§9.5矩形截面杆的扭转
§9.5 矩形截面杆的扭转
学习思路:
应力函数的确定是扭转应力解法的关键。但是矩形横截面柱体的扭转问题不能采用与椭圆形截面柱体相同的方法建立扭转应力函数。
矩形截面柱体分析的第一步是引入特解，将基本方程—泊松方程简化为拉普拉斯方程。
第二步是将应力函数表达为坐标x和y的函数。并且根据问题性质，简化应力函数，为求解级数形式表达的应力函数作准备。
第三步是根据面力边界条件确定级数形式的应力函数。
最后，根据应力函数求解横截面切应力表达式。并且分析横截面切应力分布。
学习要点：
1. 矩形截面柱体的扭转分析；
2. 扭转应力函数；
3. 扭转级数解；
4. 矩形截面柱体扭转切应力；
5. 横截面应力分析
设矩形的边长为a和b，如图所示。矩形截面杆件的扭转问题，不能像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为
原因很简单，这个应力函数虽然满足ψc＝0，但是泊松方程却不可能满足。
由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。对于扭转问题的应力解法，基本方程为泊松方程。
为了简化分析，需要找到泊松方程的特解，将基本方程转化为拉普拉斯方程。因为拉普拉斯方程求解相对简单。
因为变形协调方程有一个特解，所以设
则变形协调方程转化为
对于柱体的侧面面力边界条件，ψc＝0 ，则要求ψ0满足边界条件
由于柱体横截面是关于坐标轴x和y对称的，而扭矩T是关于坐标轴反对称的，因此横截面切应力必然是与坐标轴反对称的。所以，设扭转应力函数ψ 0(x,y)为
代入变形协调方程，则
将上式改写为，, 其中λ为任意常数。
根
据
所
以
根据薄膜比拟，矩形横截面切应力是坐标的奇函数，因此应力函数应该为坐标x和y的偶函数。所以
上式仅是方程的一个特解。如果将所有特解作线性迭加就是方程的通解，所以 0(x,y)写作
根据边界条件的第二式，有
由于，所以。
因此，。回代可得
根据边界条件的第一式，有
对于上式两边同时乘以，并在（-b，b）区间积分，可得
所以，应力函数为
根据应力函数表达式，应力分量为
上式中的单位长度扭转角?由端面面力边界条件确定，即
对于上述级数，其收敛很快，取n=0一项分析，则
根据切应力表达式，可以得到矩形横截面的应力分布，
如图所示。最大切应力发生在矩形长边的中点，即
根据公式,可得单位长度扭转角
和最大扭转切应
力
其中,β 和γ都是仅与比值a/b 有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下：
§9.6 开口薄壁杆的扭转
学习思路:
狭长矩形是指矩形横截面的一边长度远大于另外一边，这个问题有明显的工程意义。工程结构中广泛使用的形材大多是狭长矩形或者曲边狭长矩形组成的开口薄壁杆件。
根据薄膜比拟，横截面的切应力方向是与狭长矩形的长边一致，而且数值不变。这个条件使得狭长矩形的扭转切应力公式不难推导，同时，直边与曲边狭长矩形的应力分布是相同的。
对于开口薄壁杆件的扭转切应力分析，首先将开口薄壁杆件分解为一系列的狭长矩形。这些狭长矩形共同承担截面内力扭矩，并且在扭矩作用下变形。注意到各个狭长矩形的扭矩之和为外力矩，而相对扭矩角是相同的，可以得到各个狭长矩形的扭转切应力。
开口薄壁杆件的扭转切应力是在理想狭长矩形杆切应力基础上推导的，这个应力不能用于局部应力分析。原因是开口薄壁杆件扭转切应力公式不能反映应力集中；而且为了减少应力集中的影响，工程型材在矩形与矩形的交接处有圆弧。对于工程问题，局部应力分析可以查阅相关图表。
学习要点：
1. 狭长矩形的扭转应力；
2. 开口薄壁杆；
3. 开口薄壁杆扭转应力；
4. 局部切应力。
首先讨论狭长矩形的扭转应力，设狭长矩形的长边为a，短边长度为δ，而且a>>δ ，如图所示。
根据薄膜比拟，狭长矩形薄膜的形状沿长边方向基本不变，主要薄膜形状改变在短边方向。因此可以推断，应力函数在横截面的几乎是不随长度方向变化，因此对应的薄膜形状近似于柱面。所以可以近似地取
图示圆截面杆.
