高中数学2.4《线性回归方程》第1课时教案(苏教版必修3)

线性回归方程

第1课时

【学习导航】

学习要求

1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。线性回归方程的求法。 2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。

【课堂互动】

自学评价

在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达

2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram)

3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x 和y 之间的关系。选择怎样的直线我们有下列思考方案： (1)选择能反映直线变化的两个点

(2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同

(3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距

4．用方程为a bx y

+=ˆ的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。用最小二乘法来求a 、b 的原理和方法 见教科书P72

5.能用直线方程a bx y

+=ˆ近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation) 6.设有(x,y)的n 对观察数据如下：

当a,b 使+--=2

11)(a bx y Q

2222)()(a bx y a bx y n n --+⋯+--取得最小值时，就称a bx y

+=ˆ为拟合这n 对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。

6．用书上的方法3，可求得线性回归方程a bx y

+=ˆ中的系数： 2

1

1

21

1

1

)

()

)((∑∑∑∑∑=====--=

n

i i n i i n

i i n i i n i i i x x n y x y x n b

a =x

b y - (*)

7．用回归直线进行拟合的一般步骤为：

(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近

(2)如果散点在一条直线附近，用上面的公式求出a,b,并写出线性回归方程

【精典范例】

例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由。

【解】

在直角坐标系中描出数据的散点图，直观判断散点在一直线附近，故具有线性相关关系，计算相应的数据之和：

10318

1=∑=i i

x

，

6.718

1=∑=i i

y

1378358

1

2=∑=i i

x

7.96118

1

=∑=i

i i y

x

将它们代入(*)式计算得

0774.0≈b ，0241.1-=a ， 所以，所求线性回归方程为

0241.10774.0ˆ-=x y

例2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间 ，为此进行了10次试验，测得数据如下：

(1)画出散点图；

(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的线性回归方程。 【解】 (1)

(2)由表中数据 ，可以求得：

55=x ，7.91=y ，∑==10

1

238500i i x

∑==10

1

287777i i

y

，5595010

1

=∑=i i i y x

将它们代入(*)式计算得

668.0≈b , 96.54≈a

因此所求的回归直线方程是

96.54668.0ˆ+=x y

追踪训练

1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ） A ．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积

C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高

2、下面是我国居民生活污水排放量的一组数据(单位：8

10t)，试分别估计1996年和2004年

公式可求得线性回归方程为：

y ˆ=11.447 x -22678 所以，当x =1996时，y =170.2(108t)； 当x =2004时，y =261.8(108t).

第10课时线性回归方程(1)

分层训练

1．长方形的面积一定时，长和宽具有( ) (A)不确定性关系 (B)相关关系 (C)函数关系 (D)无任何关系 2．三点（3,10），（7,20），（11,24）的线性回归方程是 （ ）

(A) x y

175ˆ-= (B) x y 517ˆ+= (C) x y 517ˆ-= (D) x y 517ˆ+-= 3．已知线性回归方程为：81.050.0ˆ-=x y

，则x ＝25时，y 的估计值为________ 4．一家保险公司调查其总公司营业部的加班效果，收集了10周中每周加班时间y （小时）与签发新保单数目x

则y 关于x 估计的线性回归方程为____________________(保留四位有效数字) 5

求y 与x 的线性回归方程。（小数点后保留两位有效数字）

思考•运用

6．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间相应的一组观察值

求腐蚀深度y 对腐蚀时间x 的线性回归方程。

y （万元），有如下的统计资料：

试求：（1）线性回归方程a bx y

+=ˆ的回归系数a , b ; (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

高中数学《2.3.1线性回归方程(1)》教案 新人教A版必修3

课题：§2.3.1线性回归方程（1） 一．教学任务分析: （1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. (2) 了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． (3)在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性回归直线，会用线性回归方程进行预测. 二．教学重点与难点： 教学重点：回归直线方程的求解方法． 教学难点：回归直线方程的求解方法. 三．教学基本流程: ↓ ↓ ↓ 四.教学情境设计: 1．创设情景，揭示课题 在上节课,为了了解热茶销量与气温的大致关系.

