回归方程式

回归方程式

回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

1、回归直线方程可以用最小二乘法求回归直线方程中的a,b，从而得到回归直线方程。线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。

2、回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。线性回归模型，是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。其表达形式为y = w'x+e，e为误差服从均值为0的正态分布。

3、最小二乘法又称最小平方法，是一种数学优化技术。与最小二乘法不同的是，最大似然法需要已知这个概率分布函数，这在实践中是很困难的。一般假设其满足正态分布函数的特性，在这种情况下，最大似然估计和最小二乘估计相同。

(完整版)线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

线性回归方程——非线性方程转化为线性方程 例1．(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2,?,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. x? y ? w ? 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中w i =√x i ，w ? =1 8 ∑w i 8i=1， ，I ）根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +d √x ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； ，II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z =0.2y ?x ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u 1,v 1) (u 2,v 2) ，…，(u n ,v n ) 其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β ?=∑ (u i ?u)(v i ?v) n i=1∑(u i ?u)2 n i=1，α?=v ?β ?u . 【答案】(Ⅰ)y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；(Ⅱ)y ?=100.6+68√x ；(Ⅲ)(i)答案见解析；(ii)46.24千元. 【解析】（I ）由散点图可以判断，y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （II ）令w =√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ?=∑(w i ?w)(y i ?y) 8 i=1∑(w i ?w)28 i=1= 108.81.6 =68， ∴c?=y ?d ?w =563?68×6.8=100.6， ∴y 关于w 的线性回归方程为y ?=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ?=100.6+68√x . （III ）(ⅰ)由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y ?=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值为z?=576.6×0.2?49=66.32. ，ⅱ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值z?=0.2(100.6+68√x)?x =?x +13.6√x +20.12， 所以当√x =13.62 =6.8，即x =46.24时，z?取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

回归模型

回归模型是用于定量描述统计关系的数学模型。例如，多元线性回归的数学模型可以表示为y =β0 +β1 * x +εI，其中β0，β1，βP是要估计的p + 1个参数，εI是随机的服从正态分布n（0，σ2）的变量，y是随机变量；X可以是随机变量，也可以是非随机变量，βI 称为回归系数，它表示自变量对因变量的影响程度。回归模型是一种预测建模技术，它研究因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。该技术通常用于预测分析，时间序列建模以及查找变量之间的因果关系。例如，回归是研究鲁re驾驶与道路交通事故数量之间关系的最佳方法。 回归模型的重要基础或方法是回归分析。回归分析是一种计算方法和理论，用于研究一个变量（解释性变量）与另一变量（解释性变量）之间的具体相关性，[2]是用于建模和分析数据的重要工具。在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，其中从曲线或线到数据点的距离差最小。以下是几种常用的回归分析方法[3]： 1.线性回归 它是最著名的建模技术之一。线性回归通常是学习预测模型中的首选技术之一。在该技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续或离散的，并且回归线的属性是线性的。 线性回归使用最佳拟合线（即回归线）在因变量（y）和一个或多个自变量（x）之间建立关系。 它由一个方程式表示，即 其中a是截距，B是直线的斜率，E是误差项。该方程式可以根

据给定的预测变量来预测目标变量的值。 2. Logistic回归 Logistic回归用于计算“事件=成功”和“事件=失败”的概率。当因变量的类型为二进制（1/0，是/否，是/否）时，我们应该使用逻辑回归。这里，Y的值是从0到1，这可以由以下等式表示。 在上式中，P表示具有一定特性的概率。 3.多项式回归 对于回归方程，如果自变量的指数大于1，则它是多项式回归方程。公式如下： 在这种回归技术中，最佳拟合线不是直线。这是用于拟合数据点的曲线。 4.逐步回归 在处理多个自变量时，我们可以使用这种形式的回归。在这项技术中，自变量的选择是在自动过程中完成的，包括非人工操作。 该功能是通过观察统计值（例如R平方，t统计和AIC指标）来识别重要变量。逐步回归通过同时基于指定的标准添加/删除协变量来拟合模型。下面列出了一些最常用的逐步回归方法： 标准逐步回归有两件事。即添加和删除每个步骤所需的预测。 前向选择方法从模型中最重要的预测开始，然后为每个步骤添加变量。 向后消除方法同时开始于模型的所有预测，然后在每个步骤中消除最低有效变量。

