浙江大学1数学分析考研试题解答
浙江大学 数学分析考研试题解答
一、（1）证明 l i m c o s c o s c o s 222
n n t
t t →∞
?
?? (cos cos cos )sin 2222lim
sin 2
n n
n n
t t t t t
→∞???= sin lim
2sin
2n n n
t t →∞
=sin sin lim
sin 22n n n
t t
t t
t t
-→∞-==
； （2）利用1cos
4
2π
=
，及111cos cos 2222
n n ππ+=+， 2
3
1
2
lim cos
cos
cos
22
2n n π
π
π
π
+→∞
=???，
即得
2
111111111
222222222
π
=
+++
。
二、解 1
01()()()x
g x f xt dt f u du x
=
=
?
?，（0x ≠）；显然10(0)(0)0g f dt ==? 10
2000()1lim ()lim x
x x f u du f xt dt x x →→=?? 0
0()1()(0)15
lim
lim (0)22022
x x f x f x f f x x →→-'====- 。 三、解 令sin .n a nx =，
11
1
(1),2
n b n n
=
+++ 由于1n n b b +-=
11111
1
(1)(1)2
12
1
n n n n +++-+++++
111111
1
(1)(1)(1)1212
1
n n n n n =
++++-+++
+++
111111
1
(1)(1)012(1)12
1
n n n n n n >
++++-+++
>++++， 所以{}n b 单调递减. 又因为1lim
0,n n →∞=所以111
lim lim (1)0.2
n n n b n n
→∞→∞=+++= 而 1
1
21
|||sin |,|sin |
n
n
k x
k k a kx ===≤
∑∑ (2)x k π≠ 即 1
k k a ∞
=∑的部分和有界，
于是,由Dirichlet 判别法可知级数收敛； 当 2x k π=时，显然级数收敛。
四、设()f x 是区间I 上的有界函数，证明()f x 在区间I 上一致连续的充分必要条件是对任给的0ε>，总存在正数M ，使得当,x y I ∈，x y ≠，且
()()
f y f x
M y x
->-时，就有
()()f y f x ε-<.
证明 充分性 用反证法.
假若()f x 在区间I 上不一致连续，则存在00ε>，存在{}{},n n x y I ∈， 使得1
n n x y n
-<，但()()0n n f x f y ε->， 即有
()()
0n n n n
f x f y n x y ε->-，
由假设条件，对
02
ε>，只需要n 充分大，
就有()()0
2
n n f x f y ε-<，
矛盾
所以()f x 在区间I 上一致连续； 必要性 设()f x 在区间I 上一致连续， 用反证法若结论不成立，
则存在00ε>，对任意正整数n ，存在{}{},n n x y I ∈， 使得
()()
n n n n
f x f y n x y ->-，
但()()0n n f x f y ε->. 即有2n n M x y n -<
，()sup x I M f x ∈?
?= ???
， 这与f 一致连续矛盾.
注：对函数()f x C =，或者()f x x =，显然在I 上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的{}n x ，{}n y 不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.
