信号检测与估计作业第一二三八章答案

试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。

请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，K －L 展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。

1.1(付柏成 20060150)

在例1.2中，设噪声均方差电压值为σ＝2v ，代价为f c ＝2，m c ＝1。信号存在的先验概率P ＝0.2。试确定贝叶斯意义下最佳门限β，并计算出相应的平均风险。 解：根据式(1-15)，可以算出

00.82

80.21

f m

Qc Pc ?Λ=

=

=? 而判决门限

2201ln 0.52ln88.822

βσ=+Λ=+=

根据式(1-21)可知平均风险

1010Pr 0.2r 0.8R Qr r =+=+

01100.2(|)0.8(|)

m f c P D H c P

D H =+ 而

011(|)(|)D P D H p x H dx =?

1

100

(|)(|)D P D H p x H

dx =

?

而

2

12

(1)(|)]2x p x H σ-=

-

2

02(|)]2x p x H σ=

-

所以

2011

2

(1)(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ-=

=-??

2

2

(1)

x p []2x dx β

σ-=

-?

＝1

7.82

(

)(

)(3.91)2

2

β-Φ=Φ=Φ

同理

11

2

100

2(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ=

=-??

2

2x p ()2x dx β

σ∞

=-

8.82

1()1()1(4.41)22

β=-Φ=-Φ=-Φ

所以

0.21(3.91)0.82[1(4.41)]R =??Φ+??-Φ

1.2 (关瑞东 20060155)

假定加性噪声()n t 服从均值为零，方差为σ2的正态分布。此时，两个假设为

01:()():()1()

H x t n t H x t n t ==+

我们根据()x t 的两次独立测量值12,x x 作判断，则12,x x 是统计独立的，在假设1H 下其均值为1a =1，在假设0H 下均值为0a =0，因而在两种假设下它们的联合概率密度函数可写

2

2/2

2

1

()(|)(2)

exp()2n

n i k k i x a p x H πσσ-=-=-∑ (0,1;2)k n == 于是，似然比等于

220110122

1

0()(|)

()exp[](|)2n i i a a n a a p x H x x p x H σσ=--Λ==-∑ 如果0()x Λ≥Λ，则选择假设1H ，否则选择假设0H 。由于指数函数是单调函数，上式两边取对数不影响原来的判决，易得到

1

121/2H n

x i i H x x m x n β=>

+==

<

∑ 式中，x m 为样本平均值，220

1010ln ln 1()/2()22a a n a a σσβΛΛ=++=+

-为判决门限。 ① 划分判决区域0D 和1D 的界面是两维空间的一个曲线，其曲线方程

122x x β+=

由于统计量x m 是n 个高斯随机变量的线性组合，因而也是高斯分布的，其均值在假设1H 和0H 下分别是1a 和0a ，方差为2/n σ，即

222

1/2

21/2

22

()()(|)(2/)

exp()()exp()2/x k x k x k m a m a p m H n n πσπσσσ

----== ②因而虚警概率和漏报概率分别为

100(|)(|)x x P D H p m H dm erfc erfc β∞

===

?011()1(|)1x x P D H p m H dm erfc β

∞

=-=-=Φ=Φ? ③平均风险可表示为条件代价0r 和1r 对先验概率再平均

10Pr R Qr =+

其中，

01010101010101(|)(|)(|)(|)

f m r c P D H c P D H r c P D H c P D H ====

1.3(徐世宇 20060175)

(1)

2

020(/)]2x p x H σ=-

2

121(/)]2x p x H σ=-

22

01221010

(/)exp()(/)22p x H x x p x H σσσσ=-

所以001(/)(/)p x H p x H >∧等效于22

2

10122

100

2ln x σσσσσσ<-成立时的判决区域为0D

0x =否则判为1D (2)似然比接收框图

1H 为真却判为0H 的概率为

2

01121(|)(/)]2x x x x x P D H p x H dx dx σ--==-?

?

1.4(姚瑶 20060176) ①由似然比准则

()()

1

100||H P H X P H X >Λ

()()0

101|| 1Λ<∴H X H P X H P

12exp 21

21

22

? ??-∴σσπx

???

? ??-<222exp 22 σσ

πx 222

2ln

2 x -<σ

πσ σ

πσ22

ln

2 22

πσ22

2ln

<∴x

若1>，则所有值都判为1H

若1<

，则101 , x H x H

?

?

?<

判为判为 ②

???

? ??-Λ<2202exp 22σσ

πx 22

0222ln σ

σπx -<Λ

202222ln

2 βσ

πσ=Λ

()0 |β

-β

p x H dx α=?

α=??

β

-βdx 2

1

αββ

=?-x 21

αββ

=??

?

??--?22

αβ=?

1

x , x 1 , H H αα?

1.5(吴芳20060190) (1)由条件可知:

1210()()p H p H ==，1001c c =

()()

22

2

2

2

22

1

1

02|x p x H e x

--Γ=

()()

22

22

11

12|x n n

n

p x H e x

--Γ=

所以似然比：

()()

10|0|1

p x H p x H >=Λ=<

得：

()()

2

2

2

222

2

2

2

22

11211

21

x n n n

x e x e x

--Γ--Γ><

所以：

()()22

22

2222n n n x -

--??>Γ ? ?<Γ??

(2)由条件:

()1

2

n N P == , ()12n M P ==

()

()(){}

()

1

0|,|p x H p d x p x H ααααΛ=

?

()()()()2222

2222

2

222

2

22111112201120

11221x N x M N M N M x H e x e x

x e x H

----ΓΓ--Γ?+?>Λ=Λ=<

1.6(骆振兴20060183)

解：(1)根据题意，这里采用最大似然准则进行判决，根据Ｘ2分布的定义

P(X/H k )=X n/2-1e -x/2/[2n/2Г(n/2)] X>0

其中，Г(n/2)为X n/2-1e -X 在[0 ∞]上的积分值，则有

P(X/H 0)=e -X/2/2 P(X/H 1)=Xe -X/2/4 P(X/H2)=X 2e -X/2/16 P(X/H3)=X 3e -X/2/96

当０＜＝Ｘ＜２时，

P(X/H 0)/P(X/H 1)=2/X>1 P(X/H 0)/P(X/H 2)=8/X 2>1 P(X/H 0)/P(X/H 3)=48/X 3>1

所以，当0=

通过相同方法分析得到其他三个检验的情况。

(2)令y=[X 1X 2……X M ]1/M ，因为X1X2……XM 为独立同分布的随机变量，

P(y/H k )=[P(X i /H k )]M(1/M)=P(X i /H k )

可见y 在四种假设情况下的似然函数与上题相同，所以可用y 替代x 。

1.7(翟海莹20060200) 似然函数为：

}2exp{21

)|(22

20σπσ

x H x p -=

}2)1(exp{21

)|(22

21σπσ

--=x H x p 采用极大极小化准则，根据已知代价因子，有：

)|()|(1001H D P H D P =

即

??∞

-∞

=β

β

dx

H x p dx H x p )|()|(10???-∞-∞-∞

-=--=-122

2222222}2exp{21}2)1(exp{21}2exp{21

βββ

σπσ

σπσσπσdx x dx x dx x

得

0)1(=-+ββ

即

5.0=β

又

)

()

(10H P H P =

β 1)()(10=+H P H P

所以

31)(0=

H P 32)(1=H P

1.8(王钰婷 20060177) 若上题假定,6,30110==c c 则

(1)每个假设的先验概率为何值时达到极大极小化风险？ (2)根据一次观测的判决区域如何？ 解：(1)采用极大极小化准则： 由于

,01100==c c ,6,30110==c c ()()1100r H p r H p R +=

()()()()1001101100//H D P c H p H D P c H p +=

=()[]()()()1001101101//1H D P c H p H D P c H p +-

()

01=??H p R

∴ =R ()()10010110//H D P c H D P c =

∴极大极小化风险：()()1001/2/H D P H D P R == (a)

由上题可知：

()???