线性回归--C语言版

前几天，清理出一些十年以前DOS下的程序及代码，看来目前也没什么用了，想打个包刻在光碟上，却发现有些代码现在可能还能起作用，其中就有计算一元回归和多元回归的代码，一看代码文件时间，居然是1993年的，于是稍作整理，存放在这，分析虽不十分完整，但一般应用是没问题的，最起码，可提供 给那些刚学C的学生们参考。 先看看一元线性回归函数代码： // 求线性回归方程：Y = a + bx // dada[rows*2]数组：X, Y；rows：数据行数；a, b：返回回归系数// SquarePoor[4]：返回方差分析指标: 回归平方和，剩余平方和，回归平方差，剩余平方差 // 返回值：0求解成功，-1错误 int LinearRegression(double *data, int rows, double *a, double *b, double *SquarePoor) { int m; double *p, Lxx = 0.0, Lxy = 0.0, xa = 0.0, ya = 0.0; if (data == 0 || a == 0 || b == 0 || rows < 1) return -1; for (p = data, m = 0; m < rows; m ++) { xa += *p ++; ya += *p ++; } xa /= rows; // X平均值 ya /= rows; // Y平均值 for (p = data, m = 0; m < rows; m ++, p += 2) { Lxx += ((*p - xa) * (*p - xa)); // Lxx = Sum((X - Xa)平方) Lxy += ((*p - xa) * (*(p + 1) - ya)); // Lxy = Sum((X - Xa)(Y - Ya)) } *b = Lxy / Lxx; // b = Lxy / Lxx *a = ya - *b * xa; // a = Ya - b*Xa if (SquarePoor == 0) return 0; // 方差分析 SquarePoor[0] = SquarePoor[1] = 0.0; for (p = data, m = 0; m < rows; m ++, p ++) { Lxy = *a + *b * *p ++; SquarePoor[0] += ((Lxy - ya) * (Lxy - ya)); // U(回归平方和) SquarePoor[1] += ((*p - Lxy) * (*p - Lxy)); // Q(剩余平方和) } SquarePoor[2] = SquarePoor[0]; // 回归方差 SquarePoor[3] = SquarePoor[1] / (rows - 2); // 剩余方差 return 0; }

回归方程公式

回归方程公式 回归方程又称回归模型，是统计学中用来研究变量之间关系的重要理论工具，可以用来解释一个变量如何影响另一个变量的变化的。一般来说，回归方程包括一个或多个自变量，而这些自变量代表被影响的变量（即因变量）。 回归方程一般有两种形式，一种是线性回归方程，也可以称为一元线性回归方程，这种方程式具有形式：Y=ax+b，其中a和b分别代表斜率和截距，Y代表因变量，x代表自变量。这种方程式代表了因 变量Y与自变量x的线性关系，其中a代表因变量Y随自变量x单位增加而变化的幅度，b代表X取零时的因变量Y的值。另一种是多元线性回归方程，它可以用以下形式表示：Y=a1x1+a2x2+…+anxn+b， 其中Y代表因变量，x1, x2, , xn和b分别代表n个自变量和一个 截距，a1, a2,, an分别代表n个自变量的回归系数。 回归方程的应用很广，可以用来解释实际中数据的变化，也可以用来预测未来数据的发展趋势。它还可以用于挖掘数据中潜在的模式、规律和联系，从而提出有效的策略，协助企业更加清晰地理解市场状况，获得成功。 如果要使用回归方程来分析一定的数据，首先应该考虑的是如何对这些数据进行处理，将其转换为有意义的变量。其次，需要验证这些变量之间的统计关系，以及回归方程的拟合度，以确保获得的结果是有效的。最后，要注意回归方程的收敛性和非线性特性，以确保计算精度。

当运用回归方程进行分析时，有以下几点需要注意：首先，要确定数据集的变量，以及它们之间的关系，因为这是计算回归方程的基础；其次，要根据一元线性回归方程或多元线性回归方程，确定回归系数和截距；最后，要计算模型的拟合度，以确定模型的可靠性。 以上就是回归方程的具体内容，回归方程是一个重要的统计学理论工具，有了它，能够更好地分析变量之间的关系及模型的拟合程度，从而有助于我们更有效地完成工作。