五、证明黎曼
ζ
函数
∑∞
==11
)(n x
n
x ζ
在
),1(+∞内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。
（这种性质，也称为无穷次可微。）
证明令x
x
n n n x u -==1)(，
显然
x x n n n
x u -==1
)(，n n x u x n ln )(--='，
2)(ln )(n n x u x n
-=''， k x k k n n n x u )(ln )1()]([)(--=，
,3,2,1=k
都在
),1(+∞上连续；
对任何
1>δ，当x δ
≥时，
1
|()|n u x n
δ
≤，
1
|()|ln n
u x n n δ'≤， ()
1
|[()]
|(ln )k k n u x n n
δ≤，
而1
1(ln )k n n n δ∞
=∑收敛， 所以1()n n u x ∞
=∑，)(1x u n n ∑∞='，)
(1
)]([k n n x u ∑∞
=，
（
,3,2,1=k ）
都在),[+∞δ上一致收敛，
故∑
∞
==11)(n x n
x ζ
在
),[+∞δ内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。
由于
1>δ是任意的，所以
∑∞
==11
)(n x
n
x ζ
在
),1(+∞内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。
显然11x
n n
∞
=∑在
),1(+∞内非一致收敛，
∑∞
==11
)(n x
n x ζ在
),1(+∞内不一致连续。
假若∑∞
==11
)(n x
n
x ζ在
),1(+∞内一致连续，
则有1
lim ()x x A ζ+
→=存在且有限，
在11()N
x
n x n
ζ=>∑中令1x
+→，取极限，得
11
N
n A n
=>∑，(1,2,3,)N =，矛盾。
六、
3
x dydz ∑
??，其中∑为下半椭球面122
2222=++c z b y a x 的外侧. 解 设222
222{(,,):1,0}x y z V x y z z a b c
=++≤≤,
22
22{(,,0):1}x y D x y a b
=+≤,
利用高斯公式，得
33
()D D x dydz x dydz ∑
∑
=++????????下侧
上侧
23V
x dxdydz =???
21
220
2
3(sin cos )sin d d ar abcr dr πππθ??θ?=???
2322
02
13(cos )sin sin 5a bc
d d πππθθ???=?? 23
202
1cos 21
3(1cos )(cos )52a bc d d πππθθ??+=--??
七 证明 （1）显然
(0,0)0f =，1222
(,)()
0f x y x y α+≤+→ ，((,)(0,0))x y →，
(,)(0,0)
lim (,)0(0,0)x y f x y f →==，
所以
(,)f x y 在(0,0)处连续，12
22
(,)()
f x y x y α+??≤?+?，
由
2
22
22
(,)(0,0)
0()0f x y f x y x y α
??-≤
≤?+?→?+?， 22(0)x y ?+?→
即得
(,)f x y 在(0,0)处可微。
（2）对任意00(,)x y ，2
2000x y +≠，当(,)x y Q Q ∈?，且00(,)(,)x y x y →时，
12
22
00(,)()
0f x y x y α+→+≠，
而当(,)x y 沿着非有理点，趋向于00(,)x y 时，
(,)0f x y →，从而可知，
00(,)(,)
lim
(,)x y x y f x y →不存在，(,)f x y 在00(,)x y 处不连续，亦不可微，偏导数不存在。故(,)
f x y 在除原点以外的其它点处，既不连续，也不可微。
八、解 取新坐标系Ouvw ，其中原点不变，平面0ax by cz ++=即为Ovw ，u 轴垂直于该面， 即是作正交变换，
点(,,)x y z 在Ouvw 中的坐标为(,,)u v w ，则有 2
2
2
ax by cz u a b c
++=
++，
在新坐标系下，公式左端的积分可写为
2222221
1
()()x y z u v w f ax by cz dxdydz f ku dudvdw ++≤++≤++=
???
???
222
1
1
1()v w u f ku du
dvdw -+≤-=???
1
21
()(1)f ku u du π-=-?1
21
(1)()u f ku du π-=-?，
2220k a b c =++> 。
九、 证明
()g x 是周期为2l 的连续函数，1
2
l =，设
1()cos l k l k x a g x dx l l π-=?1
212
2()cos 2g x k xdx π-=?，(0,1,2,...)k =
1
212
1()sin 2()sin 2l k l k x b g x dx g x k xdx l l ππ--==??，
根据Fouier 级数收敛定理，得
01
(cos2sin 2)2k k k a a k x b k x ππ∞
=++∑在2[0,1]L 中收敛于()g x ，
1
222
2202112
1()()2()2l k k l k a a b g x dx g x dx l ∞--=++==∑??， 设01
()(cos2sin 2)2N
N k k k a S x a k x b k x ππ==++∑，
由
1
2
()()0N S x g x dx -→?
，()N →∞，可知
1
2
()()0N S nx g nx dx -→?