第一章绪论 第1题第2题第3题第4题 1-1图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。 解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。 返回 1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。 解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故 σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPa τ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa 返回 1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。
解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力 F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN 其力偶即为弯矩 M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m 返回 1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。 解： 返回
第二章轴向拉压应力 第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题 2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。 解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F (b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F (c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN (d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN 返回 2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。 解：因BC与AB段的正应力相同，故
矩形截面杆的扭转
§9.5 矩形截面杆的扭转 学习思路: 应力函数的确定是扭转应力解法的关键。但是矩形横截面柱体的扭转问题不能采用与椭圆形截面柱体相同的方法建立扭转应力函数。 矩形截面柱体分析的第一步是引入特解，将基本方程—泊松方程简化为拉普拉斯方程。 第二步是将应力函数表达为坐标x和y的函数。并且根据问题性质，简化应力函数，为求解级数形式表达的应力函数作准备。 第三步是根据面力边界条件确定级数形式的应力函数。 最后，根据应力函数求解横截面切应力表达式。并且分析横截面切应力分布。 学习要点： 1. 矩形截面柱体的扭转分析； 2. 扭转应力函数； 3. 扭转级数解； 4. 矩形截面柱体扭转切应力； 5. 横截面应力分析 设矩形的边长为a和b，如图所示。矩形截面杆件的扭转问题，不能像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为
原因很简单，这个应力函数虽然满足ψc＝0，但是泊松方程却不可能满足。 由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。对于扭转问题的应力解法，基本方程为泊松方程。 为了简化分析，需要找到泊松方程的特解，将基本方程转化为拉普拉斯方程。因为拉普拉斯方程求解相对简单。 因为变形协调方程有一个特解，所以设 则变形协调方程转化为 对于柱体的侧面面力边界条件，ψc＝0 ，则要求ψ0满足边界条件 由于柱体横截面是关于坐标轴x和y对称的，而扭矩T是关于坐标轴反对称的，因此横截面切应力必然是与坐标轴反对称的。所以，设扭转应力函数ψ 0(x,y)为 代入变形协调方程，则 将上式改写为，, 其中λ为任意常数。
根 据 所 以 根据薄膜比拟，矩形横截面切应力是坐标的奇函数，因此应力函数应该为坐标x和y的偶函数。所以 上式仅是方程的一个特解。如果将所有特解作线性迭加就是方程的通解，所以 0(x,y)写作 根据边界条件的第二式，有 由于，所以。 因此，。回代可得
工程力学考试
1、在铆接头中，已知钢板的[]170MPa σ=，铆钉的[τ]＝140MPa ，许多挤压应力[]320bs MPa σ=。试校核强度。 校核铆钉剪切强度：() []2///4105.7140F A F d MPa MPa τπτ===<= 校核挤压强度：()[]//141.2bs bs bs F A F td MPa σσ===< 校核钢板拉伸强度：()[]/28.9F b d t MPa σσ=-=
dd狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法
狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法 孟宪红 白昭宇 (北京航空航天大学飞机设计与应用力学系固体所，北京100083) 摘要 以往矩形截面杆自由扭转问题的解仅在弹性力学中查到，本文从材料力学的教学法和便于应用的观点重新分析了该问题，得到了其材料力学的解，当6/≥b h 时，可以满足工程应用的精度要求。 关键词 狭长矩形截面杆，自由扭转，材料力学 众所周知矩形截面杆自由扭转问题的解可在弹性力学中查到。为便于过程应用， 将其写成如下形式 2 max hb T ατ=?，3hb Tl β?=? (1) 其中，α，β与b h /=?有关，并以表格形式给出。 若从材料力学的教学法和便于应用的观点考虑，用材料力学的方法来研究该问题仍有一定的价值。为此，用材料力学的解法介绍如下。 1 应力分布 首先，我们将图示长为h ，宽为b 的狭长矩形截面杆的截面用一矩形ABCD 和两个半圆截面代替。矩形ABCD 的长=12h b h ?，两半圆的半径2/b R =。参考坐标 系如图 1所示。 图 1 根据余能概念我们设剪应力分布如下，在矩形部分截面内 )0(max 1R Y R Y x ≤≤==τττ (2) 在半圆截面内 )0(max 2R r R r ≤≤=ττ (3) 即剪应力在各部分均为线性分布， ??? ???? =?=θττθττcos sin max 2max 2R r R r y x (4) 在半圆内点的坐标均为 θθ cos sin 1r h x r y +== (5) 2 确定max τ 由平衡条件，我们有 2 max 2 122max 12 max 2 2211161131)cos (cos sin )(12 2 1 hb dA r h R r R r dA R y dA x y ydA T A A A y x A ? ?????+? ????????=??? ++???+=+?+=∫∫∫∫?π?τθθθ τττττ(6) 其中 b h = ? (7) k W T hb T = ?? ????? ????????+= 2 max 113116??πτ (8) 2 113116hb W k ????? ??????????+=??π (9) 3 求扭转角? 杆件的余能
压杆
压杆稳定 1．图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E ＝200Gpa ，试用欧拉公式计算其临 界载荷。 (1) 圆形截面，d=25mm,l =1.0m ； (2) 矩形截面，h ＝2b ＝40mm ，l ＝1.0m ； (3) No16工字钢，l ＝2.0m 。 解：求各杆的临界压力Pcr (1)圆形截面杆： ∵两端球铰 μ=1， ()() KN l EI P d I cr 8.3711109.110200 m 101.9 642 8 922214 8-4 =????==∴?==-πμππ (2)矩形截面杆： ∵两端球铰 μ=1， 又∵Iy 1 60212 121012=====μμI I E E tg l l AB 和BC 皆为细长压杆 2 2 222 1 21 l EI P l EI P cr cr ππ= = 欲使F 为最大值，则两杆需同时达到临界值，即 3 1 31 60)(022211212arctg ctg l l tg P P tg P P cr cr cr cr =∴=====θθθ 由铰B 的平衡得 2222111 3104310)2 (310cos cos a EI a EI P P F P F cr cr cr ππθθ= ?===∴= 3. 三根圆截面压杆，直径均为d =160 mm 材料为Q235钢，E =200 GPa ，σp =200 MPa ，σs =240 MPa 。三杆均为两端铰支，长度分别为l 1、l 2和l 3，且l 1=2l 2=4l 3=5m 。试求各杆的临 界压力P cr 。 解：(1) 求柔度极限值 查表得Q235钢：a = 304MPa, b = 1.12MPa 12 30424099.3 571.12 S a b σλλ--====== (2) 求各杆的临界压力P cr 1杆： ()() 1 (1)1 44 54 2295 (1)22 15 1250.16/40.16 3.2210 6464 20010 3.22102542 15cr l i d I m EI P kN l μλλππππμ--?= = =?===?????===? 2杆： 7-4矩形截面杆的扭转 等截面直杆受扭，如果其截面的翘曲不受任何限制，此时各横截面的翘曲变形相同，纵向纤维的长度不变，所以横截面上没有正应力，只有切应力，这种扭转称为自由扭转（free torsion ）。如果截面的翘曲受到限制，如杆件端面处受到固定面的约束使其不能翘曲，使各个相邻截面的翘曲变形程度不同，从而引起纵向纤维的长度改变。所以截面上不仅有切应力，还有正应力。这种情况称为约束扭转（constrained torsion ）。 假设矩形截面杆长l ，截面长边和短边长度分别为 h 和 b ，杆件两端受力偶矩T 作用。矩形截面长边中点的最大切应力τmax 、短边中点处的切应力τ1、以及两端面相对转角?可以由下面的式子表示 Δ max t T W τ= 1max τξτ=? t Tl GI Δ=? 其中截面系数W t 、I t 由下列公式给出： 2t W b α=h h 3t I b β=系数α、β 和ξ 随长短边之比 h b 而变化，其数值可查表。 系数 α、β 和 ξ 的值 h/b 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 10.0 ∞ α 0.208 0.219 0.2310.2390.2460.2580.2670.313 0.333 β 0.141 0.166 0.1960.2140.2290.2490.2630.313 0.333 ξ 1.00 0.93 0.86 0.82 0.80 0.77 0.75 0.74 0.74 由上表可见，当长短边之比h /b >10时，13 αβ≈≈，因此，狭长矩形截面的截面系数为 2t 13 W t =h 3t 13 I t =h 式中用t 代替b 来表示截面宽度（厚度）。7-4矩形截面杆的扭转