运筹学-排队论习题(B5打印)
1. 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。求
1、收费处空闲的概率；
2、收费处忙的概率；
3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。 根据题意, λ=100辆/小时，
μ1=15秒=240
1（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。 因此： 12
5240100==μλ=
ρ 系统空闲的概率为：583.012
712511P 0==-
=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125
)1(1P 10==ρ=ρ--=-
系统中有1辆车的概率为：243.0144
35
127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ=
系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 2
22==⨯⎪⎭⎫
⎝⎛=ρ-ρ=
系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P 3
33==⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛=ρ-ρ=
2．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从
负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；
（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
解：单位时间为小时，5.063,6,3=====μλρμλ （1）店内空闲的时间： 5.021110
=-=-=ρp ；
（2）有4个顾客的概率：03125.02
1
21121)1(54
4
4
==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-=ρρρ；
（3）至少有一个顾客的概率：{}5.0110=-=≥p N P ；
（4）店内顾客的平均数：11=-=
ρ
ρ
L ；
（5）等待服务的顾客的平均数：5.0=-=ρL L q
（6）平均等待修理的时间：1667.035
.0==
=
λ
q
L W
； （7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
{}607
.0152
1)20
1101(
15)(====>-----e
e
e
T P t
λμ
3. 设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson 流，平均到达时间间隔为20分钟，诊断时间服从负指数分布，平均需12分钟，求： （1）病人到来不用等待的概率； （2）门诊部内顾客的平均数；
（3）病人在门诊部的平均逗留时间；
（4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则医院方将考虑增加值班医生。
问病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？
解: 单位时间为小时，6.0,51260,3=====μλρμλ
（1）病人到来不用等待的概率：4.06.0110=-=-=ρp （2）门诊部内顾客的平均数：5.16
.016.01=-=-=ρρL （人） （3）病人在门诊部的平均逗留时间；5.01
=-=
λ
μW （小时） （4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则有： 4,51
11=∴-=
-=
λλ
λμ
即当病人平均到达时间间隔小于等于15分钟时，医院将增加值班医生。
4. 某排队系统只有1名服务员，平均每小时有4名顾客到达，到达过程为Poisson 流，，服务时间服从负指数分布，平均需6分钟，由于场地限制，系统内最多不超过3名顾客，求：
（1）系统内没有顾客的概率； （2）系统内顾客的平均数； （3）排队等待服务的顾客数；
（4）顾客在系统中的平均花费时间； （5）顾客平均排队时间。 解：单位时间为小时，3,4.0,10,4=====K μλρμλ
；
（1）系统内没有顾客的概率：616.04
.014
.0111440=--=--=ρρp ；
（2）系统内顾客的平均数：
562.04
.014.044.014.01)1(14
4
1
1
=-⨯--=-+-
-=
++K K K L ρρρ
ρ
（人）
； （3）排队等待服务的顾客数：178.0384.0562.0)1(0=-=--=p L L q （人）；
（4）顾客在系统中的平均花费时间： 8.8146.0842
.3562
.0)
1(03===
-=
p L
W ρλ（分钟） （5）顾客平均排队时间：8.2046.01.0146.01==-=-=μW W q
（分钟）
。 5. 某街区医院门诊部只有一个医生值班，此门诊部备有6张椅子供患者等候应诊。当椅
子坐满时，后来的患者就自动离去，不在进来。已知每小时有4名患者按Poisson 分布到达，每名患者的诊断时间服从负指数分布，平均12分钟，求： （1）患者无须等待的概率； （2）门诊部内患者平均数； （3）需要等待的患者平均数； （4）有效到达率；
（5）患者在门诊部逗留时间的平均值； （6）患者等待就诊的平均时间； （7）有多少患者因坐满而自动离去？
解：此问题可归结为Ｍ／Ｍ／１／７的模型，单位时间为小时， 7,8.0,5,4=====K μλρμλ
（1）患者无须等待的概率：2403.08
.018
.018
=--=
p ；
（2）门诊部内患者平均数：387.28
.018.088.018.08
8
=-⨯--=L （人）
（3）需要等待的患者平均数：627.1)1(387.20=--=p L q （人）
（4）有效到达率：8.3)8.08.018.011(4)1(78
7=⨯---
⨯=-=P λλε
；
（5）患者在门诊部逗留时间的平均值：
628.08
.3387
.2==
=
ελL
W （小时）=37.7(分钟)
（6）患者等待就诊的平均时间：7.25127.37=-=q W (分钟)
（7）有%03.50503.01178
7==--=
ρρ
ρP 的患者因坐满而自动离去.
6. 某加油站有四台加油机，来加油的汽车按Poisson 分布到达，平均每小时到达20辆。四台加油机的加油时间服从负指数分布，每台加油机平均每小时可给10辆汽车加油。求：
（1）前来加油的汽车平均等待的时间；
（2）汽车来加油时,4台油泵都在工作,这时汽车平均等待的时间.
解：此为一个Ｍ/Ｍ/4系统，,2,10,20====μλρμλ系统服务强度
5.042==*ρ，所以 13.02111!42!21
300=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-=∑k k k k p
（1）前来加油的汽车平均等待的时间即为q W ： 因为 10
1201
1
-=
-
=
-
=L L
W W q μ
λ
μ
而 17.22)
5.01(!413.05.02)1(!2420=+-⨯⨯⨯=+-=**ρρρρc p L c 故：q W ＝０.0085（小时）=0.51（分钟）
（2）汽车来加油时,4台油泵都在工作,设汽车平均等待的时间为*W . 则 ∑
∞
=*
=
c k k
q
P W W ，因为 26.001==p p ρ，26.02
02
2
==
p p ρ
18.0!