，()N →∞
且关于n 是一致的， 所以有1
1
lim ()()()()N
N S
nx f x dx g nx f x dx →∞=??，且关于n 是一致的，
则有
1
1
lim ()()lim lim ()()N n n N g nx f x dx S nx f x dx →∞→∞→∞=??，
而1
1
11000001
()()()[cos2()sin 2()]2N N k k k a S nx f x dx f x dx a k nx f x dx b k nx f x dx ππ==+?+?∑???? 再利用黎曼引理，可知
1
lim cos2()0n k nx f x dx π→∞?=?，
1
lim sin 2()0n k nx f x dx π→∞?=?，(1,2,...,)k N =
于是1
1
00
lim ()()()2
N n a S nx f x dx f x dx →∞=??
11
()()g x dx f x dx =??，
根据极限可以交换顺序的定理，故有
1
lim ()()n g nx f x dx →∞?
10
lim lim ()()N n N S nx f x dx →∞→∞=? 1
lim lim ()()N N n S nx f x dx →∞→∞=?
1
00
lim
()2
N a f x dx →∞=?
1
00
()2
a f x dx =
?
1
1
()()g x dx f x dx =??.
同样可以证明： 定理 设
()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()g x 是周期为T 的周期函数，()g x 在[0,]T 上可积，
则有
1lim ()()()()b
T
b a
a n f x g nx dx g x dx f x dx T →∞=?
?? 。
证明
()g x 是周期为2l 的连续函数，2
T
l =
，设 1()cos l k l k x a g x dx l l
π-=?
2
022222()cos ()cos T T T k k g x xdx g x xdx T T T T
ππ-==??，(0,1,2,...)k =，
1()sin l k l k x
b g x dx l l
π-=
? 2022222()sin ()sin T T T k k g x xdx g x xdx T T T T
ππ
-==??，(1,2,...)k =；
根据Fouier 级数收敛定理，得
0122(cos sin )2k k k a k k a x b x T T
ππ
∞=++∑在2[0,]L T 中收敛于()g x ， 2222200112()()()2l T k k l k a a b g x dx g x dx l T ∞-=++==∑??，
设0122()(cos sin )2N N k k k a k k S x a x b x T T
ππ
==++∑，
由
2
()()0T
N S x g x dx -→?
，()N →∞，
可知2
0()()0T
N S nx g nx dx -→?，()N →∞，且关于n 是一致的， 可得2
()()0b
N a
S nx g nx dx -→?
，()N →∞，且关于n 是一致的
所以有lim ()()()()b
b
N a
a
N S nx f x dx g nx f x dx →∞=?
?，且关于n 是一致的，
则有
lim ()()lim lim ()()b
b
N a
a
n n N g nx f x dx S nx f x dx →∞→∞→∞=??，
而
()()b
N a
S nx f x dx ?
1001
22()[cos ()sin ()]2N b b k k a a k a k k f x dx a nx f x dx b nx f x dx T T ππ
==+?+?∑???，
再利用黎曼引理，可知
2lim cos
()0b
a
n k nx f x dx T
π
→∞?=?，
2lim sin
()0b
a
n k nx f x dx T
π
→∞?=?，(1,2,...,)k N = 于是0
lim ()()()2
b
b
N a a
n a
S nx f x dx f x dx →∞=??
1()()T
b a g x dx f x dx T =??，
根据极限可以交换顺序的定理，故有
lim ()()lim lim ()()b b
N a
a
n n N g nx f x dx S nx f x dx →∞→∞→∞=??
lim lim ()()b
N a
N n S nx f x dx →∞→∞=?
lim
()2
b
a
N a f x dx →∞=?
0()2
b
a
a f x dx =
?
01()()T
b a g x dx f x dx T
=
??.
推论 设
()f x 在[,]a b 上黎曼可积，则有
1
2
lim ()sin sin ()()b
b
b
a
a
a
n f x nx dx x dx f x dx f x dx π
ππ→∞=
=
??
??