我们以横坐标x 表示气温，纵坐标y 表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到散点图. 从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线的附近. 如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线. 如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之间的关系. 2.最小二乘法 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小. 即: 用方程为?y bx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.那么，怎样衡量直线?y bx a =+与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值带入直线方程,得到相应的六个?y 的值: 26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和:

高中数学2.4《线性回归方程》第1课时教案(苏教版必修3)

线性回归方程 第1课时 【学习导航】 学习要求 1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。线性回归方程的求法。 2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。 【课堂互动】 自学评价 在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达 2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram) 3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x 和y 之间的关系。选择怎样的直线我们有下列思考方案： (1)选择能反映直线变化的两个点 (2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同 (3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距 4．用方程为a bx y +=ˆ的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。用最小二乘法来求a 、b 的原理和方法 见教科书P72 5.能用直线方程a bx y +=ˆ近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation) 6.设有(x,y)的n 对观察数据如下： 当a,b 使+--=2 11)(a bx y Q 2222)()(a bx y a bx y n n --+⋯+--取得最小值时，就称a bx y +=ˆ为拟合这n 对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。 6．用书上的方法3，可求得线性回归方程a bx y +=ˆ中的系数： 2 1 1 21 1 1 ) () )((∑∑∑∑∑=====--= n i i n i i n i i n i i n i i i x x n y x y x n b

2018年苏教版数学必修3 第2章 2.4 线性回归方程

2.4线性回归方程 1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系．(难点) 2．会画出数据的散点图，并会通过散点图判断这组数据是否具有线性关系．(重点) 3．会求数据的线性回归方程，并根据线性回归方程做出合理的判断．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理1变量间的关系 阅读教材P74的内容，并完成下面的问题． 1．变量间的关系 (1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性函数关系． (2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达． 2．散点图 从一个统计数表中，为了更清楚地看出x与y是否有相关关系，常将x的取值作为横坐标，将y的相应取值作为纵坐标，在直角坐标系中描点(x i，y i)(i＝1,2,3，…)，这样的图形叫做散点图． 判断正误： (1)相关关系是一种不确定关系，而函数关系是一种确定关系．() (2)商品的销售收入与广告支出经费是函数关系．() (3)散点图越集中，则相关关系越强．() 【解析】(1)√.由函数关系及相关关系的定义知正确．

(2)×.是相关关系，而不是确定关系，故错误． (3)×.只有当散点图呈规律性分布时才具有相关关系．故错误． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 线性回归方程 阅读教材P 75～P 76“例1”上边的内容，并完成下列问题． 1．线性相关关系 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们用直线y ^＝bx ＋a 拟合散点图中的这些点，像这样能用直线y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系． 2．线性回归方程 设有n 对观察数据如下： 当1122n n 取得最小值时，就称y ^ ＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线． 3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤 (1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； (2)如果散点在一条直线附近，用公式 ????? b ＝ ∑i ＝1 n x i y i －(∑i ＝1 n x i )(∑i ＝1 n y 1 )n ∑i ＝1 n x 2 i －(∑i ＝1 n x i )2 a ＝y －－ b x －或 求出a ，b ，并写出线性回归方

人教版高中数学必修三 第四章 线性回归方程 Word版含解析

重点列表： 重点详解： 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________． (2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________. ※ (3)相关系数 r ＝ ∑∑∑===----n j j n i i n i i i y y x x y y x x 1 2 1 2 1 )()() )((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个 变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝ ∑=--n i i i x y 1 2)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回

归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，. (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程 为a x b y ˆˆˆ+=，则 ⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪ ⎨⎧ -=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ, )())((ˆ1 2 21 121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 【答案】 1．相关关系 非确定性 2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法 重点1：相关关系的判断 【要点解读】 在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系． (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系 【例题】下列变量之间的关系不是．． 相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量

