7-4矩形截面杆的扭转

7-4矩形截面杆的扭转

等截面直杆受扭，如果其截面的翘曲不受任何限制，此时各横截面的翘曲变形相同，纵向纤维的长度不变，所以横截面上没有正应力，只有切应力，这种扭转称为自由扭转（free torsion ）。如果截面的翘曲受到限制，如杆件端面处受到固定面的约束使其不能翘曲，使各个相邻截面的翘曲变形程度不同，从而引起纵向纤维的长度改变。所以截面上不仅有切应力，还有正应力。这种情况称为约束扭转（constrained torsion ）。

假设矩形截面杆长l ，截面长边和短边长度分别为 h 和 b ，杆件两端受力偶矩T 作用。矩形截面长边中点的最大切应力τmax 、短边中点处的切应力τ1、以及两端面相对转角?可以由下面的式子表示

Δ max t

T W τ= 1max τξτ=?

t

Tl GI Δ=? 其中截面系数W t 、I t 由下列公式给出：

2t W b α=h h

3t I b β=系数α、β 和ξ 随长短边之比

h b 而变化，其数值可查表。 系数 α、β 和 ξ 的值

h/b 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 10.0 ∞ α

0.208 0.219 0.2310.2390.2460.2580.2670.313 0.333 β

0.141 0.166 0.1960.2140.2290.2490.2630.313 0.333 ξ

1.00 0.93 0.86 0.82 0.80 0.77 0.75 0.74 0.74

由上表可见，当长短边之比h /b >10时，13

αβ≈≈，因此，狭长矩形截面的截面系数为 2t 13

W t =h 3t 13

I t =h 式中用t 代替b 来表示截面宽度（厚度）。

第一节 矩形截面梁的纯弯曲实验

第一节矩形截面梁的纯弯曲实验 一、实验目的 1.学习电测法的基本原理和静态电阻应变仪的使用方法。 2.学习电测法中的1/4桥、1/2桥和全桥的测量方法。 3.测量矩形截面梁在纯弯曲段中测点沿轴线方向的线应变，画出该线应变沿梁高度方向的变化规律，验证平面截面假设。 4.根据上述测量结果计算测点的正应力，并与理论计算值进行比较。 二、实验设备和仪器 1.多用电测实验台。 2.DH-3818型静态电阻应变仪。 3.SDX-I型载荷显示仪。 三、实验原理及方法 实验装置如图2-1所示，矩形截面梁采用低碳钢制成，其弹性模量，E,210 GPa梁的尺寸为，，。在发生纯弯曲变形的梁段上，沿a,100 mmb,20 mmh,40 mm 梁的沿轴线方向粘贴有5个应变片(其中应变片1位于梁的上表面，应变片2 位于梁的上表面与中性层的中间，应变片3位于梁的中性层上，应变片4位于梁的中性层与下表面的中间，应变片5位于梁的下表面)，另外在梁的支撑点以外粘贴有一个应变片作为温度补偿片。应变片的灵敏系数K,2.08。 1.应变测量 3种测量桥路的接线方法如下: F 温度补偿片 b

123hz45y aa工作片 图2-1 矩形截面梁的纯弯曲 (1) 1/4桥测量方法 将5个工作片和温度补偿片按1/4桥形式分别接入电阻应变仪的5个通道中，组成5个电桥。具体接法:工作片的引线接在每个电桥的、端，温度补偿片接AB ?19 ? 在电桥的、端。当梁在载荷作用下发生弯曲变形时，工作片的电阻值将随着梁CB 的变形而发生变化，电阻应变仪相应通道的输出应变为，于是测点的应变为 ,仪 ,,,仪实 (2) 1/2桥测量方法 由于测点5与测点1的应变之间存在关系 ,,,,实5实1 测点4与测点2的应变之间存在关系 ,,,,实4实2 于是可将工作片5和1、4和2分别按1/2桥形式接入电阻应变仪的2个通道中，组 成2个电桥。具体接法:工作片5接到一个电桥的、端，工作片1接到该电桥AB的、端;工作片4接到另一个电桥的、端，工作片2接到相应电桥的、CBABB 端。当梁在载荷作用下发生弯曲变形时，电阻应变仪相应通道的输出应变为，C,仪 于是测点5和测点4的应变为

图示圆截面杆.