。
把上面证明过程中的n 换为λ，即可得如下定理的证明
定理 设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()g x 是周期为T 的周期函数，()g x 在[0,]T 上可积，
则有
1lim
()()()()b
T
b a
a f x g x dx g x dx f x dx T λλ→+∞=?
?? 。
推论 设
()f x 在[,]a b 上黎曼可积，则有
1
2
lim
()sin sin ()()b
b
b
a
a
a
f x x dx x dx f x dx f x dx π
λλππ→+∞=
=
?
?
??
。
2006年浙江大学427数学分析考研真题【圣才出品】
1 / 3 2006年浙江大学427数学分析考研真题 浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析（427） 考生注意： 1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。 一、（20分) ()i 证明：数列 1111ln (1,2,3,)23n x n n n =++++-=收敛； ()ii 计算：1111lim()1232n n n n n →∞ +++++++. 二、（15分) 设()f x 是闭区间 [],a b 上的连续函数，对任一点(),x a b ∈，存在趋于零的数列，使得 2()()2()lim 0k k k k f x r f x r f x r →∞++--=. 证明：函数()f x 为一线性函数. 三、（15分) 设()h x 是 (),-∞+∞上的无处可导的连续函数，试以此构造连续函数()f x ，在 (),-∞+∞上仅在两点可导，并且说明理由.
2 / 3 四、（15分) 设22222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=?. ()i 求(,)f x y x ??以及(,)f x y y ??； ()ii 问(,),(,)f f x y x y x y ????在原点是否连续?(,)f x y 在原点是否可微?试说明理由. 五、（20分) 设()f x 在()0,+∞的任何闭子区间[],αβ上黎曼可积，且0()f x dx +∞ ?收敛， 证明：对于常数 1a >，成立 000lim ()()xy y a f x dx f x dx ++∞+∞-→=??. 六、（15分) 计算曲面积分 32222()S xdydz ydzdx zdxdy I ax by cz ++=++?? 其中 {}2222(,,)S x y z x y z r =++=，常数0,0,0,0a b c r >>>>. 七、（15分) 设V 为单位球： 2221x y z ++≤，又设,,a b c 为不全为零的常数，计算： cos()V I ax by cz dxdydz =++???. 八、（20分) 设函数21()12f x x x =--，证明级数 ()0!(0)n n n f ∞=∑收敛. 九、（15分) 设()f x 在)0,+∞??上可微，(0)0f =.若有常数0A >，使得对任意 ) 0,x ∈+∞??，有
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=， 得 2 21ln(1)4 x x x x ≤-+≤，（x 充分小），
数学分析报告考研试题
高数考研试题2 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当1>λ时，有 ,0, 0,0,1sin 1cos )(21 =≠?????+='--x x x x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有) 0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续. 【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）. （2）已知曲线b x a x y +-=2 33与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2 b 与a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 0332 2=-='a x y ，有 .220a x = 又在此点y 坐标为0，于是有 030023 0=+-=b x a x , 故 .44)3(6 422202202a a a x a x b =?=-= 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题. （3）设a>0， ，x a x g x f 其他若, 10,0,)()(≤≤?? ?==而D 表示全平面，则??-=D dxdy x y g x f I )()(= 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域积分即可. 【详解】 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ??≤-≤≤≤1 0,102 =. ])1[(21 02101 2a dx x x a dy dx a x x =-+=??? + 【评注】 若被积函数只在某区域不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 . （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a E B αα1+=，
数学分析考研试题 (1)
南京理工大学2005年数学分析试题 一、（10分）设0>n a ，n=1,2， )(,0∞→≠→n a a n ,证 1lim =∞→n n n a 。 二、（15分）求积分 ??∑?ds n F ??其中），，＝（x y yz x y F ?，∑为半球面，0z 1z y x 222≥，＝＋＋和圆1y x 0z 22≤＋， ＝的外侧 三、（15分）设f 为一阶连续可微函数，且） （0f ''存在，f （0）＝0， 定义?????≠'0 x x f x 10 x 0f x g ）（＝）（）＝（ 证 g 是一个可微，且g '在0点连续。 四、（15分）证明 级数 ∑∞1n x n 2e ＝－ 在），＋（∞0上不一致收敛，但和函数在） ，＋（∞0上无穷次可微。 五、（15分）设〕，〔b a C f ∈，证明，0>?ε存在连续折线函数g ，使得 ε<）（）－（x g x f ，〕〔b a,x ∈ ?。 六、（15分）设），（t x u 为二元二阶连续可微函数且u 的各一阶偏导关于x 是以1为周期 函数，且2222x u t u ????＝，证明?????E 1022dx x u t u 21t ））＋（）（（）＝（是一个与t 无关的函数。 七、（15分）设f 为〕 ，＋〔∞1上实值函数，且f （1）＝1，）（）（＋）＝（1x x f x 1x f 22≥'，证明）（＋x f lim x ∞→存在且小于4 1π＋。 八、（15分）设∑∞1n n n x a ＝为一幂函数，在（－R ，R ）上收敛，和函数为f ，若数列{}j x 满足 0x x R 21>>>>Λ且0lim =∞ →j j x ，Λ1,2j 0x f j ＝，）＝（，证明 Λ210n 0a n ，，＝，＝ 九、（15）设f 是 〕〔〕，〔b a b a ??上的二元连续映射，定义 {}〕 ，〔），（）＝（b a y y x f max x g ∈，证明 g 在〔a ，b 〕上连续。 十、（20分）讨论二元函数连续、可偏导、可微三个概念之间的关系，要有论证和反例。