???-=

2202exp 21

/σσπx H x p ()()?

?????--=

22121exp 21

/σσπx H x p ∴()()()()[]()1

0111002

011212exp //0

1

H p c H p c x H x p H x p x H H -=Λ<>??? ??-==

Λσ ∴判决规则：x

1

H H <>()()βσσ=-+=Λ+1120221ln 21ln 2

1H p H p (b)

∴()()()()???

???

???? ??-Φ==???

??Φ-==??σβσβ1//1//01110001D D dx H x p H D P dx H x p H D P ∴由(a)式可得：??? ??Φ-σβ1??

?

??-Φ=σβ12

即??? ??-

Φσ

β

??

? ??-Φ=σβ12 (c) 由上(c)式可以计算出β的值 再代入(b)右式：

()()

βσ=-+11221ln 21H p H p 可求出达到极大极小化风险时，先验概率()()01H p H p 和的值 (2)最后根据判决规则(b)式：

x

1

H H <

>

β 可得判决区域10D D 和。

1.9 (周杨杨 20060178) 解：由题意得

()

()()

()()?

??

???????

?

??--

=???

? ??-=∑∑=-=-M i i M M i i M x H p x H x p 1222211222

2022exp 2/2exp 2/σπσσπσ，其中22=σ

()()()

()??? ??-==

Λ∴∑=M

i i

x H x p x 1

1

1exp /

(1)

()001

Λ<

>

ΛH H x

()β=+Λ<>

=

∴∑=1ln 1

01

1

M

M

x m H H M

i i

x ()()?=

=1

01/05.0/D x d H

x p H D P

()

M M i i M dx dx x 1122

4

exp 4???

?

??-=∑??=∞∞

-β

β

π M

i i dx x ???

?

???????? ??-=?∞β

π4exp 212 M

e r

f c ???

?????? ??=2β

∴由上式可计算出β的值

(2)

()()?=

1

1

11//D x d H

x p H D P

()x d x M i i M

?∑∞

=???

?

?

?--????

??=βπ

1242e xp 21

=？

1.10(季莹莹20060181)

应用式（1-6）~（1-8）证明（1-9）

)|()|()|(r 0101111i i i x H P c x H P c x d +=

(1-6)

∑=

k

k i k j j i i j H x p H P H P H x p x H P )

|()()

()|()|( (1-7)

)|()|()|(0001010i i i x H P c x H P c x d r += (1-8)

011

01100

10001)()()|()|(Λ?--≥?

Λc c H P c c H P H x p H x p i i (1-9)

式1-9等效于)|()|(01i i x d r x d r ≤

即)|()|()|()|(000101010111i i i i x H P c x H P c x H P c x H P c +≤+

∑∑∑∑≤+k

k i k i k

k i k i k

k i k i k

k

i k i H x p H P H P H x p c H x p H P H P H x p c H x p H P H P H x p c H x p H P H P H x p c )

|()()

()|(

+)|()()()|()

|()()

()|()|()()

()|(000011010010

1111

经移项得

)()|()()()|()(000010111101H P H x p c c H P H x p c c i i -≥-

可得 011

01100

10001)()()|()|(Λ?--≥?Λc c H P c c H P H x p H x p i i

1．11 （20060184 虞成磊）

试证明例1.12中的最小均方误差估计量α

?的表达式(1-127)和风险表达式(1-129).

p()|x α=p()|αx p()α/p(x )=)}2/()](

[exp{)

2(22

22

22

12γβ

μσγαπγ+

---x

nm 其中,2

2

2

---+=βσ

γ

n ,∑==n

i i x x n m 1

1

由式1-106得, ?∞

∞

-==]|[)|(?x E d x p ααααα

由

上式得

2

2222222222

2222222

2

*)(1)(

]|[σβμσββσμσβσββσβμσβσβμσγα++=++=++=+=n nm nm n nm n nm x E x x x x

n

n m x //2

222σβμσβ++= x x x

x x x dm m p nm dm m p dx x p R )|(])([)|()?()|()?()(2

22

2}

{22αβ

μσγαααααα

αα???∞

∞

-∞

∞

-+

-=-=-==

x

x x

x x x dm m p n n m dm m p n n m n n )|(]/)(/)([)|(]//)//([2222

2222222222ασβμασαβασβμσβασβσβ??∞∞-∞

∞-+-+-=++-++=|因为)|(αx m p 为高斯分布,αα=]|[x m E ,n m D x /]|[2

σα=

上

式

2

222

2

4

22224

2222

2

4

2222

4

)/()(/*)/()/()

()|()/()(n n n n n n dm m p n m x

x x σβμασσσββσβμασασβαβ+-++=+-++-=?

∞

∞-2

2

2

2

2

42)

/(]

)

([n n n

σβσμαβσ+-+=

)/()/()/()/(/)()(22222

2222222224242n n n n n n n n d p R R σββσσβσββσσβσββσααα+=++=++==?∞

∞-

1．12 （高锋20060195） 由

()()?????

? ?

?+

=

=?∞+∞-n n da a p a R R 2

22

2σββσ 可知

(1) 5 ,1 ,122===n βσ时

61511151=?????

? ??+=

R

(2) 102=σ时

3251011510=?

????? ?

?+=

R 可见，2

σ增大时，

n

2

σ增大，平均风险R 增大；

(3) 50=n 时

51150111501=?????

?

??+=

R 可见，n 增大时，

n

2

σ减小，平均风险R 减小。

1.13 （王利强20060179）

设i x （i ＝1，2，……,n ）是观测样本，且{i x }是弱平稳过程，均值为

u =[i x ],如果{i x }，（i ＝1，2，……,n ）是独立的，试证明：

（1） 样本均值 x ＝

1

n

1

n

i

i x

=∑；

（2） 样本方差2

s ＝

1

1

n -2

1

()n

i i x x =-∑分别是无偏的，且E 2

[ x -u]=2

n ? 证明：(1)E[x ]=E[

1

n

1

n

i i x =∑] =1

n 1[]n

i i E x =∑=1n

1

n

i u =∑=1

n *n*u =u

所以 本均值 x ＝

1

n

1

n

i

i x

=∑是无偏的。

(2) E[2s ]=E[

1

1

n -2

1

()n

i i x x =-∑]=11n -E[2

1()n i i x x =-∑]=11n -E[21n

i i x =∑-n*2()x ]

=11n -{1n

i =∑E[2i x ]－n*E[2()x ]}=11

n -{n*(2u +2?)－n*(2

u +2n ?)}

=

1

1

n -{(n-1)*2?}= 2? 所以 样本均值 2

s ＝

1

1

n -2

1

()

n

i

i x x =-∑ 无偏的。

E 2

[ x -u]＝E[2

()x ]-2u E[x ]-2u =E[2()x ]-2u =2

u +2n ?-2u =2

n

?