2020年高考数学一轮复习专题6.5相关系数及回归方程练习(含解析)

6.5 相关系数及回归方程 两个变量间的相关关系： ①有关概念：相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系． ②回归方程： 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定参数． 的计算公式. 考向一 样本中心 【例1-1】某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出关 于的线性回归方程为，则表中的值为（ ） A. B. C. D. y bx a =+1122()()()n n x y x y x y ，， ，，，，a b 、a b 、1 1 2221 1 ()()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ====⎧ ---⎪ ⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑x y y x 6.5175ˆ.y x =+a 505456.564

【答案】B 【解析】根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到，将坐标代入方程 得到的值为.故答案为：B. 【例1-2】已知表中数据y 与x 有较好的线性关系，通过计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ1.05y x a =+，则相应于下列各点的残差中绝对值最小的是（ ） A ．（2，4） B ．（4，6） C ．（8，10） D ．（10，12.5） 【答案】D 【解析】 ˆˆˆ6,8.3,8.3 1.056,2, 1.052x y a a y x ==∴=⨯+∴=∴=+， 相应于点(2,4),(4,6),(8,10),(10,12.5)的残差分别为0.1,0.2,0.4,0---，故选D. 【举一反三】 1．“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程 .ˆ035y mx =+，则预测2019 年捐赠的现金大约是( ) A ．5万元 B ． 5.2万元 C ．5.25万元 D ．5.5万元 【答案】C 5,196x y a ==+6.5175ˆ.y x =+a 54

joinpoint回归模型的方程式

joinpoint回归模型的方程式 Joinpoint回归模型是一种用于预测趋势变化的模型。它是通过拟合多条直线来预测趋势变化的。在这篇文章中，我们将详细探讨Joinpoint回归模型的方程式。 第一步是确定Joinpoint个数。Joinpoint个数是指在数据集中存在多少个趋势变化点。确定Joinpoint的个数通常需要使用Joinpoint软件，该软件会根据数据的趋势变化自动识别Joinpoint的个数。 第二步是拟合每一条直线。Joinpoint回归模型通过拟合多条直线来预测趋势变化。每一条直线都有一个截距项和一个斜率项，可以表示为y = a + bx 的形式，其中y是预测值，x是独立变量，a是截距项，b是斜率项。 第三步是确定Joinpoint位置。一旦确定了Joinpoint的个数和每一条直线的斜率和截距，我们就可以确定每个Joinpoint的位置。Joinpoint位置是指这个Joinpoint在数据集中的位置。 第四步是计算每个Joinpoint上的坡度。Joinpoint的坡度是指在Joinpoint之前和之后坡度的变化，其计算公式为 (y1 - y0)/(x1 - x0) - (y2 - y1)/(x2 - x1)。 最后一步是合并每个Joinpoint的坡度。通过计算Joinpoint的坡度，我们可以确定趋势变化的位置和速度。最后，将每个Joinpoint 的坡度合并起来，就可以得出预测值。 总之，Joinpoint回归模型的方程式可以通过多条直线来预测趋势变化。通过确定Joinpoint个数，拟合每一条直线，确定Joinpoint 的位置，计算每个Joinpoint上的坡度，并最终合并每个Joinpoint 的坡度，就可以得出预测值。 Joinpoint回归模型是一种有效的预测趋势变化的工具，常常被用于社会科学、医学、环境科学等领域。