2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】
2001年浙江大学436数学分析考研真题 浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析（436） 一、（30分) ()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-； ()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-； ()iii 设101(ln )1x f x x x <≤?'=?>?，且(0)0f =，求()f x . 二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中 2sin 7x y y ye e x x =-+-. 三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ??+=??. 四、（20分) ()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-??，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧.
五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域 [][]0,10,1?上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之； ()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之. 六、（15分) 设()f x 是在 []1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ??-≤≤?=?-≤≤?? . 证明：11lim ()()(0)2n n n f x x dx f ?-→∞=?.
数学分析各校考研试题与答案
2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤?
浙江大学数学分析考研试题
浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：数学分析 科目代号：427 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ 111(20)1...log ,log 23111lim(...)122n n x n e n n n n →∞=++++-+++++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；(2)计算2 (15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的， 证明:为线性函数. (15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。 22222221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),(,)(2),(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f f x y x y ?++≠?+=??+=? ????????四、分二元函数求 是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。 0 000 (15)()[,]()1 lim ()()xy y f x a b f x dx a a f x dx f x dx ∞ ∞ ∞-→+>=???五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明： 2222223/21 (15),0,0,0.()x y z xdydz ydzdx zdxdy a b c ax by cz ++=++>>>++??六、分计算 222(15):1cos().V V x y z I ax by cz dxdydz ++==++???七、分计算在单位球上的积分 2()01!(20)(),12(0)n n n f x x x f ∞==--∑八、分设函数证明级数收敛。 (15)()(0)0,'()(),[0,)()0.f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16
2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)
北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页
2020年数学分析高等代数考研试题参考解答
安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答 北京大学1996年数学分析考研试题参考解答 北京大学1997年数学分析考研试题参考解答 北京大学1998年数学分析考研试题参考解答 北京大学2015年数学分析考研试题参考解答 北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答 北京大学2016年数学分析考研试题参考解答 北京大学2020年高等代数考研试题参考解答 北京大学2020年数学分析考研试题参考解答 北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答 大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答 赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答 各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版 各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版 各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答 广州大学2013年数学分析考研试题参考解答 国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答 哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答