第一章绪论 第1题第2题第3题第4题 1-1图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。 解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。 返回 1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。 解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故 σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPa τ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa 返回 1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。

解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力 F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN 其力偶即为弯矩 M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m 返回 1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。 解： 返回

第二章轴向拉压应力 第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题 2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。 解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F (b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F (c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN (d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN 返回 2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。 解：因BC与AB段的正应力相同，故

材料力学习题册答案-第3章 扭转

第三章扭转 一、是非判断题 1.圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。（×） 2.杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（×） 3.薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（×） 4.圆杆扭转变形实质上是剪切变形。（×） 5.非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。（√） 6.材料相同的圆杆，他们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。（×） 7.切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。（×） 8.受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。（√） 9.受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。（√） 10.受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。（×） 11.受扭圆轴内最大拉应力的值和最大切应力的值相等。（√） 12.因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭距达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。（×）

二、选择题 1.内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ，这时横截面上内边缘的切应力为 （ B ） A τ； B ατ； C 零； D （1- 4α）τ 2.实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为T ，若将其横截面面积增加一倍，则极限扭矩为（ C ） 0 B 20T 0 D 40T 3.两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料C 不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力τ、τ和扭转角ψ、ψ之间的关系为（ B ） A 1τ=τ2, φ1=φ2 B 1τ=τ2, φ1≠φ2 C 1τ≠τ2, φ1=φ2 D 1τ≠τ2, φ1≠φ2 4.阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ） A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面； C 单位长度扭转角最大的截面； D 不能确定。 5.空心圆轴的外径为D ，内径为d, α=d ／D,其抗扭截面系数为 （ D ） A ()3 1 16 p D W πα= - B ()3 2 1 16 p D W πα= - C ()3 3 1 16 p D W πα= - D ()3 4 1 16 p D W πα= - 6.对于受扭的圆轴，关于如下结论： ①最大剪应力只出现在横截面上； ②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；

矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验

A B C D L a a 1L b 2 F 2 F 2 F 2 F h 实验四 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 一、实验名称 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 二、实验目的 1．学习使用电阻应变仪，初步掌握电测方法； 2．测定矩形截面梁纯弯曲时的正应力分布规律，并与理论公式计算结果进行比较，验证弯曲正应力计算公式的正确性。 三、实验设备 1．WSG －80型纯弯曲正应力试验台 2．静态电阻应变仪 四、主要技术指标 1．矩形截面梁试样 图1 试样受力情况 材料：20号钢，E=208×109Pa ； 跨度：L=600mm ，a=200mm ，L 1=200mm ； 横截面尺寸：高度h=28mm ，宽度b=10mm 。 2．载荷增量 载荷增量ΔF=200N （砝码四级加载，每个砝码重10N 采用1：20杠杆比放大），砝码托作为初载荷，F 0=26 N 。 3．精度 满足教学实验要求，误差一般在5%左右。 五、实验原理

如图1所示，CD 段为纯弯曲段，其弯矩为Fa 2 1 M = ，则m 6N .2M 0?=，m 20N M ?=?。根据弯曲理论，梁横截面上各点的正应力增量为： z I My ?= ?理 σ （1） 式中：y 为点到中性轴的距离；Iz 为横截面对中性轴z 的惯性矩，对于矩形截面 12 bh I 3 z = （2） 由于CD 段是纯弯曲的，纵向各纤维间不挤压，只产生伸长或缩短，所以各点均为单向应力状态。只要测出各点沿纵向的应变增量ε?，即可按胡克定律计算出实际的正应力增量实σ?。 ε σ?=?E 实 （3） 在CD 段任取一截面，沿不同高度贴五片应变片。1片、5片距中性轴z 的距离为h/2，2片、4片距中性轴z 的距离为h/4，3片就贴在中性轴的位置上。 测出各点的应变后，即可按（3）式计算出实际的正应力增量实σ?，并画出正应力实σ?沿截面高度的分布规律图，从而可与（1）式计算出的正应力理论值 理σ?进行比较。 六、实验步骤及注意事项 1．开电源，使应变仪预热。 2．在CD 段的大致中间截面处贴五片应变片与轴线平行，各片相距h/4，作为工作片；另在一块与试样相同的材料上贴一片补偿片，放到试样被测截面附近。应变片要采用窄而长的较好，贴片时可把试样取下，贴好片，焊好固定导线，再小心装上。 3．调动蝶形螺母，使杠杆尾端翘起一些。 4．把工作片和补偿片用导线接到预调平衡箱的相应接线柱上，将预调平衡箱与应变仪联接，接通电源，调平应变仪。 5．先挂砝码托，再分四次加砝码，记下每次应变仪测出的各点读数。注意加砝码时要缓慢放手。 6．取四次测量的平均增量值作为测量的平均应变，代入（3）式计算可得各点的

矩形截面杆的扭转

§9.5 矩形截面杆的扭转 学习思路: 应力函数的确定是扭转应力解法的关键。但是矩形横截面柱体的扭转问题不能采用与椭圆形截面柱体相同的方法建立扭转应力函数。 矩形截面柱体分析的第一步是引入特解，将基本方程—泊松方程简化为拉普拉斯方程。 第二步是将应力函数表达为坐标x和y的函数。并且根据问题性质，简化应力函数，为求解级数形式表达的应力函数作准备。 第三步是根据面力边界条件确定级数形式的应力函数。 最后，根据应力函数求解横截面切应力表达式。并且分析横截面切应力分布。 学习要点： 1. 矩形截面柱体的扭转分析； 2. 扭转应力函数； 3. 扭转级数解； 4. 矩形截面柱体扭转切应力； 5. 横截面应力分析 设矩形的边长为a和b，如图所示。矩形截面杆件的扭转问题，不能像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为