高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程教材梳理导学案 苏教版必修3

2.4 线性回归方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、相关关系 变量之间的常见关系： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S 之间就是确定性函数关系，可以用函数S=l2表示； 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系. 在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断. 辨析比较函数关系与相关关系的区别与联系 相同点：两者均是指两个变量间的关系； 不同点： ①函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性； ②函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系； ③相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究. 二、线性回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性. 1.散点图 我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据（x n，y n）（n=1，2，3，…）对应的一些点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图. 如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水 观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表，以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图——散点图来分析. 以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图2-4-1： 图2-4-1

高中数学第2章统计2.4线性回归方程(2)教案苏教版必修3(new)

2。4 线性回归方程 第2课时 导入新课 在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表: 从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x（x≥0）.并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象,我们知道各点在同一条直线上。 再看下面的问题（即上一节课的练习2）:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？ 分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因此,可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少。但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程. 推进新课 新知探究

以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图。 1。散点图（scatterplot)：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。散点图形象地反映了各对数据的密切程度。粗略地看，散点分布具有一定的规律。在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角到右上角的区域.对于这种相关关系,我们称它为正相关. 请学生举例:两个变量之间是正相关的关系.例如:某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系. 再看上节课的练习 1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 如果作出散点图如右图,它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系. 回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来,从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？ 分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动。能画出这条直线吗？

必修三第2章第4节+线性回归方程

年级高二学科数学版本苏教版 课程标题必修三第2章第4节线性回归方程 编稿老师褚哲 一校林卉二校黄楠审核孙永涛 一、学习目标 1. 能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。 2. 了解线性回归的方法；了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法；会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆系数公式）。 二、重点、难点 重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。 难点：变量间的相关关系，利用散点图直观体会这种相关关系。 三、考点分析 1. 以考查线性回归系数为主，同时可能考查利用散点图判断变量间的相关关系； 2. 相关关系的要求均属了解层次，考查重点是回归方程与回归直线，对于本讲内容小题为主，若是解答题也会是难度低的问题。 1. 两变量间的相关关系 （1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正 S 就是函数关系。即对于边长x的每一个确定的值，方形面积S与边长x之间的关系2x 都有面积S的惟一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。例如人的身高与体重；商品的销售额与广告费等都是相关关系。 （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高，且由于长大，身高也会高些。 （3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计。 相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，

《一元线性回归方程》教学设计

《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》 教学设计 一、 教学内容解析 1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A 版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用残差分析进行数据曲线拟合程度分析。 2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。 3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。围绕“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离i i y bx a --刻画散点与直线的“距离”，再到用()2 1n i i i Q y bx a ==--∑定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数 学化过程。对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。 二、教学目标设置 统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。 依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下： 1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。 2.通过类比物理中力的分解，学生明白“用竖直距离刻画样本点与直线最接近”这一问题的原因。

苏教版高中高二数学必修3《线性回归方程》教案及教学反思

苏教版高中高二数学必修3《线性回归方程》 教案及教学反思 一、教学目标 本单元的教学目标如下： 1.了解线性回归方程的定义及基本概念； 2.学习线性回归方程的求解方法及相关定理； 3.能够分析现实问题并应用线性回归方程进行模型建立及 预测。 二、教学重点 1.线性回归方程及其相关概念的理解； 2.线性回归方程求解方法的掌握； 3.数学模型及其应用。 三、教学内容 1.线性回归方程的定义及基本概念 线性回归方程是对一组数据进行拟合的数学模型，其表达 式为y = ax + b。其中，x为自变量，y为因变量，a为斜率，b为截距。线性回归分为简单线性回归和多元线性回归两种情况。 2.线性回归方程的求解方法及相关定理 2.1. 正规方程法