Excel表计算混凝土凝结时间

Excel表计算混凝土凝结时间 1、表格上半部分ln（t）和In(fPR)的计算用“LN（）函数”直接计算，即“=LN (240)”，即“=LN (1.1)”，下同。 表格里下半部分的计算首先是涉及到线性回归方程式的计算。根据GB/T50080-2002 标准的4.0.4中的第2条:“凝结时间宜通过线性回归方法确定，是将贯入阻力fPR 和时间t分别取自然对数In(PR)和In(t)，然后把In(fPR)当作自变量，In( t)当作因变量作线性回归方程式: In( t)=A+B I(fPR)"，用Excel作如下设定: 2、线性回归方程式In( t)=A+B In(PR)中的A B为线性回归系数，要呈线性回归，其要求相关系数r≥0.85。所以在表中增设有相关系数这一栏，以便于同时验证所求线性回归方程式的相关系数r。 3、线性回归方程式In( t)=A+B I(PR)中的A值即表格中的E24。用公式栏里的“通过一条线性回归拟合返回一个预测值”即可选用函数"FORECAST来完成计算，把E24设为“=FORECAST(D23,D9:D18,H9:H18)”来得到A值的结果。 4、线性回归方程式In( t)=A+B In(PR)中的B值即表格中的G24,用公式栏里的“返回经过给定数据点的线性回归拟合线方程的斜率”，即可选用函数"SLOPE"来完成计算，把G24设为“=SLOPE(D9:D18,H9:H18)”来得到B值的结果。 5、线性回归方程式的相关系数即表格中的I24,用公式栏里的返回两组数值的相关系数”。即可选用函数"COPPEL"来完成计算，把I24设为

“=CORREL(D9:D18,H9:H18)”来得到相关系数r值的结果。 6、根据GB/T50080-2002标准的4.0.4中的第2条中的当贯入阻力为3.5Mpa 时为初凝时间公式为: ts=e(A+BIn3.5)。当贯入阻力为28Mpa时为终凝时间公式为: te=e(A+Bln28).分别先计算A+B*In3.5和A+B*In28这两个指数值，即在表中的M24 和P24。M24 设为“=E24+G24*LN(3.5)”。P24设为“=E24+G24*LN(28)"，这样就可求得这两个指数值。 D26即为: ts=e(A+BIn3.5), 用”返回e的n次方”，即可选用函数"EXP"来进行计算，设D26为“=EXP(M24)”。同样D27即为: te=e(A+Bln28), 设D27为"=EXP(P24)”。 结果的计量单位min化为h: min,并修约至5 mim即可。

模糊预测的回归法

电力系统中长期负荷预测的不可预知性很强，单凭一种简单的线性预测方法很难准确的预测未来值。模糊预测方法可以从不精确、不完全的已知信息量中抽丝剥茧，并且利用所设计的专家系统知识库，得到比较准确可靠的预测值。并且，模糊预测不需要耗费大量的精力去建立数学预测模型，它用类似于专家的预测方法去进行推理和判断，可以与多种预测方法很好的结合。 中长期负荷预测中还经常用到回归分析法，它的特点是预测方法简单，但是由于需要较多的历史数据的自身缺陷，造成在缺少历史数据的条件下使用困难。利用模糊预测法不需太多的历史数据的特点，将两种方法结合，用区间层次分析法赋以灵活可调的权重值并进行算例验证，证明该方法是一种行之有效的中长期负荷预测法。 回归分析法 在经典的线性回归问题中，回归方程式为： i i x a x a x a a y ++++=Λ33220 ),,3,2,1(n i Λ= (1) 一般可以采用最小二乘法来求取未知参数a 的估计量，即： ∑=----=n i i i i x a x a a y Q 1 2220)(Λ (2) 求出使Q 最小的a 后，将a 代回(1)式中，即可求出预测的结果。 但是在实际的电力系统负荷预测中，往往会有参数和历史数据不足的情况，这时采用单一的回归分析法就会造成最后的预测值与实际值之间的误差过大，影响负荷预测的精度。所以要引入一种可以弥补此类缺陷的方法，即模糊理论。 模糊预测法的出现是电力系统负荷预测的一个新发展，也是一个新补充。模糊预测中引入了一个“隶属度”的概念，使规划决策在几个相互制约的目标中，可以选择一个恰当的比例关系以供决策者参考。