原因很简单，这个应力函数虽然满足ψc＝0，但是泊松方程却不可能满足。 由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。对于扭转问题的应力解法，基本方程为泊松方程。 为了简化分析，需要找到泊松方程的特解，将基本方程转化为拉普拉斯方程。因为拉普拉斯方程求解相对简单。 因为变形协调方程有一个特解，所以设 则变形协调方程转化为 对于柱体的侧面面力边界条件，ψc＝0 ，则要求ψ0满足边界条件 由于柱体横截面是关于坐标轴x和y对称的，而扭矩T是关于坐标轴反对称的，因此横截面切应力必然是与坐标轴反对称的。所以，设扭转应力函数ψ 0(x,y)为 代入变形协调方程，则 将上式改写为，, 其中λ为任意常数。

根 据 所 以 根据薄膜比拟，矩形横截面切应力是坐标的奇函数，因此应力函数应该为坐标x和y的偶函数。所以 上式仅是方程的一个特解。如果将所有特解作线性迭加就是方程的通解，所以 0(x,y)写作 根据边界条件的第二式，有 由于，所以。 因此，。回代可得

实验五 梁的纯弯曲正应力测定

图2-2 梁的尺寸、测点布置及加载示意图 图2-3半桥接线图 实验五 梁的纯弯曲正应力测定 一、概述 梁是工程中常用的构件和零件。在结构设计和强度计算中经常要涉及到梁的弯曲正应力的计算。而梁的弯曲正应力的理论公式是根据纯弯曲梁横截面变形保持平面的假设推导出来的，它的正确性以及能否推广到剪切弯曲梁，可以由本次实验提供的简便方法验证。 二、实验目的 1.用电测法测量矩形截面梁在纯弯曲时横截面上正应力的大小及分布规律，并与理论计算值相比较，以验证弯曲正应力理论公式。 2.掌握电测法原理和电阻应变仪的使用方法。 三、实验设备、器材及试样 1. 静态应变测试仪。 2. 多功能组合实验台。 四、实验原理 弯曲梁为矩形截面钢梁，其弹性模量E ＝2.05×105MPa ，几何尺寸见图2-2，CD 段为纯弯曲段，梁上各点为单向应力状态，在正应力不超过 比例极限时，只要测出各点的轴向应变ε实，即可按σ实 ＝E ε实计算正应力。为此在梁的CD 段某一截面的前后 两侧面上，在不同高度沿平行于中性层各贴有五枚电阻 应变片。其中编号3和3′片位于中性层上，编号2和2′ 片与编号4和4′片分别位于梁的上半部分的中间和梁 的下半部分的中间,编号1和1′片位于梁的顶面的中线 上,编号5和5′片位于梁的底面的中线上（见图2-2）， 并把各前后片进行串接。 温度补偿片贴在一块与试件相同的材料上,实验时放在 被测试件的附近。上面粘贴有各种应变片和应变花，实验时根据工作片的情况自行组合。为了便于检验测量结果的线性度，实验时采用等量逐级缓慢加载方法，即每次增加等量的荷载ΔP ，测出每级荷载下各点的应变增量Δε，然后取应变增量的平均值 实ε?，依次求出各点应力增量Δσ实＝E 实实ε?。 实验可采用半桥接法、公共外补偿。即工作片与不受力的温度补 偿片分别接到应变仪的A 、B 和B 、C 接线柱上（如图2-3），其中R 1 为工作片，R 2为温度补偿片。对于多个不同的工作片，用同一个温度 补偿片进行温度补偿，这种方法叫做“多点公共外补偿”。 也可采用半桥自补偿测试。即把应变值绝对值相等而符号相反的两个 工作片接到A 、B 和B 、C 接线柱上进行测试、但要注意，此时ε实=ε仪/2，ε仪 为应变仪所

材料力学实验指导书(矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验)

矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 一、实验名称 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验。 二、实验目的 1．学习使用电阻应变仪，初步掌握电测方法； 2．测定矩形截面梁纯弯曲时的正应力分布规律，并与理论公式计算结果进行比较，验证弯曲正应力计算公式的正确性。 三、实验设备 1．WSG－80型纯弯曲正应力试验台 2．静态电阻应变仪 四、试样制备及主要技术指标 1、矩形截面梁试样 材料：20号钢，E=208×109Pa； 跨度：L=600mm，a=200mm，L1=200mm； 横截面尺寸：高度h=28mm，宽度b=10mm。