303
3==
p p ρ，4=c ，
17.013
04=-=∑∑=∞
=k k k k
p p 所以 ：317
.051.017
.0==
=
*q W W （分钟）
。 7. 某售票处有3个售票口，顾客的到达服从Poisson 分布，平均每分钟到达9.0=λ
（人），3个窗口售票的时间都服从负指数分布，平均每分钟卖给4.0=μ（人），设可以归纳为Ｍ/Ｍ/3 模型，试求： （1）整个售票处空闲的概率； （2）平均对长； （3）平均逗留时间； （4）平均等待时间；
（5）顾客到达后的等待概率。
解：此为一个Ｍ/Ｍ/3系统，,25.2,4.0,9.0====μλρμλ系统服务强度：
75.03
==
*ρ
ρ
（1）0743.075.011!3)25.2(!)25.2(1
3030=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯+=-=∑k k k p
（2）因为：95.325.20743.0)
75.01(!375
.0)25.2(2
3=+⨯-⨯⨯=
L （人）
所以：70.125.295.3=-=-=ρL L q （人）
（3）平均逗留时间：39.49
.095.3===λL W （分钟）
（4）平均等待时间：89.14.0139.41=-=-=μW W q （分钟） （5）设顾客到达后的等待概率为*P ，则
57.00743.075.011
!3)25.2(11
!30
=⨯-⨯=-==*∞
=*
∑P c P P c
c
k k ρρ
8. 一个美容院有3张服务台，顾客平均到达率为每小时5人，美容时间平均30分钟，
求：
（1）美容院中没有顾客的概率； （2）只有一个服务台被占用的概率。
解：此为系统为M / M / n (n=3)损失制无限源服务模型，
5.2,2060,,5=====μλρμλ，
（1）()108.0604.2125.35.21!)
5.2(11
300=+++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=--=∑k k k p
（2）27.0108.05.201=⨯==p p ρ
9. 某系统有3名服务员,每小时平均到达240名顾客,且到达服从Poisson 分布，服务时间服从负指数分布，平均需0.5分钟，求: (1)整个系统内空闲的概率； (2) 顾客等待服务的概率；
（3）系统内等待服务的平均顾客数； （4）平均等待服务时间； （5）系统平均利用率；
（6）若每小时顾客到达的顾客增至480名，服务员增至6名，分别计算上面的 （1）——（5）的值。
解：此为系统为M / M / n (n=3)服务模型，
3,2,)/(25
.01
,/(460240=======
n μλρμλ分钟人分钟）人， （1）整个系统内空闲的概率：
111.0)4221(!3!11
20
30=+++=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=∑k k n n k p ρρρ；
（2）顾客等待服务的概率：
{}444.09
4!3003
==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>p n n W p ρρ； （3）系统内等待服务的平均顾客数： 888.09
8
)(!)1(02
1
==
--=
+p n n L n q
ρρ（人）
； （4）平均等待服务时间： 222.09
2
4198==⨯==
λq
q
L W
；
（5）系统平均利用率；667.02===*
n ρρ；
（6）若每小时顾客到达的顾客增至480名，服务员增至6名，分别计算上面的
（1）——（5）的值。
6,4,)/(25
.01
,/(860480=======
n μλρμλ分钟人分钟）人 则：整个系统内空闲的概率：
017.0)067.17866.42(!!11
20
0=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=∑k n k n n n k p ρρρ
顾客等待服务的概率：{}285.0017.0067.17!00=⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=>p n n n W p n
ρρ 系统内等待服务的平均顾客数：58.0)
(!)1(0
21=--=+p n n L n q ρρ（人）
平均等待服务时间：07.0==λ
q q
L W 系统平均利用率；667.064===*n ρρ。
10. 某服务系统有两个服务员，顾客到达服从Poisson 分布，平均每小时到达两个。服务时间服从负指数分布，平均服务时间为30分钟，又知系统内最多只能有3名顾客等待服务，当顾客到达时，若系统已满，则自动离开，不再进入系统。求： （1）系统空闲时间； （2）顾客损失率；
（3）服务系统内等待服务的平均顾客数； （4）在服务系统内的平均顾客数； （5）顾客在系统内的平均逗留时间； （6）顾客在系统内的平均等待时间； （7）被占用的服务员的平均数。
解：将此系统看成一个M / M / 2 / 5排队系统，其中：
5,2,4,5.0,2======K n μλρμλ （1）系统空闲时间： 008.0)241(2))24(1(4411
12520=⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--++=-+-p ；
（2）顾客损失率：512.02
!2008.042
555=⨯⨯=
-p ；
（3）服务系统内等待服务的平均顾客数：
18.2)24)(125)(241(241)241((!2)24(4008.0251
252
2=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+---⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯=-+-q L （人） （4）在服务系统内的平均顾客数：
13.4)512.01(418.2)1(5=-⨯+=-+=p L L q ρ（人）； （5）顾客在系统内的平均逗留时间： 23.4)
512.01(213
.4)1(5=-⨯=-=
p L W λ （分钟）
； （6）顾客在系统内的平均等待时间：
23.2223.41=-=-=μW W q （分钟） （7）被占用的服务员的平均数。
95.118.213.4=-=-=q L L n （个）
11. 某车站售票口，已知顾客到达率为每小时200人，售票员的服务率为每小时40人，求：
（1）工时利用率平均不能低于60％；
（2）若要顾客等待平均时间不超过2分钟，设几个窗口合适？ 解：将此系统看成一个M / M / n 排队系统，其中
5.3,45,140====μλρμλ，则 工时利用率平均不能低于60％，即系统服务强度：
6.05
.3≥=
=
*n
n ρ
ρ ，所以 17.4≤n ，设4,3,2,1=n 均满足工时利用率的要
求，现在计算是否满足等待时间的要求：
（1）当4=n 时，
0737.05.04!45.2!35.225.25.21!!1
4321
300=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=∑k n k n n n k p ρρρ 平均等
待时间：
02
!