模糊预测步骤框图 2.2.1 模糊逻辑推理 是指从一系列不太精确的、模糊的前提条件下，推导出近乎精确的结论的过程。它的一般原则是： 前提 1. 如果x 是A ，那么y 是B ； 2. x 是A '。 结论 y 是B '=A ' (A → B) 例如：1.如果电压变动率是A ，那么励磁电流调节量是 B ；2.具体的电压变动量是A '。那么具体的励磁电流调节量是A '。 基于此原则，模糊推理又发展出很多类似的推理规则，比如真值流推理、模糊产生式系统等。本文采用的是传统的“If-Then ”模式推理规则。具体阐述为“如果t 时刻的负荷是 L M Z ，t 时刻与历史同时数据相比的变化率为NL NS Z PS PL ，并且历史t 时刻到 下一历史时刻的变化趋势是NL NM NS Z PS PM PL ，那么现在下一时刻的负荷预测值是y t+1”。 每条规则成立的真值条件为： ∏== T t t ti r x 1 )(μ μ (6) 最后的模糊推理输出为： ∑=+⋅= R r t r y Y 1 1μ (7) 两式中T 为预测的总时间，R 为规则总数。 2.2.2 建立模糊决策集 表1给出了根据专家经验所建立的模糊决策集，提取规则的语句仍然为“If-Then ”机制。将误差E 以及误差变化率C 设定为{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,------∈C E ，建立E ~ 、 C ~ 隶属度表，如表2，之后再进行模糊判定计算。最后得到如下的模糊控制表。

线性回归方程的分析及其应用

线性回归方程的分析及其应用 线性回归主要是通过研究自变量与因变量的关系建立线性回归方程并且对其应用的过程。线性回归分析在此过程中显得尤为重要，因为线性回归分析直接影响着线性回归方程，从而影响着预测值与实际值的差距大小。在线性回归方程建立后，就要讨论所建立的方程的预测值与实际值是否大致相等。如果大致相等，这可进行下一步；反之则需重新讨论。确定好线性回归方程后，下一步就是对其进行应用。研究線性回归方程就是要用其解决现实生活中的问题。因此线性回归方程的研究与应用是一个完整的体系。 标签：线性回归，最小二乘法，线性回归方程，线性回归方程的应用 1.引言 线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。 在统计学中，线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归。（这反过来又应当由多个相关的因变量预测的多元线性回归区别，而不是一个单一的标量变量。） 一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。模型的各个参数可以根据实测数据来求解。然后评价回归模型能否很好的拟合实际数据：如果不能很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。 在高中阶段，我们主要接触线性回归方程，也就是由一个自变量和因变量之间的简单回归。高考考纲要求，要求高中阶段要掌握线性回归方程的建立与其简单应用。因此，我们只讨论一元线性回归方程。 线性回归方程的概述 线性回归方程的定义：描述两个变量之间相关关系的一种方程。 2.线性回归方程的实现过程 确定相关变量：明确自变量，在某种程度上也就明确了因变量。通过查阅资料或市场调查预测相关变量的关系。

方差分析 线性回归

1 线性回归 1.1 原理分析 要研究最大积雪深度x与灌溉面积y之间的关系，测试得到近10年的数据如下表： 使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。 线性回归方程式： 对应的估计方程式为 线性回归完成的任务是，依据观测数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。a,b都为估计结果，原方程中的真实值一般用α和β表示。 为什么要做这种拟合呢？

答案是：为了预测。比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势（当然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了）。 线性回归的拟合过程使用最小二乘法， 最小二乘法的原理是：选择a,b的值，使得残差的平方和最小。 为什么是平方和最小，不是绝对值的和？答案是，绝对值也可以，但是，绝对值进行代数运算没有平方那样的方便，4次方又显得太复杂，数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美！ 残差平方和Q， 求最小，方法有很多。代数方法是求导，还有一些运筹学优化的方法（梯度下降、牛顿法），这里只需要使用求导就OK了，

为表示方便，引入一些符号， 最终估计参数a与b的结果是： 自此，针对前面的例子，只要将观测数据带入上面表达式即可计算得到拟合之后的a和b。不妨试一试？ 从线性函数的角度，b表示的拟合直线的斜率，不考虑数学的严谨性，从应用的角度，结果的b可以看成是离散点的斜率，表示变化趋势，b的绝对值越大，表示数据的变化越快。 线性回归的估计方法存在误差，误差的大小通过Q衡量。 1.2 误差分析 考虑获取观测数据的实验中存在其它的影响因素，将这些因素全部考虑到 e~N(0,δ^2)中，回归方程重写为 y = a + bx + e 由此计算估计量a与b的方差结果为，