2．载荷增量 载荷增量ΔF=200N （砝码四级加载，每个砝码重10N 采用1：20杠杆比放大），砝码托作为初载荷，F0=26 N 。 3．精度 满足教学实验要求，误差一般在5%左右。 五、实验原理 如图1所示，CD 段为纯弯曲段，其弯矩为a 2 1 F M = ， 则m N M ?=6.20，m N M ?=?20。根据弯曲理论，梁横截面上各点的正应力增量为： z I y M ?= ?理σ （1） 式中：y 为点到中性轴的距离；Iz 为横截面对中性轴z 的惯性矩，对于矩 形截面， 12 bh I 3 z = （2） 由于CD 段是纯弯曲的，纵向各纤维间不挤压，只产生伸长或缩短，所以各点均为单向应力状态。只要测出各点沿纵向的应变增量ε?，即可按胡克定律计算出实际的正应力增量实σ?。 εσ?=?E 实 （3） 在CD 段任取一截面，沿不同高度贴五片应变片。1片、5片距中性轴z 的 距离为h/2，2片、4片距中性轴z 的距离为h/4，3片就贴在中性轴的位臵上。 测出各点的应变后，即可按（3）式计算出实际的正应力增量实σ?，并画出正应力实σ?沿截面高度的分布规律图，从而可与（1）式计算出的正应力理论值理σ?进行比较。 六、实验步骤 1．开电源，使应变仪预热。

工程力学考试

1、在铆接头中，已知钢板的[]170MPa σ=，铆钉的[τ]＝140MPa ，许多挤压应力[]320bs MPa σ=。试校核强度。 校核铆钉剪切强度：() []2///4105.7140F A F d MPa MPa τπτ===<= 校核挤压强度：()[]//141.2bs bs bs F A F td MPa σσ===< 校核钢板拉伸强度：()[]/28.9F b d t MPa σσ=-=

纯弯曲实验报告

实验二：梁的纯弯曲正应力试验 一、实验目的 1、测定矩形截面梁在只受弯矩作用的条件下，横截面上正应力的大小随高度 变化的分布规律，并与理论值进行比较，以验证平面假设的正确性，即横截面上正应力的大小沿高度线性分布。 2、学习多点静态应变测量方法。 二：实验仪器与设备: ①贴有电阻应变片的矩形截面钢梁实验装置 1台 ②DH3818静态应变测试仪 1件 三、实验原理 （1）受力图 主梁材料为钢梁，矩形截面，弹性模量E=210GPa,高度h=40.0mm，宽度 b=15.2mm。旋动转轮进行加载，压力器借助于下面辅助梁和拉杆（对称分布）的传递，分解为大小相等的两个集中力分别作用于主梁的C、D截面。对主梁进行受力分析，得到其受力简图，如图1所示。 （2）力图 分析主梁的受力特点，进行求解并画出其力图，我们得到CD段上的剪力为零，而弯矩则为常值，因此主梁的CD段按理论描述，处于纯弯曲状态。主梁的力简图，如图2所示。 Page 1 of 10

（3）弯曲变形效果图（纵向剖面） （4）理论正应力 根据矩形截面梁受纯弯矩作用时，对其变形效果所作的平面假设，即横截面上只有正应力，而没有切应力（或0=τ），得到主梁纯弯曲CD 段横截面上任一高度处正应力的理论计算公式为 z i i I y M = 理论σ 其中，M 为CD 段的截面弯矩（常值），z I 为惯性矩， i y 为所求点至中性轴的距 离。 （5）实测正应力 测量时，在主梁的纯弯曲CD 段上取5个不同的等分高度处（1、2、3、4、5），沿着与梁的纵向轴线平行的方向粘贴5个电阻应变片，如图4所示。 在矩形截面梁上粘贴上如图5.3所示的2组电阻应变片，应变片1－5分别贴在横力弯曲区，6－10贴在纯弯曲区，同一组应变片之间的间隔距离相等。 Page 2 of 10

扭转切应力

扭转切应力 两类切应力 扭转切应力 弯曲切应力 扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析 矩形截面杆扭转切应力公式 圆轴扭转时的应力变形特征 外加力偶矩与功率和转速的关系 变形特征 横截面和纵截面都有切应力存在 --切应力互等定理 外加力偶矩与功率和转速的关系 应用此公式时要注意单位。 将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。

如图是放大后的情形。产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。微元的直角改? 横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。根据平衡的要求? 圆轴扭转时横截面上的切应力

根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。 反对称分析论证平面保持平面 由平面保持平面导出变形协调方程 由物性关系得到应力分布 切应力公式 方法与过程 反对称分析论证平面保持平面 首先用反对称关系。如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能? 第一个结论