)
(!)1(p n n L W n q
q ρλρλ
--=
=
+
0067.02700197
.70148.05
.162005.22
5==⨯⨯⨯=（小时）=0．16（分） （２）当3=n 时，045.0!!1
20
0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=∑k n k n n n k p ρρρ
平均等待时间：0176.0)
(!)1(02
!
=--=
=
+p n n L W n q
q ρλρλ
（小时）=1.05(分)
若2≤n ，则1>n ρ，所以，应该设3个窗口符合要求。
12．某律师事物所咨询中心，前来咨询的顾客服从Poisson 分布，平均天到达50个。 各位被咨询律师回答顾客问题的时间是随机变量，服从负指数分布，每天平均接待10人。每位律师工作1天需支付100元，而每回答一名顾客的问题的咨询费为20元，试为该咨询中心确定每天工作的律师人数，以保证纯收入最多。 解：这是一个M / M / n 系统确定n 的问题，因为： n n 5,5,10,50======*ρρμλρμλ，则
1
10011!!--=*⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-+=∑n k n k n k p ρρρ，设)(n f 表示当律师有n 个时的纯收入， 则： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--++-=∑-=200)5(!)1(5!55200100)(n k n k n n n k p n n f
对n 的约束只有一个，即1<*ρ，由此可得5>n ，为求n ，我们由下表计算)(n f ，
再取最大值。
13. 某厂的原料仓库，平均每天有20车原料入库，原料车到达服从Poisson 分布，卸货率服从负指数分布，平均每人每天卸货5车，每个装卸工每天总费用50元，由于人手不够而影响当天装卸货物，导致每车的平均损失为每天200元，试问，工厂应安排几名装卸工，最节省开支？
解：此问题为一个M / M / n 系统确定n 的问题，因为：
n
n 4,4,5,20======*ρρμλρμλ
设
)(n f 表示当装卸工有n 个时工厂在装卸方面的总支出，则所求为
][50)(min w C E n n f +=
其中w C 为由于货车等待装卸而导致的单位时间的经济损失。
⎥
⎤⎢⎡+==+21
100100ρρL C n w ，经计算得
14. 某公司医务室为职工检查身体，职工的到达服从Poisson 分布，每小时平均到达50
人，若职工不能按时体检，造成的损失为每小时每人平均60元。体检所花时间服从负指数分布，平均每小时服务率为μ，每人的体检费用为30元，试确定使公司总支出最少的参数μ。
解：我们用M / M / 1 来描述此题，因为
50=λ人/小时，30=s C 元/人，60=w C 元/人，则公司每小时总支出为
λ
μλ
μμ-+=+=w
s w s C C L C C z
，
对μ求导，并令导数为零，得：s
w C C λλμ+=，所以有
60105030506050=+=⨯+=*μ（人/小时） 。
15. 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为200辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。求L 、Lq 、W 和Wq 。
解：根据题意，λ=200辆/小时，μ=240辆/小时，ρ=λ/μ=5/6。
)
(7590W W )(90)(025.0200
2401
1W 17
.45L L 5
11L 65
q 65
q 6
56
5
秒秒小时=⨯=ρ===-=λ-μ=
=⨯=ρ==-
=
ρ-ρ=
16. 设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。 解：设为M/M/1模型。
平均服务时间：31)(==μ
ts E 分钟 （隐含c ，每个呼叫的平均时间为3分钟）
平均服务率：31=μ呼叫/分钟 （隐含c ）
平均等待时间： 3)
()(=-=
λμμλ
w E 分钟
故一个公用电话可以支持的最大呼叫量为： 6
1313
2
=
+=μ
λμ
呼叫/分钟 此时：5.0==μ
λρ
17. 某网络的出口线路只有一条，速率为6.4kbps ；该网络的外出报文率平均为每秒4个报文，设外出报文的产生为泊松过程，报文长度为指数分布，平均长1408比特。 求：
（1） 90%时延和90%等待时间
（2） 如果90%的报文的排队时延不超过5秒，问允许的报文到达率为多大？此时平均
队长为多大？ρ及排队时延增大的百分比各为多少？
解：（1） c
μ1 =
22.06400
1408
≈秒 λ=4报文/秒
ρ=88.022.04≈⨯=c
μλ
33.71)(≈-=
ρ
ρ
n E 报文
83.188
.0122
.0)1(1)(≈-=-=
ρμT E 秒
)(3.2)100100
ln(
)()90(T E T E m
T
≈-=ρ
=209.483.13.2)
1(1
3.2≈⨯=-⨯
ρμ秒
98.3)100100ln(
)()90(≈-=γ
ρ
T E m w 秒
（2）设
s T E m
T
5)(3.2)90(==
则，λ
μ-=≈=c s t E 1174.23.25)(
174
.21
=
-λμc
085.4174
.21
22.01174.21≈-=-
=∴c μλ报文/秒 88.8)()(≈=T E n E λ报文
ρ增大的百分比为： %125.2%10088
.088.022.0085.4≈⨯-⨯
排队时延增大的百分比为： %8.18%10083
.183.1174.2≈⨯-
18. 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达的次数服从Poisson 分布，平均每小时4
人；修理时间服从负指数分布，每次服务平均需要6分钟。求： （1）修理店空闲的概率； （2）店内有三个顾客的概率； （3）店内至少有一个顾客的概率； （4）在店内平均顾客数； （5）顾客在店内的平均逗留时间； （6）等待服务的平均顾客数；
（7）平均等待修理的时间；
解：这是一个[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]排队系统
λ=4，μ=10，ρ=λ/μ=2/5=0.4 （1） P 0=1-ρ=1-2/5=3/5=0.6
（2） P 3=ρ3(1-ρ)=0.43×0.6=0.0384 （3） 1-P 0=1-(1-ρ)=ρ=0.4 （4） 667.04
.014
.01L =-=ρ-ρ=
（5） （分钟）小时）10(6
1
41011W ==-=λ-μ=
（6） 267.04
.014.01L 2
2q =-=ρ-ρ=
（7） 分钟）(4104.0W W q =⨯=ρ=λ
-μρ
=
19. 一个单人理发点，顾客到达服从Poisson 分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时
间服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求： （1）顾客来店理发不必等待的概率； （2）理发店内顾客平均数；
（3）顾客在理发店内的平均逗留时间；