上海大学数学分析历年考研真题
上海大学２0００年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 设 122(1)n n x x nx y n n +++= +,若lim n n x a →∞=，证明:(1)当a 为有限数时,lim 2 n n a y →∞=； （2）当a =+∞时,lim n n y →∞ =+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[] 0,1min ()1f x =- 证明：[] 0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1 , x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>?=??? 当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明:1 2210 () lim (0),t tf x dx f t x π+ -→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ? ?=+- ???,讨论级数2 n n a +∞ =∑的收敛性． 6、 设 ()f x dx +∞ ? 收敛且()f x 在[]0,+∞上单调,证明：0 1 lim ()()h n h f nh f x dx + +∞ +∞ →==∑?． 7、 计算曲面2 2 2 2 x y z a ++=包含在曲面22 221(0)x y b a a b +=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数 1 sin k k k +∞ =∑的值. 上海大学２001年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 计算下列极限、导数和积分： (1) 计算极限1 lim();x x x + → (2) 计算 2 ()()x x f t dt ?=?的导数()x ?'，其中()f x 2 ,(1) .1,(1) t t t t ≤? =? +> ? (3) 已知) 211sin x x ' ?=?+? ，求积分2011sin I dx x π=+?． (4) 计算()()2222 2 ()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤= >???的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达
最新2003年浙江大学数学分析试题答案
2003年浙江大学数学分析试题答案
2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ， a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以 ,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连 续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取 },m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
(最新整理)上海交通大学2003年数学分析考研试题
(完整)上海交通大学2003年数学分析考研试题 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)上海交通大学2003年数学分析考研试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)上海交通大学2003年数学分析考研试题的全部内容。
上海交通大学2003年数学分析考研试题 一 判断以下各题，正确的给出证明,错误的举反例并说明理由。（每小题6分，共24分） 1． 若()x f 在R 上有定义，且在所有无理点处连续，则()x f 在R 上处处连续。 2． 若()x f ，()x g 连续，则()()()()x g x f x ,m in =?连续。 3． 任意两个周期函数之和仍为周期函数。 4． 若函数()y x f ,在区域D 内关于x ，y 的偏导数均存在，则()y x f ,在D 内必连续。 二（12分)设()x f 在[]b a ,上无界，试证对任意0 δ，在[]b a ,上至少有一点x ，使得()x f 在0x 的 δ邻域上无界。 三(12分)设()x f 对任意R x ∈有()()2x f x f =且()x f 在0=x 和1=x 处连续。试证明()x f 在R 上为常数。 四（12分）已知0,...,,21 n a a a ，()2≥n 且()x x n x x n a a a x f 12 1 ...??? ? ? ?+++=，试求()n n x a a a x f ...lim 210=→ 五（12分）若实系数多项式()n n n n n a x a x a x a x P +++=--1110,00≠a 的一切根均为实数。试证明导函数()x P n '也仅有实根。 六（12分）设{}n na 收敛，级数()∑∞ =--2 1n n n a a n 收敛。试证级数∑∞ =1 n n a 收敛。 七（12分)设()x y ?=，0≥x 是严格单调增加的连续函数,()00=?是它的反函数.试证明对 0,0 b a 有()()ab dy y dx x b a ≥+??0 ψ? 八 计算题（每小题12分，共24分） 1． 求函数()4 4 4 ,,z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值。 2． 计算积分()dz arctgzdxdy z y I V ??? -= ，其中V 为由曲面()222 2 1R z y x =-+，0=z 和h z =所围成的区域。 九(10分）设()x g 在[)+∞,a 上一致连续，且对任意的a x ≥有()A n x g n =++∞ →lim ，是试证()A x g x =+∞ →lim
浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案
浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期 《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ） 课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场 考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟 诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。 请注意：所有题目必须做在答题本上！ 做在试卷纸上的一律无效！ 请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！ 考生姓名： 学号： 所属院系： _ 一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 ) 1. 2 ()(03)sin lim .x y xy x →，，求： 222 2 ()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=?=，，，， 2. (122) ().f x y z gradf = ，，设，， 23(122) (122) (122) (122) 11 ..27 22 .2727 1 {122}.27 f x x f r x r r r x f f y z gradf ??==-?=-=- ????=- =- ??=- ，，，，，，，，令，则：则： 同样， ，因此，，， 3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程. 222()2320246. 321(321){686}. 343 x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---=== 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：
2015北京大学考研专业课历年考研真题及参考答案
2015年北京大学702数学基础全套资料 温馨提示：点击蓝色字体访问原文||【Ctrl+H】搜索所需科目 ◇资料构成 本专业课考试科目的全套资料主要包括： 1．历年真题 本全套资料提供北京大学1996—2001、2005—2010年数学分析考研真题，供参考。 ·北京大学2010年数学分析考研真题 ·北京大学2009年数学分析考研真题 ·北京大学2008年数学分析考研真题 ·北京大学2007年数学分析考研真题 ·北京大学2006年数学分析考研真题 ·北京大学2005年数学分析考研真题（含答案） ·北京大学1996—2001年数学分析考研真题 注：考研真题或答案如有补充，会第一时间予以上传，并在详情中予以标注，请学员留意。 2．指定教材配套资料 北京大学702数学基础近年不指定参考书目，但根据往年指定教材情况，建议参考书目为：①《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）；②《数学分析》（一、二、三册）（方企勤等，北京大学出版社）。 ·教材：方企勤《数学分析（第一册）》（PDF版） ·教材：方企勤《数学分析（第三册）》（PDF版） ·《数学分析习题集》(林源渠方企勤等著) ·教材：张筑生《数学分析新讲》（第一、二、三册）（PDF版） 3．北京大学老师授课讲义（含指定教材高校老师授课讲义） 本全套资料提供北京大学老师的授课资源，及建议参考书目的相关课件。具体包括： ·北京大学彭立中老师《数学分析》教学资源汇总（含电子教案、例题习题等，仅提供免费浏览网址） ·《数学分析》教学课件（上册） 4．兄弟院校考研真题详解 本全套资料提供的兄弟院校历年考研真题（含详解）部分，提供其他同等高校历年考研真题详解，以便学员复习备考。所列的高校考研真题非常具有参考性！这部分内容包括： ·中山大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2010 2009 2008 2006 2005 2004 2003 ·华东师范大学数学分析与高等代数考研真题：2005 2004 ·华东师范大学数学分析考研真题：2010 2009 2008（含答案） 2007（含答案） 2006 2005（含答案） 2004 2003（含答案） 2002 2001（含答案） 2000（含答案） 1999 1998 1997 ·华东师范大学高等代数考研真题：2008（含答案） 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 ·北京师范大学数学分析与高等代数考研真题：2007 2006 ·浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2006 2005 2004 5．其他相关精品资料 ·数学分析同步辅导及习题全解（华东师大第三版）（上、下册）（PDF版，586页） 附注：全套资料尤其是真题会不断更新完善，待更新完善后会及时上传并予以说明标注，学员可下载学习！
2000~2012年苏州大学数学分析考研真题
苏州大学 2012年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。共4题，计30分。 1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0b a f x dx =∫，则[],x a b ?∈，()0f x =。 2. 在有界闭区间[],a b 上可导的函数()f x 是一致连续的。 3. 设()f x 的导函数()f x ′在有限区间I 上有界，则()f x 也在I 上有界。 4. 条件收敛的级数1n n a ∞=∑任意交换求和次序得到的新级数也是收敛的。 二、下列4题每题 15分，计60分。 1. 计算下列极限： （1） 111lim 12n n n →∞ +++ ； （2） sin 0lim sin x x x e e x x →??。 2. 求积分2D I x y dxdy =?∫∫，其中(){},:01,11D x y x y =≤≤?≤≤。 3. 设L 为单位圆周221x y +=，方向为逆时针，求积分 ()()22 4L x y dx x y dy I x y ?++=+∫ 。 4. 计算曲面积分 () 42sin z S xdydz e dzdx z dxdy ++∫∫， 其中S 为半球面222 1x y z ++=，0z ≥，定向为上侧。 三、下列3题，计36分。 1. 设()f x 在[],a b 上可微，证明：存在(),a b ξ∈，使成立 ()()()()()222f b f a b a f ξξ′?=?。 2. 设()2sin x f x e x =，求()()20120f 。 3. 设()f x 在闭区间[],a b 上二阶可导且()0f x ′′<，证明不等式 ()()2b a a b f x dx f b a + ≤? ∫。
