 3、求∑∞ =+1 )1(n n n n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知z y x u = ，求y x u ???2 三、（每小题10分，共30分） 1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 2、讨论反常积分 ? +∞ --0 1dx e x x p 的敛散性 3、讨论函数列),(1)(2 2+∞-∞∈+ = x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分） 1、设)2,1(1 1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞ =1 n n x 发散 2、证明函数?? ? ?? =+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。，

《数学分析II 》考试题（2）一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ → 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈???-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞ +∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-1 2 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =，求y x u ???2 三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、y x y x y x f +-=2 ),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。四、证明题：（每小题10分，共20分） 1、设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明 0)(>? b a dx x f 2、设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu

运城学院数学分析期末试题2-9

运城学院应用数学系 2008—2009学年第二学期期末考试《数学分析2》试题(B) 适用范围：数学与应用数学0801\02班命题人：杨建雅、常敏慧信息与计算科学0803班审核人：一、填空题（10小题，每题2分，共20分） 1、数集? ?????== ,2,11n n S 的聚点是 . 2、()[]()='+? dx x x n ??1 . 3、若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则 i T i x '?'∑'ωi T i x ?∑ω. 4、瑕积分 ()010>?q x dx q 当时收敛. 5、级数()∑∞=+1 11n n n 的和为 . 6、()()0sup lim =-∈∞→x f x f n D x n 是函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的条件. 7、幂级数∑n x n 的收敛区间为 . 8、闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是 . 9、?1 02dx e x e . 10、已知()dt t x x ?=Φ02cos ，则()=Φ'x . 二、判断题（10小题，每题2分，共20分） 1、开区间集合? ?????=??? ??+ ,2,11,21n n n 构成了开区间()1,0的一个开覆盖.（）

2、设()[]b a x x f y ,,∈=，称()x f y =在[]b a ,上连续可微是指()x f y =在[]b a ,上既连续又可导.（） 3、若函数f 在[]b a ,上单调，且有无限多个间断点，则函数f 在[]b a ,上可积.（） 4、若级数()01≠∑∞=c cu n n 发散，则级数∑∞=1n n u 也发散.（） 5、级数∑∞ =0n n x 在区间()1,1-内一致收敛.（） 6、闭区间套定理的条件是结论成立的充要条件.（） 7、若f 在[]a a ,-上可积，且为偶函数，则()0=?-dx x f a a .（） 8、设g f ,均在[] b a ,上有界，f 在[]b a ,上可积，仅在[]b a ,中有限个点处()()x g x f ≠，则()()dx x g dx x f b a b a ??=.（） 9、若()x f x +∞→lim 不存在，则 ()dx x f a ?∞+发散.（） 10、设函数项级数()x u n ∑在闭区间[]b a ,上的和函数为()x f ，且每一项()x u n 都在闭区间[]b a ,上连续，则()x f 在闭区间[]b a ,上连续.（）三、计算下列积分（4小题，每题5分，共20分） 1、?-dx x x x sin cos 2cos ； 2、dx x x ?++-+1111； 3、()dx x ?2ln ； 4、?-+10x x e e dx ；四、解下列各题（4小题，每题7分，共28分） 1、求极限 ()1! 1lim +∞→+n x n x n e ； 2、求极限 ??? ? ?+++++∞→n n n n 212111lim ；

数学分析2期末考试题库

数学分析2期末试题库《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分） 1、牛顿-莱不尼兹公式 2、 ∑∞ =1n n a 收敛的cauchy 收敛原理 3、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分） 1、4 20 2sin lim x dt t x x ? → 2、求由曲线2 x y =和2 y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。 3、求 ∑∞ =+1) 1(n n n n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知z y x u = ，求 y x u ???2 三、（每小题10分，共30分） 1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 2、讨论反常积分?+∞ --0 1dx e x x p 的敛散性 3、讨论函数列) ,(1)(2 2+∞-∞∈+= x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）

1、设 ) 2,1(1 1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞ =1 n n x 发散 2、证明函数 ?? ? ?? =+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0， 0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。，《数学分析II 》考试题（2）一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、叙述反常积分a dx x f b a ,)(?为奇点收敛的 cauchy 收敛原理 2、二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111(lim n n n n +++++∞ → 2、求摆线] 2,0[) cos 1()sin (π∈? ? ?-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求? ∞ +∞-++dx x x cpv 2 11)( 4、求幂级数 ∑∞ =-1 2)1(n n n x 的收敛半径和收敛域

数学分析(2)期末试题集(单项选择题)