1.14 （邓朝日20060186）

解：

(1) 211(/)exp ()2n n i i P x X αα=??

=--????∑

2()e x p 2P αα??=-????

(/)

(/)()/(

P x P x P P x ααα=

2

111x p 21n i i n X n α=??+????=--????+??????

∑ 所以，二次Bayes 估计为

?[/](/)E x P x d α

αααα∞

-∞==?

平均Bayes 估计为

（2）s 的极大似然估计

211(/)exp ()2n n i i P x X αα=??

=--????

∑

211ln (/)()2n

i i P x n X αα==--∑

l n (/)0P x αα?=? => 1

1?n

i i X n α==∑ 又 11

11?[][][]0n n

i i i i E E X E w n n α

ααα====+=+=∑∑

因此，该最大似然估计为无偏估计。

11

11?n n

i i i i X w n n εα

αα===-=-=∑∑ 2[]w

Var n

σε=

当 n →∞时，[]0Var ε→

所以，s 的最大似然估计是均方一致的。

1.15 （朱芳英 20060182） 解：?在（0 2π）上均匀分布

1

,02()20,p ?π

?π?<

()t ω是高斯白噪声2(0,)N σ

002000

[()]{sin()()}[sin()][()]1

[sin()]sin()02E x t E A w t w t E A w t E w t AE w t A w t d π?????π

=++=++

=+=+=?

{}{}{}{}

222

0222002

2022

[()][()][()][sin()()]0[sin ()]2sin()()()1cos(22)2/2D x t E x t E x t E A w t w t A E w t AE w t w t E w t w t A E A ????σ

σ=-=++-=++++-+??=+????

=+

22

1222

22122

22

22

1

()(|)exp 21ln (|)ln(/2)ln 22(/2)2

2

ln (|)20

(2)2n

n i i n

i i n

i i x a p x A n n p x A x A A p x A A An

x A A A σσπσσσ===????-=-????=--+-+?=-

=?++∏∑∑

1.16 （莫晨晨 20060198）

设高斯过程x(t)的均值为μ，但方差2σ未知。试利用它的n 个统计独立样本

i x , (i=1, 2,…,n)。

（1）证明2

σ的极大似然估计为 ∧2

σ＝21

()n n

i i x =1-μ∑

（2）证明∧

2

σ是充分估计值和优效估计量。 （1）证明：高斯分布的随机变量，有 p (X 2? μ,σ) ＝

21()2X μ2??

--??σ??

, 此时似然函数为

p (X 2

? μ,σ) ＝

21()exp 2n

n i i x μ2

=??--??σ??

∏ 对数似然函数则为

ln p (X 2

? μ,σ) ＝2

2

1

1

()

ln 2n

i

i x n c μσσ

=---+∑，其中c 为常数。

根据

2

2

ln p ( ,)X μσσ

?∣ ? ＝ 24

2

1

1()22n

i i n x μσσ=--

∑＝0

因此有2σ的极大似然估计为

∧2

σ＝21

()n n

i i x =1-μ∑

（2）证明：E[∧2

σ] ＝ E [21

()n n

i i x =1-μ∑] ＝ 2σ

故估计量∧2

σ是无偏的。 又

2

2

ln p ( ,)X μσσ

?∣ ? ＝ 2

4

2

1

1()22n

i i n x μσσ=--

∑ ＝

4

2

22n n σσ∧

2

σ-

＝

24

()2n σσ

∧2

σ-

其中4

2n σ

就是比例系数h(2

σ)，显然∧2

σ满足式（1－87），故∧2

σ是优

效估计量，从而也一定是充分估计量。

1.17 （孔超 20060193）

02

0002

00

000000000()cos()()

1(|,)exp [()cos()]1ln (|,)ln [()cos()]2ln (|,)[()cos()]cos()2[()cos()]cos()T T

T T x t A t w t p x A F x t A t dt N p x A F x t A t dt

N p x A x t A t A t dt A N A x t A t t d N ω??ω??ω??ω?ω?ω?ω?-+=??

=--+????

=--+??=-++??=-++????2000

02

00000

102000000

00002[()cos()cos ()]2()cos()cos ()2()cos()=02A ()cos()2ln (|,)(A )2ln (|,)[()T T T T T

t x t t A t dt N x t t dt A t dt N x t t dt A N x t t dt

N p x A A A N p x A x t N ω?ω?ω?ω?πω?ωωω?π

π?ω??∧

∧

=+-+=+-+=+-=

+?=-??=-??????

?（=AT ）令上式，得

00000002

0000000

0000

00

cos()]cos()2[()cos()]sin()2[()sin()sin(22)]2

2()sin()2()(sin cos cos sin )2[cos ()sin T T

T T T A t A t dt x t A t A t dt

N A x t A t t dt N A x t t dt N A x t t t dt N A

x t tdt N ω?ω??

ω?ω?ω?ω?ω?ω?ω??ω?++?=--++=-+-+=-+=-+=-+?????0000000

sin ()cos ]

=0()sin arctan()

()cos T T T

T

x t tdt x t tdt x t tdt

?ωω?ω∧

=-

????

令上式，得

1.18 （王旭20060185） 解：因为E[x] =10

()

x

x x x e d ααββα--+∞Γ?

=

()01()()

x

x x e d αββββα+∞-Γ? =

(1)()αβαΓ+Γ=αβ

E [2

x ]=210

()

x

x x x e d ααββα--+∞

Γ?

=1()2

1

()()x x x e d αββββα+∞+-Γ? =2(2)()αβαΓ+Γ=2

()ααβ

+1 有矩法，可令

X =11n i i X n =∑=α

β

211n i i X n =∑=2

()

ααβ+1

由此解得α及β的矩估计为

?α

=22

1

11()n i

i X X n =-∑

?β

=2

21

1

1[()]n i i X X X n =-∑

1.19 （刘洋20060188）

设母体),(~2σμN x ,n x x x ,...,,21是其样本，试求k 使 （1）∑-=+∧-=1

1

212

)(n i i i x x k σ为2σ的无偏估计量；

（2）∑=∧

-=n

i i x x k 1

σ为σ的无偏估计量

解：（1）要使2∧σ为2

σ的无偏估计量，则应该22

][σσ=∧E

2

21

1

22221

1

12211

1

2

111

2

12

2)1()

2()]

(2)()([)(])([][σσμμσμσμσ=?-?=?-+++=-+=-=-=∑∑∑∑-=-=++-=+-=+∧n k k x x E x E x E k x x E k x x k E E n i n i i i i i n i i i n i i i

故)

1(21-=n k 时，2∧σ为2σ的无偏估计量

（2）暂时没思路

1.20 （陈丽萍 20060189）

设母体2

~(,)x N μδ，参数2

σ未知，

1,2,n x x x 是x 的n 个样本。试证：2

1

1n i

i x n =∑是2σ的优效估计量。

证明： μ是x 的均值，令a =2

1

1n i i x n =∑作为μ的估计量，

E[a ]=μ=a ,

样本i x 服从高斯分布，则均值估计量a 也服从高斯分布。

由于i x 是独立的样本，因此似然函数(|)p x a 是n 个一维高斯密度函数的连乘，即

122

2

2111

(|)(

)exp[()]22n

i i p x a x a πδ

δ

==--∏ 12

2

2

2

111(

)exp[()]22n

i

i x a πδ

δ==--∑

对数似然函数为

2

2

2

2

1

11ln (|)ln(

)()

22n

n

i

i p x a x a πδ

δ

==-

-∑

上式对a 求导，得

2

21

1ln (|)1

1()()n

n

i i i i p x a n x a x a a n δδ==?=-=-?∑∑ 2

()n

a a δ

=

-

2

n

δ就是比例系数()h a ，显然a 满足式

ln (|)

()()p x a k a a a a

?=-?，

故a =2

1

1n i i x n =∑是2δ的优效估计量。

1.21 （李丽月 20060197）

设总体x 服从参量为λ的泊松分布)(λP ，λ>0是未知参量，n x x x ,,,21 是x 的n 个样本，假定损失函数为,(λL )?λ=)(?