正规方程法是求解线性回归方程的一种常见方法，其基本 思想是通过一系列计算得出线性回归方程的系数，具体步骤如下： (1)设数据点的个数为n，自变量为x，因变量为y。 (2)求出各个数据的平均值，设为x平均、y平均。 (3)计算x和y的方差，设为Sxx、Syy。 (4)计算x和y的协方差，设为Sxy。 (5)计算斜率a和截距b的估计值，分别为a = Sxy/Sxx，b = y平均 - a*x平均。 (6)得出最终的线性回归方程y = ax + b。 2.2. 相关定理 线性回归方程有许多相关定理，如残差定理、斜率的显著 性检验及线性回归方程的信度检验等。这些定理的掌握可以帮助我们更加全面地了解线性回归方程的求解过程。 3.数学模型及其应用 数学模型是将现实中的问题转化为数学形式，使得问题可 以更好地加以处理和解决。在学习线性回归方程时，我们可以将实际问题转化为线性模型进行分析和预测，例如人口增长、股票价格走势等。 四、教学方法 1.讲授式教学 在讲解线性回归方程的原理、求解方法及相关定理时，可 以采用讲授式教学，将知识点系统地呈现给学生。 2.案例式教学

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(1)教案 苏教版必修3

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（1）教案苏教 版必修3 教学目标： 1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测； 3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义． 教学重点： 散点图的画法，回归直线方程的求解方法． 教学难点： 回归直线方程的求解方法． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系． 二、学生活动 提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？ （1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示； （2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示． 说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫

无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系． 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： - 气温/0C 26 18 13 10 4 1 杯数20 24 34 38 50 64 -0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 如果某天的气温是5 从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？ 我们有多种思考方案： （1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； …… 怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1．最小平方法： =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线 用方程为ˆy bx a =+与图中六 与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a 个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值: +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越 26,18,13,10,4, b a b a b a b a b a b a 接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和

高中数学必修三线性回归方程

统计第三讲：变量间的相关关系 —————————————————————————————————————————————— 一、两个变量的线性相关 1、线性回归方程：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，回归直线对应的方程叫做回归直线方程（简称回归方程）。 2、回归方程求法：设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ⋅⋅⋅，直线方程y bx a =+，其中,a b 是待定参数. 经数学上的推导，,a b 的值由下列公式给出：1 1222 11 ()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧ ---⎪ ⎪==⎪⎨--⎪⎪ =-⎪⎩∑∑∑∑. 其中，回归直线的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y bx a =+. 上述求回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. 3、回归方程应用：利用回归方程，我们可以进行预测并对总体进行估计. —————————————————————————————————————————————— 二、相关关系的强弱 1、相关系数：若相应于变量x 的取值i x ，变量y 的观测值为(1)i y i n ≤ ≤，则变量x 与y 的相关系数 ()() n i i x x y y r --= ∑，即n i i x y nx y r -= ∑， 2、通常用r 来衡量x 与y 之间的线性关系的强弱 （1）r 的范围为11r -≤≤，r 为正时，x 与y 正相关；r 为负时，x 与y 负相关 （2）||r 越接近于1，x 与y 的相关程度越大；当||1r =时，所以数据点都在一条直线上. （3）||r 越接近于0，二者的相关程度越小 ——————————————————————————————————————————————

2021_2022学年高中数学课时分层作业8线性回归方程(含解析)苏教版必修3 (2)

课时分层作业(八) 线性回归方程 (建议用时：60分钟) [根底达标练] 一、选择题 1．以下两个变量之间的关系是相关关系的有( ) ①长方体的体积和长方体的棱长；②正n边形的边数和其内角和；③父亲的身高与儿子的身高；④光照时间和果树亩产量． A．①②B．①③ C．②③D．③④ D[①②是函数关系；关于③，一般来说父亲的身高高，儿子也不矮，两者之间具有相关关系；对于④，一般来说，光照时间越长，果树亩产量也越高，两者之间具有相关关系．] 2．图中各图反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有线性相关关系的有( ) A．①②B．①④ C．②③D．②④ B[图①④中的点的分布根本上集中在一个带状区域内，反映了两个变量之间存在相关关系，即当一个变量变化时，另一个变量的值虽然不能完全确定，但大体上总是落在带状区域内，我们可以寻找一条适宜的直线来近似表示两个变量之间的关系，因此这两个变量具有线性相关关系．图②中的点的分布根本上集中在由某条曲线两侧的带状区域内，表示两个变量有相关关系，但不是线性相关关系．图③表示两个变量之间有确定的关系，即函数关系．] 3．如图，有4组(x，y)数据，去掉一点后，剩下的3组数据的线性相关程度最大．那么去掉的点是( )