（4）当顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时。 解：这是一个[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]排队系统
λ=3，μ=4，ρ=λ/μ=3/4=0.75 （1） P 0=1-ρ=1-0.75=0.25 （2） 375
.0175
.01L =-=ρ-ρ= （3） 小时）(13
411W =-=λ-μ=
（4） 25.141
1W =λ
-=λ-μ=
，λ=3.2， 当顾客到达速率增加到每小时大于3.2人，即顾客相继到达的时间间隔缩短到18.75分钟以下时，顾客在店内平均逗留时间将超过1.25小时。
20. 某汽车加油站有两台加油泵为汽车加油，加油站内最多能容纳6辆汽车。已知顾客到达的时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达18辆汽车。若加油站中已有K辆车，当K≥2时，有K/6的顾客将自动离去。加油时间服从负指数分布，平均每辆车需要5分钟。试求：
（1）系统空闲的概率为多少？
（2）求系统满的概率是多少？
（3）求系统服务台不空的概率
（4）若服务一个顾客，加油站可以获得利润10元，问平均每小时可获得利润为多少元？
（5）求每小时损失掉的顾客数？
（6）加油站平均有多少辆车在等待加油，平均有多少个车位被占用？
（7）进入加油站的顾客需要等多长的时间才能开始加油，进入加油站的顾客需要多长时间才能离去？
解：
稳态概率关系：
P1=λ/μP0=3/2P0 P2=λ/2μP1=9/8P0
P3=9/16P0 P4=27/128P0
P5=27/512P0 P6=27/4096P0
由 P0=P1+P2+P3+P4+P5+P6=1 解得：P0=0.22433
P1P2P3P4P5P6
0.33649 0.25237 0.12618 0.04732 0.01183 0.00148
运行指标：
(1)P0=0.22433
(2)P6=0.00148
(3)P忙=1-P0-P1=0.43918
(4)Μe=145.78（辆/每小时）
(5)λ损=λ-λe=3.4218（辆/每小时）
(6)Lq=0.26223
Ls=1.47708
(7)Wq=1.08分钟
Ws=6.08分钟
21.某车站候车室在某段时间旅客到达服从泊松流分布，平均速度为50人/小时，每位旅客在候车室内逗留的时间服从负指数分布，平均停留时间为0.5小时，问候车室内平均人数为多少？
解：把旅客停留在候车室看做服务，于是就看为M/M/∞/∞/∞
λ=50 μ=2
状态概率关系：Pn=1/n!(λ/μ)nP0 ρ=25
代入
得 P0=e-ρLs=ρ=25(人)
22.兴建一座港口码头，只有一个装卸船只的泊位。要求设计装卸能力。装卸能力单位为（只/日）船只。已知：单位装卸能力的平均生产费用a=2千元，船只逗留每日损失b=1.5千元。船只到达服从泊松分布，平均速率λ=3只/日。船只装卸时间服从负指数分布。目标是每日总支出最少。
解：λ=3 μ待定模型 M/M/1/∞/∞
队长Ls =λ/μ-λ)
总费用C=aμ+bLs=aμ+bλ/(μ-λ) 求极值（最小值）
求导dc/du=a+-bλ/(μ-λ)2
所以μ=λ+(bλ/a)1/2=4.5(只/日)
23.建造一口码头，要求设计装卸船只的泊位数。
已知：预计到达λ=3只/天，泊松流
装卸μ=2只/天，负指数分布。
装卸费每泊位每天a=2千元，停留损失费b=1.5千元/日
目标是总费用最少。
解：模型 M/M/C/∞/∞ C待定
总费用：F=ac+bLs（c）
离散，无法用求导来解。
考虑。 M/M/C/∞/∞要求ρ=λ/cμ<1 即c>λ/μ=1.5 讨论c=2,3,4…….
M/M/2/∞/∞ M/M/3/∞/∞ M/M/4/∞/∞
P00.14286 0.21053 0.22099
Lq 1.92857 0.23684 0.04475
Ls 3.42857 1.73684 1.54475 F 9.14286 8.60526 10.31713
结论：c=3 即设计三个装卸泊位可使每天的总费用最少,8.60526千元。
运筹学-排队论习题(B5打印)
1. 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。求 1、收费处空闲的概率； 2、收费处忙的概率； 3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。 根据题意, λ=100辆/小时， μ1=15秒=240 1（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。 因此： 12 5240100==μλ= ρ 系统空闲的概率为：583.012 712511P 0==- =ρ-= 系统忙的概率为：417.0125 )1(1P 10==ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为：243.0144 35 127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 2 22==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρ-ρ= 系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P 3 33==⨯⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=ρ-ρ= 2．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从 负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间； （7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。 解：单位时间为小时，5.063,6,3=====μλρμλ （1）店内空闲的时间： 5.021110 =-=-=ρp ； （2）有4个顾客的概率：03125.02 1 21121)1(54 4 4 ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=-=ρρρ；
运筹学Ⅱ练习题(付答案)
练习题（博弈论部分）： 1、化简下面的矩阵对策问题： ??? ???? ? ????????=250436343242362 2415332412A 2、列出下列矩阵对策的线性规划表达式 ?? ?? ? ?????------=334133313A 3、用线性方程组解 “齐王赛马”的纳什均衡。 解：已知齐王的赢得矩阵为 A =?? ??????? ???????????------31111113111111311111131111113111111 3 4、已知对策400008060A ?? ??=?????? 的最优解为：)133,134,136(),134,133,136(**==Y X ，对策值1324* =V ，求以 下矩阵对策的最优解和对策值 ?? ?? ? ?????=203820442020202032'A 5、设矩阵对策的支付矩阵为：353432323A ?? ??=-?????? ，求其策略和策略的值。 6、求解下列矩阵对策的解： 123312231A ?? ??=?? ????