-λλ，并且λ具有先验分布密度 λλπ-=e )( λ>0 试求λ的Bayes 估计。

解：由题意可知，总体x 服从参量为λ的泊松分布)(λP 且λ具有先验分布密度λλπ-=e )(，λ>0 则λλ-=e x p )(，λ>0

又 损失函数为,(λL )?λ=)(?

-λλ 则条件代价表示式为 λλλλλd x p L x R )(),()(?

∞

∞-?

?=

λλλλd e -?

∞

∞--?=)( ①

则λ的Bayes 估计量?

λ应满足如下方程

0)(=????

λ

λx R ②

将①式带入②式，得

010e d e d λλ

λλ∞-∞--∞?=?=≠（-） 即λ的Bayes 估计量?

λ为任意值

信号检测与估计理论简答

信号检测与估计理论简答题 1.维纳滤波器与卡尔曼滤波器的区别 维纳滤波器： 1)只用于平稳随机过程。 2)该系统常称为最佳线性滤波器。它根据全部过去和当前的观测信号来估计信号的波形，它的解是以均方误差最小条件所得到的系统的传递函数H(Z)的形式给出的。 3)信号和噪声是用相关函数表示的。 卡尔曼滤波器： 1)平稳随机过程和不平稳随机过程均适用。 2)该系统常称为线性最优滤波器。它不需要全部过去的观测数据，可根据前一个的估计值和最近的观察数据来估计信号的当前值，它是用状态方程和递推方法进行估计的，其解是以估计的形式给出的。 3)信号和噪声是用状态方程和测量方程表示的。 2.解释白噪声情况下正交函数集的任意性 设)0)(()()(T t t n t s t x ≤≤+=中，噪声n(t)是零均值、功率谱密度为2/)(0N w P n =的白噪声，其自相关函数)(2)(0 u t N u t r n -= -δ。于是，任意取正交函数集)()},({t x t f k 的展 开系数 j x 和 k x (k=1,2,…)的协方差为 )])([(k k j j s x s x E --] )()()()([00??=T k j T du u f u n dt t f t n E ????????=T T k j dt du u f u n t n E t f 00)()]()([)(? ???????-=T T k j dt du u f u t t f N 0 00)()()(2 δjk k T j N dt t f t f N δ2 )()(2 = =? 当k j ≠时，协方差0 )])([(=--k k j j s x s x E ，这说明，在n(t)是白噪声的条件下，取任 意正交函数集)}({t f k 对平稳随机过程k x (k=1,2,…)之间都是互不相关的。这就是白噪声条件下正交函数集的任意性。 3.请说明非随机参量的任意无偏估计量的克拉美-罗不等式去等号成立的条件和用途 克拉美-罗不等式] )),(ln [(1 ])?[(2 2θ θθ θ??≥-x p E E 或 )] ),(ln [(1 ])?[(22 2θθθ θ??-≥-x p E E 当且仅当对 所有的x 和θ 都满足 k x p )?(),(ln θ θθθ-=??时，不等式去等号成立。其中k 是任意非零常 数。 用途：当不等式去等号的条件成立时，均方误差取克拉美-罗界，估计量θ? 是无偏有效的。以此，随机参量下的克拉美-罗不等式和取等号的条件可用来检验随机参量θ的任意无偏估计量θ? 是否有效。若估计量无偏有效，则其均方误差可由计算克拉美-罗界求得。 4.简述最小的均方误差估计与线性最小均方误差估计的关系。 在贝叶斯估计中讨论的随机矢量θ的最小均方误差估计，估计矢量mse θ可以是观测矢

《信号检测与估计》总复习

《信号检测与估计》总复习 2005.4 第一章 绪 论 本章提要 本章简要介绍了信号检测与估计理论的地位作用、研究对象和发展历程，以及本课程的性能和主要内容等。 第二章 随机信号及其统计描述 本章提要 本章简要阐述了随机过程的基本概念、统计描述方法，介绍了高斯噪声和白噪声及其统计特性。 本章小结 （1）概率分布函数是描述随机过程统计特性的一个重要参数，既适用于离散随机过程，也适用于连续随机过程。一维概率分布函数具有如下性质 1),(0≤≤t x F X []0)(),(=-∞<=-∞t X P t F X ； []1)(),(=+∞<=+∞t X P t F X ； ),(),())((1221t x F t x F x t X x P X X -=<≤； 若 21x x <，则),(),(12t x F t x F X X ≥ 概率密度函数可以直接给出随机变量取各个可能值的概率大小，仅适用于连续随机变量。一维概率密度具有如下性质： 0),(≥t x f X ； 1 ),(=? +∞ ∞ -dx t x f X ； x d t x f t x F x X X ' '=? ∞ -),(),(； []?=-=<≤2 1 ),(),(),()(1221x x X X X dx t x f t x F t x F x t X x P （2）随机过程的数字特征主要包括数学期望、方差、自相关函数、协方差函数和功率谱密度。分别描述了随机过程样本函数围绕的中心，偏离中心的程度、样本波形两个不同时刻的相关程度、样本波形起伏量在两个不同时刻的相关程度和平均功率在不同频率上的分布情况。定义公式分别为： []dx t x xf t X E t m X X ?+∞ ∞ -==),()()( []{} []dx t x f t m x t m t X E t X X X X ? +∞ ∞ --=-=),()()()()(2 22 σ []2 12121212121),,,()()(),(dx dx t t x x f x x t X t X E t t R X X ? ? +∞∞-+∞ ∞ -== [][]{} [][]2 121212211 221121),,,()()()()()()(),(dx dx t t x x f t m x t m x t m t X t m t X E t t C X X X X X X ? ?∞+∞-∞+∞ ---=--=