最新浙江大学数学分析试题答案-考研试卷汇总
2004年浙江大学数学分析试题答案-考研试 卷
2004年浙江大学数学分析试题答案. 1.)(x f 必要性：在X 上一致收敛：,0,0>?>?δε当δ<-'''x x 时， ε<-)''()'(x f x f ， 由0)(lim ' '=-∞ →m n n x x ，对上述,,0N ?>δ当N n >时，δ<-''m n x x ，有ε<-)'()'(m n x f x f ， 所以0)'()'(lim =-∞ →m n n x f x f ， 充分性：反证：假设)(x f 在X 上不一致收敛；'',',0,00x x ?>?>?δε尽管 δ<-'''x x ，但0)''()'(ε≥-x f x f ，不妨取,',',1m n x x n ?=δ尽管n x x m n 1 ''<-，但 0)'()'(ε≥-m n x f x f 上述},'{},'{m n x x 满足0)(lim ' '=-∞ →m n n x x ，但是0)'()'(ε≥-m n x f x f ，与 0)'()'(lim =-∞ →m n n x f x f 矛盾。 2. 由0) ('lim 0=→x x f x ，得0)0('',0)0('==f f ， )()0('''61)0(''21)0(')0()(332x x f x f x f f x f ο++++=，)1 (161)1(2 2n n n nf ο+=， 级数∑ ∞ =12 1 n n 绝对收敛，所以原级数绝对收敛。 3.由0)('<+a f ，存在c a f x f a x =<>)()(,11，由0)('<-b f ，存在 c b f x f b x =><)()(,22，由连续函数的介值定理：存在201x x x <<，c x f =)(0，在 由罗尔定理，知)('x f 在),(b a 至少存在两个零点。 4.反证：假设对任意的区间],[],[b a ?βα，有0)(≥x f ，把这些区间叠加覆盖区间[a,b]则 ? ≥b a dx x f 0)(，与题设矛盾。 5.由有限覆盖定理：存在N ,,2,1 ，有N I I I ,,21覆盖[0，1]，记这N 个区间的长度的最小者为δ=0 j I ，当δ<-'''x x 时，}{'','αβI I x x ∈∈
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π-≤≤， 得到 33sin sin 1sin 11|sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞→+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞=∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2n n a ∞=∑发散； 由 20011ln(1)1lim lim 2x x x x x x x →→--++=011lim 21x x →=+ 12=， 得221ln(1)4 x x x x ≤-+≤，（x 充分小），
浙江大学数学分析试题答案
2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
上海大学数学分析历年考研真题
上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 设 122(1)n n x x nx y n n +++= +，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2 n n a y →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞ =+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[] 0,1min ()1f x =- 证明：[] 0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1 , x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>?=??? 当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：1 2210 () lim (0),t tf x dx f t x π+ -→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ? ?=+- ???，讨论级数2 n n a +∞ =∑的收敛性. 6、 设 ()f x dx +∞ ? 收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0 1 lim ()()h n h f nh f x dx + +∞ +∞ →==∑?. 7、 计算曲面2 2 2 2 x y z a ++=包含在曲面22 221(0)x y b a a b +=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数 1 sin k k k +∞ =∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 计算下列极限、导数和积分: (1) 计算极限1 lim();x x x + → (2) 计算 2 ()()x x f t dt ?=?的导数()x ?',其中()f x 2 ,(1) .1,(1) t t t t ≤ ?=? +> ? (3) 已知) 211sin x x ' ?=?+? ,求积分2011sin I dx x π=+?. (4) 计算()()2222 2 ()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤= >???的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达
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