练习题（多属性决策部分）： 1、拟在6所学校中扩建一所，经过调研和分析，得到目标属性值如下表（费用和学生就读距离越小越好） 方案序号 1 25 3 4 5 6 费用（万元） 60 50 44 36 44 30 就读距离（KM ） 1 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4 试用加权和法分析应扩建那所学校？讨论权重的选择对决策的影响！ 2、拟选择一款洗衣机，其性能参数（在洗5Kg 衣物的消耗）如下表，设各目标的重要性相同，采用折中法选择合适的洗衣机 序号 价格（元） 耗时（分） 耗电（度） 用水（升） 1 1018 74 0.8 342 2 850 80 0.75 330 3 892 72 0.8 405 4 1128 63 0.8 354 5 1094 53 0.9 420 6 1190 50 0.9 405 3、六方案四目标决策问题的决策矩阵如下表,各目标的属性值越大越好，{ 0.3,0.2,0.4,0.1}T W = 请用ELECTRE 法求解，折中法，加权法求解 序号 1y 2y 3y 4y 1 20 0.3 61.310? 3 2 1 3 0.5 6 410? 3 3 15 0.1 62.210? 5 4 30 0.7 6 110? 2 5 5 0.9 6410? 7 6 40 0.0 6110? 1
《运筹学》习题集
《运筹学》习题集 第一章线性规划 1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)minz＝－3某1＋4某2－2某3＋5某4 t. 4某1－某2＋2某3－某4＝－2某1＋某2－某3＋2某4≤14－2某 1＋3某2＋某3－某4≥2某1，某2，某3≥0，某4无约束 2)minz＝2某1－2某2＋3某3 －某1＋某2＋某3＝4－2某1＋某2－某3≤6某1≤0，某2≥0，某 3无约束 t. 1．2 用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 1)minz＝2某1＋3某24某1＋6某2≥6 t2某1＋2某2≥4某1，某2≥0 2)ma某z＝3某1＋2某22某1＋某2≤2t3某1＋4某2≥12 某1，某2≥0 3)ma某z＝3某1＋5某26某1＋10某2≤120t5≤某1≤10 3≤某2≤8 4)ma某z＝5某1＋6某22某1－某2≥2
1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）minz＝5某1－2某2＋3某3＋2某4 -1- t－2某1＋3某2≤2某1，某2≥0 某1＋2某2＋3某3＋4某4＝7t2某1＋2某2＋某3＋2某4＝3 某1，某2，某3，某4≥0 1．4分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题，并对照指出最优解所对应的顶点。1)ma某z＝10某1＋5某23某1＋4某2≤9t5某1＋2某2≤8某1，某2≥0 2)ma某z＝2某1＋某2 3某1＋5某2≤15t6某1＋2某2≤24 某1，某2≥0 1．5分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。1)minz＝2某1＋3某2＋某3某1＋4某2＋2某3≥8 t3某1＋2某2≥6某1，某2，某3≥0 2)ma某z＝4某1＋5某2＋某3 .3某1＋2某2＋某3≥18 St.2某1＋某2≤4 某1＋某2－某3＝5 3)ma某z＝5某1＋3某2+6某3某1＋2某2－某3≤18t2某1＋某2－3某3≤16某1＋某2－某3＝10某1，某2，某3≥0
排队论练习题
例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。求 1、收费处空闲的概率； 2、收费处忙的概率； 3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。 根据题意, λ=100辆/小时， μ 1 =15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。 因此 12 5 240100==μλ= ρ 系统空闲的概率为： 583.012 712511P 0==- =ρ-= 系统忙的概率为： 417.012 5 )1(1P 10== ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为： 243.0144 35127125)1(P 1==?= ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为： 101.01728175127125)1(P 2 22==??? ? ??=ρ-ρ= 系统中有3辆车的概率为： 0422.020736 875127125)1(P 3 3 3==???? ??=ρ-ρ= 例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为200辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。求L 、Lq 、W 和Wq 。 根据题意，λ=200辆/小时，μ=240辆/小时，ρ=λ/μ=5/6。
) (7590W W )(90)(025.0200 2401 1W 17 .45L L 511L 65 q 65 q 5 6 5 秒秒小时=?=ρ===-=λ-μ= =?=ρ==-=ρ-ρ= 例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。 解：设为M/M/1模型。 平均服务时间：31)(==μ ts E 分钟 （隐含c ，每个呼叫的平均时间为3分钟） 平均服务率：31=μ呼叫/分钟 （隐含c ） 平均等待时间： 3) ()(=-= λμμλ w E 分钟 故一个公用电话可以支持的最大呼叫量为： 6 1313 2 = +=μ λμ 呼叫/分钟 此时：5.0==μ λρ 例4．分组交换网中所有信道（链路、线路）容量加倍，每个用户的数据量也加倍。采用固定路径，从任何结点进入的报文流均为泊松流，具有相同的负指数长度分布，平均长1/μ。 例5．某网络的出口线路只有一条，速率为6.4kbps ；该网络的外出报文率平均为每秒4个报文，设外出报文的产生为泊松过程，报文长度为指数分布，平均长1408比特。 求： （1） 90%时延和90%等待时间
《运筹学》课程练习题
《运筹学》课程练习题 第一章：线性规划及单纯形法 1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 1.4.1用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 1.7.1 用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类解。 1.13某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲养可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1-20所示。 表1-20
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。（建立这个问题的线性规划模型，不求解） 1.15一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1-22所示。现有三种货物待运，已知有关数据列于表1-23。 表1-22 表1-23 第二章：线性规划的对偶理论与灵敏度分析 2.12