信号检测与估计模拟试卷

XXX 大学（学院）试卷 《信号检测与估计》试卷 第 1 页 共 2 页 《信号检测与估计》模拟试卷 一、（10分）名词解释（每小题2分） 1．匹配滤波器 2．多重信号 3．序列检测 4．非参量检测 5．最佳线性滤波 二、（10分）简述二元确知信号检测应用贝叶斯、最大后验概率、极大极小、纽曼-皮尔逊及最大似然准则的条件及确定门限的方法。 三、（10分）简述信号参量估计的贝叶斯估计、最大后验估计、最大似然估计、线性最小均方误差估计及最小二乘估计的最佳准则及应用条件。 四、（10分）概述高斯白噪声情况下的信号检测和高斯色噪声情况下信号检测所采用方法的特点。 五、（10分）设线性滤波器的输入为)()()(t n t s t x +=，其中)(t n 是功率谱密度为2/0N 的白噪声，信号为 ???><≤≤=0 0,000)(ττt t t t t s 对输入)(t x 的观测时间为),0(T ，且0τ>T 。（1）试求匹配滤波器的冲激响应及对应于)(t s 的输出信号。（2）求匹配滤波器输出的信噪比。 六、（10分）一个三元通信系统的接收机观测到的样本为n s x i +=，3,2,1=i 。其中，i s 是发射信号，n 是均值为0、方差为的2σ高斯白噪声。i s 取值分别为5、6和7，分别对应假设1H 、2H 和3H ，并且所有假设的先验概率相等。根据一次观测样本进行检测判决，（1）确定检测判决式和判决区域；（2）求最小平均错误概率。 七、（10分）在T t ≤≤0时间范围内，二元通信系统发送的二元信号为0)(0=t s ，)()(1t As t s =，其中，)(t s 是能量归一化确知信号；A 是正的确知常量，并假定发送两种信号的先验概率相等。信号在信道传输中叠加了均值为0、功率谱密度为2/0N 的高斯白噪声)(t n 。（1）试确定信号最佳检测的判决式。（2）画出最佳检测系统的结构。 八、（15分）设观测方程为k k n b a x +=，M k ,,2,1 =，其中a 和b 是非随机参量，k n 是均值为0、方差为1的高斯随机变量，且观测样本M x x x ,,,21 之间互不相关。（1）试求参量a 和b 的最大似然估计ML ?a 和ML ?b ；（2）分析最大似然估计ML ?a 和ML ?b 的有效性。 九、（15分）设目标以匀速度v 从原点开始做直线运动，速度v 受到时变噪声k w 扰动。现以等时间间隙T 对目标的距离r 进行直接测量，并且距离r 测量受到测距的观测噪声k n 的影响。假设在0=t 时刻开始，目标位于原点，观测时间间隔s 2=T 。目标在原点时，距离0r 的均值km 0][0=r E ，方差为220)km (2=r σ；速度0v 的均值km/s 3.0][0=v E ，方差为 220)km/s (2.0=v σ。速度扰动噪声k w 是均值为0、方差为22)km/s (2.0=w σ的白噪声随机序列。观测噪声k n 是均值为0、方差为22)km (8.0=n σ的白噪声随机序列，且与速度扰动噪声k w 不相 关。速度扰动噪声k w 、观测噪声k n 与目标初始状态),(00v r 彼此互不相关。如果运动目标距离的

信号检测与估计理论第一章习题讲解

1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0, 0(),01 1,1 X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {} {}{}()()0.30.70.30 .70.70 .3 0.7P X P X F P X F =<< =<≤-=- 第③问 201()()0 X X x x d F x f x else dx ≤

1-10已知随机变量X 的概率密度为()()x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉 普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x d x k ∞ -∞==? 第②问 { }()( )()2 1 1 221x x P x X x F x F x f x d x <≤ =-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2 111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤??? ?==????+>->????? ???

信号检测与估计作业第一二三八章答案

试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。 请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，K －L 展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。 1.1(付柏成 20060150) 在例1.2中，设噪声均方差电压值为σ＝2v ，代价为f c ＝2，m c ＝1。信号存在的先验概率P ＝0.2。试确定贝叶斯意义下最佳门限β，并计算出相应的平均风险。 解：根据式(1-15)，可以算出 00.82 80.21 f m Qc Pc ?Λ= = =? 而判决门限 2201ln 0.52ln88.822 βσ=+Λ=+= 根据式(1-21)可知平均风险 1010Pr 0.2r 0.8R Qr r =+=+ 01100.2(|)0.8(|) m f c P D H c P D H =+ 而 011(|)(|)D P D H p x H dx =? 1 100 (|)(|)D P D H p x H dx = ? 而 2 12 (1)(|)]2x p x H σ-= - 2 02(|)]2x p x H σ= - 所以 2011 2 (1)(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ-= =-?? 2 2 (1) x p []2x dx β σ-= -? ＝1 7.82 ( )( )(3.91)2 2 β-Φ=Φ=Φ

同理 11 2 100 2(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ= =-?? 2 2x p ()2x dx β σ∞ =- 8.82 1()1()1(4.41)22 β=-Φ=-Φ=-Φ 所以 0.21(3.91)0.82[1(4.41)]R =??Φ+??-Φ 1.2 (关瑞东 20060155) 假定加性噪声()n t 服从均值为零，方差为σ2的正态分布。此时，两个假设为 01:()():()1() H x t n t H x t n t ==+ 我们根据()x t 的两次独立测量值12,x x 作判断，则12,x x 是统计独立的，在假设1H 下其均值为1a =1，在假设0H 下均值为0a =0，因而在两种假设下它们的联合概率密度函数可写 2 2/2 2 1 ()(|)(2) exp()2n n i k k i x a p x H πσσ-=-=-∑ (0,1;2)k n == 于是，似然比等于 220110122 1 0()(|) ()exp[](|)2n i i a a n a a p x H x x p x H σσ=--Λ==-∑ 如果0()x Λ≥Λ，则选择假设1H ，否则选择假设0H 。由于指数函数是单调函数，上式两边取对数不影响原来的判决，易得到 1 121/2H n x i i H x x m x n β=> +== < ∑ 式中，x m 为样本平均值，220 1010ln ln 1()/2()22a a n a a σσβΛΛ=++=+ -为判决门限。 ① 划分判决区域0D 和1D 的界面是两维空间的一个曲线，其曲线方程 122x x β+=

信号检测与估计课后习题

三、（15分）在二元信号的检测中，若两个假设下的观测信号分别为： 012 2 112 ::H x r H x r r ==+ 其中，1r 和2r 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1。若似然比检测门限为η，求贝叶斯判决表示式。 解 假设0H 下，观测信号x 的概率密度函数为 1/2 201(|)exp 22x p x H π???? =- ? ????? 假设1H 下，22 12x r r =+， 而12 (0,1),(0,1)r N r N ，且相互统计独立。大家知道， 若(0,1)k r N ，且(1,2, ,)k r k N =之间相互统计独立，则 2 1N k k x x ==∑ 是具有N 个自由度的2 χ分布。现在2N =，所以假设1H 下，观测信号x 的概率密度函数 为 22/21 12/22 1(|)exp() 2(2/2)2 1exp(),022 x p x H x x x -=-Γ=-≥ 当0x <时，1(|)0p x H =。 于是，似然比函数为 1/2210exp ,0 (|)()222(|)0, 0x x x p x H x p x H x πλ??? ??-≥? ? ?==?????? ???-≥? ? ? ??-?? ?

四、（15分）已知被估计参量θ的后验概率密度函数为 2(|)()exp[()],0p x x x θλθλθθ=+-+≥ （1）求θ的最小均方误差估计量^ mse θ 。 （2）求θ 的最大后验估计量^ map θ 。 解 （1）参量θ的最小均方误差估计量^ mse θ是θ的条件均值，即 ^ 0220 221 (|)()[()]1()()2 ,mse p x d x exp x d x x x x θθθθ λθλθθ λλλλ ∞ ∞ +==+-+=++= ≥-+?? ^ 0,mse x θλ=<- （2）由最大后验方程 ^ln (|) |0map p x θθθθ =?=? 得 ^2[ln()ln ()]1 ()|0 map x x x θθλθλθθ λθ =? ++-+?=-+= 解得 ^ ^ 1 ,0, map map x x x θλλθλ = ≥-+=<- 七、（15分）若对未知参量θ进行了六次测量，测量方程和结果如下： 182222202384404384n θ???????????????? =+????????????????????