dd狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法

狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法 孟宪红 白昭宇 (北京航空航天大学飞机设计与应用力学系固体所，北京100083) 摘要 以往矩形截面杆自由扭转问题的解仅在弹性力学中查到，本文从材料力学的教学法和便于应用的观点重新分析了该问题，得到了其材料力学的解，当6/≥b h 时，可以满足工程应用的精度要求。 关键词 狭长矩形截面杆，自由扭转，材料力学 众所周知矩形截面杆自由扭转问题的解可在弹性力学中查到。为便于过程应用， 将其写成如下形式 2 max hb T ατ=?，3hb Tl β?=? (1) 其中，α，β与b h /=?有关，并以表格形式给出。 若从材料力学的教学法和便于应用的观点考虑，用材料力学的方法来研究该问题仍有一定的价值。为此，用材料力学的解法介绍如下。 1 应力分布 首先，我们将图示长为h ，宽为b 的狭长矩形截面杆的截面用一矩形ABCD 和两个半圆截面代替。矩形ABCD 的长=12h b h ?，两半圆的半径2/b R =。参考坐标 系如图 1所示。 图 1 根据余能概念我们设剪应力分布如下，在矩形部分截面内 )0(max 1R Y R Y x ≤≤==τττ (2) 在半圆截面内 )0(max 2R r R r ≤≤=ττ (3) 即剪应力在各部分均为线性分布， ??? ???? =?=θττθττcos sin max 2max 2R r R r y x (4) 在半圆内点的坐标均为 θθ cos sin 1r h x r y +== (5) 2 确定max τ 由平衡条件，我们有 2 max 2 122max 12 max 2 2211161131)cos (cos sin )(12 2 1 hb dA r h R r R r dA R y dA x y ydA T A A A y x A ? ?????+? ????????=??? ++???+=+?+=∫∫∫∫?π?τθθθ τττττ(6) 其中 b h = ? (7) k W T hb T = ?? ????? ????????+= 2 max 113116??πτ (8) 2 113116hb W k ????? ??????????+=??π (9) 3 求扭转角? 杆件的余能

材料力学作业 扭转

第四章 扭转 一、是非题 1 在单元体两个相互垂直的截面上，切应力的大小可以相等，也可以不等。 （ ） 2 扭转切应力公式P I T ρ τρ= 可以适用于任意截面形状的轴。 （ ） 3 受扭转的圆轴，最大切应力只出现在横截面上。 （ ） 4 圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有切应力。 （ ） 5 矩形截面杆扭转时，最大切应力发生于矩形长边的中点。 （ ） 二、选择或填空 1、．图示的圆轴，用截面法求扭矩，无论取哪一段作为研究对象，其同一截面的扭矩大小与符号（ ）。 a.完全相同 b.正好相反 c ．不能确定 2、两根圆轴，材料相同，受力相同，而直径不同，当d 1=2d 2时，则两轴的最大切应力之比 τ1/τ2和单位扭转角21/φφ 分别为 。 A 1/4，1/16 B 1/8，1/16 C 1/8，1/64 D 8，16 3．下列结论中正确的是（ ）。 A ．圆轴扭转时，横截面上有正应力，其大小与截面直径无关 B ．圆轴扭转时，截面上有正应力，也有切应力，其大小均与截面直径无关 C ．圆轴扭转时，横截面上只有切应力，其大小与到圆心的距离成正比 4．如图所示，圆轴扭转时，下列切应力分布图正确的是（ ）。 A B C D 5．实心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A ．一定为零 B.一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零 6．空心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A.一定为零 B ．一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零

三、计算题 1一传动轴匀速转动，转速n=200r/min，轴上装有五个 轮子。主动轮Ⅱ输入功率为60kW，从动轮Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ Ⅴ依次输出18 kW，12kW，22 kW和8 kW。试做轴的 扭矩图。 2、图示圆截面空心轴，外径D＝40mm，内径d＝20mm，扭矩T＝1kN·m。试计算ρ＝15mm 的A点处的扭转切应力τA及横截面上的最大和最小扭转切 应力。

直梁的平面弯曲练习题 文档

练习六：直梁弯曲 练习六直梁弯曲 一、填空题 1.工程中通过对支座的简化后，将梁分为三种类型，分别是、、和 。 2.当梁只受集中力的时候，各段剪力为常数，但在集中力处产生突变，突变值为，各段弯矩 为函数。 3.在集中力偶处，弯矩产生突变，突变值为。 4.对于塑性材料的直梁，平面弯曲的强度条件是。 5.提高弯曲强度的措施主要有，， 。 6.如果某跟梁产生纯弯曲变形，则内力中为零。 7.高度等于宽度两倍的矩形截面梁，承受垂直方向的载荷，竖放截面时梁的强度是横放截面时 梁的强度的倍。 8.横截面面积相等的实心和空心的圆形梁，抗弯刚度大。 8．图示简支梁，C截面中性轴上某点,σ=( ), τ=( ). 二、选择题 1.悬臂梁受集中力P作用，P力方向与截面形状如图所示，试问下列各梁可能发生平面弯曲。的是 2. 图示简支梁中间截面B上的内力（）

A. A. A. M=0，θ=0 B、M=0，θ≠0 C、M≠0，θ=0 D、M≠0，θ≠0 3 图示梁AB，如果材料为钢，则比较合力的截面形状为（） . 4.梁AB受载荷如图，试问：将支座A、B分别内移到C、D位置时，梁的承载能力（） A．增大 B。减小 C.不变 D.都有可能 5. 右端固定的悬臂梁，其M图如图，则在x =2m处（）