2.14 某厂生产A,B,C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表2-34。 要求：（1）确定获利最大的产品生产计划；（2）产品A的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；（3）如果设计一种新产品D,单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？（4）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元。问该厂要不要购进原材料扩大生产，以构多少为宜。 表2-32 第三章：运输问题
3.10 3.11 1，2，3三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I ，II 两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400个单位和450个单位，单位费用如表3-34所示。由于需要量大于可供量，决定城市1的供应量可减少0～30单位，城市2的供应量不变，城市3的供应量不能少于270单位，试求总费用最低的分配方案（将可供电量用完）。 表3-34 第四章：目标规划 4.4 某成品酒有三种商标（红、黄、蓝），都是由三种原料酒（等级I ，II ，III ）兑制而成。三种等级的原料酒的日供应量和成本见表4-13，三种商标的成品酒的兑制要求和售价见表4-14。决策者规定：首先必须严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大；再次是红商标的酒每天至少生产2 000kg 。试列出该问题的数学模型。 表4-13
《运筹学》习题与答案
《运筹学》习题与答案 （解答仅供参考） 一、名词解释 1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。 2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。 3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。 4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。 5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。 二、填空题 1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。 2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。 4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。 5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。 三、单项选择题 1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D） A. 目标函数是线性的 B. 约束条件是线性的 C. 决策变量非负 D. 变量系数可以为复数 2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。 A. 不是可行解 B. 是唯一最优解 C. 是局部最优解 D. 不一定是可行解 3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B） A. 问题无重叠子问题 B. 问题具有最优子结构 C. 问题不能分解为多个独立子问题
《运筹学》习题集
第一章线性规划 1．1将下述线性规划问题化成标准形式 1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4 －x2＋2x3－x4＝－2 4x st. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14 －2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2 x1，x2，x3≥0，x4无约束 2)min z ＝2x1－2x2＋3x3 ＋x2＋x3＝4 －x st. －2x1＋x2－x3≤6 x1≤0 ，x2≥0，x3无约束 1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 1)min z＝2x1＋3x2 4x1＋6x2≥6 st2x1＋2x2≥4 x1，x2≥0 2)max z＝3x1＋2x2 2x1＋x2≤2 st3x1＋4x2≥12 x1，x2≥0 3)max z＝3x1＋5x2 6x1＋10x2≤120 st5≤x1≤10 3≤x2≤8 4)max z＝5x1＋6x2 2x1－x2≥2 st－2x1＋3x2≤2 x1，x2≥0 1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 （1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4 x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7 st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3 x1，x2，x3，x4≥0
1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1) maxz ＝10x 1＋5x 2 3x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥0 2) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥0 1．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。 1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥0 2) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 . 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4 x 1＋ x 2－ x 3＝5 3) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥0 123123 123123123 4)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨ ++ ≥⎪⎪≥⎩ 1．6
运筹学--第十三章 排队论
３２８ 习题十三 13.1 某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。设申诉以λ＝4件/天的普阿松流到达，该协会每天可以处理申诉5件，当天处理不完的将移交专门小组处理，不影响每天业务。试求： （1）一年内有多少天无一件申诉； （2）一年内多少天处理不完当天的申诉。 13.2 来到某餐厅的顾客流服从普阿松分布，平均每小时20人。餐厅于上午11：00开始营业，试求： （1）当上午11：07有18名顾客在餐厅时，于11：12恰好有20名顾客的概率（假定该时间段内无顾客离去）； （2）前一名顾客于11：25到达，下一名顾客在11：28至11：30之间到达的概率。 13.3 某银行有三个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，服务时间服从均值为0.5分钟的负指数分布，试求： （1） 银行内空闲时间的概率； （2） 银行内顾客数为n 时的稳态概率； （3） 平均队列长Lq ； （4） 银行内的顾客平均数Ls ； （5） 平均逗留时间Ws ； （6） 平均等待时间Wq 。 13.4 某加油站有一台油泵。来加油的汽车按普阿松分布到达，平均每小时20辆，但当加油站中已有n 辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿等待而离去，离去概率为4 n （n ＝0，1，2，3，4）。油泵给一辆汽车加油所需时间为具有均值3分钟的负指数分布。 （1）画出此排队系统的速率图； （2）导出其平衡方程式； （3）求出加油站中汽车数的稳态概率分布； （4）求那些在加油站的汽车的平均逗留时间。 13.5 某无线电修理商店保证每件送到的电器在一小时内修完取货，如超过一小时则分文不取。已知该商店每修理一件平均收费10元，其成本平均每件5.50元。已知送来修理的电器按普阿松分布到达，平均每小时6件，每维修一件的时间平均为7.5分钟，服从负指数分布。试问： （1）该商店在此条件下能否盈利； （2）当每小时送达的电器为多少件时该商店的经营处于盈亏平衡点。 13.6 某企业有5台车运货，已知每台车每运行100小时平均需维修2次，每次需时20分钟，以上分别服从普阿松及负指数分布。求该企业全部车辆正常运