信号检测与估计试题——答案(不完整版)

一、概念： 1. 匹配滤波器。 概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。 应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。 2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科) 首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述： X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。 对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1) 式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance： P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2) 式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。 现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3) 其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)： Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4)

信号检测与估计仿真作业

信号检测与估计计算机仿真作业 一．实验目的 1.学习Matlab软件在信号检测与估计中的应用 2.学习MUSIC、ESPRIT、GEESE等的空间谱估计算法的原理，并通过仿真分析比较这三种算法的不同及性能特点 3.通过仿真分析了解非平稳噪声和色噪声对MUSIC、ESPRIT、GEESE方法性能的影响二．实验原理 2.1最小错误概率准则 出发点是如何使译码后的错误概率PE为最小。其基本思路为：收到yj后，对于所有的后验概率P(x1|yj),P(x2|yj), …,P(xi|yj),…，若其中P(x*|yj)具有最大值，则将x*判决为yj的估值。由于这种方法是通过寻找最大后验概率来进行译码的，故又常称之为最大后验概率准则。 最大后验概率译码方法是理论上最优的译码方法，但在实际译码时，既要知道先验概率又要知道后验概率，而后验概率的定量计算有时比较困难，需要寻找更为实际可行的译码准则。 2.2MUSIC原理 MUSIC算法是一种基于矩阵特征空间分解的方法。从几何角度讲，信号处理的观测空间可以分解为信号子空间和噪声子空间，显然这两个空间是正交的。信号子空间由阵列接收到的数据协方差矩阵中与信号对应的特征向量组成，噪声子空间则由协方差矩阵中所有最小特征值（噪声方差）对应的特征向量组成。MUSIC算法就是利用这两个互补空间之间的正交特性来估计空间信号的方位。噪声子空间的所有向量被用来构造谱，所有空间方位谱中的峰值位置对应信号的来波方位。MUSIC算法大大提高了测向分辨率，同时适应于任意形状的天线阵列，但是原型MUSIC算法要求来波信号是不相干的。 2.3ESPRIT算法原理 ESPRIT算法估计信号参数时要求阵列的几何结构存在所谓的不变性，这个不变性可以通过两种手段得到：一是阵通过某些变换获得两个或两个以上的相同子阵。由于这种算法在有效性和方面都有非常突出的表现，已经被公认为空间谱估计的一种经典算法，随着ESPRIT 算法的深入研究，ESPRIT算法进一步被广大学者接受并推广。 2.4 GEESE算法基本原理 信号子空间特征向量的广义特征值法(GEESE)，可以在简化计算的情况下解决ESPRIT 算法中实际噪声测量有误差的问题。它利用信号子空间的一个显著特征，那就是真实方向向量所张成的子空间与除了阵列输出互相关矩阵的最小多重特征值之外的所有相应特征向量所张成的子空间是一样的。

2016年信号检测与估计考试试卷

信号检测与估计试题答案 三、（15分）现有两个假设 00,11,:,1,2,,:,1,2,,j j j j j j H y u z j K H y u z j K =+==+= 其中观测样本j y 为复信号，0,1,,j j u u 是复信号样本，j z 是均值为零、方差为 2*z j j E z z σ??=??的复高斯白噪声，代价因子为001101100,1c c c c ====，先验概率 010.5ππ== （1）试写出两假设下的似然函数()0p y 和()1p y ，其中12[,,,]T K y y y y = ；（4分） （2）采用贝叶斯准则进行检测，给出信号检测的判决规则表达式；（6分） （3）在上题基础上，计算虚警概率。（5分） 解： （1）观测样本j y 在假设0H 下的概率密度函数为 ()2 0,022 1exp 1,2,,j j j z z y u p y j K πσσ?? -??=-=? ???? ? ……..（2分） 由于样本间互相独立，则K 个观测样本的联合概率密度函数为 ()()()()() 20010200,2211 1exp K K j j K j z z p y p y p y p y y u σπσ=??== --?? ??∑ …….（1分） 同理可得，在假设1H 下的似然函数为 ()()()()() 21111211,2211 1exp K K j j K j z z p y p y p y p y y u σπσ=??== --?? ??∑ …….（1分） （2）首先计算似然比：

()()(){}{}1** 011,0,22221 102222exp Re Re K K j j j j j j z z z z p y L y y u y u p y εεσσσσ==??==--+????∑∑ 其中∑==K j j u 12 ,00||21ε，∑==K j j u 1 2,11||21ε。 ……..（2分） 然后，计算贝叶斯准则似然比门限为 () ()010******** B C C C C πτπ-= =- ………（2分） 因此，根据 {}{}1 **011,0,222 21 10 2222exp Re Re 1K K j j j j j j z z z z D y u y u D εεσσσσ==≥??--+??

2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)

第二章 随机信号及其统计描述 1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。 解： 变量X 的概率密度 ??? ? ???≤≤-=其他，,01 )(b x a a b x p 均值 []?∞∞-+===2)(b a dx x xp X E m X 方差 ?∞ ∞--=-=12 )()()(2 2 2 a b dx x p m x X X σ 2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为 0),exp(>-=a ax y 试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。 解： 反函数0,ln 1 >-=a y a x 雅可比式为 ay dy dx J 1-== 所以 0),ln 1 (1)ln 1()(>-=- ?=a y a p ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为 )sin()cos()(00t B t A t X ωω+= 式中，0ω是常数， A 和 B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ， 222][][σ==B E A E 。求)(t X 的均值和自相关函数。

7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 Λ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。 8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττ e R X ，求)(t X 均值、二阶 原点矩和方差。 解： 可按公式求解[] )()0(, )0()(, )(222 ∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。 但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ( ) 12)10cos(2)()()(1021++=+=-τ ττττe R R R X X X 由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，??A t A t X ),10cos()(1+= 所以[]0)(1=t X E

信号检测与估值

1.信号检测与估计理论是现代信息理论的一个分支，研究的对象是信息传输系统中信号的 接收部分。 2.系统信息传输可靠性降低的主要原因：（1）信号经过传输以后,由于通信系统不理想,信 号可能出现畸变或幅值的衰减.通过正确地设计通信系统,可以尽可能地减少信号的畸变,获得满意的接收效果.（2）经过信道传输后,信号不可避免地受到信道噪声的污染,使得接收到的是信号与噪声的混合波形. 3.通信系统的性能要求 系统的有效性：要求系统能高效率地传输信息； 系统的可靠性（抗干扰性）：要求系统能可靠地传输信息 4.本课程要学习的主要内容 接收机的任务是要加工处理所接收到的混合波形,尽量减少判决错误.由于信道噪声是个随机过程,同时信号本身也可能带有不确定的参量,因此只能采用数理统计的方法,根据信号和噪声提供的的统计特性,依据某些判决的准则,对信号进行检测,判断,估计它的某些参量,或者复原信号的波形等等.这就是. 5.信号检测与估计的基本任务 研究如何在干扰和噪声的影响下最有效地辨认出有用信号的存在与否，以及估计出未知的信号参量或信号波形本身。它实质上是有意识地利用信号与噪声的统计特性的不同，来尽可能地抑制噪声，从而最有效地提取有用信号的信息。 6.信号的统计处理方法 对随机信号，应用统计学的理论和方法进行处理，称为统计信号处理，这主要体现在如下三个方面： 信号统计特性的统计描述：如信号的概率密度函数（PDF），各阶矩，自相关函数，协方差函数，功率谱密度（PSD）等。 统计意义上的最佳处理：如最佳准则，最佳判决，最佳估计，最佳滤波等，均是在统计意义上的最佳处理。 性能评价用相应的统计平均量：如判决概率，平均代价，平均错误概率，均值，均方误差等。 7.检测:指在接收端检测信号是否存在 估值: 指在接收端估计信号的某些参量: 如幅度的大小,频率的偏移等.（又称为信号的参量估计） 统称为信号的检测和估值 8.信号检测与估值中的三大任务 信号的检测：：根据有限观测，最佳区分一个物理系统不同状态； 信号参量的估计：根据有限观测，最佳区分一个物理系统不同参数； 波形估计 9.信号检测与估计研究步骤