一、黎曼积分 1. 设函数()?? ? ??+≤+=?-x dt t f x F x x x x x f 12.0,4cos ,0,1π,则( D ). (A) ()x F 为()x f 的一个原函数. (B) ()x F 在()+∞∞-,上可微,但不是()x f 的原函数. (C)()x F 在()+∞∞-,上不连续 (D) ()x F 在()+∞∞-,上连续,但不是()x f 的原函数. (注: 因为0=x 是()x f 的第一类跳跃间断点,因而()x f 不可能在包括0=x 点在内的区间上有原函数,因此(A)不正确.当()x f 有第一类间断点()b a x ,0∈,但()x f 在[]0,x a 与 ()b x ,0内连续时,函数()()()b a x dt t f x F x ,, 1∈=?-在区间()b a ,内连续,因此(C)也不正确, 而导函数不可能有第一类间断点,故(B)不正确,因而正确选项为(D)). 3. 设函数()?????=≠+=,0,0,0,1sin 21cos 222x x x x x x x f ()?????=≠=.0, 0, 0,1cos 22 x x x x x F 则在()+∞∞-,内( A ). (A) ()x f 不连续且不可微, ()x F 可微,且()x F 为()x f 的一个原函数. (B) ()x f 不连续,不存在原函数,因而()x F 不是()x f 的原函数. (C) ()x f 与()x F 均为可微函数,且()x F 为()x f 的一个原函数. (D) ()x f 连续且()()x f x F ='.

数学分析(2)期末试题

课程名称数学分析(n ) 、单项选择题(每小题3分，3X 6= 18分) 2、若f 是(，)内以2为周期的按段光滑的函数，则f 的傅里叶(Fourier)级数在它的问断点x 处(). 2、若数项级数 U n 的第n 个部分和S n § ,则其通项U n .... 1 ， 3、曲线y 土与直线x 1 , x 2及x 轴所围成的曲边梯形面积为 1 v v b 4、已知由正积分的换兀积分法可得，°e f (e )dx g f(x)dx ，贝Ua 5、数集(1)n — n 1 2 6、函数f(x) e 的麦克劳林(Maclaurin)展开式为数学分析(2)期末试题试卷类别适用专业、年级、班应用、信息专业 A. 1 B x .xln x C. 1 x D. e x ,一, 八 dx 已知反常积分一J (k 0)收敛丁 1,则k () A. — B 2 .一 C. 匚 2 D. —— 2 2 2 4 ln x (ln x)2 (ln x)3 川( n 1 n 1) (ln x) 川收敛, 则() A. x e B. x e C. x 为任意实数 1 D. e x e 4、设f (x)的一个原函数为lnx ，贝U f (x) 、填空题(每小题3分，3X 6= 18分) 5 、 6 、 1、已知籍级数 a n x n 在x 2处条件收敛, 则它的收敛半径为 1、卜列级数中条件收敛的是( ). B , n 司 C A ? ")n (1)n n 1 D ? (1 -) 函数 A. C. 3、函数 A. 收敛丁 f(x) 发散 f (x)在［a,b ］上可积的必要条件是( 有界 B.连续 B.收敛丁 -(f(x 0) f (x 0)) 2 D.可能收敛也可能发散 C.单调，和S n 1, 2 , 3, 的聚点为

浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案

浙江大学20 10 -20 11 学年春夏学期《数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名：学号：所属院系： _ 一、计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 ) 1. 2 ()(03)sin lim .x y xy x →，，求： 222 2 ()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=?=，，，， 2. (122) ().f x y z gradf = ，，设，， 23(122) (122) (122) (122) 11 ..27 22 .2727 1 {122}.27 f x x f r x r r r x f f y z gradf ??==-?=-=- ????=- =- ??=- ，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，， 3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程. 222()2320246. 321(321){686}. 343 x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---=== 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：

2010级数学分析2期末试题

一、填空题（每小题2分，共26分） 1、函数155345++-=x x x y 在]1,1[-上的最大值为，最小值为。 2. 利用定积分定义得=-∑=∞→n i n i n 1 2241lim 。 3. 若点)2,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ， =b 。 4．若级数∑∞ =1n n a 收敛，则=∞→n n a lim 。 5．设集合? ?????∈+-=+N n n S n 1)1(]1,0[ ，则集合S 的所有聚点之集为。 6、积分?1 02dx x a 当时收敛，级数∑-p n n )1(当时条件收敛。 7、=?-1 132tan xdx x 。 8、?+=)1()(x e dx x f x ，则=)(x f 。 9、曲线)(x f y =，],[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为 =S 。 10、函数列一致收敛的柯西准则为。

11、=+--?dx x x x 3 252 。 12、设]1,1[-∈x ，则=?∑∞=-x n n dt n t 0121 。 13、函数x e 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式为 =x e 。二、计算下列积分（每题6分，共18分） 1、 ?xdx x arctan ； 2、 ?-10221dx x x ； 3、?-40 22dx x x 。三、判断下列反常积分和级数的敛散性，（每题6分，共24分） 1、dx x x ?+∞+12)1ln(； 2、dx x x ?103arctan ； 3、 ∑∞ =-1!)2(n n n n n ； 4、∑∞=??? ??+-11)21(n n n 。四、证明题（第1题12分，第2、3题各10分，共32分） 1、利用定积分证明：（1）半径为R 的园周长为R π2。（2）半径为R 的球体体积为33 4R π。 2、设)(x f 是定义在),(+∞-∞上且以T 为周期的连续函数，证明：)(x f 在),(+∞-∞上有最大值与最小值。 3、证明函数∑∞==13sin )(n n nx x f 在),(+∞-∞上连续，且有连续的导函数。

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