A. 既有集中力，又有集中力偶 B. 既无集中力，也无集中力偶 C. 只有集中力 D. 只有集中力偶 6．长度和截形相同的两根梁，一根为钢材，一根为铜材。若两根梁受力情况也相同，则它们的 （） A、弯曲正应力相同，轴线弯曲程度不同 B、弯曲正应力不同，轴线弯曲程度相同 C、弯曲正应力与轴线弯曲程度均相同 D、弯曲正应力与轴线弯曲程度均不同 7、悬臂梁受力如图，其中（） A、AB是纯弯曲， BC是剪切弯曲 B、ＡＢ是剪切弯曲，BC是纯弯曲 C、全梁均是纯弯曲 D、全梁均为剪切弯曲 8.中性轴是梁的（）的交线 A、纵向对称面与横截面 B、纵向对称面与中性层 C、横截面与中性层 D、横截面与顶面或底面 三、计算 1. 绘制下列各种受力情况下梁的内力图。

扭转习题

第三章 扭转习题 一、单项选择题 1、横截面都为圆的两个杆，直径分别为d 和D ，并且d=。两杆横截面上扭矩相等两 杆横截面上的最大切应力之比maxD maxd ττ为 A 、2倍， B 、4倍， C 、8倍， D 、16倍。 二、1、扭转变形时，公式p Tl GI τ= 中的 表示单位长度的扭转角，公式中的T 表示横截面上的 ；G 表示杆材料的 弹性模量；I P 表示杆横截面对形心的 ；GI P 表示杆的抗扭 。 2、 截面为圆的杆扭转变形时，所受外力偶的作用面与杆的轴线 . 3、实心圆轴扭转时，横截面上的切应力分布是否均匀，横截面上离圆心愈远的点处切应力 ,圆心处的切应力为 ，圆周上切应力 4、两根实心圆轴的直径d 和长度L 都相同，而材料不同，在相同扭矩作用下，它们横截面上的最大切应力是否相同 ，单位长度的扭转角是否相同 。 5、剪切虎克定律的表达式 G τγ =，式中的G 表示材料的 模量，式中 的γ称为 。 6、根据切应力互等定理，单元体两互相垂直截面上在其相交处的切应力成对存在， 且 相等，而 现反。 三、 1、如图所示圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径D=100mm ，所受的外力偶矩 M 1=6kNm, M 2=4kNm 。试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。 答：圆轴横截面上的最大扭矩为 kNm ； 圆轴横截面上的最大切应力为 Mpa 。 2、如图所示阶梯形圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径分别为50mm 和75mm ，所受的外力偶

矩M C =1200 Nm ，M B =1800 Nm 。 试求BC 段横截面上的扭矩和该阶梯轴的最 大切应力。 答：BC 段横截面上的扭矩为 Nm ； 该阶梯轴的最大切应力为 Mpa 。 3、如图所示圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径d=100mm ，所受的外力偶矩M 1=7000 Nm M 2=5000 Nm 。试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。 答：最大扭矩为 Nm 。 最大切应力为 Mpa 。 4、某传动轴为实心圆轴，轴内的最大扭矩 =1.5kN m T g ，许用切应力[]=50MPa τ，试确定该轴的横截面直径。 5、圆轴AB 传递的功率为P = ，转速n = 360r/min 。轴的AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面，如图所示。已知D= 30mm 。试计算AC 段横截面边缘处的切应力。 6、已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1650N ?m ，传动轴用外径D =90mm ，壁厚t = 2.5mm 的钢管做成。材料为20钢，其许用切应力 [] =70MPa τ。校核此轴的强度。 图3.3.2 图 3.3.3 图3.3.5

压杆

压杆稳定 1．图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E ＝200Gpa ，试用欧拉公式计算其临 界载荷。 (1) 圆形截面，d=25mm,l =1.0m ； (2) 矩形截面，h ＝2b ＝40mm ，l ＝1.0m ； (3) No16工字钢，l ＝2.0m 。 解：求各杆的临界压力Pcr (1)圆形截面杆： ∵两端球铰 μ=1， ()() KN l EI P d I cr 8.3711109.110200 m 101.9 642 8 922214 8-4 =????==∴?==-πμππ (2)矩形截面杆： ∵两端球铰 μ=1， 又∵Iy

1 60212 121012=====μμI I E E tg l l AB 和BC 皆为细长压杆 2 2 222 1 21 l EI P l EI P cr cr ππ= = 欲使F 为最大值，则两杆需同时达到临界值，即 3 1 31 60)(022211212arctg ctg l l tg P P tg P P cr cr cr cr =∴=====θθθ 由铰B 的平衡得 2222111 3104310)2 (310cos cos a EI a EI P P F P F cr cr cr ππθθ= ?===∴= 3. 三根圆截面压杆，直径均为d =160 mm 材料为Q235钢，E =200 GPa ，σp =200 MPa ，σs =240 MPa 。三杆均为两端铰支，长度分别为l 1、l 2和l 3，且l 1=2l 2=4l 3=5m 。试求各杆的临 界压力P cr 。 解：(1) 求柔度极限值 查表得Q235钢：a = 304MPa, b = 1.12MPa 12 30424099.3 571.12 S a b σλλ--====== (2) 求各杆的临界压力P cr 1杆： ()() 1 (1)1 44 54 2295 (1)22 15 1250.16/40.16 3.2210 6464 20010 3.22102542 15cr l i d I m EI P kN l μλλππππμ--?= = =?===?????===? 2杆：