1003运筹学试题排队论部分
第五章 排队论 一、填空题 1．随机服务系统是由（ ）组成的。 2．随机事件流是（ ）。 3．如果一事件流满足平稳性、（ ）、（ ），就称为最简单流。 4．按照Kendall 的分类方法，对于排队模型X/Y/Z ，其中X 表示（ ），Y 表示（ ），Z 表示（ ）。 5．解排队问题必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，它们是（ ） 等。 6．系统的状态是指（ ）。 7．[逗留时间]=[等待时间]+[ ] 8．系统中顾客数=在队列中等待服务的顾客数+（ ）。 9．稳态的物理含义是（ ）。 二、简答题 1．简要说明等式)()1(q N L L p -=-μλ的实际含义 2．简要解释无后效性。 3．简要解释生灭过程 4．简要阐述排队论研究什么？ 三、计算题 1．顾客按普阿松分布到达一个服务台。如果到达率为每单位时间20个，在t=0时系统是空闲的。 （1）已知在t=15时系统中有10个顾客，求在t=30时系统中有20个顾客的概率 （2）在t=10和t=20时系统中的平均顾客数 2．汽车按照平均数为每小时90辆的普阿松分布到达快车道上的一个收费关卡。通过关卡的平均时间（平均服务时间）是38秒，驾驶员埋怨等待时间太久。主管部门想采用新装置，使通过关卡的时间减少到平均30秒，但这只有在老系统中等待的汽车超过平均5辆，新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。根据这个要求，问新装置是否合算？ 3．某车间的工具库只有一个管理员，平均每小时有4个工人来借工具，平均服务时间为6分钟。到达为普阿松流，服务时间为指数分布。由于场地等
条件限制，仓库内能借工具的人最多不能超过3个，求： （1）仓库内没有人借工具的概率 （2）系统中借工具的平均人数 （3）排队等待借工具的平均人数 （4）工人在系统中平均花费的时间 （5）工人平均排队时间 4．假定到达一个电话室的顾客服从普阿松分布，相继两个到达间的平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。求：（1）顾客到达电话室要等待的概率 （2）平均队长 （3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，邮电局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合 理的？ （4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？ （5）假定装了第二台电话机，顾客的平均等待时间是多少？
运筹学习题库
运筹学习题库 一、线性规划 1．某工厂生产甲、乙、丙三种产品，单位产品所需工时分别为2、3、1个工时；单位产品所需原材料分别为3、1、5公斤；单位产品利润分别为2元、3元、5元。工厂每天可利用的工时为12个，可供应的原材料为15公斤。 1）试确定使总利润为最大的日生产计划和最大利润。 2）若由于原材料涨价，使得产品丙的单位利润比原来减少了2元，问原来的最优生产计划变否？若不变，说明为什么；若变，请求出新的最优生产计划和最优利润。 3）在保持现行最优基不变的情况下，若要增加一种资源量，应首先考虑增加哪种资源？ 为什么？单位资源增量所支付的费用是多少才合算？为什么？ 2．给出一线性规划问题如下： max z = 3x1 + x2 x1 + x2≤4 －x1 + x2≤2 6x1 + 2x2≤18 x１，x2≥0 试用对偶理论判断该问题是否存在以x１、x2和x3为基变量的最优解？ 3．用单纯形法求解某个目标函数为max，约束为≤形式，x4、x5为松弛变量的线性规划问题的最终表如下： 试用改进单纯形法原理求该问题的数学模型。 4．给出一个线性规划问题如下： max z = x1 +2 x2 +3 x3 x1 + 2x2 + 3x3≤8 4x1+ 5x3≤12 x1，x2 ，x3 ≥0 已知其对偶问题的最优解为Y* = (1，0 )，试用对偶理论求上述问题的最优解和最优值。5．试用大M法求下述线性规划问题的最优解和最优值（不能用图解法）：
max z = 3x 1 – 3 x 2 x 1 + x 2 ≥1 2x 1 + 3x 2 ≤6 x 1，x 2 ≥0 6．已知一线性规划问题如下： max z = 5x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 ≤ 4 6 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 ≤ 10 x 1，x 2，x 3 ≥ 0 试用松紧定理判断X = ( 0，0，2 )T 是否是该问题的最优解，若不是，说明为什么；若是， 请求出相应的目标函数值。 7．试用单纯形法或对偶单纯形法求解线性规划问题（不能用图解法）： min z = x 1 + x 2 x 1 + 2x 2 ≥ 2 x 1 – x 2 ≥ –1 x 1，x 2 ≥ 0 二、运 输 问 题 1．已知某运输问题如下（单位：百元/吨）： 求：1）使总运费最小的调运方案和最小运费。 2）该问题是否有多个最优调运方案？若没有，说明为什么； 若有，请再求出一个最优调运方案来。 2．已知某运输问题如下（单位：百元/吨）：
排队论_运筹学
排队论 例1 题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况 解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λ μ = 1 2 平均队长L= 1ρ ρ - =1(人) 平均等待队长Lq= 2 1 ρ ρ - = 1 2 (人) 平均等待时间Wq= λ μμ （-1） = 1 2 (分) 平均逗留时间W= 1 μλ - =1(分) 顾客不需要等待的概率为P o=1 2 ,等待的顾客人数超过5人的概率为 P(N≥6)= 1 76 6666 111111 ()(1)()()()() 222222 n n n n n n n n P ρ - ∞∞∞∞ ==== =-=== ∑∑∑∑ 1
例2 题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示 设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。 解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案 μ甲= 1000/ 500/ 袋小时 袋车 =2车/小时 μ乙= 2000/ 500/ 袋小时 袋车 =4车/小时 μ丙= 6000/ 500/ 袋小时 袋车 =12车/小时 由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为 W 甲= 1 2-1.5 =2(小时/车) W 乙= 1 4-1.5 =0.4(小时/车) W 丙= 1 12-1.5 =0.095(小时/车) 每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天) 而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示: 2