信号检测与估计第四章计算机仿真作业

信号检测与估计第四章计算机仿真作业 题目1： 试编写程序，仿真4PSK 调制信号在高斯信道下的性能，并与理论分析结果相比。 (1). 解题思路： 图1-1 QPSK 的调制原理框图 如图1-1所示，QPSK 实质上是一种正交调制，它等于两路（I 路与Q 路）正交的BPSK 的叠加。图中串/并变换器将输入的二进制序列分为速度减半的两个并行双极性序列a 和b （a,b 码元在事件上是对齐的），再分别进行极性变换，把极性码变为双极性码（0→-1，1→+1）然后分别调制到cosωc t 和sinωc t 两个载波上，两路相乘器输出的信号是相互正交的抑制载波的双边带调制（DSB ）信号，其相位与各路码元的极性有关，分别由a 和b 码元决定。经相加电路后输出两路的合成波形，即是4PSK 信号。图中两个乘法器，其中一个用于产生0o 与180o 两种相位状态，另一个用于产生90o 与270o 两种相位状态，相加后就可以得到45o ，135o ，225o ， 和315o 四种相位 在时隙(1)s s n T t nT -≤≤上 _Q_cos 2cos 2()()] QPSK In c Qn c I PSK PSK s f t f t s t s t ππ= -=- (1.1) 那么，它的解调可以采用与2PSK 信号类似的解调方法进行解调，同相支路和正交支路分别采用相干解调方式解调，之后可以得到二者的和，经过抽样判决和串、并变换器，将上

图1-2 QPSK 解调原理框图 下之路得到的并行数据恢复为串行数据。那么此时就得到我们最初的原始信号，它的解调原理图如图1-2所示。 再来分析QPSK 的误比特性能，因为QPSK 的每个四元符号所包含的两个比特都独立，并行地按照BPSK 传输，各比特的传输误比特率均为_2s psk P （相当于2PSK 的无比特率），显然QPSK 系统与2PSK 系统具有完全相同的误比特性能，即 _41 2e PSK P erfc = (1.2) (2). 仿真结果 仿真性能曲线如图1-3所示： 图1-3 QPSK 高斯信道下的性能仿真曲线 1010 10 10 10 10 10 10 10 SNR QPSK,高斯信道下的性能曲线 误比特率

信号检测与估计—原理及其应用

信号检测与估计考试题库 考试内容： 1.随机信号分析 平稳随机信号与非平稳随机信号，随机信号的数字特征，平稳随机过程，复随机过程，随机信号通过线性系统。 2.信号检测 信号检测的基本概念，确知信号的检测（包括匹配滤波原理、高斯白噪声中已知信号检测、简单二元检测） 3.信号估计 信号参数（包括贝叶斯估计、最大似然估计、线性均方估计和最小二乘估计），信号波形估计（主要指卡尔曼滤波）。 一、填空（1x15=15） 1.可以逐一列举的随机变量称为（离散型随机变量）随机变量；可能的取值占满一个连续区间的随机变量称为（连续型随机变量）随机变量。（P3） 2.服从正态分布的调幅噪声经过包络检波之后服从（瑞丽分布）分布。（P5） 3.（方差）就是描述随机变量的在其均值周围发散程度的度量。（P6） 4.全体观测结果构成的函数族称为（随机过程）。（P9） 5.一维分布函数只能反映随机过程在某一时刻的统计规律，随机过程在不同时刻的相互联系需要用（多位分布函数）来描述。 6.有一类随机过程的统计特征（不随时间变化），称为平稳随机过程。（P12） 7.线性时不变（LTI）系统的特性在时域用冲击响应（h(t)）来描述，在频域用频率响应函数（H(W)）来描述。（P15） 8.高斯分布的随机过程通过LTI系统后是（高斯过程）过程。(P16) 9.高斯过程是随机过程的概率密度函数为__________，白噪声是指具有均匀（功率谱密度恒为常数）的随机信号。（P17） 10.在信号传输和处理过程中，经常会受到各种干扰，使信号产生失真或受到污染，这些干扰信号通常称为（噪声）。（P18） 11.白噪声的均值为（零）。（P18） 12.功率谱密度恒为常数的随机信号称为（白噪声）。（P18） 13.限带白噪声的相关函数比理想白噪声的相关函数宽，（既噪声的相关时间加长）。（P20） 14.在雷达系统中要根据观测（回波信号）来判断目标是否存在。（P49） 15.为了寻找未知先验概率情况下的最佳判决准则，首先研究（风险）与先验概率之间的关系。（P58） 16.高斯白噪声是指功率谱密度为（功率谱密度为常数），服从正态分布的噪声。（P74） 17.非白噪声背景匹配滤波器的关键是（白化滤波器）的设计。（P90） 18.所谓均匀代价函数是指当误差超过某一门限值时，代价是（相同），而当误差小于该门限时，代价（为零）。（P106） 19.估计量的性质有（无偏性）、（有效性）_和（一致性）（P109） 20.加权最小二乘法利用了观测噪声的统计特性，并且主要是针对（非平稳噪声）。（P132） 二、选择（2x15=30） 1.标准正态分布的期望和方差分别为（A）（P4） A.0,1 B.1,0 C.1,1 D.0,0

信号检测与估计作业1

课后练习作业 1 考虑一个平方律检波的例子，假定输入输出的关系为 )0(2>=b bX Y ，求Y 的概率密度。 2 设函数()x g 为 ()?????>-≤<--<+=c x c x c x c c x c x x g 0 其中c>0为常数，假定随机变量X 的概率分布函数已知，求Y=()X g 的概率分布函数。 3 设随机矢量（X ，Y ）联合概率密度为 ()() b a by ax y x f ++=2, 0

8 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为(),3cos cos 4πτπτττ +=-e R x 试求功率谱密度()ωX G 。 9 设随机过程()()()Θ+=t t X t Y 0cos ω，其中0ω为常量，X(t)为与Θ无关的 平稳随机过程，Θ为均匀分布于（0,2π）中的随机变量。试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。 10 设线性系统输入随机过程X(t)的功率谱密度为 ()8322++=ωωωX G 现已知其输入过程Y(t)的功率密度(),1=ωY G 求该系统的传递函数。 11 设线性滤波器的输入为X(t)=s(t)+n(t)，已知s(t)与n(t)之间统计度量，且 ()???≤≤=00τt A t s n(t)是平稳噪声，其功率谱为 ()2222ωααωω+=n G ，∞<<∞-ω 试求输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数。