实验2矩形截面梁的纯弯曲

实验二 矩形截面梁的纯弯曲 一、实验目的 1.测定纯弯曲下矩形截面梁横截面上正应力的分布规律，并与理论值比较。 2.测定泊松比μ。 3.熟悉电测法基本原理和电阻应变仪的使用。 二、实验仪器 1.CLDT-C 型材料力学多功能实验台 2.DH-3818型静态电阻应变仪 3.矩形截面梁实验装置一套（205E GPa =） 4.游标卡尺 三、实验原理 在纯弯曲段，见图2-1，梁横截面上任一点的正应力计算公式为 z My I σ= 式中：M 为弯矩；z I 为横截面对中性轴z 的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。 2 Pa M = 3 12 z bh I = 图2-1 为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁的侧面不同高度，平行于轴线贴有5片电阻应变片，如图2-2所示，其中3#片位于中性层处，2#、4#片分别距中性层上、下/4h 处，1#、5#片分别位于上、下表面。此外，在梁的上表面沿横向粘贴0#应变片。 组桥方式：半桥单臂接法，如图2-3所示。 加载采用增量法，即每增加等量的载荷P ?，测出各点的应变增量ε?，然后分别取各点应变增量的平均值i ε?均，依次求出各点的应力增量i σ?实。将实测应力值i σ?实与理论应力值i σ?理进行比较，以验证弯曲正应力公式。 i i E σε?=?均实

i z My I σ??= 理 2 Pa M ??= 利用梁的上表面1#、0#应变片，可测定泊松比μ。 εμε?= ?均0均1 图2-2 布片方式 补偿片C D B A U O I U 工作片2R R 14R R 3 图2-3 组桥方式 四、实验步骤 1.测量矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离a 及各应变片到中性层的距离y 。 2.拟定加载方案，见表1。 3.按照组桥方式，将应变片和力传感器接入桥路，并连接好应变仪的电源线。 4.设置力传感器的灵敏系数，并平衡各通道。 5.按照加载方案进行加载测试，记录实验数据。加载时应缓慢均匀地进行。实验至少重复两次，如果数据稳定，即可结束。 6.现场计算出泊松比μ和各点的应力增量i σ?实，并将实测应力值i σ?实与理论应力值

扭转时横截面上的应力

第三节扭转时横截面上的应力 一、应力分布规律 为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。 取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点： 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变； 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。

通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果： ★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生； ★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； ★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。 下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。 为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角，而经过半径O2D上任意点H 的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注

7-4矩形截面杆的扭转

7-4矩形截面杆的扭转 等截面直杆受扭，如果其截面的翘曲不受任何限制，此时各横截面的翘曲变形相同，纵向纤维的长度不变，所以横截面上没有正应力，只有切应力，这种扭转称为自由扭转（free torsion ）。如果截面的翘曲受到限制，如杆件端面处受到固定面的约束使其不能翘曲，使各个相邻截面的翘曲变形程度不同，从而引起纵向纤维的长度改变。所以截面上不仅有切应力，还有正应力。这种情况称为约束扭转（constrained torsion ）。 假设矩形截面杆长l ，截面长边和短边长度分别为 h 和 b ，杆件两端受力偶矩T 作用。矩形截面长边中点的最大切应力τmax 、短边中点处的切应力τ1、以及两端面相对转角?可以由下面的式子表示 Δ max t T W τ= 1max τξτ=? t Tl GI Δ=? 其中截面系数W t 、I t 由下列公式给出： 2t W b α=h h 3t I b β=系数α、β 和ξ 随长短边之比 h b 而变化，其数值可查表。 系数 α、β 和 ξ 的值 h/b 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 10.0 ∞ α 0.208 0.219 0.2310.2390.2460.2580.2670.313 0.333 β 0.141 0.166 0.1960.2140.2290.2490.2630.313 0.333 ξ 1.00 0.93 0.86 0.82 0.80 0.77 0.75 0.74 0.74 由上表可见，当长短边之比h /b >10时，13 αβ≈≈，因此，狭长矩形截面的截面系数为 2t 13 W t =h 3t 13 I t =h 式中用t 代替b 来表示截面宽度（厚度）。

矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验

b h 实验四 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 一、实验名称 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 二、实验目的 1．学习使用电阻应变仪，初步掌握电测方法； 2．测定矩形截面梁纯弯曲时的正应力分布规律，并与理论公式计算结果进行比较，验证弯曲正应力计算公式的正确性。 三、实验设备 1．WSG －80型纯弯曲正应力试验台 2．静态电阻应变仪 四、主要技术指标 1．矩形截面梁试样 图1 试样受力情况 材料：20号钢，E=208×109Pa ； 跨度：L=600mm ，a=200mm ，L 1=200mm ； 横截面尺寸：高度h=28mm ，宽度b=10mm 。 2．载荷增量 载荷增量ΔF=200N （砝码四级加载，每个砝码重10N 采用1：20杠杆比放大），砝码托作为初载荷，F 0=26 N 。 3．精度 满足教学实验要求，误差一般在5%左右。 五、实验原理