A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4 C [去掉P 3点后， 其余点大致在一条直线附近．] 4．x ，y 的取值如下表所示： 从散点图分析，y 与x 线性相关，且y x ＋a ，那么a ＝( ) B [回归直线必过样本中心点(x ，y )，且x ＝2，y ＝4.5，那么4.5＝0.95×2＋a ， a ＝2.6.] 5．某地区调查了2岁～9岁的儿童的身高，由此建立的身高y (单位：cm)与年龄x (单位：岁)的线性回归方程为y ^ x ＋60.13，那么以下表达中正确的选项是 ( ) A ．该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm B ．该地区2岁～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm C ．该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm D ．利用这个模型可以准确地预算该地区每个儿童(2岁～9岁)的身高 B [根据回归分析的意义知该地区一个10岁儿童的身高只能估计为142.63 cm ；该地区9岁儿童的平均身高不一定是134.38 cm ，且利用这个模型只能近似地预算该地区每个2岁～9岁儿童的身高．所以只有B 正确．] 二、填空题 6．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，那么其线性回归方程是________． y ^ ＝7 4x ＋234 [根据线性回归方程系数公式计算．] 7．一个回归直线方程为y ^ ＝2.5－3x ，那么当变量x 平均增加1个单位时，变量y 的变化情况是________． 平均减少3个单位 [由回归直线方程知斜率k ＝－3，所以当x 平均增加1个单位时，y 平均减少3个单位．] 8．回归直线斜率的估计值为3，样本点的中心为(4,5)，那么回归直线方程为________． y ^ ＝3x －7 [由题意知回归直线方程为y ^ ＝3x ＋a ，将(4,5)代入方程得5＝3×4＋a ，解得

苏教版数学高一必修三 作业 2.4线性回归方程

一、填空题 1．有下列关系： ①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；[] ④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． 解析：②⑤为确定关系不是相关关系． 答案：①③④ 2．已知x ，y 之间的一组数据为： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则回归直线y ^ ＝bx ＋a 必过点________． 解析：x ＝32，y ＝4，∴y ^ ＝bx ＋a 必过点(32，4)． 答案：(3 2 ，4) 3．已知某工厂在2011年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元． 解析：由y ^ 1＝1.215x 1＋0.974， y ^ 2＝1.215(x 1＋4)＋0.974， 得y ^2－y ^ 1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.86 4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据： 广告费用(千元) 1 4 6 10 14 销售额(千元) 19 44 40 52 53 销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^ ＝2.3x ＋a (a

为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元． 解析：x ＝7，y ＝41.6， 则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时， 60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：15 5．(2011·广东汕头模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：×103 kJ)几组对应的数据： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________． 解析：由y ＝0.7x ＋0.35，得 2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋6 4＋0.35， 故11＋t 4＝3.5，即t ＝3. 答案：3 二、解答题 6．下表是某地降雨量与年平均气温．判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程是否有意义. 年平均气温(℃) 12.51 12.71 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降雨量(mm) 748 750 507 813 574 701 432 解：以x 表示年平均气温，y 表示年降雨量，可得如下图所示的散点图． 因为上图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，所以即使用公式求得线性回归方程也是没有意义的． 7．某人今年1月份加盟了一个食品连锁店，下表为近5个月的营业额：