排队论习题集汇总jieda
排队论习题集汇总_解答 例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。求 1、收费处空闲的概率； 2、收费处忙的概率； 3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。 根据题意, λ=100辆/小时， μ1=15秒=240 1（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。 因此 12 5 240100==μλ= ρ 系统空闲的概率为： 583.012 712511P 0==- =ρ-= 系统忙的概率为： 417.012 5 )1(1P 10== ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为： 243.0144 35127125)1(P 1==⨯= ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为： 101.01728 175127125)1(P 2 2 2==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρ-ρ= 系统中有3辆车的概率为： 0422.020736 875127125)1(P 3 33==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρ-ρ= 1. 思考题 （1）排队论主要研究的问题是什么； （2）试述排队模型的种类及各部分的特征； （3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义； （4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分 布的主要性质； （6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系
与区别。 2．判断下列说法是否正确 （1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间 服从负指数分布； （2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布； （3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序， 则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大 量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理； （6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后， 系统将进入稳定状态； （7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响； （8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统； （9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人 看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负 指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间； （7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。 4．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson 流，平均到达时间间隔为20分钟，诊断时间服从负指数分布，平均需12分钟，求： （1）病人到来不用等待的概率； （2）门诊部内顾客的平均数； （3）病人在门诊部的平均逗留时间； （4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则医院方将考虑增加值班医生。问 病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？ 5．某排队系统只有1名服务员，平均每小时有4名顾客到达，到达过程为Poisson 流，，服务时间服从负指数分布，平均需6分钟，由于场地限制，系统内最多不超过3名顾客，求： （1）系统内没有顾客的概率； （2）系统内顾客的平均数； （3）排队等待服务的顾客数； （4）顾客在系统中的平均花费时间； （5）顾客平均排队时间。 6．某街区医院门诊部只有一个医生值班，此门诊部备有6张椅子供患者等候应诊。当椅子坐满时，后来的患者就自动离去，不在进来。已知每小时有4名患者按Poisson 分布到达，每名患者的诊断时间服从负指数分布，平均12分钟，求： （1）患者无须等待的概率； （2）门诊部内患者平均数； （3）需要等待的患者平均数；
运筹学 100排队论
第10章排队论 第一节排队服务系统的基本概念 一、排队系统的特性 排队问题的实例：超市付款，自动取款机取款，医院门诊，乘公交车，设备修理。 排队服务系统的要素：顾客源，等待队列，服务机构。 要素的特性： 1. 顾客源 顾客到达的间隔时间：确定、随机(分布类型)； 一次到达人数：单个到达，成批到达； 顾客源：数量无限，数量有限。 2. 等待队列 等待规则：损失制，等待制，混合制； 接受服务顺序：先到先服务，后到先服务，按优先权服务，随机服务。 3. 服务机构 服务台数量：单个，多个； 排列方式：串联、并联、混合排列。 服务时间：固定，随机(分布类型)； 一次服务人数：单人，成批。 三、排队服务系统的分类 按上面所讨论的排队系统各项的特性，可对排队系统作出分类。 通常按如下6方面的特性对排队系统进行分类： (a／b／c) : (d／e／f) 每个字母代表一个特征，它们分别是： a：顾客到达间隔的分布，有： M──负指数分布； D──确定型；
E k ──k 阶爱尔郎分布； GI ──一般相互独立的分布。 b ：服务时间的分布 有：M 、D 、E k 、G c ：系统中并联的服务台数，记为S d ：系统中最多可容纳的顾客数，∞~1 e ：顾客源总数，为∞~1 f ：排队服务规则 FCFS ──先到先服务 LCFS ──后到先服务 用这6个参数我们可以表示出某种类型的排队系统，如： M ／M ／1／10／∞／FCFS 其中后三项可以省略，这时表示的是：a ／b ／c ／∞／∞／FCFS 三、排队系统的状态及参数 系统状态N (t )——排队系统中的顾客数，包括等待的和正在被服务的。其与系统运行的时刻t 相关，且是一个随机变量。 稳定状态——当系统状态与时刻t 无关时，称系统处于稳定状态。在系统开始运行的一段时间内，系统状态随时间而变化，在运行一段时间之后，系统的状态将不随时间变化，此时系统即进入稳定状态。排队论主要研究系统处于稳定状态的工作情况，以下参数也都针对于稳定状态进行定义。 系统状态N ——系统处于稳定状态时，系统中的顾客数，其是一个随机变量，不随时间变化。 状态概率P n ——系统状态等于n 的概率，即}{n N P =。 ,,10P P 即构成了随机变量N 的概率分布。当系统达到稳定状态时，N 的取值仍会发生变化，但N 的规律分布将保持不变。 队长——系统中等待服务的顾客数，其等于系统状态减去正在被服务的顾客数，是一个随机变量。 顾客平均到达率λ——单位时间内平均到达的顾客数，其为常数。 顾客平均达到间隔λ1——相邻两个顾客到达的间隔时间的平均值，也即平均隔多长时间到达一个顾客。 如，顾客的平均达到率3=λ人/小时，则顾客的平均到达间隔 分钟小时203/11==λ。 平均服务时间μ1——对每个顾客进行服务的时间的平均值，其为常数。 平均服务率μ——单个服务台单位时间内平均可服务完的顾客数。