如图1所示，CD 段为纯弯曲段，其弯矩为Fa 2 1 M = ，则m 6N .2M 0?=，m 20N M ?=?。根据弯曲理论，梁横截面上各点的正应力增 量为： z I My ?=?理 σ （1） 式中：y 为点到中性轴的距离；Iz 为横截面对中性轴z 的惯性矩，对于矩形截面 12 bh I 3 z = （2） 由于CD 段是纯弯曲的，纵向各纤维间不挤压，只产生伸长或缩短，所以各点均为单向应力状态。只要测出各点沿纵向的应变增量ε?，即可按胡克定律计算出实际的正应力增量实σ?。 ε σ?=?E 实 （3） 在CD 段任取一截面，沿不同高度贴五片应变片。1片、5片距中性轴z 的距离为h/2，2片、4片距中性轴z 的距离为h/4，3片就贴在中性轴的位置上。 测出各点的应变后，即可按（3）式计算出实际的正应力增量实σ?，并画出正应力实σ?沿截面高度的分布规律图，从而可与（1）式计算出的正应力理论值理σ?进行比较。 六、实验步骤及注意事项 1．开电源，使应变仪预热。 2．在CD 段的大致中间截面处贴五片应变片与轴线平行，各片相距h/4，作为工作片；另在一块与试样相同的材料上贴一片补偿片，放到试样被测截面附近。应变片要采用窄而长的较好，贴片时可把试样取下，贴好片，焊好固定导线，再小心装上。 3．调动蝶形螺母，使杠杆尾端翘起一些。 4．把工作片和补偿片用导线接到预调平衡箱的相应接线柱上，将预调平衡箱与应变仪联接，接通电源，调平应变仪。

梁弯曲习题课

梁弯曲时的强度计算的应用习题课本节课的重点 1、弯曲时正应力的强度计算 2、弯矩图 3、纯弯曲的概念应用 基本概念 一、基础知识 1、横力弯曲是； 2、纯弯曲是。 3、中性层是； 4、中性轴是。

5、横截面上正应力分布规律 （1）梁纯弯曲时，横截面上只有，没有； （2）中性轴一侧为应力，另一侧为应力；应力大小沿截面高度呈分布； （3）距中性轴最远的截面处，分别具有和应力，截面上距中性轴等距离各点相同。 （4）中性轴上各点为零。 基本的题型 （一）、基本概念的理解（二）简单公式的应用 1、关于中性轴，下列说法中错误说法是（） A、中性轴是梁弯曲时，横截面绕之转动的轴线 B、中性辆是横截面上拉、压应力区的分界线 C、中性辆是横截面上最大应力所在点的连续 D、中性轴是横截面上正应力为零的点的连线 2、中性轴是梁的的交线。（） A、纵向对称面与横截面 B、纵向对称面与中性层 C、横截面与中性层 D、横截面与顶面或底面 3、悬臂梁受力如图3—14所示，其中。（） A、AB是纯弯曲，BC是剪切弯曲 B、全梁均是纯弯曲 C、全梁均是纯弯曲 D、AB是剪切弯曲，BC是纯弯曲 4、在梁的弯曲过程中，距横截面的中性轴最远处。（） A、正应力达到最大值 B、弯矩值达到最大值 C、正应力达到最小值 D、弯矩值达到最小值

5、矩形截面梁受到弯曲变形，如果梁横截面的高度增加一倍，则梁内的最大正应力为原来的倍。（） A、正应力为原来的1/2倍 B、正应力为原来的1/4倍 C、正应力为原来的1/8倍 D、无法确定 6、如图3—15所示的梁均用抗压强度大于抗拉强度的材料制成，则采用形截面最为合理。（） 7、梁剪切弯曲时，其横截面上。（） A、只有正应力，无切应力 B、只有切应力，无正应力 C、既有正应力，又有切应力 D、既无正应力，也无切应力 8．当梁的纵向对称平面内只有力偶作用时，梁将产生（）A．平面弯曲B．一般弯曲C．纯弯曲D扭转 9．若矩形截面梁的高度和宽度分别增大一倍，其抗弯截面系数将增大（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍 10．梁纯弯曲时，截面上的内力是（）A．弯矩B．扭矩C．剪力D．轴力E．剪力和弯矩11．如图所示，矩形截面梁发生纯弯曲变形，在横截面上点的应力为零。（）A．a B．b C．c D．d 12、梁弯曲时，横截面上点的正应力的大小，与该点到某一位置的距离成正比，这一位置是指（） A、凸边 B、中性层 C、凹边 D、中心线 判断题 1．所谓纯弯曲就是梁上各横截面积内弯矩为零、剪刀为常数的弯曲变形。（）2．同一矩形梁选择不同的纵向对称平面，会得到不同的抗弯截面系数。（）3．梁横截面上若有剪力，最好将梁设计成变截面梁。（）4．变截面梁的最大正应力不一定产生在最大弯矩的截面上。（）