高二数学教案：《线性回归》

高二数学教案：《线性回归》 教学目标 1.能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。 2.会画散点图，并能利用散点图判断是否存在回归直线。 3.知道如何系统地处理数据。掌握回归分析的一般步骤。 4.能运用Excel表格处理数据，求解线性回归直线方程。 5.了解最小二乘法的思想，会根据给出的公式求线性回归方程。 6.培养收集数据、处理数据的能力；对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力。 1.使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。 2.提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。 1.认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值，感受生活离不开数学。 2.体验信息技术在数学探究中的优越性。 3.增强自主探究数学知识的态度。 4.发展学生的数学应用意识和创新意识。 5.培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。 线性回归分析的基本思想；运用Excel表格处理数据，求解回归直线方程。 多媒体课件，网络课型 教学内容 学生已经学习了初步的统计知识，如抽样方法，对样本进行特征量（均值、方差）分析；具备一定的比较、抽象、概括能力；具备基本计算机操作技能；对现实生活中的线性相关关系有一定的感性认识。线性回归问题涉及的知识有：描

点画散点图，一次函数、二次函数的知识，最小二乘法的思想及其算法问题，运用Excel表格处理数据等。 教学资源 教师围绕本课知识设计一个问题（如小卖部热珍珠奶茶的销售问题），这个问题必须应用所预期的学科知识才能解决，又与学生的先前经验密切相关。 教师准备四个教学课件：学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂练习（Excel）、线性回归直线的探究（几何画板）。 每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。学案主要包括设计的引入问题，教学过程中所遇到的主要问题，推导回归直线方程的公式的计算表格，运用Excel表格处理数据的操作步骤，课堂练习以及作业，教学评价等。 互联网上的其它相关教学资源。 教学模式 运用信息技术建立以学生为主体的自主性学习模式，包括六个环节：生活现象提炼，形成知识概念；提出研究问题，制定探究计划；自主探究学习，总结研究规律；交流探究体验，应用练习反馈；反思学习过程、进行教学评价；实习调查分析，生活应用实践。 教学支架 让学生在自主探究学习过程中尝试回答以下问题： 1.根据你现有的认识，两个变量之间存在哪些关系，有何异同? 2.问题中的两个变量有没有关系?如果有，是什么关系?为什么? 3.这样的关系如何直观体现?（散点图） 4.两个变量可以近似成什么关系?（这是一个探索过程，学生可能会提出包

高中数学_回归分析(3)教学设计学情分析教材分析课后反思

回归分析（第一课时） 一、教材分析 1、教材的地位和作用 在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在人教B版选修1-2第一章第二节，这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果；第二课时：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容. 2、教学目标 知识与技能 能根据散点分布特点，建立线性回归模型。 过程与方法 让学生经历画散点图，利用散点图直观感受两个变量之间的近似线性相关关系，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。 情感、态度与价值观 通过案例分析，了解回归分析的实际应用，感受数学“源于生活，用于生活”，提高学习兴趣，教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性. 3．教学重难点 重点：了解回归模型与函数模型的区别；散点图的画法，回归直线方程的求解方法。 难点：回归直线方程的求解方法。 二、教学过程

项目内容师生活动设计意图 教学过程创 设 情 境 1.提出问题： 这个预测结果可信吗？ 预测的依据是什么？ 师：提出问 题，激发学 生的学习 兴趣， 生：想知 道预测依 据，（从而 引出本节 课内容） 师：一探究 竟 从学生感 兴趣的实 际问题出 发，激发 学习兴趣 2、背景介绍： 介绍“回归”一词的由来，是英国生物学家研究身 高的遗传问题时提出。 师：先来了 解回归的 含义是什 么 生：身高遗 传问题提 出 通过回归 一词的由 来，加深 学生对问 题的理 解，明白 “为什么 要学”。体 会问题产 生于生 活。同时 激发学习 兴趣，提 高学习的 积极性。

2019-2020学年高一数学苏教版必修3同步练习：2.4 线性回归方程 Word版含答案

2.4 线性回归方程 1、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 2、某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查,y 与x 具有相关关系,回归方程为0.66.52ˆ16y x =+,若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A.83% B.72% C.67% D.66% 3、变量X 与Y 相对应的一组数据为()()()()()10,1,11.3,2,11.8,3,12.5,4,13,5,变量U 与V 相对应的一组数据为()()()()()10,5,11.3,4,11.8,3,12.5,2,13,1.1r 表示变量X 与Y 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则( ) A.210r r << B.210r r << C.210r r << D.21r r = 4、四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ①y 与x 负相关且 2.34.4ˆ7623y x =-; ②y 与x 负相关且 3.476 5.6ˆ48y x =-+; ③y 与x 正相关且 5.43.4ˆ7893y x =+; ④y 与x 正相关且 4.326 4.5ˆ78y x =--. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 5、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )

高中数学总体特征数的估计和线性回归方程例题解析苏教版必修三

整体特点数的预计和线性回归方程 例题分析 【例 1】下边是某一个工厂全部工作人员在某个月的薪资，总经理 6000 元，技术工人甲 900 元，技术工作 人员乙 800 元，杂工 640 元，服务员甲 700 元，服务员乙 640 元，会计 820 元. （ 1）计算全部工作人员的均匀薪资；分析：全部工作人员均匀薪资为 x = 1 （ 6000+900+800+640+700+640+820 ） =1500（元） . 7 （ 2）去掉总经理后，再计算均匀薪资； 分析：去掉总经理后均匀薪资为 x = 1 （900+800+640+700+640+820 ）=750（元） . 6 （ 3）在（ 1）和（ 2）中两种均匀薪资哪一种能代表一般工人的收入水平，为何？ 分析：能代表一般工人的收入水平的是去掉总经理后的均匀薪资 750 元.由于除掉总经理以外， 工作人员的 薪资均在 900 元以下，所以不可以以 1500 元来代表员工的均匀薪资水平 . 评论：从此题中，反应出数据中的极端值对均匀数的影响较大 .一般地，在一组数据中，均匀数、众数、中 位数可以反应该组数据的集中趋向和均匀水平，但有时需要去掉极端值（极大值或极小值）再去计算均匀 数则更能反应均匀水平，这也就是有些竞赛中常常会去掉一个最大值和一个最小值再去计算均匀成绩的原 因 . 【例 2】甲、乙两工人同时加工一种圆柱部件，在他们所加工的部件中各抽取 10 个进行直径检测，测得数 据以下（单位： mm ）： 甲： 19.9，19.7， 19.8， 20.0， 19.9， 20.2， 20.1， 20.3， 20.2， 20.1； 乙： 20.0，20.2， 19.8， 19.9， 19.7， 20.2， 20.1， 19.7， 20.2， 20.4 . （ 1）分别计算上边两个样本的均匀数和方差； （ 2）若部件规定直径为 20.0± 0.5（ mm ），依据两个样本的均匀数和方差，说明谁加工的部件的质量较稳固 . 2 2 2 ［（ x 1 x 2 x n ） nx 2 ］ 分析：利用 s 2 ＝ n . 由于样本数据在 20.0 上下颠簸，故取 a ＝ 20.0，列表以下 . 表 1 （甲工人） x 1 x 1′ 2 （ x 1－20.0） x 1 19.9 －0.1 0.01 19.7 －0.3 0.09 19.8 －0.2 0.04 20.0 0 19.9 －0.1 0.01 20.2 0.2 0.04 20.1 0.1 0.01 20.3 0.3 0.09 20.2 0.2 0.04 20.1 0.1 0.01 共计 0.2 0.34 表 2 （乙工人）

高一数学 (人教版必修3)：第四章 线性回归方程含解析

重点列表： 重点 名称 重要指数 重点1 相关关系的判断 ★★★★ 重点2 线性回归方程有关概念 ★★★ 重点3 散点图 ★★★★ 重点详解： 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有 ____________，这条直线叫________． (2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________. ※ (3)相关系数 r ＝ ∑∑∑===----n j j n i i n i i i y y x x y y x x 1 2 1 2 1 )()() )((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个 变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝ ∑=--n i i i x y 1 2)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回

归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，. (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方 程为a x b y ˆˆˆ+=，则 ⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪ ⎨⎧ -=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ, )())((ˆ1 2 21 121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 【答案】 1．相关关系 非确定性 2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法 重点1：相关关系的判断 【要点解读】 在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系． (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系 【例题】下列变量之间的关系不是．． 相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2 －4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量