信号检测与估计知识点总结

第二章 检测理论 1．二元检测： ① 感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信 号的有无。 ② 感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。 2．二元检测的数学模型： 感兴趣的信号s ，有两种可能状态：s0、s1。在接收信号的观测样本y 中受到 噪声n 的污染，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1 假设：H 0：对应s 0状态或无信号， H 1：对应s 1状态或有信号。 检测：根据y 及某些先验知识，判断哪个假设成立。 3. 基本概念与术语 ? 先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发生或 成立的概率。p(H 0),p(H 1)。 ? 后验概率：在已掌握观测样本或测量值y 的前提下，某事件（假设）发生 或成立的概率。 p(H 0/y),p(H 1/y) 。 ? 似然函数：在某假设H 0或H 1成立的条件下，观测样本y 出现的概率。 ? 似然比： ? 虚警概率 ：无判定为有； ? 漏报概率 ：有判定为无； ? （正确）检测概率 ：有判定为有。 ? 平均风险： 4.1 最大后验概率准则（MAP ） 在二元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1， 根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1 假设：H 0：对应s 0状态或无信号， H 1：对应s 1状态或有信号。 ) |()|()(01H y p H y p y L =f P m P d P ) (][)(][111110101010100000H P C P C P H P C P C P r ?++?+=

信号检测与估计作业4

n n ms ms ms 信号检测与估计 第四章 1. 设观测矢量x as n ，其中a 为未知参量，噪声矢量n ~N (0, 2 I)，s 为已知 矢量，假定a 与n 相互独立，如果a 在[b,c]上均匀分布，即 1 p ( a) ,a c b [b,c] 试求未知参量a 的最大后验概率估计(a ? map )和最小均方误差估计(a ? )。 2. 如果a 的分布变为 1 1 1 p ( a) (a 1) ( a) (a 1) 3 3 3 其它条件同习题 1，试求未知参量a 的最大后验概率估计(a ? map )和最小均方误差 估计(a ? )。 3. 如果a 是均值为m ，方差为 2 的高斯分布，即a ~ N(m, 2 )，其它条件同习题 1，试求未知参量a 的线性最小均方误差估计(a ? l ms )，最大后验概率估计(a ? map 和最小均方误差估计(a ? )。 4. 设观测矢量x as n ，其中a 为未知参量，噪声矢量 n ~N(0, 2 I)，s 为已知 矢量，求未知参量a 的最小二乘估计（a ?L S ）和最大似然估计（a ?m l ）。 5. 设观测矢量x as n ，其中a 为未知参量，噪声矢量n ~ N ( 0 , R ) ，s 为已知矢 量，求未知参量a 的最小二乘估计（a ?L S ）,加权最小二乘估计（a ?WLS ）和最大似然估计（a ?m l ）。 )

n n 2 ) T T T T 2 T ) 第 1题 解：由题意，以a 为条件的观测矢量x ( x , x, , x )T 的条件概率密度为 1 2 N p ( x |a ) ；而且对于某一个a ，则x ~ N(as, 量。所以 2 I )，其中s (s 1,s 2, ,s N )T 为已知矢 p(x|a) 1 exp{ 1 (x as)T ( 2 I )1 (x as)} (2 ) N /2 | 2I| 1/2 2 n (1-1) 1 1 exp{ (x as)T (x as)} (2 n N/2 2 n 而随机参量的概率密度函数为 p(a) 1 ,a [b,c] (1-2) c b 为了求得后验概率p ( a |x )，利用 p ( a |x) p ( x |a ) p ( a)p(x) (1-3) 因为p ( a|x ) 是给定了x 后，a 的条件概率密度函数，所以对于p ( a |x ) 而言，p( x) 相当于使 p ( a |x)da 1 (1-4) 的归一化因子，所以 p ( a |x) 1 p ( x ) (2 1 N /2 n 1 e xp{ (x 2 n a s ) (x 1 a s )} c b 1 p(x) 1 c b (2 1 N /2 n 1 e xp{ (x 2 n a s ) (x a s )} (1-5) K (x)exp{ 1 T ( xx 2 n 1 T a s x T a x s 2 T a s s )} 上式中， K (x)exp{ ( xx 2 n 2 a s x a s s )} K(x) 11 1 (1-6) 是一个与a 无关项。则 p( x) c b (2 N/2 n ln p ( a |x ) ln K (x ) 1 T { ( xx 2as T x a 2s T s )} (1-7) 2 n 用(1-7)式对a 求偏导，且令其为零，得 ) 2 ) 2 2 2 2

信号检测在雷达系统方面应用

信号检测与估计理论在雷达系统方面的应用 摘要：随着互联网应用的普及及发展，信号的检测与估计技术的应用也越来越受到人们的 关注。雷达中的信号检测是一个综合性问题，涉及多个学科，多领域知识，所以它是科学领域最为关注的问题。近年来已经开展了大量雷达系统信号实现方法相关的研究课题，其中回波信号的检测和估计是最为重要的方面。本论文就是针对雷达信号检测和估计的精确性问题加以展开的。 关键词：雷达系统，信号估计，信号检测 第一章雷达系统 1.1起源和发展 早期雷达用接收机、显示器并靠人眼观察来完成信号检测和信息提取的工作。接收机对目标的回波信号进行放大、变频和检波等，使之变成能显示的视频信号，送到显示器。人们在显示器的荧光屏上寻找类似于发射波形的信号，以确定有无目标存在和目标的位置。随着雷达探测距离的延伸,回波变弱,放大倍数需要增加。于是，接收机前端产生的噪声和机外各种干扰也随着信号一起被放大，而成为影响检测和估计性能的重要因素。这时,除了降低噪声强度之外,还要研究接收系统频带宽度对发现回波和测量距离精度的影响。这是对雷达检测理论的初期研究。后来，人们开始在各种干扰背景中对各种信号进行检测和估计的理论研究，其中有些结论，如匹配滤波理论，关于滤波、积累、相关之间等效的理论，测量精度极限的理论，雷达模糊理论等，已在实际工作中得到应用. 1.2雷达的概述 雷达的英文名字是radar,是“无线电探测与定位”的英文缩写。雷达的基本任务是探测感兴趣的目标，测定有关目标的距离、方问、速度等状态参数。雷达主要由天线、发射机、接收机（包括信号处理机）和显示器等部分组成。 雷达发射机产生足够的电磁能量，经过收发转换开关传送给天线。天线将这些电磁能量辐射至大气中，集中在某一个很窄的方向上形成波束，向前传播。电磁波遇到波束内的目标后，将沿着各个方向产生反射，其中的一部分电磁能量反射回雷达的方向，被雷达天线获取。天线获取的能量经过收发转换开关送到接收机，形成雷达的回波信号。由于在传播过程中电磁波会随着传播距离而衰减，雷达回波信号非常微弱，几乎被噪声所淹没。接收机放大微弱的回波信号，经过信号处理机处理，提取出包含在回波中的信息，送到显示器，显示出目标的距离、方向、速度等。 为了测定目标的距离，雷达准确测量从电磁波发射时刻到接收到回波时刻的延迟时间，这个延迟时间是电磁波从发射机到目标，再由目标返回雷达接收机的传播时间。根据电磁波的传播速度，可以确定目标的距离为：S=CT/2 其中S：目标距离；T：电磁波从雷达到目标的往返传播时间；C：光速